1.5-1条件概率

（1）若为放回抽样：
P(B)

1 2

1 2

1 2

1 2

C21
(
1 2
)1
(
1 2
)1

1 2
（2）若为不放回抽样：
P(B)

26 52

26 51

26 52

26 51

C216C216
/
C522

26 51
例2 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、 白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球 ，若取得的是一只红球，试求该红球是新球 的概率。
解：设A=“从盒中随机取到一只红球”。
B=“从盒中随机取到一只新球”。
红白wk.baidu.com
新 40 30
旧 20 10
解：nA 40, nAB 60
P(B | A) 40 2 60 3
P( A2 | A1) 1 P( A2 | A1) 1 0.8 0.2
亦可：
P(A) 1 P(A) 1 P( A1A2 A3) 1 P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
1 0.40.20.1 0.992
例8：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到 红球的概率是多少？
已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为
A发生条件下B的条件概率，记作 P(B|A)
一、条件概率
例1 设有10张奖券，其中一张是一 等奖，一张二等奖，
（1）求任取一张，中奖的概率 （2）求任取一张，中一等奖的概率 （3）求任取一张，且已知中奖，则
A={ 这人通过考核 }，
A A1 A1 A2 A1 A2 A3
P( A) P( A1) P( A1A2 ) P( A1A2 A3)
P( A1) P( A1) P( A2 | A1) P( A1) P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
0.60＋0.40.8 0.40.20.9 0.992
§1.5 条件概率
教学内容
（1）深刻理解条件概率的意义，掌握条 件概率的计算；
（2）了解概率的乘法定理在实际应用中 的重要性；掌握两个及多个事件乘积的 概率计算；
引例
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十 人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？ 第二 个人取得红球的概率是多少？
是一等奖的概率
解：设A=“任取一张，中奖”,B=“任取一张，取到 一等奖”
(1)P(A) 2 1 10 5
(3)P(B | A) 1 2
(2)P( AB) 1 10
P(B | A) P(AB) P( A)
S A
B
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的 两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个 样本点，则
例3 一盒子有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从 中不放回地抽取两只，设事件A为“第一次取到的是一等 品”，B为“第二次取到的也是一等品”，求P(B|A)。
解：法1
n P42 12 mA C31 C31 9
mAB C31 C21 6
P(A) 9 , P(AB) 6
解： 设 Ai={ 第i人抽到“有” }，i=1,2,3，4,5
3 P( A1) 5
A2 A1 A2 A1 A2
P( A2 ) P( A1A2 ) P( A1A2 )
利用乘 法公式
P( A1)P( A2 | A1) P( A1)P( A2 | A1)
3223 3 54 54 5
称为事件A、B的概率乘法公式。 还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).
例6 有5个签中，3个写“有”，二个写“无”，
五人依次各抽一签，求各人抽到“有”的概率。
例7：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一 次，每人最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率 为60%；如果第一次未通过就去参加第二次，这时能 通过的概率为80%；如果第二次再未通过，则去参加 第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考 核的概率。 解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3
12
12
P(B | A) P( AB) 2 P( A) 3
法2
设一等品编号为1,2,3，二等品为b,则 缩减的样本空间为
A={（1,2），（1,3），（2,1），（2,3）， (3,1)，(3,2)，（1,b)，(2,b)，(3,b)}
P(B | A) 6 2 93
AB
例4：设一只乌龟能存活60年的概率为0.89，能存活 100年的概率为0.83，若现在这只乌龟已经60岁，则 它能再存活40年的概率是多少？
条件概率的性质
1、P( | A) 0
2、P(B | A) 1 P(B | A)
3、P((B C) | A) P(B | A) P(C | A) P(BC | A)
4、B A P(B | A) P(C | A)
二、乘法公式
设A、B ，P（A）>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A).
P(B | A) nAB nA

nAB n

P( AB)
nA n
P( A)
一般地，设A、B是S中的两个事件，则
P(B | A) P( AB) P( A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
备注：
在A发生的条件下B发生当然是A发生且B发 生，即AB发生，但是，现在A发生成了前提 条件，因此应该以A做为整个样本空间，而 排除A以外的样本点，因此P（B|A）是 P（AB）与P（A）之比。
P(A) P(AB AB) P(AB) P(AB)
P(B) P(A | B) P(B) P(A | B)
0.30.2 0.70 6%
利用乘 法公式
另解：A B, A AB, P(A) P(AB) P(B)P(A B) 0.30.2 6%
例6：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下
的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%
的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产
品的报废率。 解：设 A={生产的产品要报废}
∵AB与 AB 不相容
B={生产的产品要调试}
已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，P(A | B) 0
解：设A={乌龟活到100岁}，B={乌龟活到
60岁}，因为 AB
所以
p(AB) p(A) 0.83
p{已活到60岁的乌龟再存活40年}=
p(A|B) p(AB) p(A) 0.83 0.93 p(B) p(B) 0.89
也可以理解为100只活到60岁的乌龟中大约有93只 能活到100岁.
解：
设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
A1 A2 与 A1 A2
不相容
P(B) P( A1A2 A1A2 )
利用乘 法公式
P( A1A2 ) P( A1A2 ) P( A1) P( A2 | A1) P( A1) P( A2 | A1)