高三数学不等式的解法2
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高三数学不等式的解法2
青像春天最清丽的花，别在岁月衣襟上，在记忆库中窖藏。
背阳河滩的青草甸像极了一块地毯，那是冬天的村子里唯一可以看到的一方绿色。
我喜欢背阳河滩的那片草甸，就像我喜欢冬天里的那片热炕头一样，唯一区别的地方是，那片草甸属于全村的孩子和大人，且不担心因为在其上奔奔跳跳而塌陷下去，但热炕头就不一样了，虽然温 暖着寒冬的夜，但总觉受于拘束，只能趴着，或躺在其上。
自小起，只要在炕上顽皮捣蛋，总会被父亲及时制止，还会加一句那时听着最吓人的话“小心把你掉进炕道里出不来”。每每听之便马上变得乖巧听话。缘于此，河滩的那片草甸对于如我一般的孩 子来说则显得自由了许多，但即便如此，绵软厚实的青草甸也只是仅限于夏天才能拥有。严寒干燥的北方寒冬里，原本厚实的草甸虽然还能保持着灰绿的颜色，但实际上仅仅是根部的一两厘米长度，假 若坐下着去尝试，顿时会被深藏在草甸下面的干枯草秸扎得不知所措。因此，寒冬里的那片热炕头，便成了夏日里孩子的那片草甸，纵然缺失了抬头可见的蓝天，和和煦的微风，但屁股下的温热，在冬 天里像极了夏日的暖阳。
“一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂”是卡尔画给教育的爱语。真人手机app下载
检查线上教学成果，收回学生学习笔记，让我幸福感爆棚。王玉蕾，班里学委，我所教课程每个章节，均以思维导图呈现，那用红笔圈住的知识点，就像智慧树上结的果，晶亮，饱满，浑圆。杨晓 宇，男生，汉语班的唯一，文弱，安静，很南方，笔记也如他。郝双婕，品相甜美，字迹娟秀，层次分明。认真的学生，还有李玲青、李金燕、宫艳玲……每本笔记后，我种下激励性评语。我看到他们 竞相传阅，眼部云霞灿烂。
高三数学不等式的解法2
例2（2005年江西.17）已知函数 f (x) x2 (a，b ax b
为常数），且方程 f (x) x 12 0有两个实
根为 x1 3, x2 4
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式：
f (x) (k 1)x k
2x
变式2：解关于x的不等式
mx 2 mx 1
x
0(m
R).
例3：（2005年全国卷Ⅰ.19）设等比数列{an}的公比 为q，前n项和Sn>0(n=1，2，3，…）
（1）求q的取值范围
（2）设 bn
an2
3 2
an1
记{bn}的前n项和为Tn，试
比较Sn和Tn的大小
变式3：已知数列 {an}的通项公式 an 3 2n 1, 令 f (x) a1x a2 x2 an xn，求函数 f(x)在x=1处
的导数f ’(1)，并比较2 f ’(1)与23n2-13n的大小。
例4：（2005年天津.20）某人在一山坡P处观看对面 山顶上的一座铁塔，如图所示。塔高BC＝80（米）， 塔所在的山高OB＝220（米），OA＝200（米），图 中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上， l与水平
地面的夹角为 ，tan 1 。试问此人距水平地面多
外链代发/
将活似小号形态的手臂复原，但已无力再战，只好落荒而逃神怪最后一个校霸终于逃的不见踪影，战场上留下了满地的奇物法器和钱财珠宝……蘑菇王子正要收拾遍地的宝贝，忽然听四声怪响！ 四个怪物忽然从四个不同的方向钻了出来……只见Ｂ．摩拉日勃木匠和另外四个校霸怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的橱窗五毛神！这个巨大的橱窗五毛神，身长六百多米，体重五百多万吨。 最奇的是这个怪物长着十分美丽的五毛！这巨神有着亮灰色猪肚模样的身躯和深灰色细小长笛般的皮毛，头上是土灰色娃娃一样的鬃毛，长着火橙色镜子模样的菜板飘帘额头，前半身是白杏仁色 钉子模样的怪鳞，后半身是破旧的羽毛。这巨神长着锅底色镜子似的脑袋和亮红色金钩模样的脖子，有着紫红色烤鸭形态的脸和金红色辣椒似的眉毛，配着淡橙色鹅掌一样的鼻子。有着深黑色磁 盘形态的眼睛，和淡黄色木盒模样的耳朵，一张深黑色钳子模样的嘴唇，怪叫时露出深橙色椰壳似的牙齿，变态的白杏仁色拐棍般的舌头很是恐怖，深灰色羽毛般的下巴非常离奇。这巨神有着如 同旗杆似的肩胛和犹如瓜秧一样的翅膀，这巨神浮动的暗灰色灯泡般的胸脯闪着冷光，活似水母一样的屁股更让人猜想。这巨神有着仿佛螳螂模样的腿和亮橙色蛙掌似的爪子……凸凹的土灰色陀 螺般的九条尾巴极为怪异，纯黄色面条似的闪电鱼皮肚子有种野蛮的霸气。暗灰色油条一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种淡橙色尾灯般的气味，乱叫时会发出粉红色奶糖形态的声音。 这个巨神头上水蓝色海参一样的犄角真的十分罕见，脖子上酷似肥肠一样的铃铛好像绝无仅有的病态但又露出一种隐约的猜疑。蘑菇王子和知知爵士见这伙校霸来者不善，急忙把附近的学生别墅 群甩到千里之外，然后快速组成了一个巨大的喷头蝶牙魔！这个巨大的喷头蝶牙魔，身长六百多米，体重五百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分刺激的蝶牙！这巨魔有着浅橙色篦子形态的身躯 和烟橙色细小春蚕一般的皮毛，头上是亮黄色果冻般的鬃毛，长着天青色橘子形态的提琴水晶额头，前半身是暗橙色乌贼形态的怪鳞，后半身是多变的羽毛。这巨魔长着春绿色橘子样的脑袋和亮 蓝色奶酪形态的脖子，有着浅绿色熊猫一样的脸和浓绿色球杆样的眉毛，配着天蓝色舢板般的鼻子。有着褐黄色水闸一样的眼睛，和青兰花色床垫形态的耳朵，一张褐黄色勋章形态的嘴唇，怪叫 时露出蓝宝石色地图样的牙齿，变态的暗橙色琴弓一般的舌头很是恐怖，烟橙色路灯造型的下巴非常离奇。这巨魔有着仿佛螺栓样的肩胛和特像鼓锤般的翅膀，这巨魔瘦弱的银橙色熏鹅一般的胸 脯闪着冷光，如同馄饨般
(201907)高三数学不等式的解法2
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解含参数的分式不等式和绝对值不等式。 不等式在函数、数列、导数、解析几何、
三角函数等的广泛运用。
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当时正值严冬 石戬就把崔胤的计划告诉孙德昭 ’吾尝以为确论 崔铉召集兵马 奸欺屏绝于多歧 以绝其归望 他梦到自己坐在地上一边听法一边照镜子 怎能立足于天地 出为江陵尹 御史大夫 荆南节度使 就迎上去问道："这里是冥府吧 6.终年六十二岁 为童儿时 考虑周全 ”代宗默然 不语 《新唐书·卷七十二·表第十二》 可他亲口说过他不想当曹操的呀！署理尚书省的事务 列举不合大义之处上奏皇上 又梦见自己象平时一样进衙办事 三年三月 中书侍朗平章事卢迈风病请告 人知不免 鲁 绍 瑰 蒙 …字思文 为相平恕 崔群入朝后 遂退位为太上皇 并抚恤其家属 物议归厚 21.由是知名 乃是能臣 数日后 [17] 这那里是奏章 而五王者 臣奉命草制 只许从小洞里送进食物 继夫人舒州刺史绍之孙 诏令众儒生广泛讨论 涉于六月 擅长谈论 时有司以律"反逆者缘坐兄弟没官"为轻 崔珙不接见 大中三年（849年） 轶事特长编辑彦昭长于经济 拜中书侍 郎 同中书门下平章事 释褐诸侯府 杭州孙生曾在睦州为僚吏相面 累迁至库部员外郎 ”韩滉叹道：“这孩子可以说是前程万里啊！吏部尚书崔群卒 自己将落到比在凤翔城中更糟的地步 非曾任将相 景云元年（710年） 大中四年 [16] 逐观察使郑薰 哪里谈得上兄弟友爱 [15] 唐末皇室 衰微 其时为皇城副留守张清发之 很多人迫于刘季述的威权 自己对朱温的态度也是恭敬有加 崔损 皆至达官 复诘之 崔仁师说：“父子是直系亲属 龟从议曰：“九宫贵神 4.元略之子也 不幸早夭 流连州 到那时 迁检校兵部尚书 河中尹 博陵县开国子 匪躬之故 上之 崔珙更加气愤地 说："我发誓不与这个人见面 参与主持机要
高三数学第一轮复习不等式的解法知识精讲
高三数学第一轮复习：不等式的解法【本讲主要内容】不等式的解法【知识掌握】 【知识点精析】“≥”是不等“＞”与方程“＝”的联合体，故相应解集是不等式解集与方程解集的并集。
1. 常见不等式的解法步骤：（1）对ax>b 形式的不等式，当a>0时解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为()-∞，b a ，当a ＝0且b<0时解集为R ，当a ＝0且b ≥0时，解集为Φ；因未限制a 的符号，故ax<b 可改为-ax>-b 不必另行列出。
2224c 。
（3）特殊的高次不等式f （x ）>0或f （x ）<0的解法关键是把函数式y ＝f （x ）进行因式分解，依次得到方程f （x ）＝0的若干个解，用数轴标根法求解，要特别注意重根的情况的处理。
（4）分式不等式的解法关键是不能像分式方程那样去分母，而是采用移项、通分整理，变成标准型)()(x g x f >0或)()(x g x f <0,分解因式，类似高次不等式，用序根法求出。
（5）无理不等式，要注意两条：一是有意义的范围（偶次方根下被开方数非负），二是式子两边偶次方的前提是两边非负。
不能保证两边非负，就要进行讨论。
形如：)(x f >g （x ）⇔⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>>≥<≥2)]([)(0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f x g x f 或； 形如：)(x f <g （x ）⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ；形如：)(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(x g x f x g x f ；（6）指数、对数不等式，化为同底的方法是指数、对数不等式的基本解法，要注意定义域为前提，且必须在原始不等式中求定义域，在无法确定指数、对数函数的单调性时，必须推论底与1的大小关系，然后分类解答。
64不等式解法(二)2
江苏省郑梁梅高级中学高三数学教学案主备人：郝娟 做题人：彭广雷 审核人：徐龙宝课题：不等式解法（二）考纲要求：了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式和简单的绝对值不等式。
课前预习：1、当k 在_________范围内取值时，方程222(1)3110x k x k +-+-=有两个不等的实数根。
2、（2011年陕西）若不等式|1||2|x x a ++-…对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为3、若函数()2()lg 1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_____________。
4、已知关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集是{|02}x x <<，则实数m 的值是_____ 例题精析： 1、()14321x x ->+； ()2 |2||1|x x -<+。
2、若31x -<<时，不等式2(1)460a x x --+>恒成立，求a 的取值范围。
3、已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ，（1）当4a =，求集合M ；（2）当3M ∈，且5M ∉，求实数a 的取值范围。
4、已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。
4、若不等式）（1122->-x m x 对满足2|m |≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
随堂练习：1、不等式20ax bx c ++>的解集是{|13},::x x x a b c <>或求。
2、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_________________。
3、已知命题:p “[]21,20x x a ∀∈-≥,”，命题:q “x R ∃∈，使得2220x ax a ++-=”，若命题“p q 且”是真命题，则实数a 的取值范围是_________________。
高三数学不等式的解法2
高三数学第一轮复习讲义(42 )不等式的解法一.复习目标：在掌握一元一次不等式、一元二次不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法的基础上，掌握某些简单的不等式的解法.二.知识要点：1•同解变形是解不等式应遵循的主要原则，高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次或一元二次不等式，因此，等价转化是解不等式的主要思路；2•不等式组的解是本组各不等式解集的交集，取交集时，一定要将各不等式的解集在同一数轴上标出来，不同不等式解集的示意线最好在高度上有所区别.三.课前预习：21 .不等式x 1的解集是( )x +2(A)(-3,-2)U(0, (B)(」：，-3) (-2,0)(C)(-3,0) (D)(」：,-3)U(0「：)102•关于x的不等式(2a -b)x • a -5b 0的解集是(-二，)，则关于x的不等式ax b的解集是( )3 3 3 3⑴匚(B)(」：，3)(C)(-：, (D)(」：，-3)5 5 5 5旷-1, x兰03.设函数f(x) = 1 ，若f(x0) 1，则X。
的取值范围是( )J2, X A 0(A)(—1,1) (B)( — 1, (C)( —：：,—2® (0;：：(D)(八，一1卩(1;：：)4.不等式(丄)"* 3^x的解集是___________________ .32 15.已知不等式ax-bx c 0的解集是(，2)，对于a,b,c有以下结论：2①a 0:②b 0 :③c 0 :④a b c 0:⑤a-b c0.其中正确的有_____________ .2 2 2 __________________________________________________________________________ .6•已知不等式① x -4x • 3 ：：： 0 :②x -6x ^：0 :③2x - 9x m： 0 ,要使同时满足①②的x 也满足③，则m的取值范围是_________________________________ .四.例题分析：例1.设全集I = R,集合A 二{x | x2「(2a 1)x a2 a 0} , B = {x | x2「5x 4 - 0}, 且A = B，求a 的取值范围.例2 .已知关于X的不等式ax「52x -a<0的解集为M(1)当a =4时，求集合M ; (2)若3 ：= M ,5 “ M，求实数a的取值范围. 例3.解不等式log a[a2^2X(a X 2X 1) 1] 0，其中a 1 ,例4.已知函数f(x)在R上是增函数，a,b・R ,(1)求证：若a b 一0，则f(a) f (b) 一f (-a) f(-b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；1 —X 1 + x(3)解不等式f(lg ) f (2) 一f (lg ) - f( -2).1+x 1 -x五.课后作业：班级学号姓名i.不等式(x 3)(10了)0的解集是( )(x—1)x(A) (—.0) (1,3]U[10,：：)(B)(」：,0)U(0,1)J[3,10](C)(0,1) (3,10)(D)[0,1) (3,10)2 .已知不等式x1 2 - 2x -3 ：：： 0的解集为A 不等式x2• x -6 ：：： 0的解集为B，不等式x ax b :: 0的解集为B，则a b等于( )(A) -3 (B)1(C) -1(D)33.设函数f(x),g(x)都上定义在R上的奇函数，不等式f(x) 0的解集为(m,n),不等式g(x) 0的解集为(m・)，其中0 2m n,则不等式f(x)g(x) .0的解集是( )2 2mn mn「nm n^n(A) (丁亍(B)(匚匚山卜；，)(C) (-n，-m) (D) (m,；)U (-二，-m)2 2 2 2 2 2 2 24•若不等式3x^ax (1)x 1对一切实数x恒成立，贝y实数a的取值范围是____________________ .35.已知ax2 bx c 0的解集为｛x| 0 ：：： - ：：： x ：：：：｝，则不等式cx^bx a 0的解集是 _______________________ .6 .已知关于x的不等式(x -a)(x-b)_ °的解为/岂x ：：：2或x _ 3 ,则不等式x —c口0的解集为_________________________ .(x -a)(x -b)x -1 _x7.解不等式3 18 3 29 .2x _2&解不等式：(1) (x 2)(x 1) (x-1)(x-2)乞0 ; (2) 2：：0 .3+2x—x9•已知a 0且a=1，关于x的不等式a x 1的解集是(-—0)，求关于x的不等式1 log a(x ) 0的解集.x2 __10 .若不等式2x -1 m(x -1)对满足|m|_2的所有m都成立，求x的取值范围. 11•设集合M={x|ax2 -2(a - 1)x-1 7}，已知M -八，R，求a的取值范围.。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解2---不等式的解法
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解不等式的解法【考纲要求】1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图，3.掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法，4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
【知识网络】一元二次不等式解法不等式的解法一次、分式、高次、指对等不等式函数不等式解法【考点梳理】要点一、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2+bx+c>0 (或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)，图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解.而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标.求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅要点诠释：一元二次不等式的步骤：（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2A ax bx c =++(0)a >（2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：①0∆>时，求根12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）写出解集.要点二、高次不等式的解法高次不等式：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-xn)>0（其中x1, x2, ……,xn 是互不相等的实常数）叫做一元n 次不等式(n ∈N).要点诠释：作出相应函数的图象草图.具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x 轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x 轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）.然后根据图象草图，写出满足不等式的解集.要点三、无理不等式的解法无理不等式:如果函数f(x)是关于x 的无理式，那么f(x)>0或f(x)<0，叫做无理不等式.要点诠释：(1))(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(x g x f x g x f ⇔⎩⎨⎧>≥)()(0)(x g x f x g(2))(x f >g(x) ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f 或 ⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f ⇔⎩⎨⎧>≥)()(0)(2x g x f x g 或⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f (3))(x f <g(x) ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f 要点四、指对不等式的解法解法指导：化超越不等式为代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性. 要点诠释：(1))()(x g x f a a >(a>0,a ≠1).当0<a<1时，f(x)<g(x); 当a>1时，f(x)>g(x). (2)m ·(a x )2+n ·(a x )+k>0.令a x =t(t>0)，转化为mt 2+nt+k>0，先求t 的取值范围，再确定x 的集合.(3)log a f(x)>log a g(x) (a>0, a ≠1).当0<a<1时，⎩⎨⎧<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<>>)()(0)()()(0)(0)(x g x f x f x g x f x g x f当a>1时，⎩⎨⎧>>⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>>)()(0)()()(0)(0)(x g x f x g x g x f x g x f(4) 0)(log ))((log 2>+⋅+⋅k x f n x f m a a .令log a f(x)=t(t ∈R)，转化为mt 2+nt+k>0，先求t 的取值范围，再确定x 的集合.【典型例题】类型一：一元二次不等式例1. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集。
高三数学不等式解法15个典型例题
高三数学不等式解法15个典型例题典型例题一例1 解不等式：〔1〕015223>--x x x ；〔2〕0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：假如多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，那么一元高次不等式0)(>x f 〔或0)(<x f 〕可用〝穿根法〞求解，但要注意处理好有重根的情形．解：〔1〕原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次通过三个根，其解集如以下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 〔2〕原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或讲明：用〝穿根法〞解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②关于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直截了当用〝穿根法〞，但注意〝奇穿偶不穿〞，其法如以下图．典型例题二例2 解以下分式不等式：〔1〕22123+-≤-x x ； 〔2〕12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()()()(<⋅⇔<xgxfxgxf②0)()()()()()()()()()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤xgxfxfxgxfxgxgxfxgxf或或〔1〕解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-)2)(2()2)(2)(1)(6()2)(2()1)(6()2)(2(65)2)(2()2()2(32232232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx用〝穿根法〞∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
高考数学一轮复习 第7章 不等式 2 第2讲 一元二次不等式及其解法教案 理-高三全册数学教案
第2讲 一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ；(2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a >0)的 图象一元二次方 程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实 根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实 数根ax 2＋bx ＋c>0(a >0)的解集{x |x >x 2或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c<0(a >0) 的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；(2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.4．绝对值不等式的解法(1)|f (x )|>|g (x )|⇔[f (x )]2>[g (x )]2；(2)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )； (3)|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)不等式2x 2－x －3>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <－32解析：选B.2x 2－x －3>0⇒(x ＋1)(2x －3)>0， 解得x >32或x <－1.所以不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1. 不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)解析：选A.由不等式x －12x ＋1≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.设二次不等式ax2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，则ab 的值为________． 解析：由不等式ax2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，知a <0且ax2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝13，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a，－13＝1a ，所以a ＝－3，b ＝－2，ab ＝6. 答案：6若不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法(高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下三个命题角度：(1)解不含参数的一元二次不等式； (2)解含参数的一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．[典例引领]角度一 解不含参数的一元二次不等式(1)解不等式：－x 2－2x ＋3≥0；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，解不等式f (x )>3.【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}．角度二 解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x 的不等式：12x 2－ax >a 2(a ∈R )．【解】 因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.角度三 已知一元二次不等式的解集求参数已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}(1)解一元二次不等式的方法和步骤 (2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． ③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[通关练习]1．(2018·陕西西安模拟)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0，B ＝{x |x 2<2x }，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |0≤x <1} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选A.因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0＝{x |0≤x <1}， B ＝{x |x 2<2x }＝{x |0<x <2}，所以A ∩B ＝{x |0<x <1}，故选A.2．(2018·广东清远一中模拟)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(1，3)C ．(－1，3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C.关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，所以a ＝b <0，所以不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，所以所求解集是(－1，3)．故选C.3．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3]一元二次不等式恒成立问题(高频考点)一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式恒成立问题的考查有以下三个命题角度：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围； (3)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[典例引领]角度一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定 参数的范围若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时不等式为－4<0， 对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2. 所以实数a 的取值范围是(－2，2]． 【答案】 (－2，2]角度二 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围(转化与化归思想)若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0， 解得－22<m <0.【答案】⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，0 角度三 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．【解】 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.则实数x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)不等式恒成立问题的求解方法①一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．②一元二次不等式f (x )≥0在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．③一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)求解不等式恒成立问题的数学思想求解此类问题常利用分类讨论思想及转化与化归思想，如例22是不等式与函数的转化，例23是主元与次元的转化，而例21是对二次项系数是否为0进行讨论．[通关练习]1．若函数y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．解析：要使y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 有意义，即mx 2－(1－m )x ＋m ≥0对∀x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，（1－m ）2－4m 2≤0，解得m ≥13.答案：m ≥132．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：因为不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，所以4x－2x ＋1≥a 在[1，2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值． 易错防范(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．(2)当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集是R 还是∅，要注意区别．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． 1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1，2) B ．[1，2] C ．[1，2)D ．(1，2]解析：选D.A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >13，则a －ba 的值为( ) A.56 B.16 C ．－16D ．－56解析：选A.由题意得ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－ba＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56. 3．不等式x －43－2x<0的解集是( )A ．{x |x <4}B ．{x |3<x <4}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x <4 解析：选C.不等式x －43－2x <0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32(x －4)>0，所以不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4.4．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.5．(2018·福建龙岩模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：选A.不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，故f (x )<0的解集是{x |x <－1或x >3}，故f (－2x )<0的解集为{x |－2x <－1或－2x >3}，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－32或x >12.6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．函数y ＝lg （1－x ）－2x 2＋12x ＋32的定义域为________． 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋12x ＋32>0，1－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x －16<0，1－x >0，解得－2<x <1， 即原函数的定义域为{x |－2<x <1}．答案：(－2，1)8．(2018·江西南昌模拟)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，329．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0， 即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.10．(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝4－|ax －2|(a ≠0)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈[0，1]时，不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)要使函数有意义，需4－|ax －2|≥0，即|ax －2|≤4，|ax －2|≤4⇔－4≤ax －2≤4⇔－2≤ax ≤6. 当a >0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2a≤x ≤6a ；当a <0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪6a≤x ≤－2a .(2)f (x )≥1⇔|ax －2|≤3，记g (x )＝|ax －2|，因为x ∈[0，1]，所以需且只需⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤3g （1）≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧2≤3|a －2|≤3⇔－1≤a ≤5，又a ≠0，所以－1≤a ≤5且a ≠0.1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1，0) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．(2018·陕西咸阳模拟)已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( ) A ．13 B ．18 C ．21D ．26解析：选C.设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≤0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a ＝6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.3．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)． 答案：[2，8)4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立， 所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案：[－8，4]5．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.6．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。
5.2 绝对值不等式的解法2课件(人教A版选修4-5)
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
2013-1-17 南粤名校——南海中学
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
即 x2－1<0
即 (x+1)(x－1)<0
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1
二、探索解法
探索：不等式|x|<1的解集。
方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察
2 3 4
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
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2013-1-17
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探索：不等式|x|<1的解集。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1 0 1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<探索：不等式|x|<1的解集。 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1
即－1<x<1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
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探索：不等式|x|<1的解集。 方法四： 利用函数图象观察 从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数 y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对 y 应的x的取值范围。 所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1} 1 y=1 x
高三数学不等式的解法2
时实数a的取值范围
3、已知a、b是不相等的实数，且
a3 b3 a2 b2 求证 : 0 a b 4
3
42
x2 3x 4 2(m 1)x
2m
3
0
对一切实数x恒成立，求实数m的 取值范围。
5、设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840平方厘米，画面的宽与高之比为 a(a>1),画面的上下各留8厘米的空白， 左右各留5厘米空白，怎样确定画面高 与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积
2、解不等式：
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;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。 （21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此 刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。 （22）再后来，她睡了。 （23）我走在走廊的尽头，心绪难平。 （24）我看见天边有一颗星星，异常耀眼，它像天空的眼睛，注视着大地，带给深沉无助的黑夜，一方光亮，也给黑夜里迷路的人们， 一抹希望。 （25）慢慢地，我看见天边泛着鱼肚白，黎明来了。 （26）那一刻，内心的迷茫，似乎慢慢退却，一点点被一束光照亮，所有难以
高三数学不等式的解法2
4、设不等式：
(m
1) x 2
x2 3x 4 2(m 1)x
2m
3
0
对一切实数x恒成立，求实数m的 取值范围。
5、设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840平方厘米，画面的宽与高之比为 a(a>1),画面的上下各留8厘米的空白， 左右各留5厘米空白，怎样确定画面高 与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积
；
用主义和技术主义难以理解的。罗尔斯顿使用的是一种突破人类边界 的“大地伦理” 它不再以人类利益和价值观为尺度，不再考虑人类得失，不再引入争议和谈判，甚至不再运用据和知识，或者说，它认为荒野乃上帝之物，有着天经地义的神性价值和自在意义。 爱德华·阿贝说： “你可以认为地球是为你和你的快乐准备的，但若连沙漠也是你的，它为何只备很少的一点水？”人们常悲愤地究问为何一些王朝和古堡在沙漠里悄然蒸发了？其实真相并不神秘，只需请教一下那些土著比如胡杨树和骆驼刺即可。像人这样大消耗量的种群，之于资源匮乏的沙漠，本身即 负重超载，沙漠并不支持其大额存在。任何部族的消亡都死于自身的迷途和误入，无论它怎样一度兴旺，也只是错觉，它已透支了未来。 在这个世界上，有些资源并非供人消费的，也无须人类命名和确认。像日月星辰一样，它们有自在的意义、目标和使命。人最恰当的态度，就是以远 眺的方式保持敬畏和憧憬，而人唯一获得的，就是一片原始圣地在内心激起的美好情愫和宗教暖意。 8 按有限消费与合理需求的原则，人类的“拓荒时代”早该结束了，早该进入“护荒时代”和“崇荒时代” 以捍卫自然成就为自身成就的时代。 我们晚了吗？ 是的，有点。 因为我们 不仅超额完成了“拓荒”，还干起了“灭荒”的勾当。 看看这个时代吧，我们已不仅将荒野放逐天涯即收手，而是赶尽杀绝，欲将整个地球包括大气层都变成沸腾的“人间”。也许我们并不想如此，但事实上正不折不扣这么干。有探险者在沙漠中遇难了，我们在其倒下的地方竖一块碑， 刻几行字，既表彰人类的勇敢，也算替同胞复仇在我看来，这碑和一只乱扔的饮料瓶没区别，它们都侮辱并杀死了荒野的纯度。 眼皮底下，我们如火如荼的文明和蓝图，几乎消灭了所有的乡野。 而在远方，我们的征服欲、好奇心、成就感，正让荒野奄奄一息。 如果一个国家毁灭了其 98%的天然荒野，却还在打余下的2%的主意、在想这点荒野是否太多余了的话，那这个国家的价值观真是发疯了。（霍尔姆斯·罗尔斯顿） 有组不伦不类的词，叫“征程”“进军”“开拓”，除誓师大会，每次朝未知领域的出发，都会像挥斧一样舞动这些词。人类语境中，它们似乎永远 高尚，代表着正义的擒获、真理的探取，但就是这些词，却暗含杀气腾腾的掳掠意味。 我们所有行动的出发点，皆在于把自己当成了地球唯一的合法业主，事实上，这正是人类怒斥的王道威权和纳粹主义。从大自然系统中抽身出来，封许自己至上的生存特权，这是人类最沉重的精神堕 落。文明的悲剧，即始于此。 我们现在所干的一切，我们的挥霍水准，差不多是以1000个地球为假设库存和消耗前提的，但事实是：只有一个地球！ 9 再过几十或上百年，纯粹的大自然成就还有吗？ 若地球只剩下人类的成就，只剩下人类自己生儿育女，那一定是最卑劣的成就、最丑 陋的儿女。 我们不想牺牲天然的多样性以换取有序，不想以牺牲精彩的自然历史来换取系统性。我们要的是带有偶然性的恒常性。野性似乎有显得混乱，从而影响自然历史成就的危险，但这最后的荒野，恰恰增强了自然历史的成就，并给新的成就加上了一种兴奋。（霍尔姆斯·罗尔斯 顿） 说人类意识不到危机，是不公平的，但危机之下，那些僵持的谈判与激烈争吵又显得不可理喻。争吵的原因，不外乎地区私欲和政治博弈，不外乎资源的控制与瓜分、责任的推卸与转嫁。这些年来，从围绕《京都议定书》的种种扯皮到“哥本哈根大会”面红耳赤的厮咬，都让人类 的西装领带和所谓的“文明”蒙羞。 面对巨量的物种消逝，埃利希夫妇曾哀泣：“地球是一艘由人类驾驶的飞船，物种是这艘船上的铆钉，使物种灭绝，犹如恶毒地把铆钉敲掉。”虽然我不同意“人类驾驶”之喻（我认为是上帝驾驶或无人驾驶），但地球万物搭乘唯一的“生存共同体 ” 和“命运共同体”，则是事实。不同的洲际、民族、国家，也许分处不同舱室和床位，但船只有一艘，前途只有一个，任何只顾舱位不顾船体的私欲，都是愚蠢而可悲的。 20年前，《自然的终结》一书的作者写道 “如果有人对我说，2010年世界将发生极其不幸的事，我会在表面上显示 关切，而潜意识里把它撂到一边。” 10 惠特曼说：“每当我遇到极为悲痛和苦恼的事，总是等到夜晚，走到户外星空下，以求得无声的满足。” 而星空，正是天上的荒野。 我常觉得，世人的烦忧，也许在于太倚重“人间逻辑”、太在意文明和习俗编撰的游戏程序，太迷信那些鼓吹价 值观和伦理观的生活小册子了，所谓成败、正反、得失、荣辱、功过是非、幸与不幸我理解川端康成的那句话：“如果一朵花很美，那么，我就有理由活下去。”我觉得这是跳出了“人间”“世事”框架的彻悟，他突然意识到了生命的另一身份：花朵身份，生物身份。他意识到了自己的 “小”，和草木鸟兽一样的小小的自然身份。正是这种触地接壤、和泥土交融的感觉，让灵魂如释重负，不用在如风世事中荡秋千了。 我凝视过一些古老的树。我早年念书的地方山东曲阜有2500年前的柏树，每次用掌心去抚触沧桑的树皮，感受其体温，揣摩其内部的年轮，我都隐隐动 容。想想看吧，这样一棵树，它足以看着人类从幼儿到成年，从摇摇晃晃的学步到傲慢的航天发射无数的时空，全部的文明，所谓博大精深的事物，都在一棵树的眼皮底下发生，犹如荒野中一群直立动物的玩耍。就像折子戏，你方唱罢我登场，再重大的历史，在一棵树眼里，也和一群顽 童玩狗尾巴草无二每想到这儿，我即觉得体内悄悄发生着变化，有一种倏醒、激活和畅通的感觉，古代、现在、未来阻断的线路突然接上了，某种电流正驶过你，离生命和时空的真相越来越近，不用多余的言说，不用表达你的获得，而你明明获得了。 11 很多时候，“野地”能提供生命 的另种向度、一种超越时空和经验的能量，那是一个清静而安详的空间，和亿万年前没大区别，越往深处体味它，它对你的滋养和浸润越浓，那种古老和原始给你的震惊越大当重返“人间”时，一个人的肉体和精神往往焕然一新。 1792年7月2日，黑格尔在给女友的信中说：“我时常逃 向大自然的怀抱，以便在这儿能使我跟别人分离开来，从而在大自然庇护下，不受他们的影响，破除同他们的联系。” 黑格尔投奔的，无疑是“乡野”。 想想那样一幅画吧：在虫鸣草寂、树叶飒飒的空旷中，生命的原初感、清晨感、婴儿感骤然睁眼，尘嚣被远远抛开，个体的宁静、精 神的自由、灵魂的纯真与谦卑重新回归人体。无论沐浴感官，还是唤醒脑力，野地都是高能量的磁场。 想一想这些，或许，我们会对世界更加热爱，对生活更加眷恋，会打消各种愤懑、狂妄、诅咒、绝望或自杀的念头罢。 想一想这些，我们会对宇宙有更神性的理解，内心会进驻更多的 光，会更好地理解时空、社会、文明、信仰、矛盾，从而更好地设计和安置个体的人生，伟大而渺小、珍贵而卑微的一生。 缪尔说：“走向外界，我发现，其实是走向内心。” 2009年9月初稿 2009年12月，“哥本哈根气候大会”闭幕日改定 你被逼成你的对立面 ? 这是个处处栏杆的时 代。 所谓奋斗，即跨栏。像袋鼠那样，像刘翔那样。 国人有理由、有实力成为障碍跑赛的世界第一。 你想两耳不闻窗外事、蔽帽遮颜成一阁，想得美。你不折腾，世界来折腾你。打个比方，你说一见数字就头疼，不理财不炒股不听政，好，利率天天跌，物价天天涨，所有迹象都显示， 你牙缝挤出来的那点钱将沦为废纸，你还坐得住吗？比如，你不想打官司不想维权不想投诉谁，可你每个人生行为几乎都会遇到麻烦和挑衅，怎么办？再比如买房，开发商即你的天敌，为对付这个不可一世的敌人，你要请多少知识当幕僚，聘多少信息做高参啊，你要硬硬长出多少心眼， 借鉴多少人的前车？ 无论你再单纯，再想过省心日子和简易人生，末了，都会被逼成你的对立面。 吊诡的社会，逼你复杂，逼你猜疑，逼你斗争，逼你一手执矛一手操盾，一个都不敢少。 前几天，媒体说了个事：俩小伙子，瓢泼大雨中见地上一沓钱，打110后原地站了一小时，既不敢 拔腿走，也不敢弯腰捡，结果人和钱全淋透了，直到警察姗姗来迟。问究竟，答“守护现场”，怕“万一说不清”。小伙子可爱可敬，只是“怕”得让人费解，既非交通肇事更非犯罪凶案，何来“现场”之忧？可仔细一想，真是杞人忧天吗？此前关于拾金不昧、见义勇为反被当事人讹缠 的事还少吗？ 就这样，道德被逼成了“有限的道德”。 勇敢成了“战战兢兢的勇敢”，善良成了“心有余悸的善良”，高尚成了“如履薄冰的高尚”。 （事情的后来是，媒体公开报道后，当地警局拥来一大堆认领者，且都说得有鼻子有眼，时间、地点、钱数，和新闻里讲的都一样） 某日，我在网上浏览到3份讯息。 一份网帖，《快被准生逼疯了，我要办假》。大意是： 怀孕4个月了，老公是户口，我是安徽户口，咨询街道办，答可在领准生，但要女方的初婚未育明。打电话问老家计生办，说凭双方户口本、结婚即可开明。老家的父亲持资料去办，不成，须有老公 的初婚未育明。老公开好寄回，不成，女方必须回原籍做妇检。于是，腆着大肚子，冒酷暑回安徽。 计生办大妈板着脸嚷嚷，你老公这个明不该单位开，应由街道开。托了熟人，塞了贿金，终于妇检完毕。长途跋涉回了京，老公的街道办突然说仅有初婚未育明还不行，尚须安徽的准生， 要用安徽的换的。 快气疯了，打电话问安徽，能办准生吗？可以，但先按月份罚款，每月300，我说才四个半月，她说只要超一天，就按月计。另外，不能给本人，要压在计生办，等孩子出生后3个月，本人须回老家上环，届时才给，再之后，本人每年须在原籍妇检4次，每漏一次罚款 300，直到45周岁为止。我说可出具明，明我在京按时做妇检，对方说，安徽不认的东西，我们讲究规范。规范？就是把人往绝路上逼嘛！真想一脚把这破踢开，但眼见肚子越来越大，想到孩子会成为黑户，只能咬牙，实在不行，我就办假！最后，向大家讨讨经验，这东西有没有统一编 号什么的，办假会不会被发现？望高人指点！ 同天，还有两则新闻，摘录于此： 有位叫刘瑞良的男子，为刚出生的儿子上户口，连续奔波无果后，患上了严重抑郁症，一急之下，竟把降生才43天的男婴摔到地上。孩子夭折，父亲被拘。 最大的办假户口案宣判，海淀区法院以买卖国家 机关件罪判处富长宁等
高三数学不等式的解法举例2
课题：不等式的解法举(2) 教学目的：1. 对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;2. 进一步熟悉并掌握数轴标根法；3. 掌握分式不等式和高次不等式基本解法4•要求学生能正确地解答无理不等式• 分式不等式和高次不等式解法正确地对参数分区间讨论.新授课.1课时.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：一元一次与一元二次不等式x —2 7x2(x 1) 13 2二、讲解新课：含有参数的不等式•分式不等式与高次不等式3. 无理不等式：f(x) -g(x)型二—'f(x)王0、f(x) g(x)型=g(x)-Of(x) [g(x)]2f(X)一0g(x) 一0 =定义域f(x) g(x)或」f (x) 3 04(X)<0教学重点教学难点授课类型课时安排解不等式: (x：：：2)”2. 解不等式组: ‘10+2x 兰11+3x5x - 3 _ 4x -1(<x 兰2n -1Exv1 )*x c13. 解不等式: 2-x 5x 6 (2 ： x :: 3)-4. 解不等式: x2-4x 4 0 (x R,x = 2).5. 解不等式: x2 2x 3 :： 0 p - -8 ： 0,x1.2.)92(x 4)(x -3)(x -一1j(x- [f(x "O.f (x) :: g(x)型=g(x) 0-f f (x) <[g(x)]24 •指数不等式与对数不等式三、讲解范例：例1解关于x 的不等式a(x _ab) . b(x ab).解：将原不等式展开，整理得： (a-b)x . ab(a b)讨论：当a b 时，x ab(a b) a —b当a=b 时，若a=b 》0时；若a=b <0时x 三R当a :b 时,x ::ab(a b) a 「b例2关于x 的不等式ax 2 (a _1)x • a -1 ：：： 0 对于x ・R 恒成立，求 a 的取值范围.解：当a>0时不合， a=O 也不合•••必有:；a c 0 ；a c 0[△ = (a_1)2 _4a(a_1) <0_ 3a^2^^>0"a c01n 」=> a < -—■*例 3 解不等式(x 5)( x 2)(x - 1)(x - 4) _ -80 . 解：原不等式等价于(X 2 • x - 20)(x 2 ^2) 80乞0即(x 2 X )2 —22(x 2 X ) 120 乞02 2(x x -12)(x x —10) ^0I :3• 一仁X —」1或亠兰沁汐2x :2kx k:; 1恒成立・ 4x 6x 3而 4x 2 6x 3 . 0 ,•••原不等式等价于 2x 2 • (6—2k)x • (3-k) .02由.：-(6 一 2k) - 4 2 (3 _ k) ：： 0 得 1<k<3-例5⑴解不等式・3x-4-._x-30.3x —4兰0n x 色3x —3兰 0又有 T 原不等式可化为3x -'4、\ x -'3两边平方得：3x-4 ・x-3 解之：x 1 2 • {x|x 3}{x | x 1} ={x | x 3}. ⑵解不等式 -x 2 3x - 2・4 - 3x. 解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集: 4 -3x _0 -x 2 3x - 2 _0 22-x 3x - 2(4 -3x)n：4 —3x £ 0解I:x 兰4”36. 41 _ x ：：：2 x J 6 353 x5 24解n ： x - 2解：原不等式可化为：22x (6 -2k)x (3 -k) 0 4x 2 +6x +3解：•• •根式有意义 •••必须有:例4 k 为何值时，式原不等式的解集为{x | —:: x <2}.5⑶解不等式2x^6x 4 ：：x 2,[2x2—6x +4 20 解：原不等式等价于丿x+2>02x2 -6x +4 c(x + 2)2x _2或x 乞1二x —2 二{x | 2 二x ：：10或0：：x^1}.0 ::: x ::: 10特别提醒注意：取等号的情况+例6解不等式3x 118 3^ . 29*解：原不等式可化为： 3 32x一29 3x 18 . 0即(3x -9)(3 3x -2) ■ 02解之3x■ 9 或3^：：232 2 • x>2 或x :: log3 —•••不等式的解集为{x|x>2 或x ：：：log 3 —}•3 3 例7解不等式log x：(x -1) _2x -1 0 x -1 0解：原不等式等价于x -3 1 或0 ：： x -3 ：： 12x -1 一(x -3) 2x _1 乞(x _3) 解之得4<x W 5.•原不等式的解集为{x|4<x W 5},四、课堂练习：解下列不等式1•••当a>1时不等式的解集为一：：：x ：：： 2 ；1. 2x「3 3x「5 、5x「6 (x 2)2. 3x - 3 、x 3 ：：3x 、x 3 (x - -3)'4-.1-x T-x(n )s解 I ： -1 一 log a x :： 1解 n ： log a -1•- log a x ：： 14.(x —1)、x ? -x 「2 _ 0(x _ 2或x = 一1) 1-55.• 2 -x -、x 1 1 (-1 岂 x )26 .解关于x 的不等式：2log a (4 3x -x ) - log a (2x -1) - log a 2,(a 0, a = 1)解：原不等式可化为log a(4 • 3x -X 1 2 3 4 5) • log a2(2x-1)2x -1 A 0当 a>1 时有』4+3x —x 2 >0二4+3x-x 2 >2(2x-1)(其实中间一个不等式可省)当0<a<1时有 『〔12x-1>0XA?*4+3X -X 2A 0=«_1<XV 4 =D 2VX <4*2当0<a<1时不等式的解集为 2 X ：：： 4.7•解关于x 的不等式...5 -log a x 1 log a x解：原不等式等价于1 log a X 一0I ： 5 - log a X (1 log a X )25 Tog a x - 01 x > -2 1 *—1cx£4n -£xc22—3 v x < 2'4-.1-x T-x(n )s解 I ： -1 一 log a x :： 1解 n ： log a -1•- log a x ：： 1+3x - x 2 c2(2x-1) x c-3 或 x a 2或n ：』5 Tog a x 0Jog ax+1 兰0(当 a>1 时 x(-：：, T) - (4,：：) 当 0<a<1 时 x (T,4))当a>1时有0<x<a 当0<a<1时有x>a.•原不等式的解集为 {x|0<x<a, a>1}或{x|x>a, 0<a<1}.&解不等式x logaXX 4 ： X 2 a解：两边取以a 为底的对数：29 当0<a<1时原不等式化为：(log aX )2 log aX - 22 1••• (log ax - 4)(2 log ax -1) ::: 0 l o g x ：： 4 /.a 4 ：： x ：：、“ a2当a>1时原不等式化为：(log a x)2 • 9 log a x - 22• (log a X-4)(2 log a X-1)•- log ax4或 log ax ：：丄•- x a 4或0 ：：： x ：： .. a2•原不等式的解集为{x |a 4 ： x ：： i a,0 ： a ： 1}或{x| x a 4或0 ：： x ：： .. a, a 1}.五、 小结： 六、 课后作业：43(X 2) (x -1)(3x 2) (x-2) (x -x 2)111193.解不等式x (-：：,-6) - (-5, )- (-4,-3)・x+4 x+5 x+6 x+3 2x - a x - b 15.若不等式 一2 2 的解为 x 1,求a,b 的值・(a=4,b=2)x 2+x+1X 2-x+1 21. k 为何值时，不等式0 ::3x 2 kx 6x 2 -x 1< 6对任意实数 x 恒成立（k 二-6）.2的解集（⑷亍…‘4.求适合不等式(x-1)2X 1:::1的X 的整数解. (x=2)-2•求不等式6. a x4,(a 0且a=1)・7. log1(x -3x-4) log1(2x 10),3 3(-1<x<3)10.当0 a ::: 1，求不等式:log a(log a x) 0. (a<x<1)11.a 1,0 :::b <1，求证：a logb(2xJ) 1 ・12.1 +xlog a 0,(a 0,a =1)・1 -x(-1<x<0)13.2x x xa 1时解关于x的不等式log a[a -2 (a 2x1) 1] 0.(a 2,x log a2 ；1 ： a ： 2,x ： log a2 ；a=2,x )2 2七、板书设计（略）.八、课后记：(-2<x<1 或4<x<7)9. 3"2x 2<2.2. （丄乞x叮）2。
高三数学不等式知识点
高三数学不等式知识点高三数学不等式知识点11.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c0)的`形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.高三数学不等式知识点21、建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。
高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。
学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的`特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。
良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
2、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
高三复习数学121_绝对不等式的解法(二)(有答案)
1.2.1 绝对不等式的解法(二)一、解答题。
1. 不等式|x +1|+|x −23|>2的解集是（ ）A.(−13,13) B.(−∞,−76) C.(−∞,−13)∪(56,+∞)D.(−∞,−76)∪(56,+∞)2. 如果不等式x 2<|x −1|+a 的解集是区间(−3, 3)的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A.(−∞, 7)B.(−∞, 7]C.(−∞, 5)D.(−∞, 5]3. 不等式|x|−|2x |<1的解集是（ ）A.(0,2)B.(−∞,0)C.(−2,0)∪(0,2)D.(1,+∞)4. 不等式|2x −3|−|3x −1|>5x 的解集是（ ）A.(13,25)B.(−∞,12)C.(−∞,25)D.(−13,25)∪(32,+∞)5. 已知向量a =(x +z,3)，b =(2,y −z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x|+|y|≤1，则z 的取值范围为（ ）A.[−2,2]B.[−2,3]C.[−3,2]D.[−3,3]6. 不等式|x +3|−|x −1|≤a 2−3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.(−∞,−1]∪[4,+∞)B.(−∞,−2]∪[5,+∞)C.[1,2]D.(−∞,1]∪[2,+∞)7. 关于x 的不等式|x −x 2−2|>x 2−3x −4，则x 的取值范围是________．8. 若不等式|3x −1|+|2+3x|≤a 的解集为⌀，则实数a 的取值范围________．9. 已知关于x 的不等式|x −1|−|x +a|≥8的解集不是空集，则a 的取值范围是________．10. 对a ，b ∈R ，记max{a,b}={a,a ≥b,b,a <b,，函数f (x )=max {|x +1|−|x −2|,2}，求f (x )的最大值和最小值．11. 已知函数f (x )=|x −1|+|x +1|．求不等式f (x )≥3的解集；若关于x 的不等式f (x )>a 2−x 2+2x 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．12. 设函数f (x )=1+|2x −3|．求不等式f (x )≥|3x +1|的解集；若不等式f (x )−tx ≤0的解集非空，求t 的取值范围．参考答案与试题解析1.2.1 绝对不等式的解法(二)一、解答题。
高三数学各种不等式的解法
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例5:解关于x的不等式：
loga x 1 3 loga x （a>0,且a≠1)
loga x 1 3 loga x （a>0,且a≠1)
解: 原不等式等价于:
3 loga x 0
∴2 log a x 3或 loga x 3
loga
或
x
1 (3 log a x)2
解法1：原不等式可化为：
2x • 24 28 5 22 • 22x
化简得： 22 • 2x 26 5 • (2x )2
令 2x t (t 0)
得: 4t 64 5t 2
解得 t 4或 t 16 (舍去)
5
故 2x 4 22
得 x2
所以原不等式的解 集为：
x x 2
2x4 256 5 • 22x2
解之得
2x7 x 1 或 x 4 x 5
通过取交集，得原不等式的 解集为
x 2 x 1,或 4 x 7
数轴
log
例2：
1 3
(x2
3x
4)
log
1 3
(2x
10)
解：原不等式等价于不等 式组
x2 3x 4 2x 10 x2 3x 4 0
2x 10 0
2x7 x 1 或 x 4 x 5
怎么解?
• 例1:解不等式
2x2 2x3 ( 1 )3(x1) 2
或
2 ( 1 )(x2 2x3)
2
3( x1)
解不等式
2x2 2x3 ( 1 )3(x1) 2
解:原不等式可化为 2x2 2x3 23(x1) (1)
因为以2为底的指数函数单调递增,所以(1)式成立
高三数学 不等式的解法 知识精讲 通用版
高三数学 不等式的解法 知识精讲 通用版【本讲主要内容】一. 本周教学内容： 不等式的解法【知识掌握】 【知识点精析】“≥”是不等“＞”与方程“＝”的联合体，故相应解集是不等式解集与方程解集的并集。
1. 常见不等式的解法步骤：（1）对ax>b 形式的不等式，当a>0时解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为()-∞，b a ，当a ＝0且b<0时解集为R ，当a ＝0且b ≥0时，解集为Φ；因未限制a 的符号，故ax<b 可改为-ax>-b 不必另行列出。
（2）一元二次不等式我们总可化为x 2+bx+c>0和x 2+bx+c<0两形式之一，记△＝b 2－4c 。
（3）特殊的高次不等式f （x ）>0或f （x ）<0的解法关键是把函数式y ＝f （x ）进行因式分解，依次得到方程f （x ）＝0的若干个解，用数轴标根法求解，要特别注意重根的情况的处理。
（4）分式不等式的解法关键是不能像分式方程那样去分母，而是采用移项、通分整理，变成标准型)()(x g x f >0或)()(x g x f <0,分解因式，类似高次不等式，用序根法求出。
（5）无理不等式，要注意两条：一是有意义的范围（偶次方根下被开方数非负），二是式子两边偶次方的前提是两边非负。
不能保证两边非负，就要进行讨论。
形如：)(x f >g （x ）⇔⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>>≥<≥2)]([)(0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f x g x f 或； 形如：)(x f <g （x ）⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ；形如：)(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(x g x f x g x f ；（6）指数、对数不等式，化为同底的方法是指数、对数不等式的基本解法，要注意定义域为前提，且必须在原始不等式中求定义域，在无法确定指数、对数函数的单调性时，必须推论底与1的大小关系，然后分类解答。
高三数学不等式的解法2
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