27.2.1相似三角形的判定(3)

∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF A
400
D
800
600
800 C
600
B
E
F
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=400，∠B=800， ∴ ∠C=1800－∠A －∠B =1800－400 －800 ＝600 ∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600 ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F ∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。
A B D F B 图 1
E
G E C
O F D 图 2
C
（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°， ∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？ ∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °
观察
观察两副三角尺，其中同样角度（30° 与60°，或45°与45°）的两个三角尺,它们 一定相似吗？
如果两个三角形有两组角对应相等， 它们一定相似吗？
(1)作△ABC和△ A’B’C’,使得∠A＝∠A’,
∠B＝∠B’，这时它们的第三个角满足∠C＝ ∠C’吗? (2)分别度量这两个三角形的边长,计算
证明：在AB,AC上分别截取AM= DE,AN = DF
∵ AM=DE,∠A=∠D，AN=DF ∴ ΔAMN≌ΔDEF， ∴ ∠AMN=∠E， 又∵ ∠B=∠E， ∴ ∠AMN=∠B， ∴ MN//BC， ∴ ΔAMN∽ΔABC。 ∴ ΔDEF∽ΔABC
B M A D
N C E
F
找一找
（1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。 答：相似三角形有 △ADE∽△AFG∽△ABC。 （2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。 答：相似三角形有 A △AOB∽△FOE∽△DOC。
求证：△ABC∽△ A’B’C’
用数学符号表示：
D E C B/
A
A/
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
B
C/
P48 判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
----“两角”定理
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800，
2、课堂练习
（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500， ∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？ A/ A/ A A 550
550 750 500
750
B
C
B/
C/
B A
C
B/ A/
C/
（ 2 ） 已 知 等 腰 三 角 形 ΔABC 和 ΔA/B/C/中，∠A、∠A/分别是顶角， 求 证 ： ① 如 果 ∠ A=∠A/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/。 ② 如 果 ∠ B=∠B/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/。 B
C
B/
C/
例题分析
例2. 如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB， 试说明△ADE∽△EFC.
B D
A
E
F
C
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知），
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等） ∠AED＝∠C. （两直线平行，同位角相等） ∴ △ADE∽△EFC. （两个角分别对应相等的 两个三角形相似．）
例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
求证：ΔACD ∽ ΔABC
∽ ΔCBD 。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。 此结论可以称为“母子相似定理”,今 后可以直接使用. C
A
D C B C
E
B
3.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
A
D
B
C
4、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 18 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC= 4 √2 12√2
应用新知：
证一证
4.如图, ∠B=90°,AB=BE=EF=FC=1,求证: (1) ⊿AEF∽⊿ CEA. (2) ∠1+ ∠2= 45 °
A
3 1
1
2
B
1
E
1
F
1
C
已知零件的外径为25cm，要求 它的厚度x，需先求出它的内孔 直径AB，现用一个交叉卡钳 （AC和BD的长相等）去量 （如图），若OA：OC=OB： OD=3，CD=7cm。求此零件的 厚度x。
B
E
C
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
综合提高
如图, ⊿ABC中,CD是边AB上的高, 且AD:CD=CD:BD, 求∠C的大小.
C
A
D
B
应用新知：
画一画
4.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C 的一点，过点P作直线截ΔABC，使截得的 三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线 共有 （ C ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
27.2
三角形相似的判定（3）
复习
1、相似三角形有哪些判定方法? （１）．定义法（不常用）
B
A
A/
C
B/
C/
（２）．“平行”定理：平行于三角形一边
的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似。
（３）．“三边”定理：三边对应的比相等， 两个三角形相似. （４）．“两边夹角”定理：两组对应边的比相 等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似. 2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？
PD PB
C
D O· P B
即PA·PB=PC·PD
例2.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA· PB=PC· PD 证明:连接AD、BC
⌒ ∵∠A、∠C都是BD所对的圆周角
∴ ∠A=∠C 同理: ∠D=∠B（或∠APD＝∠CPB） ∴△PAD∽△PCB
C
A
D
O
P B

PA PC
来自百度文库

PD PB
（1）如图3，点D在AB上，当∠ ACD ＝∠ B 时， ∠ ∠ △ACD∽△ABC。 (或者∠ ACB＝∠ ADB) （2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 DE//BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似。 (或者∠ C＝∠ ADE)
A D D B 图 3 C B 图 4 D
A D
35° 85° 60°
A D E A C B 85
又 A A = 35
E C
85°
B
△ ADE △ ACB
AD AC AE AB
即 A D A B = A E A C
例4、在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠ACD=∠ABC。求证：AC2=AB· AD
证 明 ： AC平 分 DAB
BAC＝ CAD
又 ACD＝ ABC
A
D
△ ACD △ ABC
B
C

AC AB
＝
AD AC
A C A C ＝ A B A D
即 A C ＝ A B A D
2
练一练
• 1、在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥BA 于点D。证明：AC2＝AD· AB
C
B
D
A
练一练
• 2、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD ＝90°，对角线BD⊥DC。 • 证明：BD2＝AD· BC
D
B
C
A E D B C
练一练
3.如图已知D、E分别是△ABC的边AB、AC 上的点，且 A D A B ＝ A E A C 。 证明： A E D ＝ B
A D
方法5：“两角”定理：两角对应相等，
（这可是今天新学的，要牢记噢！) 两三角形相似。
四、课外作业
1.填《练习册》 2.复习
下
课
5、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=90 ， BD⊥AC于D
0
问：若E是BC中点，ED的延 长线交BA的延长线于F， 求证：AB : AC=DF : BF
A
F
D
AB , AC ,
BC B 'C '
A 'B ' A 'C '
,你有什么发现?
A A/
(3)△ABC和△ A’B’C’ 相似吗? B
C
B/
C/
已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A A , B B
/
/
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
A
A/
分析:要证两个三角形相似， 目前只有四个途径。一是 B C B/ C/
三角形相似的定义；二是“平行”定理；三是“三边”定理； 四是上节课学习的“两边夹角”定理。
为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？ （把小的三角形移动到大的三角形上）。 怎样实现移动呢?
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/， 连结DE。 已知：在△ABC 和△ A’B’C’,中, ∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/（SAS） ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。 若∠A=∠A’，∠B=∠B’，
D
E
D E
B
C
B
C
泰勒斯测量金字塔高度的示意图:
A′
A′
A
A B C B′ C′ B
C
B′
C′
如果人体高度AC＝1.7米，人影长BC＝2.2米，而B′C′ ＝176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？
可证△ABC∽△A’B’C’ 即
AC BC A'C' B'C'
所以A’ C’=1.7x176÷2.2=136m
已知：在△ABC 和△ A’B’C’,中, 若∠A=∠A’，∠B=∠B’， 求证：△ABC∽△ A’B’C’
A
D
利用相似三角形的 利用相似三角形的 条件不够 可以证明！ 定义？ 预备定理？
B
C
E
F
把小的三角形移动到大的三角形上 怎样创造具备预备定理条件的图。 形？
是否相似？
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一 已知:在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E, 个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 求证: △ABC与△ DEF. 形相似。 (两角对应相等，两三角形相似)
应用新知：
选一选
3.从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的相 似的三角形证明.
5 30 45 1 30 105 4 2 30 9 2 105 45 5 2.5 6 30 4.5 4 3 30
（1）与（4）与（5）----“两角”定理 （2）与（6）--“两边夹角”定理
即PA· PB=PC· PD
例3.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点， 若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °则AD· AB= AE· AC
解 ： 在 △ A D E 中 ， A D E =180 A A E D 180 35 60 =85
A
D
B
延伸练习
已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是
BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。 答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF. A A
F
E F
E
B
D
C
D
C
课外思考题： 如图，在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连 结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 （提示：图有两种可能） ΔABC相似？ A A
课堂小结
相似三角形的识别方法有那些？
方法1：通过定义

三个角对应相等 （不常用） 三边对应成比例
方法2： “平行”定理：平行于三角形一边的直线和
其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
方法3：“三边”定理：三组对应的比相等，两个
三角形相似. 方法4：“两边夹角”定理：两组对应边的比相等， 且夹角相等的两个三角形相似.
●
(或者∠ B＝∠ ADE)
A
E
C
• P48 练习 1、2
C
A
D
B
例2：如图，弦AB和CD相交于圆O内一点
P，求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AC、BD。 ∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角， A ∴∠ A=∠D。 同理∠C=∠B （或∠APC＝∠DPB） 。 ∴△PAC∽△PDB。 ∴ PA PC
应用新知：
4、判断题：
想一想
(1)所有的直角三角形都相似 .
(× )
(2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.(√ )
(3)所有的等边三角形都相似.
(4)所有的等腰直角三角形都相似.
(√ )
(√ )
(5)顶角相等的两个等腰三角形相似.
(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似.
(√ )
(× )
填一填