2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点
假设退休金会随着社会平均工资的增长而同步增长。设 qi 为退休后第 i 年工资增长率，前面已
i
求得刚退休时第一个月的基础养老金为 z1 ，则第 i 年领取的基础养老金为12z1 (1 qk1) ，则该职 k 1
d
i
工到去世时领取的基础养老金总和为 g1 12z1 (1 qk1) ，其中 d 为死亡年龄， 为退休年龄。
1 必要的假设 如下一些假设是基本的：1）假设我国在今后一个较长时间段内社会政治经济形势稳定，工资不
会出现异常动荡。2）假设男女同工同酬。3） 假设现有缴费及发放制度在一个充 分长的时间段内不 发生变化。4）假设附件 2 中反映的该企业不同年龄的职工工资与企业平均工资的比例可以用来计 算一个普通职工的养老保险缴费指数。5）假设只有个人账户中的储存额产生利息，而社会统筹基金 账户中的储存额不产生利息。6）假设附件 1 中的社会平均工资为缴费工资。7）为便于计算，可以 假设第 i 岁参加工作、退休、死亡均是指在刚满 i 周岁时，缴费年数为整数。 2 问题一
i 1
k 1
i
同理，第 i 年领取的个人账户养老金为12z2 (1 qk1) ，另设退休后银行一年期银行利率为 r， k 1
i
12z2 (1 qk1)
则其在刚退休时的现值为
k 1
(1 r)i1
，则该职工到去世时 个人账户养老金总 和在刚退休时的
现值分别为
i
d 12z2 (1 qk1)
g2 i 1
虽然我国当前正处于经济快速发展期，但考虑到我国发展的战略目标是在二十一世纪中期达到 中等发达国家的经济发展水平，而发达国家的工 资增长率多比较低，所以应当假 设我国未来的工资 增长率会逐步降低。只要符合这一假设的预测方法，都可以认为是恰当的。如 Logistic 模型以及其 它阻滞型增长模型均可用，用这些方法得到的工资上限大约在 2010 年工资水平的 3-4 倍左右。但若 假设工资以固定比例增长或线性增长、以及用线 性或多项式拟合都是不恰当的， 用灰色预测或指数 预测也不恰当。
10全国大学生数学建模竞赛、C0701解析
C题之一（全国二等奖）雨量预报方法的评价参赛学校：桂林工学院参赛学生：张莉、邹凤晖、毛细根指导老师：邓光明摘要：雨量预报对农业生产和城市工作和生活有重要作用，气象部门致力于开发更准确的预报方法满足人们生活的需求。
因此，我们建立了一种评价预测方法准确性的模型。
本模型主要应用于雨量预报方法准确性的评价，属于比较模型，评价方法中用地理位置及对应的降雨量与实测站点的真实降雨量进项比较。
模型一的建立主要依据二维插值原理和统计学的离散、方差分析综合建立的。
通过二维插值的方法找出两种方法在91个站点的预测值，根据实测值，算出两种方法各自的误差，进而算出误差的方差，得到两种方法的方差矩阵。
比较两种方法的误差的方差，得出结论：方法一相对于方法二而言更加准确。
模型二在模型一的基础上加入公众感受因素，对模型一进行权重优化。
在前模型的基础上考虑公众满意的因素优化模型，建立一个比模型一更加符合实际的模型。
根据模型一中得到两种方法91 个站点的预测雨量，把两种方法91 站点41 天的预测数据和实际观察值转化为等级标量数值。
将其等级标量数值分别与实际观察值相比较，得出预测的偏差度，根据公众感受权重的特点，将这些偏差度进行权重分析，最后得出评价结论：方法二相对于方法一而言更加准确。
关键字：降雨量、二维插值、方差分析、公众感受、权重、等级标量一、问题重述雨量预报对农业生产和城市工作和生活有重要作用，但准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题，广受世界各国关注。
我国某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量预报方法，即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点，9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。
同时设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量，由于各种条件的限制，站点的设置是不均匀的。
气象部门希望建立一种科学评价预报方法好坏的数学模型与方法。
2010年大学生数学建模竞赛
2010年大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A所属学校（请填写完整的全名）：西安工业大学参赛队员(打印并签名) ：1. 王涛签字：2. 刘荣立签字：3. 何刚签字：指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2010年 5月3 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：送货路线设计问题摘要现今社会经济越来越发达，网络越来越普及，网购成为了人们一种消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，因此物流路线的决策成为了物流公司节省开支获得更大利益的重要途径。
在物流运输中，每个送货员必须在规定时间内将货物送达多个地点，而且往往各地点的货物具有多样性，通过对运输决策，对基本实际情况的研究,建立运力有限情况下多个需求点多种物资运输的研究模型，给出求解模型的算法，,通过一个算例进行了验证，与目前文献资料中类似研究模型相比较,在决策中考虑运输路线的可行性，对运输决策的影响是本文模型的一大突出特点。
问题重述现有一快递公司，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少。
送货员只能沿规定连通线路行走，而不能走其它任何路线。
送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。
送货员的平均速度为24公里/小时。
每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。
模型的假设分析符号说明模型的假设1：假设送货员在送货途中不受红绿灯，其他外部因素的影响。
全国数学建模大赛题目
附件2：实际储油罐的检测数据
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题
同上的解法求得方案一最佳。
问题一的解答：
2、当共用管线和非共用管线费用不相同时要考
虑方案二中的各部分管线的总费用并与方案一
中的费用对比，得出最优方案。经过查阅资料
得知某非共用管道5万元/千米；共用管道8万 元/千米；方案一的费用为
C1 5 l 2 (a b 方案二的费用为：) 2
；
2010高教社杯全国大学生数学建模 竞赛 C题 输油管线设计的数学模型
阐述的主要问题
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同 时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。 由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院 希望建立管线建设费用最省的模型。
针对这个问题，通过三个小问题 进行解答：
1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形， 提出设计方案。若有共用管线，考虑其共用管线费用与非共用管 线费用相同或不同的情形。 B 2. 两炼油厂的具体位置其中A厂位于郊区（Ⅰ）， 厂位于城区 Ⅱ （Ⅱ），两个区域有明显的分界线。若所有管线的铺设费用均相 同， 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用， 根据三家工程咨询公司对此项附加费用的估计，为设计院给出管 线布置方案及相应的费用。 3. 为进一步节省费用，炼油厂根据生产能力，选用相适应的油管。 这时的管线铺设费用就各不相同，拆迁等附加费用同上。给出管 线最佳布置方案及相应的费用。
，
2 3 l ，解得 C1 C2 3
问题一的解答：
2）同理：当 a b
当 a b 时，解得C1 C 2。当 a
3 10 3 3a 3b l 时， 2 C l 3 3 3
3l
8
b时，解得
C1 C 2。即方案一最佳。
问题二的解答：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
1．考虑最简单圆形轨道和一般的椭圆轨道
假设卫星测控站分布在与卫星轨道共面的地球表面，且卫星的运行轨道为圆。
利用
出每个测控站的覆盖范围。
然后利用数值方法对测控站点进行优化，给出一些具体结果
2．空间轨道
在地球自转的影响下卫星运行过程中星下线的轨迹是地球表面的一些曲线，计算测控站的数量比较困难。
一种粗略的估算方法是设置许多测控站，使得其能覆盖卫星飞过的所有空域。
计算这个涵盖赤道的球面的立体角，再用一个观测站所能覆盖的立体角去除得到要覆盖这个区域至少需要的观测站（给出所需要的站点个数与高度和夹角的关系模型）。
给出一、两个例子。
如神七轨道平面与地球赤道平面的夹角是42.2度，距地面343公里，覆盖这个区域至少需要55个观测站，考虑到圆内接正六边形的面积只是圆面积的0.827，所以至少需要67个观测站。
3．实际情况
（1）收集卫星或飞船的发射或运行数据：轨道倾角、高度等；
（2）收集该卫星发射和运行过程中观测站的数据：数量、位置等；
希望好的队能给出卫星运行轨道、卫星运行过程中星下线的轨迹方程、每个站的测控范围、卫星或飞船在运行到某一圈时可测控的范围，最好能给出一段最长的观测时间。
注：本要点中给出的数据仅供参考，如2中55或67个站点是针对神州7号的飞行轨道在一些简化假设下给出的下限。
不同卫星或飞船的飞行参数不同，学生也在不同的假设下建立模型和估计所需要的站数，建议根据学生做的具体情况判断和评阅，不需要学生的答卷和这些参考数据完全一致。
1。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛官方题目（含ABCD）
\A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据油油浮子出油管油位探测装置注油口 检查口地平线 2m6m1m1m3 m油位高度图1 储油罐正面示意图油位探针油位探针α地平线 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口 检查口水平线(b) 小椭圆油罐截面示意图α油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm 0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图图3 储油罐截面示意图（b ）横向偏转倾斜后正截面图地平线β地平线垂直线油位探针（a ）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置地平线油3m油B题2010年上海世博会影响力的定量评估2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。
全国大学生数学建模竞赛题评阅要点
全国大学生数学建模竞赛题评阅要点1、目标函数的构成成分主要包括销售额表达式（注意如果作者利用了附录数据说明中的假设，则赢利与销售额等价），可以以课程为单位，也可以以学科为单位；包括由市场信息产生的对于不同课程的调控因子（竞争力系数）；由于数据说明中的提示，也应该包括每个课程的申报需求量的“计划准确性因子”（学生用词会不同）。
当然，前两点更重要些。
2、约束条件构成对于出版社来说，所谓产能主要是人力资源，即策划、编辑和版面设计人员的分布形成主要约束；此外，书号总量（500）也应该作为约束条件；同时，在数据说明中指出的“满足申请书号量的一半”也应该以约束方式表达。
3、规划变量可以以每个课程的书号数量，也可以以学科的书号数作为变量，但是得到的结果会有所不同。
实现以上三点，对于问题的理解是比较全面的，应该得到基本分值。
进一步提高的分值来源于实现上述三点的具体模型的考虑和建模水平。
1）如果注意到数据说明中提示的，同一课程的教材在价格和销售量的同一性，销售额表达式是比较容易表示的：构造每个课程的、用书号数表达的销售额，然后将所有书号的销售额的表达式累加，形成总社的销售额的基本表达式，这是目标函数的主体部分。
2）市场信息产生的对于不同课程的调控因子（也称竞争力系数）的表示，是一个信息不足情况下的决策模型。
主要是满意度和市场占有率的恰当表示和计算（由附件2），以及两个指标的联合形成竞争力系数问题，这里既可以使用拟合模型，也可以使用各种多因素分析模型等等，方法不同。
对这个问题解决的优劣，可以导致明显的评分差别。
其中应该特别注意需求信息是否重复使用的问题，也就是说，如果在构造销售额表达式时已经使用了课程的销售数据，则不同课程的支持强度的不同，主要由市场竞争力参数表达。
3）在优化问题中，应该恰当地表示“计划准确性因子”，数据给出的计划销量和实际销量之比应该是比较合适的表示。
4）加上前述约束条件构成适当的规划问题。
比较好的实现以上四点，应该得到80%的分值。
2010年全国大学生数学建模C题优秀论文
10级信息《数学建模与数学实验(实践)》任务书一、设计目的通过《数学建模与数学实验(实践)》实践环节，掌握本门课程的众多数学建模方法和原理，并通过编写C语言或matlab程序，掌握各种基本算法在计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。
在熟练掌握C语言或matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。
二、设计教学内容1线性规划（掌握线性规划的模型、算法以及Matlab 实现）。
整数线性规划（掌握整数线性规划形式和解法）。
2微分方程建模（掌握根据规律建立微分方程模型及解法；微分方程模型的Matlab实现）。
3最短路问题（掌握最短路问题及算法，了解利用最短路问题解决实际问题）。
行遍性问题（了解行遍性问题，掌握其TSP算法）。
4回归分析（掌握一元线性回归和多元线性回归，掌握回归的Matlab实现）。
5计算机模拟（掌握Monte-carlo方法、了解随机数的产生；能够用Monte-carlo解决实际问题）。
6插值与拟合（了解数据拟合基本原理，掌握用利用Matlab工具箱解决曲线拟合问题）。
三、设计时间2012—2013学年第1学期：第16周共计一周目录1、线材切割问题 (3)摘要一、问题重述 (4)二、问题分析 (4)三、模型假设四、符号说明五、模型建立和求解六、参考文献2、输油管的布置摘要一、问题的重述二、模型假设三、符号说明四、问题分析五、模型的建立和求解5.1关于问题1的模型建立与求解5.2关于问题2的模型建立与求解5.3关于问题3的模型建立与求解六、模型的评价和应用七、参考文献八、附录线材切割问题摘要：在很多工程领域，都有线材切割问题。
这一问题可表述为：设能购买到的不同长度的原线材有m种，长度分别为L1,...,Lm，这些原线材只是长度不同，其它都相同。
某工程中所要切割出的线材长度分别为li,i=1,2,...,n(这里 li < 所有Li)，对应数量分别为Ni,i=1,2,...,n。
全国大学生数学建模竞赛赛题综合评析
社会热点
叶其孝、周义仓
开放性强、社会关注性强，突出数据来源的可靠性、结论解释的合理性
数据收集与处理、问题的分析与假设，初等数学方法、一般统计方法、多目标规划、回归分析、综合评价方法、灰色预测
2009年
A题：制动器试验台的控制方法分析
工业问题
方沛辰、刘笑羽
问题具体、专业性强，要花时间读懂、理解清楚问题
出版社的资源配置
孟大志
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
边馥萍
易拉罐形状和尺寸的最优设计（C题）
叶其孝
煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（D题）
韩中庚
2007年
中国人口增长预测
唐云
乘公交，看奥运
方沛辰、吴孟达
手机“套餐”优惠几何（C题）
韩中庚
体能测试时间安排（D题）
刘雨林
2008年
数码相机定位
谭永基
高等教育学费标准探讨
叶其孝、周义仓
地面搜索（C题）
肖华勇
NBA赛程的分析与评价（D题）
姜启源
2009年
制动器试验台的控制方法分析
方沛辰、刘笑羽
眼科病床的合理安排
吴孟达、毛紫阳
卫星和飞船的跟踪测控（C题）
周义仓
会议筹备（D题）
王宏健
2010年
储油罐的变位识别与罐容表标定
韩中庚
2010年上海世博会影响力的定量评估
杨力平
输油管的布置（C题）
1
6
8
付鹂
重庆大学
1
6
9
姜启源
清华大学
4
3
10
陈叔平
浙江大学、贵州大学
2
5
11
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文
H R
S x
五、
模型的建立与求解
5.1. 问题一：研究罐体变位对罐容表的影响 1. 问题一模型的建立与求解 罐体变位对罐容表的影响可通过对比变位前后同一高度下容量的差异来研 究。因此须先得到罐体变位前后后罐内储油量与油位高度的关系式，该关系式可 以通过建立坐标进行积分得到。 1. 建立坐标系 在小椭圆油罐示意图中建立以油罐左下角为原点，罐底线为 x 轴，油罐截面 为 z-y 平面的空间坐标系，如下图所示：
二、 问题分析
罐容表是罐内油位高度与储油量的对应关系表， 它可以通过油量与油位高度 的数学表达式进行计算制定。 而表达式的具体形式与油罐的形状及油罐的位置有 关。对一般位置的油罐，油量的计算式中应包含油位高度及反映油罐位置信息的 参数。因此，为识别油罐是否变位，可以先建立油量与油位高度及位置参数的一 般数学表达式，然后利用实际检测的油量及油位高度的数据估计出位置参数，若 参数不为零，则罐体发生了变位，然后利用估计出的变位参数代入表达式中计算 标定罐容表。 油量与油位高度的关系式可以通过积分算得，但实际中油位计探针、出油管 和油浮子等浸没油中占据一定空间体积，会导致实测的油位高度比理论值大，反 之即是实测油位高度对应的油量比理论值小， 因此建立油量与油位高度的关系式 时须给理论的数学表达式加上一项修正项。 该修正项可以通过无变位时油量理论 值与附件中的实测值间的差值通过拟合得到。 对于问题一，为掌握变位对罐容表的影响，可以先得到变位前和变位后油量 与实测油位高度的关系式， 即都经过修正后的最终表达式， 然后绘制这两条曲线， 直观得到变位对罐容表的影响，并计算其相对误差，具体体现变位对罐容表的影 响程度。 对于问题二，油罐的形状较复杂，因此通过积分可能得不到油量与油位高度 及变位参数的具体解析式，对于该问题或许可以运用数值分析的方法，离散两个 变位参数，搜索出不同油位高度对应的计算值与实测值误差最小时的参数，这时 的参数即可作为罐体的变位参数。由于附件 2 中没给油罐内油量的初值，对此我
2010年数学建模C、D题解析
4 − k2 l a+b k 1 P =( (b − a) + , − l ) ，此时 f min = [k (a + b) + l 4 − k 2 ] ； 2k 2 2 2 2 4 − k2
*
ab 4 − k2 （3）当 l ≥ (b + a ) 时， P* = ( , 0) ，此时 f min = (a + b) 2 + l 2 . a+b k 对共用管道与非共用管道相同的情况，只需令 k = 1 即可. 此问的优化模型实际上有两个约束条件 x ≥ 0, y ≥ 0 . 上面得到（1）（2）（3） 、 、 ，
关于学生论文中的几种情形
1．讨论不全面，很多队没有给出什么条件下不用公 用管道；有些虽有讨论，但不清晰，一定要用已知参数的 关系来讨论. 2．有些同学用镜面反射，Ferma定理，这些只适用于 各种管道费用相同的情形，即只适用第1问中的特殊情形 ，后面仍然要建立优化模型，对整个论文并没有增添什么 色彩. 之所以采用这两种方法，主要是参考了《两城镇取 水管线的最短铺设》和《泵站选址与水管铺设》两篇论文 . 不少学生根本就没有弄清Ferma定理，叙述Ferma定理就 不正确. 另外，用了文章就应引用为参考文献. 3．不少论文叙述混乱，符号混淆，图形不合理.
2012-4-28 费浦生 feipusheng@
关于C题《输油管的布置》的第3问
3．设输送 A 厂的管线为 k1 = 5.6 万元／km，输送 B 厂的管线为 k2 = 6.0 万 元／km，共用管线费用为 k3 = 7.2 万元／km，拆迁等附加费用同上. 请给出管 线最佳布置方案及相关费用. 总费用表达式为
2010全国数学建模研究生C题
2010年全国研究生数学建模竞赛C题神经元的形态分类和识别大脑是生物体内结构和功能最复杂的组织，其中包含上千亿个神经细胞（神经元）。
人类脑计划（Human Brain Project, HBP）的目的是要对全世界的神经信息学数据库建立共同的标准，多学科整合分析大量数据，加速人类对脑的认识。
作为大脑构造的基本单位，神经元的结构和功能包含很多因素,其中神经元的几何形态特征和电学物理特性是两个重要方面。
其中电学特性包含神经元不同的电位发放模式；几何形态特征主要包括神经元的空间构象，具体包含接受信息的树突，处理信息的胞体和传出信息的轴突三部分结构。
由于树突，轴突的的生长变化，神经元的几何形态千变万化。
电学特性和空间形态等多个因素一起，综合表达神经元的信息传递功能。
(1a) (1b) (1c)图1，(1a) 鼠中海马的CA1锥体神经元.(1b) 关键位置: D, 树突; S, 胞体; AH, 轴突的开始阶段轴丘; A,轴突; T,轴突末端. 树突的类型: e, 单个树突的等价圆柱体; a, 树突顶端; b, 树突基端; o, 树突倾斜. 树突的水平: (p)最近端, (m) 中间端, 和(d) 最远端-相对细胞胞体.(1c)神经元局部形态的简单几何特征：D树干直径，T顶端直径，L树干长度，△A树干锥度，R分支比例(前后分支的长度关系)，ν分支幂律(前后分支的直径关系)，α分支角度.对神经元特性的认识，最基本问题是神经元的分类。
目前，关于神经元的简单分类法主要有：（1）根据突起的多少可将神经元分为多极神经元；双极神经元和单极神经元。
（2）根据神经元的功能又可分为主神经元，感觉神经元，运动神经元和中间神经元等。
主神经元的主要功能是输出神经回路的信息。
例如大脑皮层的锥体神经元，小脑皮层中的普肯野神经元等。
感觉神经元，它们接受刺激并将之转变为神经冲动。
中间神经元，是介于感觉神经元与运动神经元之间起联络作用的。
运动神经元，它们将中枢发出的冲动传导到肌肉等活动器官。
2010年高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖论文
将决策问题分为 3 个层次：目标层、准则层、方案层 ；应用（1）中考虑的因 素作为准则层，各世博举办城市作为方案层。通过 2 中得到的权数确定各个方案对 各准则的权重，再运用成对比较法和 1~9 尺度确定各准则对目标的权重，再将上述 两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。 1.4 关于准则的变量考虑
合适的评估体系是本课题的关键。我们充分利用互联网收集到的数据进行分 析及统计，并考虑到方案的可操作性。通过组合权重数据，得到了三个世博城市 关于影响力的权重。由于此模型不受指数的影响，有很好的灵活性，使得我们可 以根据实际情况灵活选取指数，减少模型的工作量，增加模型精度。 关键字：定量估计、层次分析法、灰色聚类法
应用灰色聚类的方法判断聚类的对象所属的级别，通过分析对象的级别，对其 客观定量的因数进行相应的加权，然后求出各个影响因素的权数。给出聚类所需的 白化数，确定灰类的相应白化函数；再求出聚类权、聚类系数；进行聚类计算、得 到聚类结果，进而根据聚类结果对其客观定量的因数进行相应的加权，之后，求出 权数。 1.3 应用层次分析法
2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题C题
将 E 点代入模式二可以得到 f (6,3.7) = 178.56+5T
根据三家工程咨询公司对铺设在城区的管线还需要增加拆迁和工程的补偿 等附加费用的估计的结果，在三家工程咨询公司的资质级别不相同的情况下，对 他们所作出的估价进行评估有着重要的作用，根据参考文献[2],对这类问题,我 们不能只对公司一的结果做出较大的肯定，要对其余两家公司的结果也需要认 可，所以我们可以根据三家公司的实力来估算他们所的出估计价格比重 .因此可 以这样安排,公司一的估价所占的比重为百分之四十，其余的两家公司估价所占 的比重均占百分之三十.
7
二是比模型一更为节省资金的一种方案. 因为模型二是较优化的一种方案，所以只针对于模型二进行求解. 对模型求偏导
f 'XO (xo, yo ) = (
xo
−
( yo
−
a)2
+
x
2 o
c − xo
)•K,
(b − yo ) 2 + (c − xo ) 2
f 'yO (xo, yo ) = (
yo
−
( yo
由点 E 与点 B 的连线所形成的直线函数为：y= b − yo x + b − b − yo l ，可求点
l − xo
l − xo
F
的坐标为
F
⎛ ⎜⎜ ⎝
c,
(b
− yo l−
)(c
xo
−
l
)
+
b
⎞ ⎟⎟ ⎠
.
EF 之间的距离为
[ (b − yo )(c − l) l − xo
+b−
yo ]2
+ (c −
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组成：（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于“正问题”。
（2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于“反问题”。
具体需要把握以下几个方面：第一部分：小椭圆型实验罐的有关问题（1）要明确给出小椭圆型油罐正常体位（无变位）的不同油位高度与储油量的计算模型和公式，正确的结果(具体表达形式不唯一)是：，其中分别为罐体截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度，为罐内的油位高度。
通过代入几何参数计算得到正常（即标准）的罐容表对应值。
表1：正常情况下小椭圆罐的罐容表部分结果油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L10163.59401199.31702489.151003659.8820450.27501621.00802910.841103946.5530803.54602055.07903306.611204110.15（2）讨论罐体变位的影响，要求给出纵向倾斜变位后修正模型，用不同方法可能有不同的表达形式，但需要分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况。
将变位参数代入模型，计算出修正后的罐容表标定值，并与正常的标定值进行比较，分析罐体变位的影响。
实际上，对于纵向倾斜变位的影响明显，最大误差在257L以上，平均误差达到190L以上，平均相对误差达30%以上。
表2：小椭圆罐的修正罐容表的部分结果（）油位高度/cm 油量/L油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74第二部分：实际大储油罐的有关问题（1）根据储油罐纵向的变位方向，对于不同的油位高度，分别考虑油罐的两端有油和一端有油的情况建模分析，可以得到罐内实际储油量与纵向倾斜变位参数、横向偏转变位参数和油位高度的关系模型，即。
2010高教社杯大学生数学建模竞赛C题
输油管的布置优化问题摘要：本文研究的是管线建设费用最省问题。
针对问题一：我们首先对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的不同情形给出了四个线路的铺设方案。
然后，对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的不同情况，以及共用管线费用与非共用管线费用相同和不同进行了讨论，给出了方案的选择以及最优化方案时铺设管线的费用。
如表1，表2所示表1 费用相同时确定了城市建设管线附加费用的权重及费用的数值，我们从一般情况出发，考虑了是否有共用管线，建立了非线性规划的数学模型，利用Lingo程序编程，从而求出最优解为：282.6973万元，布置方案如图6所示。
针对问题三：在问题二的基础上，我们建立了一个非线性规划的数学模型，利用Lingo程序编程，从而求出最优解为：251.9685万元，布置方案如图9所示。
关键词：非线性规划层次分析法（AHP）权重Lingo程序1问题的重述1.1问题的背景某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增加一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1.2 问题的提出1.2.1 相关信息问题二中两个炼油厂的具体位置由附录1所示，图中各字母表示的是距离,三家工程咨询公司对此项附加费用的估算结果如下图,管线铺设费用均为每千米7.2万元。
问题三中的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油每千米5.6万元，输送B厂成品油每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用和问题二相同。
1.2.2 需要解决的问题①针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
②针对给出的炼油厂的具体位置为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
③针对给出的管线铺设费用为设计院给出管线最佳布置方案及相应的费用。
2 符号说明A 表示炼油厂AB 表示炼油厂BC 表示新建车站M 表示非共用管道的单位建设费用（单位：万元）N 表示共用管道的单位建设费用（单位：万元）Z 表示铺设管线的总费用（单位：万元）a 表示炼油厂A到铁路的距离（单位：千米）b 表示炼油厂B到铁路的距离（单位：千米）c 表示两个炼油厂的垂直距离（单位：千米）f(x) 表示所铺设的总管道长（单位：千米）3 模型假设1、炼油厂B离铁路线的距离大于等于炼油厂A的距离2、车站的位置是由最优铺设管线方案确定3、炼油厂A ，炼油厂B ，车站都看作一个点4、炼油厂A ，炼油厂B ，车站等都在一个平面内5、管道的市场价格稳定4 模型的建立与求解4.1 问题一建模与求解： 4.1.1 问题分析若管线建设费用最省，那么管线的长度应该是最短的，因此我们要设计的管线首先考虑线路最短，然后根据费用的不同考虑每段线路的长度。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。
从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。
请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
本题是一道比较开放的题目，同学对问题的理解和所关注的侧面（角度）的不同，会导致答卷的多样性。
以下几点在评阅中值得特别关注：
1. 影响力的定义，即因素的选定：考虑到3天时间不太可能进行一个全面的影响力分析，如何恰当地选择一个影响力的侧面极其相关因素是解题的基本前提。
容易考虑到的影响力包括经济、旅游、社会、文化等多个方面，也可以是一个较小的侧面（比如表演、自愿者、摄影）。
要求有明确具体的定义，要有合理的论证，要有数据支撑。
2. 因素的组织结构模型和有关信息的搜索：因素的相关性、信息的完备性等都是值得注意的问题。
鼓励直接从网络采集因素数据，比如词汇搜索量、点击率等等。
3. 定量建模，数据的收集和分析：要注意模型的合理性，注意数据之间的可比性与归一化。
鼓励纵向（时间）和横向（其它重大事件）的比较。
4. 科学、直观地表达结论：结论一般不应该是一个简单常识。
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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点
[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
(1) 如图1，设P的坐标为(x, y) (x≥ 0，y≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为
2
2
2
2)
(
)
(
)
(
)
,
(
min y
b
x
c
y
a
x
ky
y
x
f-
+
-
+
-
+
+
=
图1
只需考虑2
1<
≤k的情形。
对上述二元费用函数求最小值可得（不妨假设b
a≤）
(a) 当)
(
42
a
b
k
k
c-
-
≤时，)
,0(
*a
P=，ka
c
a
b
f+
+
-
=2
2
m in
)
(；
(b) 当)
(
4
)
(
42
2
a
b
k
k
c
a
b
k
k
+
-
<
<
-
-
时，
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
+
+
-
-
=)
4
(
2
1
,
2
)
(
2
4
2
2
*c
k
k
b
a
c
b
a
k
k
P，
()c k
k
b
a
f2
m in
4
)
(
2
1
-
+
+
=；
(c) 当)
(
42
a
b
k
k
c+
-
≥时，)0,
(
*
b
a
ac
P
+
=，2
2
m in
)
(c
b
a
f+
+
=。
对共用管道费用与非共用管道费用相同的情形只需在上式中令k = 1。
本小题的评阅应注意模型的正确性，结果推导的合理性及结果的完整性。
(2) 对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更：
(a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。
根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。
注意：公司一的权值应大于公司二和公司三的权值，公司二和公司三的权值应相等。
(b) 假设管线布置在城乡结合处的点为Q，Q到铁路线的距离为z（参见图2）。
图2
一般情况下，连接炼油厂A 和点Q 到铁路线的输油管最优布置应取上述(1)(b)的结果，因此管道总费用最省的数学模型成为
22)()()3(21
)(min c l z b t c z a z g -+-⋅+++=
其中t 表示城乡建设费用的比值。
当 14*2---=t c
l b z 时，)(z g 取得最小值
))(143(21
*)(2
c l t c b a z g --+++=。
若在建立正确的模型后，用优化软件进行数值求解也是可取的。
两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P 点坐标为(5.4462,1.8556)，Q 点坐标为 (15.0000, 7.3715)，最小费用为283.5373万元。
当权重取为1:0:0时，P 点坐标为(5.4593,1.8481)，Q 点坐标为 (15.0000,
7.3564)，最小费用为280.1771万元。
最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于280.1771万元和283.5373万元之间。
(3) 考虑各部分管道费率不等的情况。
分别用4321,,,k k k k 记AP 、PQ 、PH 、BQ 段管道的费率，并设P 和Q 点的坐标分别为(x , y )、(c ,z )
(如图3所示)，则总费用的表达式为
2243222221)()()()()(z)y,(x,z b c l k y k y z x c k y a x k F -+-++-+-+-+=
图3
可以写出F的最优解的解析表达式，也可以用数值求解的方法得到比较精确的结果。
两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P点坐标为(6.7310,0.1409)，Q点坐标为(15.0000,7.2839)，最小费用为252.8104万元。
当权重取为1:0:0时，P点坐标为(6.7424,0.1327)，Q点坐标为(15.0000, 7.2659)，最小费用为249.4422万元。
最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于249.4422万元和252.8104万元之间。
注：评阅时，(2)、(3)两小题得到最优解的解析表达式比仅有数值结果为好。