斐波那契数列与帕斯卡三角形讲解
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要正确创建斐波纳契通道必须
记住的是在当趋势线上升，基
本线限制住了通道最高点，
当趋势线向下，基本线限制
住了通道的最低点。
• （5）斐波纳契时间周期线
• 斐波纳契时间周期线是以斐波纳契的时间间隔1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34等画出的许多垂直线。假定主要的 价格变化期望在这些线附近。 运用确定的单位时间间隔长 度的两点来创建此工具。根 据斐波纳契数列，全部其他 的线是在此单位间隔的基础 上确定的。
斐波纳契工具一起使用。
• （4）斐波纳契通道
• 斐波纳契通道利用几条趋势平行线建立。要创建这个工具， 通道宽度是取自每个单位宽度。平行线价格数值处于斐波 纳契数列相同的值。以0.618 开始为通道宽度，然后是 1.000，1.618，2.618，4.236来画平行线。当第五根线画 好后，与相应的趋势线相反方向的正确的线就画出了。
• （3）斐波纳契扇形线
• 斐波纳契扇形线，例如，以最低点反向到最高点线上的两 个端点画出的趋势线。然后通过第二点画出一条“无形的 (看不见的)”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线： 38.2%， 50%和61.8%的无形垂直线交叉。 这些线代表了支撑点和阻力点
的价格水平。为了能得到一个
更为精确的预报，建议和其他
11^0= 1 11^1= 1 1 11^2= 1 2 1 11^3=1 3 3 1
• 11的乘方至114时，仍 满足帕斯卡三角形的 形式．115由于会进位， 所以并不能对应帕斯 卡三角形第六行的数 字1、5、10、10、5、
1
(4)二项式
(1+a)0=1 (1+a)1=1+a (1+a)2=1+2a+a2 (1+a)3=1+3a+3a2+a3 (1+a)4=1+4a+6a2+4a3+a4
由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将 斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
• 3.数列与矩阵 对于斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定义 F(n)=f(n-1)+f(n-2) F(1)=1 F(2)=1 对于以下矩阵乘法
它的运算就是 F(n+1)=F(n)+F(n-1) F(n)=F(n) 可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义
斐波那契数列与 帕斯卡三角形
一、斐波那契数列
1.斐波那契
• “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂 纳多·斐波那契。他被人称作“比萨的列昂纳多”。 1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一 书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的 欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为 外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地 区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯
老师的指导下研究数学。他还曾在
埃及、 叙利亚、希腊、西西里和
普罗旺斯研究数学。
2.斐波那契数列来源
• 根据高德纳的《计算机程序设计艺术》，1150年 印度数学家Gopala和Hemachandra在研究箱子包 装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先
描述这个数列。
• 斐波那契这个数列来自他的《算盘书》中 一道并不出名的问题
•
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log
n）的程序。
•
7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
•
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
•
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
•
10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m)
•
55条逆时针螺旋
• 较大的向日葵： ８９条顺时针螺旋
•
１４４条逆时针螺旋
• （2）.植物分枝
8
13 斐
8波
5
那
5契
3
3數
2
2
• (3)菠萝表皮
菠萝的中心軸 ： Z 轴 垂直于Z轴的平面： XOY
度量表皮上每一个六角形
的中心与平面XOY的距离
其中三个方向是按等差数列
排列的：
公差
0,5,10,15,20,… 5
0,8,16,24,32,… 8
0,13,26,39,52,… 13
三个连续的斐波那 契数列
• （4）花瓣的数目
花瓣的数目：
3 5 8 13 21
斐波那契数列
• （5）钢琴的琴键 在一个音阶中： 白色的键数为：8 黑色的键数为：5
两个连续的斐波那契数
7.斐波那契数列的应用
• （1）数学游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯， 对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四 小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的 长方 形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感 惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！ 可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他 的目的！
• 数列中的每一项被称为斐波那契数(Fibonnaci
Number) 以符号Fn 表示。
F1 = F2 = 1 ，而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>2) • 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之
和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示 有理数的一个范例。）（√5表示根号5） • 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项 公式居然是用无理数来表达的。
一個很有趣的數學問題:
假設每一對新生的小兔子,两个月後便會長大,且每 一个月都生一對小兔子。已知每次新生的一對兔 子都是一雄一雌,而所有兔子都沒有死去,且隔代的 兔子不會互相交配。
若現有一對小兔子,問一年後共有兔子多小對呢?
month
1 2 3 4 5
月數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
小兔子 對數
1
0
1
1
23
5
8 13 21 34 55
89
大兔子 對數
0
1
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144
兔子總 對數
1
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144 233
一年後兔子的總數為 233 對
3.斐波那契數列
• 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、 5、8、13、21、……
展开(1+a)n的代数式，n为正整数，其中 各项的系数必定与帕斯卡三角形中的数列 相同．
（5）帕斯卡三角形中的数字集
• 在帕斯卡三角形中沿 着对角线，可以找到各 种数字集．同时，对角 线的数字和，也会等于 下一条对角线中的下一 个数字．例如： 1+2+3+4+5=15 1+3+6+10=20 1+4+10=15
•
3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1
•
4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
•
5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
•
6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
2.帕斯卡三角形
斐波那契数列
（1）掷硬币
• 假设将一枚硬币掷4次， 可能出现16种不同的组 合方式，如上所示．其 中第一栏为全是正面(H)， 然后是3个正面、1个反 面(T)，以此类推，直到 没有正面出现为止．
• 如此所形成的数列与帕 斯卡三角形的第五行相 同．
18 17 16 15 14 13 12 车1
可以用迭代得到: 斐波那契数列的某一项F(n)=(BC^(n-2))1 这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义.
6.斐波那契数列的实例
• （1）向日葵的种子
• 绿色表示按順時針排列的種子 • 紅色表示按逆時針排列的種子
植物学家发現：
某种向日葵的种子是按两组螺旋排列， 其数目往往是连续的斐波那契數 。
• 普通大小的向日葵：34条顺时针螺旋
[ n〉m≥-1,且n≥1]
5.相关的数学问题
• 1.排列组合 有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级
或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有
一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三 级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登 法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有 89种走法。 • 2.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公 式
• （4）斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中 所有不包含相邻正整数的子集个数。
• （5）斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1， f(3)=2……）的其他性质：
•
1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
•Leabharlann Baidu
2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)
4.斐波那契數列的奇特属性
• （1）随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越 逼近黄金分割的数值0.6180339887……
• （2）从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之 积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
• （3）如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项 两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、 8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项 之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项 之积的差值也交替相差某个值
结束语
• 一些表面上毫无相关的数学内容，实质上 有着深刻的联系 ，斐波那契数列和帕斯卡 三角形就是一个典型的例子 。所以，重在 发现事物之间那千丝万缕的联系。
• （2）斐波那契弧线
斐波纳契弧线，第一，此趋势线以二个端点为准而画出， 例如，最低点反向到最高点线上的两个点。三条弧线均以 第二个点为中心画出，并在趋势线的斐波纳契水平： 38.2%， 50%和61.8%交叉。
斐波纳契弧线，是潜在的支持 点和阻力点水平价格。斐波那 契弧线和斐波纳契扇形线常常 在图表里同时绘画出。 支持点和阻力点就是由这些线 的交汇点得出。
二、帕斯卡三角形
1.帕斯卡
• 帕斯卡(Blaise Pascal，1623－1662)是法国著名的数学 家．要不是由于宗教信仰，瘦弱的体质，以及无意单单为 数学课题而耗尽全部精力，他本来可以成为一名伟大的数 学家．帕斯卡的父亲担心他的孩子也像他自己那样嗜好数 学，希望帕斯卡能在更宽阔的教育背景下发展，所以起初 劝导他不要学数学，希望能引发他在其他方面的兴趣．不 料帕斯卡在12岁，便显露出几何方面的天赋，从而使他的 数学志向在此后深受鼓舞．16岁时便写下了一篇关于圆锥 曲线的论文，这使当时的数学家们倍感惊奇．在文章中帕 斯卡陈述了后来为人所共知的帕斯卡定理：一条圆锥曲线 的内接六边形的三组对边的交点共线．18岁时，帕斯卡发 明了有史以来的第一台计算机．但就在这个时候，他遭受 到病魔的侵扰．为此，他向上帝许愿，将停止自己的数学 工作．此后三年，他写下了论述帕斯卡三角形及其性质的 著作．公元1654年11月 23日夜，帕斯卡经历了一场宗教 仪式．在仪式上他被要求献身于神学，并放弃数学和科 学．此后，除一个短暂的时期外(1658－1659)，帕斯卡不 再从事数学研究．
（2）国际象棋
36 120 330 792 1716 3432 28 84 210 462 924 1716 21 56 126 252 462 792 15 35 70 126 210 330 10 20 35 56 84 120 6 10 15 21 28 36 345678 111111
（3）11的乘方
记住的是在当趋势线上升，基
本线限制住了通道最高点，
当趋势线向下，基本线限制
住了通道的最低点。
• （5）斐波纳契时间周期线
• 斐波纳契时间周期线是以斐波纳契的时间间隔1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34等画出的许多垂直线。假定主要的 价格变化期望在这些线附近。 运用确定的单位时间间隔长 度的两点来创建此工具。根 据斐波纳契数列，全部其他 的线是在此单位间隔的基础 上确定的。
斐波纳契工具一起使用。
• （4）斐波纳契通道
• 斐波纳契通道利用几条趋势平行线建立。要创建这个工具， 通道宽度是取自每个单位宽度。平行线价格数值处于斐波 纳契数列相同的值。以0.618 开始为通道宽度，然后是 1.000，1.618，2.618，4.236来画平行线。当第五根线画 好后，与相应的趋势线相反方向的正确的线就画出了。
• （3）斐波纳契扇形线
• 斐波纳契扇形线，例如，以最低点反向到最高点线上的两 个端点画出的趋势线。然后通过第二点画出一条“无形的 (看不见的)”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线： 38.2%， 50%和61.8%的无形垂直线交叉。 这些线代表了支撑点和阻力点
的价格水平。为了能得到一个
更为精确的预报，建议和其他
11^0= 1 11^1= 1 1 11^2= 1 2 1 11^3=1 3 3 1
• 11的乘方至114时，仍 满足帕斯卡三角形的 形式．115由于会进位， 所以并不能对应帕斯 卡三角形第六行的数 字1、5、10、10、5、
1
(4)二项式
(1+a)0=1 (1+a)1=1+a (1+a)2=1+2a+a2 (1+a)3=1+3a+3a2+a3 (1+a)4=1+4a+6a2+4a3+a4
由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将 斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
• 3.数列与矩阵 对于斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定义 F(n)=f(n-1)+f(n-2) F(1)=1 F(2)=1 对于以下矩阵乘法
它的运算就是 F(n+1)=F(n)+F(n-1) F(n)=F(n) 可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义
斐波那契数列与 帕斯卡三角形
一、斐波那契数列
1.斐波那契
• “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂 纳多·斐波那契。他被人称作“比萨的列昂纳多”。 1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一 书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的 欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为 外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地 区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯
老师的指导下研究数学。他还曾在
埃及、 叙利亚、希腊、西西里和
普罗旺斯研究数学。
2.斐波那契数列来源
• 根据高德纳的《计算机程序设计艺术》，1150年 印度数学家Gopala和Hemachandra在研究箱子包 装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先
描述这个数列。
• 斐波那契这个数列来自他的《算盘书》中 一道并不出名的问题
•
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log
n）的程序。
•
7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
•
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
•
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
•
10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m)
•
55条逆时针螺旋
• 较大的向日葵： ８９条顺时针螺旋
•
１４４条逆时针螺旋
• （2）.植物分枝
8
13 斐
8波
5
那
5契
3
3數
2
2
• (3)菠萝表皮
菠萝的中心軸 ： Z 轴 垂直于Z轴的平面： XOY
度量表皮上每一个六角形
的中心与平面XOY的距离
其中三个方向是按等差数列
排列的：
公差
0,5,10,15,20,… 5
0,8,16,24,32,… 8
0,13,26,39,52,… 13
三个连续的斐波那 契数列
• （4）花瓣的数目
花瓣的数目：
3 5 8 13 21
斐波那契数列
• （5）钢琴的琴键 在一个音阶中： 白色的键数为：8 黑色的键数为：5
两个连续的斐波那契数
7.斐波那契数列的应用
• （1）数学游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯， 对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四 小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的 长方 形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感 惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！ 可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他 的目的！
• 数列中的每一项被称为斐波那契数(Fibonnaci
Number) 以符号Fn 表示。
F1 = F2 = 1 ，而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>2) • 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之
和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示 有理数的一个范例。）（√5表示根号5） • 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项 公式居然是用无理数来表达的。
一個很有趣的數學問題:
假設每一對新生的小兔子,两个月後便會長大,且每 一个月都生一對小兔子。已知每次新生的一對兔 子都是一雄一雌,而所有兔子都沒有死去,且隔代的 兔子不會互相交配。
若現有一對小兔子,問一年後共有兔子多小對呢?
month
1 2 3 4 5
月數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
小兔子 對數
1
0
1
1
23
5
8 13 21 34 55
89
大兔子 對數
0
1
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144
兔子總 對數
1
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144 233
一年後兔子的總數為 233 對
3.斐波那契數列
• 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、 5、8、13、21、……
展开(1+a)n的代数式，n为正整数，其中 各项的系数必定与帕斯卡三角形中的数列 相同．
（5）帕斯卡三角形中的数字集
• 在帕斯卡三角形中沿 着对角线，可以找到各 种数字集．同时，对角 线的数字和，也会等于 下一条对角线中的下一 个数字．例如： 1+2+3+4+5=15 1+3+6+10=20 1+4+10=15
•
3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1
•
4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
•
5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
•
6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
2.帕斯卡三角形
斐波那契数列
（1）掷硬币
• 假设将一枚硬币掷4次， 可能出现16种不同的组 合方式，如上所示．其 中第一栏为全是正面(H)， 然后是3个正面、1个反 面(T)，以此类推，直到 没有正面出现为止．
• 如此所形成的数列与帕 斯卡三角形的第五行相 同．
18 17 16 15 14 13 12 车1
可以用迭代得到: 斐波那契数列的某一项F(n)=(BC^(n-2))1 这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义.
6.斐波那契数列的实例
• （1）向日葵的种子
• 绿色表示按順時針排列的種子 • 紅色表示按逆時針排列的種子
植物学家发現：
某种向日葵的种子是按两组螺旋排列， 其数目往往是连续的斐波那契數 。
• 普通大小的向日葵：34条顺时针螺旋
[ n〉m≥-1,且n≥1]
5.相关的数学问题
• 1.排列组合 有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级
或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有
一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三 级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登 法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有 89种走法。 • 2.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公 式
• （4）斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中 所有不包含相邻正整数的子集个数。
• （5）斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1， f(3)=2……）的其他性质：
•
1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
•Leabharlann Baidu
2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)
4.斐波那契數列的奇特属性
• （1）随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越 逼近黄金分割的数值0.6180339887……
• （2）从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之 积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
• （3）如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项 两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、 8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项 之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项 之积的差值也交替相差某个值
结束语
• 一些表面上毫无相关的数学内容，实质上 有着深刻的联系 ，斐波那契数列和帕斯卡 三角形就是一个典型的例子 。所以，重在 发现事物之间那千丝万缕的联系。
• （2）斐波那契弧线
斐波纳契弧线，第一，此趋势线以二个端点为准而画出， 例如，最低点反向到最高点线上的两个点。三条弧线均以 第二个点为中心画出，并在趋势线的斐波纳契水平： 38.2%， 50%和61.8%交叉。
斐波纳契弧线，是潜在的支持 点和阻力点水平价格。斐波那 契弧线和斐波纳契扇形线常常 在图表里同时绘画出。 支持点和阻力点就是由这些线 的交汇点得出。
二、帕斯卡三角形
1.帕斯卡
• 帕斯卡(Blaise Pascal，1623－1662)是法国著名的数学 家．要不是由于宗教信仰，瘦弱的体质，以及无意单单为 数学课题而耗尽全部精力，他本来可以成为一名伟大的数 学家．帕斯卡的父亲担心他的孩子也像他自己那样嗜好数 学，希望帕斯卡能在更宽阔的教育背景下发展，所以起初 劝导他不要学数学，希望能引发他在其他方面的兴趣．不 料帕斯卡在12岁，便显露出几何方面的天赋，从而使他的 数学志向在此后深受鼓舞．16岁时便写下了一篇关于圆锥 曲线的论文，这使当时的数学家们倍感惊奇．在文章中帕 斯卡陈述了后来为人所共知的帕斯卡定理：一条圆锥曲线 的内接六边形的三组对边的交点共线．18岁时，帕斯卡发 明了有史以来的第一台计算机．但就在这个时候，他遭受 到病魔的侵扰．为此，他向上帝许愿，将停止自己的数学 工作．此后三年，他写下了论述帕斯卡三角形及其性质的 著作．公元1654年11月 23日夜，帕斯卡经历了一场宗教 仪式．在仪式上他被要求献身于神学，并放弃数学和科 学．此后，除一个短暂的时期外(1658－1659)，帕斯卡不 再从事数学研究．
（2）国际象棋
36 120 330 792 1716 3432 28 84 210 462 924 1716 21 56 126 252 462 792 15 35 70 126 210 330 10 20 35 56 84 120 6 10 15 21 28 36 345678 111111
（3）11的乘方