中考专题19 坐标系中的特殊角-最新中考数学二次函数压轴题核心考点突破

3 三边之比为1： 3：2
β
4
5
α+β=45° tan2α= 3
三边之比为1： 3：2
三边之比为1：1： 2
三边之比为1： 3：2
α
2
5
1 tanα=
2
1 三边之比为1：2： 5
α
5
2
tan(β+45°)=2
β+45° 1
β
3
10
1 tanβ=
3
1 三边之比为1：3： 10
β
4
5
α+β=45° tan2α= 3
【2013 黑龙江中考】
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边 AB 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，∠ACB=90°，
OA、OB 的长分别是一元二次方程 x2 25x 144 0 的两个根（OA<OB），点 D 是线段 BC
上的一个动点（不与点 B、C 重合），过点 D 作直线 DE⊥OB，垂足为 E．
2
因此角度特殊不在于这个角是多少度，而在于其三角函数值是否有特殊值，所以除了常见 的 30°、45°、60°，我们可以扩充一下特殊角的范围．
30°
3
2
1 sin30°=
2
1 三边之比为1： 3：2
α
5
1
45° 1
tan45°=1 2
1 三边之比为1：1： 2
β
10
1
60° 1
2
1 cos60°=
2
33
引例 2：如图，在平面直线坐标系中，直线 AB 解析式为 y 1 x ，点 M（2，1）是直线 A B 2
上一点，将直线 AB 绕点 M 顺时针旋转 得到直线 CD，且 tan 3 ，求直线 CD 解析式．
2
C
y
O A
Βιβλιοθήκη BaiduB M α
D
x
【分析】 在直线 AB 上再选取点 O 构造三垂直相似，如下图所示，
综合以上两点，可得：对于直线 y=x+m 或直线 y=-x+m，与 x 轴夹角为 45°．
y=x+m 45°
y=-x+m 45°
并且我们还可通过画图 与计算得知：
3 y= x+m
3
30°
3 y=- x+m
3
30°
y= 3x+m 60°
即“y=kx+b 的 k”与“直线和 x 轴的夹角”存在某种固定的联系．
其实根据特殊角很容易 求出结果，但是，这样的方法不能直接用 ！不能直接用！ 如果是填空选择当然就 可以咯~
【2019 资阳中考删减】
如图，抛物线 y 1 x2 bx c 过点 A （3，2），且与直线 y x 7 交于 B 、C 两点，点 B
2
2
的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（1）求点 C 的坐标；
y
（2）连接 AD，当 AD 平分∠CAB 时，求直线 AD 的解析式．
C
D
AO E Bx
【分析】 （1）C 段坐标为（0，12）； （2）已知直线 AD 上的点 A 坐标，故求出点 D 坐标或者求出直线的 k，即可求出直线 AD
的解析式． 思路 1：求 D 点． 易证△ ACD≌△AED ， ∴AC=AE ，CD=ED， 设 ED=x，则 CD=x，B D=20-x，
若∠MBE =75°，则∠MBF =30°，
故直线 BM 与 x 轴夹角为 30°，
又 B 点坐标为（0，-3），
故直线 BM 解析式为： y 3 x 3 ， 3
联立方程： 1 x2 x 3 3 x 3 ，
4
3
解得：
x1
0
，
x2
4
43 3
，
故 M 点横坐标为 4 4 3 ． 3
综上所述，M 点横坐标为 4 4 3 或 4 4 3 ． 3
2 上一点，将直线 AB 绕点 M 顺时针旋转 45°得到直线 CD，求 CD 解析式．
y
C B
M 45°
D
O
x
A
【分析】 思路 1：构造三垂直相似（全等） 在坐标系中存在 45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形． 在直线 AB 上取一点 O，过点 O 作 OP⊥AB 交 CD 于 P 点，分别过 M、P 向 x 轴作垂线， 垂足为 E、F 点．
认识特殊角，了解特殊角，运用特殊角，就能在复杂问题中找到简便的求法．
【2019 盐城中考第 16 题】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=2x-1 的图像分别交 x、y 轴于点 A、B，将直线 AB 绕点 B 顺时针旋转 45°，交 x 轴于点 C，则直线 BC 的函数表达式是_________．
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中物理
坐标系中的特殊角
一、什么是特殊角？ 说到特殊角我们很快就能想到比如 30°、45°、60°、90°等，事实上，之所以以上角能称为特 殊角，关键在于这些角的三角函数值特殊，比如同为整十，为什么我们会将 60°称为特殊角， 而 50°便不是，原因很简单， cos 60 1 ，而我们并不知道 50°的任一三角函数值．
3
【2018 辽阳中考删减】 如图，直线 y=x-3 与坐标轴交于 A、B 两点，抛物线 y 1 x2 bx c 经过点 B ，与直线 y=x-3
4 交于点 E（8，5），且与 x 轴交于 C，D 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点 M，当∠MBE =75°时，求点 M 的横坐标．
2 如下图，以点 P 为圆心，PA 为半径作圆，与 y 轴交点即为所求 Q 点．
y
M C
A P
O
B
x
y
Q2 M C
A P
Q1
O
B
x
y
Q2 M C
A P
Q1
O
B
x
考虑半径 PA=2，则 PQ=2，又点 P 在对称轴 x=1 上，点 Q 在 y 轴上，
( ) ( ) 不难求得 Q 点坐标为 0,2 3 或 0,2 3 ．
y
A O
B
Cx
【分析】
此处可以考虑以 BA 为直角边构造等腰直角三角形，但还有更快的方法：
根据解析式可知：
tan ABO 1
2
ABC 45
tan ACB 1 ， 3
y
A
O α
B 45°
β Cx
考虑到 OB=1，故 OC=3， 即可求得 C 点坐标为（3，0）， 故直线 BC 的表达式为： y 1 x 1．
又 BE =10，可得方程： x2 102 (20 x)2
解得： x 15 ． 2
故
D
点坐标为
6,
15 2
，
直线 AD 解析式为： y 1 x 9 ． 22
思路 2：求 k．
易得： tan CAB 4 ， DAB 1 CAB ，
3
2
∴ tan DAB 1 ， 2
∴直线 AD 解析式为： y 1 x 9 ． 22
C P y
F
O
A
B M
D
Ex
易证△PFO∽△OEM，且相似比 PO tan PMO 3 ，
OM
2
即 OF 3 ME 3 ， PF 3 OE 3 ，
2
2
2
故
P
点坐标为
3 2
,3
，
结合 P、M 点坐标可解直线 CD 解析式： y 4 x 15 ． 77
本题并不容易从三角函数值本身下手，原因在于角度并不属于我们所讨论的特殊角范围之 内，简便的做法只存在于特殊的角中．
y CP
B M 45°
D
F
O
A
E
x
易证△OEM ≌△PFO， 故 PF=OE =2，OF=ME =1，故 P 点坐标为（-1，2）， 结合 P、M 坐标可解直线 CD 解析式： y 1 x 5 ．
33 构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点 O 作 CD 的垂线，
y
C
B
45° M
D
O
x
A
但直角顶点未知的情况 计算略难于直角顶点已知的情况，故虽可 以做但并不推荐．
思路 2：利用特殊角的三角函数值．
过 M 点作 MN ∥x 轴，则 tan OMN tan 1 ， tan CMN 1 ，
2
3
y
C
B
βM
N
α
D
α
O
x
A
考虑到直线 CD 的增减性为 y 随着 x 的增大而减小，故 kCD 0 ，
所以直线 CD： y 1 ( x 2) 1 ，
3 化简得： y 1 x 5 ．
关系就是： k tan （ 是直线与 x 轴的夹角）．
y=- 3x+m 60°
不装了，我摊牌了~
k>0
y=kx+b
P(x1，y1)
Q(x2，y2)
α α
M
y1-y2 k=
x1-x2
PM y1-y2 tanα= =
QM x1-x2
k=tanα
k<0
P(x1，y1)
α Q(x2，y2)
α
y1-y2 k=
y N
M
C
A
Q
O
B
x
y QM C E
O
N
F A
B
x
y
NF
M
C
A
Q
E
O
B
x
如图，AN⊥AQ 交直线 QM 于 N 点，△ANQ 即为等腰直角三角形， 设 Q 点坐标为（0，m），又 M 点坐标为（1，4），
可得直线 QM 解析式为： y (4 m) x m ，
如上右图构造三垂直全等：△QEA ≌△AFN ，
“ THANKS ”
（2）设点 M 为抛物线的顶点，在 y 轴上是否存在点 Q，使∠AQM=45°？若存在，求点 Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
y
M C
A
O
B
x
【分析】
（1）抛物线： y 1 x2 x 7 ；
2
2
（2）本题的 45°角位置与上面有所不同，其顶点 Q 未知，计算会略麻烦．
思路 1：构造等腰直角三角形．
= 2-1
1+ 2
一般半角三角函数值求 法：
a a2+b2 α
b
一般二倍角函数值求法 ：
a2+b2
a tanα=
b
α
2
α
a
tan =
2 b+ a2+b2
α 2α
勾股定理可求二倍角三角函数值 α
二、特殊角在坐标系中的意义 当我们初次接触到平面直角坐标系时，我们就认识了一、三象限角平分线及二、四象限角 平分线，即直线 y=x 和直线 y=-x，在一次函数中我们知道，若两直线平行，则 k 相等．
x1-x2
PM y1-y2 tanα= =-
QM x1-x2
k=-tanα
三、坐标系中特殊角的处理 在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手： 思路 1：构造三垂直相似（或全等）； 思路 2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线 k”． 引例 1：如图，在平面直线坐标系中，直线 AB 解析式为 y 1 x ，点 M（2，1）是直线 A B
联立方程： 1 x2 x 3 3x 3 ， 4
解得： x1 0 ， x2 4 4 3 ，
故 M 点的横坐标为 4 4 3 ．
y
M A
DO 30° B
E
C
x
y E
A
DO
C
x
B 30°
F
M
②当 M 点在直线 BE 下方时，如上右图，过点 B 作 BF∥x 轴，则∠EBF =45°，
可得：AF=QE=3，NF=AE =2-m，故 N 点坐标为(m 1,5) ，
将点 N 代入直线 QM 解析式： (4 m)(m 1) m 5 ，
解得： m1 2 3 ， m2 2 3 ．
( ) ( ) 故 Q 点坐标为 0,2 3 或 0,2 3 ．
思路 2：圆周角定理 已知点 A（3，2），易求 M 点坐标为（1，4）， 故过点 A 作 A P 垂直对称轴交对称轴于 P 点，则△APM 是等腰直角三角形． 其中 ∠APM=90°． 构造∠AQM=45°，即 AQM 1 APM ．
y
E
A
DO
C
x
B
【分析】 （1）抛物线： y 1 x2 x 3 ；
4 （2）①当 M 点在直线 BE 上方时，如下左图，若∠MBE =75°，考虑到∠OBE =45°，
则∠OBM=30°，即直线 BM 与 x 轴的夹角为 60°， 又 B 点坐标为（0，-3）， 故直线 BM 的解析式为： y 3x 3 ，
2β 5
4
3 tan2β=
4
2α 3
α 5
β
3
10 tan(α+45°)=3
α+45° 1
以及从最后一张图中可得二倍角或者半角的三角函数构造：
比如求 tan15°：
1
2
30°
3
15° 2
1
tan15°=
=2- 3
2+ 3
tan75°=2+ 3
t a n 22.5°：
1
2
45° 1
22.5° 2
1
tan22.5°=