合工大概率论2014-2015第一学期概率论A卷

1．设,A B 为两个事件，已知()0.5,()0.4P A P B ==，()0.7P A B ⋃=,则()P AB = ．2．设离散型随机变量的分布律为{}(1,2,3,)2kaP X k k ===，其中a 为常数，则{3}______.P X ≥= 3．设连续型随机变量X 的密度函数为,0,()0,0,x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，则方程240x x X ++=无实根的概率为 ．4．设,X Y 为两个相互独立随机变量，且~(2),~(1,4)X P Y U ，则(2+4)______D X Y -=． 5．设总体2~(,)X N μσ,其中参数2,μσ均未知，现在对X 进行16次独立观察，得样本均值和样 本方差的观察值分别为23.4,0.25x s ==，则总体均值μ的置信度为0.95的置信区间为 ． （0.050.050.0250.025(15) 1.7531,(16) 1.7459,(15) 2.1315,(16) 2.1199t t t t ====） 1．设A B 与是两个事件，如果()0P AB =，则（ ）．（A ）A 与B 是互斥的 （B ）A 与B 相互独立（C ）AB 未必是不可能事件 （D ）()0P A =或()0P B = 2．设随机变量2~(,)X N μσ，则{2}P X μσ->（ ）(A)与μ无关，与σ有关 (B)与μ有关，与σ无关 (C) 与μ及σ均无关 (D)与μ及σ均有关3．设X Y 与是两个随机变量，12()()f x f y 、与12()()F x F y 、分别是对应的概率密度函数与分布函数，且12()()f x f y 、连续，则以下函数中仍是概率密度函数的是（ ）．（A ） 12()+()f x f x （B ）1221()()()()f x F x f x F x - （C ） 12()()f x f x （D ） 1122()()()()f x F x f x F x +4．设随机变量,X Y 的方差存在,则随机变量U X Y =+与V X Y =-不相关的充分必要条件是（ ）．(A) E()E()X Y = (B) D()D()X Y =(C) 22E()E()X Y = (D) 2222E()[E()]E()[E()]X X Y Y +=+ 5．设12,,,n X X X 是来自总体2(,)XN μσ的样本，为使1211()n i i i Y k X X -+==-∑成为总体方差的无偏估计，则应选k 为（ ）.(A)11n - (B) 1n (C) 12(1)n - (D) 12n三、每次试验事件A 发生的概率是0.5，现进行4次独立重复的试验，如果事件A 一次也不发生，则事件B 也不发生；如果A 发生一次，则事件B 发生的概率为6.0，如果A 发生两次或两次以上，则事件B 一定发生．（１）试求事件B 发生的概率；（２）若已知事件B 发生了，求事件A 发生一次的概率。

四、设连续型随机变量X 的概率密度函数为1+,11,()0k x x f x -<<⎧=⎨⎩（），其他,求：（1）常数k 的值；（2）X 的分布函数；（3）概率1{2}2P X -≤<；（4）221Y X =+的概率密度函数()Y f y 。

五、设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为,0(,)0,y xe x yf x y -⎧<<=⎨⎩其他（1）求,X Y 的边缘密度函数(),()X Y f x f y ；（2）判别X Y 与的相互独立性，并说明理由；（3）求概率{2}P X Y +≤。

六、设离散型随机变量101~111632X -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，记0,0,1,0,X U X <⎧=⎨≥⎩ 1,0,1,0,X V X -≤⎧=⎨>⎩（1）求随机变量U 与V的分布律；（2）求(,)U V 的联合分布律；（3）求,U V 的相关系数，并判别,U V 是否不相关． 七、设随机变量X 的概率密度函数为221,0(,)0,0-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x e x f x x θθθ，1,,n X X 为X 的简单随机样本，试求：（１）参数θ的矩估计ˆMθ；（２）θ的极大似然估计ˆLθ；（３）判别2ˆLθ是否为2θ的无偏估计．（本题12分） 八、设1211(,,,)X X X 是来自正态总体2(0,)N σ的样本，911=9i i X X =∑， 92211()8i i S X X ==-∑，若~(9)T Ct =的分布，试求常数C 的值．一1.()()()0.3P AB P A B P B =⋃-= ；2.11,{3}1{1}{2};4a P X P X P X =≥=-=-== 3.4{4}p P X e -=>=；4. (2+4)()4()5-=+=D X Y D X D Y ;5.0.025((15))(3.40.2664)(3.1336,3.6664)x =±=。

二1.C ；2.A ；3.D ；4.B ；5.C 。

三 解：（１）设012A A A A A A ：一次也没有发生，：发生一次，：至少发生两次，则012A A A ，，是一个完备事件组，由全概率公式有2111167()()(|)040.6(14)11616161680i i i P B P A P B A ===⨯+⨯⨯+--⨯⨯=∑； （２）1113()(|)1220(|).67()6780P A P B A P A B P B ===四解：（１）由112111()1(1)(1)21,;22k f x dx k x dx x k k +∞-∞--=⇒+=+===⎰⎰（２）20,1,1()()(1),11,41,1x x F x f t dt x x x -∞<-⎧⎪⎪==+-≤≤⎨⎪>⎪⎩⎰（３）113{2}()(2);2216P X F F -≤<=--=或112221119{2}()(1)2216P X f x dx x dx ---≤<==+=⎰⎰；（４）2(){}{}{21},Y F y P Y y P Y y P X y =≤=≤=+≤当1y ≤时，()0Y F y =，当13y <<时，1(){),2Y F y P X x dx =<<=+当3y ≥时()1,Y F y =所以13,()()0,Y Y y f y F y <<'==⎩其他．五解：（１）0,0,0,0,()(,),0,,0,X y xxx x f x f x y dy xe dy x xe x +∞+∞---∞≤⎧≤⎧⎪===⎨⎨>>⎩⎪⎩⎰⎰ 200,0,0,0,()(,)1,0,0,2y Y y y y y f x f x y dx y e y xe dx y +∞---∞≤⎧≤⎧⎪⎪===⎨⎨>>⎪⎪⎩⎩⎰⎰；（２）由于当0,0x y >>时2()1()()(,)2x y X Y f x f y xy e f x y -+=≠，所以X Y 与不独立； （３）121202{2}=(,)()xy x x xx y P X Y f x y dxdy dx xe dy x e e dx ----+≤+≤==-⎰⎰⎰⎰⎰112220021()()1x x x x x e e e e dx e e----=-+++=--⎰．六解：（１）0111~,~15116622U V -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （２）1{0,1}{1},{0,1}06P U V P X P U V ==-==-====，11{1,1}{0},{1,1}{1}32P U V P X P U V P X ==-========；（３）15Cov(,)()()(),,1,636UV U V E UV EU EV DU DV ρ=-====， 0UV ρ≠，因此U 与V 不是不相关的．七解：（１）求θ的矩估计，2221()-+∞===⎰xE X xedx θμθθ,令,X μ= =θ 所以θ的矩估计ˆ=θ; （２）θ的极大似然估计， 221122111=--=∑==∏niii x x nni L eeθθθθ，211ln 2ln ==--∑ni i L n x θθ，31ln 220==-+=∑n i i d L n x d θθθ，所以θ的极大似然估计量为： ˆ==L θ； （３）2ˆ()()()==LE E X E X θ，而由（1）知2()=E X θ，因此22ˆ()LE θθ=，即2ˆLθ是2θ的无偏估计．八解：由题设21010~(0,)9X X N σ+，且10X X +与211,S X 10)~(0,1)X X N +， 2222112281~(8),~(1)S X χχσσ，228S σ与21121X σ相互独立，因此222112281~(9)S X χσσ+，由t -分布的构~(9),X X t C ==．。