北师大数学选修同步作业：第4章 导数应用 作业21 含解析

课时作业(二十一)

1．若物体进行s(t)＝2(1－t)2的直线运动，则物体开始运动时的瞬时速度为( ) A ．0 B ．－4 C ．4 D ．2

答案 B

2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位为米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒

答案 C

3．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素．其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M 02

－

t

30，其中

M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯

137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝( ) A ．5太贝克 B ．75ln2太贝克 C ．150ln2太贝克 D ．150太贝克

答案 D

4．一个质点做直线运动，从始点起经过t s 后的距离为S ＝－1

4t 4－4t 3＋16t 2，则速度为0的

时刻为( ) A ．4 s 末 B ．8 s 末

C ．0 s 与8 s 末

D ．0 s ，4 s ，8 s 末 答案 D

5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝14t 4－7

3t 3＋7t 2－8t ，那么速度为

零的时刻是( ) A ．1秒末 B ．2秒末 C ．2，4秒末 D ．1，2，4秒末 答案 D

6．从时间t ＝0开始的t s 内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q ＝2t 2＋3t 表示，则第5 s 时的电流强度为( ) A ．27 C/s B ．20 C/s C ．25 C/s D ．23 C/s 答案 D

7．如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象相对应的一项是()

A．①②③④B．②①③④

C．②①④③D．②④①③

答案 C

8．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，设t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为()

答案 A

9．球的半径从2增加到3时球的体积的平均膨胀率为______．

答案76 3π

10．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)

＝t2

100，则在时刻t＝10 min的降雨强度为________mm/min.

答案1 5

11．一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)之间的关系由函数T＝f(t)给出，则①f′(t)的符号为________；

②f(3)＝－4的实际意义是________．

答案负在3 min时红茶温度约以4 ℃/min的速率下降

12．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr.若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，

①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________②，

②式可以用语言叙述为________________________________________________． 答案 ⎝⎛⎭

⎫4

3πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 13．某厂生产某种产品x 件的总成本c(x)＝1 200＋2

75x 3(万元)，已知产品的单价与产品件数

x 成正比．生产50件这样的产品单价为100万元，产量定为多少时总利润最大？

解析 设单价为a 万元，总利润为y 万元，由已知得a ＝kx ，把x ＝50，a ＝100代入该式得k ＝2，即a ＝2x ，所以y ＝ax －c(x)＝2x 2－1 200－2

75x 3(x>0)，

令y ′＝4x －2

25x 2＝0，得x ＝50或x ＝0(舍去)，

易知x ＝50是极大值点，也是最大值点． 答：产量定为50件时总利润最大．

14．枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－

3 s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 解析 运动方程为s ＝12at 2＝5

2×105t 2.

s ′＝5×105t ，将t ＝1.6×10－3代入，得 s ′＝5×105×1.6×10－3＝800 m/s.

15．江轮逆水上行300 km ，水速为6 km/h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为0.01 x 2 L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．

(1)试写出江轮航行过程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式：y ＝f(x)； (2)求f ′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度－水速)．

解析 (1)船的实际速度为(x －6)km/h ，故全程用时300

x －6 h ，所以耗油量y 关于x 的函数关系

式为

y ＝f(x)＝300×0.01x 2x －6＝3x 2

x －6(x>6)．

(2)f ′(x)＝3·2x （x －6）－x 2

（x －6）2

＝3x （x －12）（x －6）

2，