晶体的微观对称性
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F格子：(a + b)/2, (a + c)/2, (b + c)/2
在满足布拉威法则的前提下，附加平移类型是格子类型的充要条件。
滑移面(glide plane)：晶体结构沿着某一平面进行反映，再平 行于该平面平移一定距离，结构中的每个质点均与相同的质 点重复。相应的对称操作为反映和平移的复合操作。
第二节 晶体的微观对称元素
晶体的宏观对称性是晶体结构微观对称性的反映。晶 体的宏观对称元素在微观对称中也同样存在。晶体结构是 由其结构单位（晶胞）在三维空间上的无限排列，晶体的 微观对称性还具有宏观对称不能出现的对称元素—点阵 （平移轴），平移和旋转或反映的复合对称操作，又产生 新的对称元素，螺旋轴和滑移面。它们是在微观的无限空 间中所特有的，称为微观对称元素。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
对称元素必须交于一点
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
六方平面点阵平移矢量为：t = 2a/3 + b/3 + c/3, 得到的空间点阵 只有三次轴，为三方空间点阵。
为什么六方平面点阵平移可以得到三方空间点阵？
三方点阵的简单三方格子可以取成一个六方定向的双体 心复格子，该格子的c轴平行于三次轴，a，b轴在垂直于三次 轴的点阵面上，它是一个三方三重复格子。同样，六方点阵 的六方格子可以取成一个三方定向的双体心复格子，它是一 个六方三重复格子。
三方晶系可以具有六方点阵
Ni2H（点群3m） H (0, 0, 0) Ni(1/3, 2/3, 0.233) Ni(2/3, 1/3, 0.768)
三方晶系
六方点阵 三方点阵
P格子 R格子
3
2017/3/9
三方R格子
三方hR格子
1983年以前
需要强调的是，虽然六方定向的三方 hR格子使用更方便，但实际工作和国 际晶体学联合会都没有放弃三方定向 的三方R格子的使用。
第三章 晶体的微观对称性
第一节 十四种空间格子 第二节 晶体的微观对称元素 第三节 微观对称元素组合原理 第四节 空间群 第五节 等效点系
2017/3/9
第一节 十四种空间格子
微观晶体对称性与宏观晶体的根本区别是增加了平移对称性， 描述微观对称性首先是要表征平移对称性，这可以通过选取合 适的空间格子来反映。 • 点阵周期重复单位可能的选取方式
十四种空间格子反映了晶体结构中平移对称的组合规律。 任何一种点阵格子，都具有基本平移矢量a, b, c以及a + b, a + c, b + c, a + b + c等。 对于复格子，则增加附加平移矢量: C格子：(a + b)/2, B格子：(a + c)/2, A格子：(b + c)/2
I格子：(a + b + c)/2
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
b
a
m
G(a/m2 + c/2)
G(a/2m)
6）三方格子：R 点阵点群：D3d 简单格子参数： a=b=c, == 90o
7）六方格子：P 点阵点群：D6h 晶格参数： a=bc, ==90o , =120o
三方I = 三方R(P)
三方F = 三方R(P)
单独在某个面加心会破坏三次轴对称性。
绿色点在c/2位置， 蓝色点在0或c位置。
在平行六面体体心或底心位置加阵点会破坏六次 轴对称性。
在平行六面体面心位置加阵点会破坏六次轴对称性。
2
2017/3/9
在平行六面体底面加双心，可以划分出体积更小的 简单六方格子。
六方格子与三方格子的关系
淡蓝色点在2c/3 位置。 黄色点在c/3位置。
在平行六面体内加双心，可以划分出简单三方格子。
六方平面点阵沿垂直于ab 面的c方向平移得到空间点 阵。
2017/3/9
4）四方格子：P，I 点阵点群：D4h 晶格参数： a=bc, ===90o 四方C = 四方P，四方F = 四方I A或B面加心会破坏四次轴对称性。 5）立方格子：P，I，F 点阵点群：Oh 晶格参数： a=b=c, ===90o 单独在某一面上加心会破坏四个三次轴对称性。
2）单斜格子：P，C 点阵点群：C2h 晶格参数： abc, ==90o, 90o
三斜I = 三斜P
三斜C = 三斜P
三斜F = 三斜P
显然，三斜格子的选取方式并不是唯一的。
单斜B = 单斜P
单斜I = 单斜C(A) 单斜F =单斜C(A)
单斜格子的选取方式也不是唯一的。
1
3）正交格子：P，C，I，F 点阵点群：D2h 晶格参数： abc, ===90o
微观对称性和宏观对称性的主要区别：
1、宏观对称性对称元素必须相交一点，微观对称性中对 称元素不须交于一点，可以在三维空间无限分布。
2、宏观对称性中对称元素只考虑方向，微观对称性中需 要考虑对称元素的相互位置关系。
晶体宏观对称性和微观对称性的比较
Baidu Nhomakorabea
宏观对称性
微观对称性
有限大小的晶体外形中的对 称性 分辨能力受到限制时所观察 到的 对称元素只考虑方向
在满足布拉威法则的前提下，附加平移类型是格子类型的充要条件。
滑移面(glide plane)：晶体结构沿着某一平面进行反映，再平 行于该平面平移一定距离，结构中的每个质点均与相同的质 点重复。相应的对称操作为反映和平移的复合操作。
第二节 晶体的微观对称元素
晶体的宏观对称性是晶体结构微观对称性的反映。晶 体的宏观对称元素在微观对称中也同样存在。晶体结构是 由其结构单位（晶胞）在三维空间上的无限排列，晶体的 微观对称性还具有宏观对称不能出现的对称元素—点阵 （平移轴），平移和旋转或反映的复合对称操作，又产生 新的对称元素，螺旋轴和滑移面。它们是在微观的无限空 间中所特有的，称为微观对称元素。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
对称元素必须交于一点
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
六方平面点阵平移矢量为：t = 2a/3 + b/3 + c/3, 得到的空间点阵 只有三次轴，为三方空间点阵。
为什么六方平面点阵平移可以得到三方空间点阵？
三方点阵的简单三方格子可以取成一个六方定向的双体 心复格子，该格子的c轴平行于三次轴，a，b轴在垂直于三次 轴的点阵面上，它是一个三方三重复格子。同样，六方点阵 的六方格子可以取成一个三方定向的双体心复格子，它是一 个六方三重复格子。
三方晶系可以具有六方点阵
Ni2H（点群3m） H (0, 0, 0) Ni(1/3, 2/3, 0.233) Ni(2/3, 1/3, 0.768)
三方晶系
六方点阵 三方点阵
P格子 R格子
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三方R格子
三方hR格子
1983年以前
需要强调的是，虽然六方定向的三方 hR格子使用更方便，但实际工作和国 际晶体学联合会都没有放弃三方定向 的三方R格子的使用。
第三章 晶体的微观对称性
第一节 十四种空间格子 第二节 晶体的微观对称元素 第三节 微观对称元素组合原理 第四节 空间群 第五节 等效点系
2017/3/9
第一节 十四种空间格子
微观晶体对称性与宏观晶体的根本区别是增加了平移对称性， 描述微观对称性首先是要表征平移对称性，这可以通过选取合 适的空间格子来反映。 • 点阵周期重复单位可能的选取方式
十四种空间格子反映了晶体结构中平移对称的组合规律。 任何一种点阵格子，都具有基本平移矢量a, b, c以及a + b, a + c, b + c, a + b + c等。 对于复格子，则增加附加平移矢量: C格子：(a + b)/2, B格子：(a + c)/2, A格子：(b + c)/2
I格子：(a + b + c)/2
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
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G(a/m2 + c/2)
G(a/2m)
6）三方格子：R 点阵点群：D3d 简单格子参数： a=b=c, == 90o
7）六方格子：P 点阵点群：D6h 晶格参数： a=bc, ==90o , =120o
三方I = 三方R(P)
三方F = 三方R(P)
单独在某个面加心会破坏三次轴对称性。
绿色点在c/2位置， 蓝色点在0或c位置。
在平行六面体体心或底心位置加阵点会破坏六次 轴对称性。
在平行六面体面心位置加阵点会破坏六次轴对称性。
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在平行六面体底面加双心，可以划分出体积更小的 简单六方格子。
六方格子与三方格子的关系
淡蓝色点在2c/3 位置。 黄色点在c/3位置。
在平行六面体内加双心，可以划分出简单三方格子。
六方平面点阵沿垂直于ab 面的c方向平移得到空间点 阵。
2017/3/9
4）四方格子：P，I 点阵点群：D4h 晶格参数： a=bc, ===90o 四方C = 四方P，四方F = 四方I A或B面加心会破坏四次轴对称性。 5）立方格子：P，I，F 点阵点群：Oh 晶格参数： a=b=c, ===90o 单独在某一面上加心会破坏四个三次轴对称性。
2）单斜格子：P，C 点阵点群：C2h 晶格参数： abc, ==90o, 90o
三斜I = 三斜P
三斜C = 三斜P
三斜F = 三斜P
显然，三斜格子的选取方式并不是唯一的。
单斜B = 单斜P
单斜I = 单斜C(A) 单斜F =单斜C(A)
单斜格子的选取方式也不是唯一的。
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3）正交格子：P，C，I，F 点阵点群：D2h 晶格参数： abc, ===90o
微观对称性和宏观对称性的主要区别：
1、宏观对称性对称元素必须相交一点，微观对称性中对 称元素不须交于一点，可以在三维空间无限分布。
2、宏观对称性中对称元素只考虑方向，微观对称性中需 要考虑对称元素的相互位置关系。
晶体宏观对称性和微观对称性的比较
Baidu Nhomakorabea
宏观对称性
微观对称性
有限大小的晶体外形中的对 称性 分辨能力受到限制时所观察 到的 对称元素只考虑方向