相似图形复习要点

相似的图形复习知识点

一、相似图形的概念：在数学上，把具有相同形状的图形称为相似图形。

★判断两个图形是否相似关键：形状是否相同。（相似只与形状有关，与其它因素无关） ▲判断两个图形的形状是否相同的方法：放大、缩小、移动位置、坐标变化。

二、在格点中画已知图形的相似的图形：利用格点图将多边形放大或缩小，必须是每边放大或缩小的倍数都相同，可以先确定顶点的位置，再分别连接各个点。

三、比例的概念与性质

①比例的有关概念：

a 、

b 、

c 、

d 、分别叫做第一比例项、第二比例项、第三比例项、第四比例项。 特别的，若c

b b a =，则b 叫做a ，

c 的比例中项． ②成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、

d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如b a ＝d

c （或a:b=c:

d ），那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。

★ 注意：在说四条线段成比例时，一定要将线段的顺序列出。如果说四条线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，则这四条线段的顺序就确定了，也就是说，只能写成b a ＝d

c 这一种形式。 ★ 线段的比是一个正数，与度量单位无关，但要注意度量单位的统一。

★ 判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排好，判断前两条线段之比与后两条线

段之比是否相等即可。

③比例线段的有关性质

⑴比例的基本性质：如果b a ＝d

c ，那么ad=bc 。 如果ad=bc （a 、b 、c 、

d 都不等于0），那么

b a ＝d

c 。 用语言表述为：比例的两外项的乘积等于两内项的乘积。

⑵合比性质：若

b a ＝d

c ，则b b a ±＝

d d c ± ⑶等比性质：若b a ＝d c ＝…＝n m （b+d+…+n ≠0），那么n d b m c a ++++++ ＝b a ④黄金分割：如图所示，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC

BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 和AB 的比叫做黄金比（黄金系数）．黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段有两个黄金分割点．(小：大 = 大：全

=≈-2

150.618) 如果线段AB 被点C 黄金分割，那么 （1）AC 2

=A B ﹒BC ； （2）黄金比.618.02

15≈-==AC BC AB AC

四、两个相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。（判断两个多边形相似的唯一方法，两条件缺一不可）

五、相似三角形：（相似三角形具有传递性）

①概念：如果两个三角形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

表示方法：△ABC ∽△A ′B ′C ′（“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”）

书写方法：书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找出相似三角形中的对应角和对应边。

相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。

全等三角形：全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1。（全等三角形一定相似，相似

三角形不一定全等。）

②相似三角形的判定：（比照全等三角形）

⑴定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似

⑵判定一：两角对应相等的两个三角形相似。

⑶判定二：两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似

⑷判定三：三边对应成比例的两个三角形相似。

★ 特殊三角形相似的判定：

△等腰三角形：a 、顶角（或底角）相等的两等腰三角形相似。（根据判定方法一）

b 、腰和底对应成比例的两等腰三角形相似。（根据判定方法三）

△直角三角形：a 、一锐角相等的两直角三角形相似。（根据判定方法一）

b 、两条直角边对应成比例的两直角三角形相似。（根据判定方法二）

c 、斜边与一直角边对应成比例的两个直角三角形相似。（根据判定方法二或三）

△不需要任何条件的两类三角形相似：等边三角形、等腰直角三角形。

③相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比．

(3)相似三角形的周长的比等于相似比．

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

六、三角形的中位线：（有3条）

①定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

②性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

③应用：可用来证明两直线平行或线段的倍半关系。

★中位线和中线的区别：中位线是两个中点的连线，而中线是顶点和对边中点的连线。

七、三角形的重心：

①定义：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。

②性质：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13

。 ★重点：三角形三条中线的交点只有一个，这个交点就是三角形的重心，三角形的重心把三条中

线都分为2:1两部分。

八、梯形的中位线：（有1条）

①定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

②性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。

③应用：可证明两条线段平行；可证明线段的倍分关系；可以求出梯形的面积公式：梯形的面积=中位线 高。

★解题技巧或方法：利用梯形的中位线的性质解决问题时，通常通过做辅助线把梯形的中位线转化为三角形的中位线来解决。