最新浅谈构造法在中学数学解题中的应用上课讲义
浅谈构造法在初中数学解题中的运用
＝
２一
２＋√ ３
该方法难度较大 ， 在讲解本题 的过程 中 ， 由于 图形 中相
＋ ９＋ （ ５一 ） ＋ ４的最 小 值 ．
例 ２ 求 函 数 Ｙ＝
似三角形 很多 ， 学 生往往 不知选 择 哪一对 相似 三角 形来 进 行计算求 解． 下面我们介绍一种较为简洁的方法
分 析 将原函 数表达式改 写成Ｙ ＝ 、 ／ ／ （ 一 ０ ） ＋ （ ０ ＋ ３ ） ＋
（ 一 ５ ） ＋（ ０— ２ ） ， 发 现 式 子 的 形 式 是 两 点 间 的 距 离 公
解
根据任意三角形都有且 只有一
式， 进一 步分 析得到其几何意 义是 平面直角坐标 系中点 （ ，
Ｊ（ ｘ 一 ５ ） ＋ （ ０ — ２ ） ．
原题转化为 ： 在 轴上 求一 点 Ｐ（ ， ０ ） ， 使得 Ｐ Ａ＋ Ｐ Ｂ的值最小．
的创 造性思维有着重要意义．
（ １ ） ， － ３ ）
ห้องสมุดไป่ตู้
【 关键 词】 构造 ； 转化 ； 联想
在数学 中， 构造法就是根据题 目的题 设或结 论 ， 构 造 出
Ａ
Ｂ Ｄ＋Ｃ Ｄ＝ ２＋ ３＝ ５； 令Ｄ Ｆ＝ ， 贝 ０ Ａ Ｄ＝ Ａ Ｆ＋ Ｄ Ｆ＝ ５＋ ，
根据 △Ａ Ｄ ｃ 一 △肋 Ｆ得 ＝ ，
即 ：一 ３
，
Ｃ Ｄ 至 Ａ， 使 Ｄ ＝Ｂ Ｄ， 贝 ０ Ａ＝
１ 肋 ｃ ＝１ ５ 。 ， 设
整理得 Ｘ ２ ＋５ 一 ６： ０ ，
图２
显然 ， 当且仅 当 Ｐ点 为线 段 Ａ Ｂ与 轴 的交点时 ， Ｐ Ａ＋
满足条件或结论 的数学 对象 ， 并借 助该 对象来 解 决数 学问
浅谈构造法在解题中的应用
摘要构造法作为数学解题中的一种重要的思想方法，它是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识与解决原问题的一种方法.构造法的内涵十分丰富并且没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛的普遍性和特殊的实际问题为基础，针对一些数学问题的特点而采用相应的解决办法.合理运用构造法不仅可以提高解题效率，而且也能够发展学生的思维能力和创新意识.鉴于此，本文的重点主要体现在构造法在解题中的应用.具体来说，本文主要基于构造法的理论简介，探讨它在不等式、函数、以及其他特例中等问题的相关应用.关键词:构造法，解题，应用Analysis to application of structured method insolving problemsAbstractStructured method as an important method of thinking in mathematics problem solving, it is based on the special question condition and conclusion, constructs some new mathematical forms, and with the help of a method to recognize and solve the original problem. The content of structured method is very rich and has no completely fixed models to be applied to practical problems, It is based on a wide range of practical problems of universality and particularity, for some of the features of mathematical problems and solutions using the corresponding method. Proper and rational use of the structured method can not only improve the efficiency of solving the problems, but also develop the students' t thinking ability and sense of innovation. In view of this, the focus of this paper is mainly reflected in construction method in solving the problem. Specifically, This paper is mainly based on the theory of structured method, explores it in the inequality, function, and other special medium problems in related practical applications.Keywords: structured method, problem solving, application目录一、引言 (1)二、构造法的理论简介 (1)（一）构造法 (1)（二）构造法的历史过程 (2)1.构造法与构造主义 (2)2.直觉数学阶段 (2)3.算法数学阶段 (2)4.现代构造数学阶段 (3)（三）构造法的特征 (3)三、构造法在解题中的应用 (3)（一）构造法在不等式中的应用 (3)1.构造函数 (4)2.构造向量 (5)3.构造数列 (5)4.构造几何模型 (6)（二）构造法在函数中应用 (7)1.构造函数 (7)2.构造方程 (8)3.构造复数 (10)4.构造级数 (10)5.构造辅助命题 (11)（三）构造法在其他特例中的应用 (12)1.构造新的数学命题 (12)2.构造递推关系 (13)3.构造反例 (14)4.构造实际模型 (14)四、结束语 (15)参考文献 (16)致谢 (16)一、引言数学的学习过程离不开解题，美国数学家哈尔莫斯也曾说过“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏”.一个好的问题解决方式往往有多种.而数学思维方法是解数学题的灵魂，构造法作为一种传统的数学思想方法，在数学产生时就存在.历史上有不少数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾用构造法解决过数学上的很多问题.数学蕴含着丰富的美，构造法则起到了锦上添花的作用.近几年来，构造法在中学数学中也有了很高的地位.利用造法解题需要有扎实的基础知识、较强的观察能力、创造思维和综合运用能力等.构造法反映了数学发现的创造性思维特点，我们所学的“构造”并不是“胡思乱想”，不是随便“编造”出来的，而是以我们所掌握的知识为背景，以具备扎实的能力为基础，通过仔细观察，认真分析去发现问题的每一个环节以及它们的联系，进而为寻求解题方法创造条件.在运用构造法解题的步骤中，不仅可以巩固学生的基本知识，还能培养学生观察、分析、联想、猜测等数学能力，激发学生的创造性思维.所以在数学教学中，应注重对学生在日常训练中运用构造法解题，使学生体会数学知识间的内在联系和相互转化，能创造性的构造数学模型，巧妙的解决问题，从而获得学习的轻松感和愉悦感，培养与增强了学生学习数学的积极性，提高他们的解题能力.构造法作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用.本文从构造函数、构造方程等常见构造及特殊构造出发，浅谈构造法在数学解题中的应用.二、构造法的理论简介（一）构造法构造法是数学中的一种基本方法，它是指当某些数学问题使用通常办法或按定势思维去解决很难奏效时，根据问题的条件和结论特征，从新的角度，新的观点观察、分析、解释对象，抓住反映问题的条件和结论之间的内在联系，把握问题的数量、结构等关系的特征，构造出满足条件或结论的新的对象，或构造出一种新的问题形式，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造的数学对象（或问题形式）中清楚地展现出来，从而借助该数学对象（或问题形式）简捷的解决问题的方法.构造法是解决各类数学题常用而且重要的方法之一，它在解决不同题目时的思考方式灵活多样,构造的形式也不尽相同，如何系统的理解和掌握构造及其构造的思路对数学学习就显得十分必要和重要.本文结合数学实际阐述了构造法在数学解题中的重要性和必要性.我们在解题过程中出于某种需要，要么把题设条件中的关系构造出来，要么将关系设想在某个模型上得以展现，要么将已知条件经过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使问题得以解决.在这种思维过程中，对已有的知识和方法采取分解、组合、变换、类比限定、推广等手段进行思维的再创造，构造新的式子或图形来帮助解题.所谓“构造法”即是在解题中利用已知条件和数学知识所具备的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决.总之用构造法解题的关键就是搞清对什么进行构造，构造成什么，以及如何构造的问题.（二）构造法的历史过程1.构造法与构造主义从数学产生的那天起，数学中构造性的方法也就伴随着产生了.但是构造性方法这个术语的提出，直接把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，与数学基础的直觉派是密切相关的.直觉派出于对数学“可信性”的考虑，提出了一个著名的口号：“存在必须是被构造的”.这就是构造主义.2.直觉数学阶段直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性.他认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论,并且批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”.3.算法数学阶段“发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论所引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除，只限于研究那些可以能行的定义或构造的对象”，这就是布劳威创立直觉数学的想法.由于马尔科夫的工作，使构造性方法进入了“算法数学”的阶段.4.现代构造数学阶段1967年比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段.他通过重建现代分析的一个重要组成部分，重新激发了构造法的活力.实际上，构造法在古代数学的建立与发展中也起着重要的作用.以西方的《几何原本》和中国的《九章算术》为例，尽管两者在逻辑推理方式上迥异，但在运用构造性方法方面却有着一些共同之处.我国古代数学所采用的构造方法，注重问题解决的能行性，数学家吴文俊曾指出，《九章算术》中的开方术经过一千多年发展到宋代的增开方与正负开方术的求方程根的数值解法是中国古代数学构造性与机械性思想方面的代表性成就.由此可知，在数学发展之初，大量的直观经验需要加以总结和提高，构造方法此时就体现出极强的应用价值，所以在中西方古代数学中产生了深远的影响.（三）构造法的特征一般来说，构造法具有如下两个基本特征：1．对所讨论的对象能有较为直观的描述.2．不仅能判明某种数学结论的存在，而且能够实现运演操作并求出表述的结果，利用构造法证明某个问题，具有简捷易懂，说服力强的特点.当我们遇到复杂的问题或实际问题而无从下手解决时，如果我们恰到好处的构造出一个数学模型来，便会有种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.三、构造法在解题中的应用理解和掌握构造思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃，构造法的前提和基础是熟悉相关的概念，很多数学问题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用构造思想，能使解答别具一格，耐人寻味. （一）构造法在不等式中的应用不等式是研究数的性质、方程函数等的重要工具之一，在函数的单调性和极值问题中，不等式的应用非常重要.但在不等式的证明中，掌握有一定的难度，而构造法是一种极具创造性的解题方法,体现了各种数学解题方法.下面谈谈怎么用构造法解决在不等式中的相关应用.函数是数学知识的中心之一， 方程可以看作是函数值为零的情况，不等式可以看作是两个函数之间的不等关系，因此方程和不等式都是函数的特殊表现形式.利用函数的性质来解决不等式问题也是一种行之有效的办法.例1.已知R e d c b a ∈,,,,,且满8a b c d e ++++=,2222216a b c d e ++++=,试确定e 的最大值.（美国第七届中学数学竞赛题）分析：根据222228,16a b c d e a b c d e +++=-+++=-这两个式子构造 以d c b a ,,,为系数的二次函数作为辅助工具手段，从中转化出e 的不等式.解：由于222228,16a b c d e a b c d e +++=-+++=-,构造二次函数：()()()2222242f x x a b c d x a b c d =++++++++()()()()2222x a x b x c x d =+++++++0≥. 由已知条件得：()()22481616e e -≤-, 解得：1605e ≤≤当d c b a ===时，有=max e 165. 例2.已知(),,1,1a b c ∈-，求证2abc a b c +>++. 分析：因为()()()212abc a b c bc a b c +-++=-+--,所以构造一次函数y kx b =+的形式，根据k 的正负来判断函数的单调性.解：∵()()212abc a b c bc a b c +-++=-+--,∴可构造函数()()(1)2,1,1f x bc x b c x =-+--∈-,∵(),1,1b c ∈- 所以1<bc 即01<-bc ,∴ ()f x 在R 上是单调减函数,∵()1,1a ∈-,∴()()()()11110f a f b c bc b c >=--+=-->,即()120bc a b c -+-->.平面向量是数学教学中非常重要的教学工具，它不仅反应数量关系，而且体现位置关系，所以充分利用向量模型可以解决、几何及三角等数学问题，实现数形之间的转化，其解题思路简单，尤其是对几何问题，效果更显著.例3.已知1,0,=+>b a b a ,≤分析： 观察此题的结构，左边是和的形式，右边是常数，对左边的式子稍加变形就能表示出两个向量的坐标,然后计算出两个向量的模，再结合数量积和模的关系就构造了一个不等式，从而结论得证.证明：设()1,1=m ,()12,12++=b a n 则有,1212+++=⋅b a n m , 与2=m ,21212=+++=b a n , 因为n m n m ≤⋅,所以≤解后反思 ：本例通过构造二维向量，利用向量数量积的定义及性质来求最大值，大大降低了本题求最大值的难度，在求最值中，巧妙构造适当的向量，会收到直观明快，出奇制胜的效果，同时也体现了向量解决问题的优越性.例4.已知a ,b ,c 均为正数,求函数y =值.解：构造向量()a x ,=α , ()b x c ,-=β ,原函数为：()()22b a x c x y ++-+≥+=βα ()22b a c ++=,即y 3.构造数列数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法出现在数学解题中，在解决诸多数学问题尤其是在不等式证明中，通常可以构造一个数列，利用数列的性质和求和运算来解题，很有使用价值.例5.()2112n ⋅⋅⋅++.证明：()2112n x n =⋅⋅⋅++,,,2,1 =n()()221112122n n x x n n +-=+++ ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=2321n n n 04932322<++-++=n n n n ， 1n n x x +∴<),2,1( =n 即{n x }是递减数列,于是n x 120x <=<,()2112n ⋅⋅⋅++. 此题的巧妙之处在于恰当的构造了一个辅助数列{n x }，而利用数列自身的性质，将难于证明的问题变易，使问题迎刃而解.例6.求不超过8的最大整数.分析：如果把8展开去计算，计算量比较大且相当麻烦，想到是的共轭根式，而0<<1,我们先去计算8+8 问题就简化多了.解：x y 则y x +=222,16xy x y =+=, ()28844442x y x y x y +=+-()[]442222222y x y x y x --+=()2256832=--61472=.即8+8=61472.因为0<8<1,所以不超过8的最大整数为61471.本例题通过对偶思想，构造对偶数列8，使问题得到巧妙解决. 4.构造几何模型 如果原问题的已知条件，数量关系有比较明显的几何意义或者是以某一种形式可以和几何图形建立联系，那么我们就可以把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形中的几何量，即构造出一个符合条件的几何图形，便可应用该图形的性质及相应的几何知识证明不等式.例7.m >，()0m n >>.分析：由隐含条件可知0m n >>和22m n -的形式考虑到可以构造一个直角三角形ABC ，如图所示使AB m =，BC n =，90C ︒∠=，显然AC =， 0m n >> ，2mn n >，222mn n >,222mn n n ∴->n >; n m >>.数形结合是针对具体问题的特点而构造出的几何模型，是借用一类问题的性质，来研究一类问题的思维方法，是丰富学生联想，拓展学生思维，培养学生创造意识和创造思维的手段之一.数形结合有助于找到解答思路，也常使解答简捷，是一种很常用的解题法，一些不等式问题若能发现其几何意义，合理巧妙地构造图形，则可达到事半功倍的效果.（二）构造法在函数中应用构造函数需牢固掌握各类初等函数的性质.构造函数的过程要求我们敏锐地观察、正确地判断、合理地选择适当的函数，并准确运用函数的性质.有些数学问题本质上就是将其中某些变化的量建立起联系来构造函数，再利用函数性质就能解决，其基本思想就是将数学问题转化为函数问题来解答，它的用途非常广泛，常见的有不等式的证明、解方程、做辅助函数等，下面谈谈如何用构造法解决在函数中的应用.1.构造函数例8.(一般形式的中值定理)设f 和g 是闭区间[]b a ,上的两个连续函数,在开区间()b a ,内都可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得()()[]()()()[]()ξξf a g b g g a f b f '-='-.分析:将结果中的ξ换成变量x ,可得()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f '-='-,作恒等变换()()[]()()()[]()0='--'-x f a g b g x g a f b f , 则 ()()[]()()()[]()()0='---x f a g b g x g a f b f ,积分得()()[]()()()[]()C x f a g b g x g a f b f =---,作辅助函数()()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f x F ---=.BC A证明: 作辅助函数:()()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f x F ---=,显然()x F 在闭区间[]b a ,上满足Rolle 理的条件,故在()b a ,内至少存 在一点ξ,使得()0='ξF 即()()[]()()()[]()ξξf a g b g g a f b f '-='-.从一般形式的中值定理的证明看出:微分中值类问题中的证明,关键是构造一个辅助函数,构造方法一般从结论出发,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,具体的构造方法如下:将欲证结论中的ξ换成x ,然后等式两端积分,再将积分结果移项,使等式一端为常数,则等式的另一端即为所求的辅助函数. 2.构造方程方程是数学解题的一个重要工具，对于很多数学问题，根据其已知条件，数量关系构造出与结论相关的函数方程，在已知与未知之间搭起桥梁，通过对辅助方程及方程的性质（比如求根、找根与系数的关系、找判别式等）的研究，来解决原问题，使解答简捷、合理.例9. 设R y x ∈,且322=++y xy x ，求22y xy x +-的最值.分析：观察已知条件所给的两个代数式的结构特点，设22x xy y k -+=,则易得到22x y +与22x y 的等式.联想到将22,x y 看作是某一个方程的两个根，则代数式的最值问题转化为方程是否有解的问题，问题就容易解决多了.解：由已知322=++y xy x ，并设22x xy y k -+=,可得2232k x y ++= , 222694k k x y -+= 所以22,x y 是关于t 所构造函数方程22369024k k k t t +-+-+=的两个根, 2236902k k k +⎛⎫∴∆=--+≥ ⎪⎝⎭或21090k k -+≤. 19k ∴≤≤当y x ==1时，221x xy y -+=；当3,3x y ==时,22y xy x +-=9.综上可知22y xy x +-的最小值为1,最大值为9. 例10.设242210,210a a b b +-=--=且210,0ab a -≠≠.求2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.分析：通过仔细观察，可将2210,0a a a +-=≠变为211210a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再由 ()222210b b --= 发现21,b a可看作是2210x x --=的两个根，同时2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭等价为2000221b b a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭构造函数方程使问题变得简单.解：将2210,a a +-=变形为211210a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0a ≠ ,()222210b b --=,∴21,b a是2210x x --=的两个根, 即212b a+=，211b a =-.所以2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()200020002211211b b aa ⎛⎫++=-= ⎪⎝⎭.例11.锐角,,αβγ满足222sin sin sin 12sinsinsin222222αβγαβγ++=-,求证αβγπ++=.证明：已知条件可视为关于sin2α的一元二次方程，由题意可得222sin 2sin sin sin sin sin 10222222αβγαβγ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由2222224sin sin 4sin sin 14cos cos 222222βγβγβγ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭, 因为,,αβγ为锐角，即,,222αβγ也均为锐角，由一元二次求根公式得sinsinsincoscoscos 2222222αβγβγβγ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭, 又022απ<< ，则sin02α>，再由022βγπ<+<，则有2222aβγπ+=-， 故αβγπ++=. 3.构造复数复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题可以转化为复数问题，虽然数的结构会变得复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔天空”.复数内容的增加使学生更加全面的认识数的概念，也把学生的思维打开，而不是局限于实数那个狭小的范围内.例12.求函数y =.分析：可以看作是2x i +的模,可以看作是()13x i -++的模,然后利用复数模的性质求解.解：设()12122,1315z x i z x i z z i =+=-++⇒+=+, 因为1212z z z z +≥+,≥=当 1z ,2z 同向时，即12x x-=时 ,25x =.综上可知y .4.构造级数级数与函数、数列、导数等诸多知识密切的联系在一起，根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个级数，然后依据理论，使问题在新的关系下得到转化而获解.下面就是一个构造级数的例子.例 13.设{}n x 的定义如下：()()12121,,,3,42n n n x a x b x x x n --===+=⋅⋅⋅ 求lim n n x →∞.解析：构造级数11()k k k x x ∞-=-∑ 设00x = 具体的写出{}1k k x x --如下：()02112x x b a b a ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭,()()()13221221111222x x x x x x x b a ⎛⎫-=+-=--=-- ⎪⎝⎭,()()()24332332111222x x x x x x x b a ⎛⎫-=+-=--=-- ⎪⎝⎭,……,()2112k k k x x b a --⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,……,因此lim n n x →∞=11()k k k x x ∞-=-∑()()2211223k k b a a a b -∞=⎛⎫=--+=+ ⎪⎝⎭∑. 本题中的级数11()k k k x x ∞-=-∑就是构造的级数，它通过合适的构造，使原问题变得更加简单易求. 5.构造辅助命题在解决某些数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么我们不妨构造一个辅助命题作为依据，只要证明了这个命题是真命题，原命题就迎刃而解.这种解决数学问题的方法，称为构造辅助命题.例14.解方程53232+=--x x x . （1） 分析：直接去原方程的绝对值符号得53232+=--x x x . （2）如果方程（1）与（2）同解，问题就容易解决.但在初等数学中没有定理可用来解决直接判定这两个方程是否同解.注意到方程（1）的定义域为R ,而对于任何R x ∈恒有()()03532322>+=++--x x x x ，于是可构造辅助命题：设方程()()x x f ϕ=. （3） 的定义域为A ,如果对于任何A x ∈，恒有()()0>+x g x f ，那么方程（3）与方程()()x x f ϕ=. （4） 同解.证明：先证（3）的解是（4）的解. 设1x 是（3）的任一解，则()()11x x f ϕ=， 两边平方得()()[]()()[]01111=+⋅-x x f x x f ϕϕ;()()11x x f ϕ=∴.再证（4）的解必是（3）的解.设2x 是（4）的任一解，则()()22x x f ϕ=，上式可改写为()()22x x f ϕ=，这表明2x 是方程（3）的解，命题得证. 根据上述辅助命题，解例题方程（1）只需解方程（2); 解得：1-=x 或7=x .下列方程也可根据这个辅助命题求解： (1).;311x x x -=-++ (2).x x x -=-+7322.（三）构造法在其他特例中的应用综合上面，我们所列举构造法的一些应用，其实构造法的应用不仅仅这些，还有其他的,下面我们列举一些其他的构造法，可以让我们更进一步去研究构造法的应用. 1.构造新的数学命题当一些问题直接证明（或求解）较困难时，可以寻找与之等价（或接近）的较易证明的另一问题，比如构造原命题的逆否命题、构造矛盾命题等.例15.求证在自然数集中，存在()N n n ∈+,12个连续的自然数，使得前1+n 个自然数的平方和等于后n 个数的平方和.分析：这是一个证明存在性的问题，直接证明不易入手，但可以从题目的“连续”和“12+n ”的条件发现这12+n 个数中，中间的那个数（即第1+n 个数）是关键.不妨设这个数为m ，则第一个数为n m -，第12+n 个数为n m +，这样就把问题转化为：求以m 为未知数的方程，()()21221∑∑==+=+-nk nk k m m k m 的自然数解，此方程不难求解，移项得()()[]02122=++--∑=m k m k m n k ,化简得 ()0122=+-m n n m ,解得 0=m （舍去），()()N n n n m ∈+=,12.即存在第一个数为()12+n n ，第1+n 个数为()122+n n ，最后一个数为()32+n n 的12+n 个连续自然数，符合题目所求.2.构造递推关系根据函数方程和递推关系之间的联系，根据已知条件和各种定理以及相应的运算法则，构造一个递推关系，能产生意想不到的效果.例16.设12,x x 是方程2310x x ++=的两个根，试求7712x x +的值. 分析：令()12()n n f n x x n N =+∈ ，由12123,1x x x x +=-=()13f =-, ()27f =, ()2f n +=2212n n x x +++()()()1112121212n n n n x x x x x x x x ++=++-+()31()f n f n =-+-重复迭代就可以任意算出()f n 的值，这里()13f =-,()27f =,()318f =-,()447f =; ()5123f =-,()6322f =, ()7843f =-,所以7712x x +=-843.例17.用1,2两个数字写成n 位数，其中任意相邻的两位不全为1，记n 位数的个数为()n f ，求()10f .解:把满足条件的n 位数分成两类:第一类以1开头的数，其第二位数必是2,因此划去这两个数字共有()2-n f ;第二类以2开头，则第二位可以是1，也可以是2,划去第一位数字2，共有()1+n f 个数.所以()()()21-+-=n f n f n f . 因为()21=f ,()32=f ,所以()53=f ,()84=f ,()135=f ,()216=f ,()347=f ; ()558=f ,()899=f ,()14410=f . 即10位数共有144个. 3.构造反例为了说明一个问题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例，这个过程叫做构造反例.选择特殊值，极端的情形，常常都是构造反例，反例是用已知为真的事实去揭露另一个判断的虚假性.例18.若命题x ,y 为无理数，则“y x ”也为无理数是否成立? 如果从正面回答这个问题有点难度，因此构造范例如下：解：（12==y x ,（2,有2yx ===⎪⎭.论它是有理数还是无理数，都给这个命题提供了反例，避免了从正面去证明这个命题. 4.构造实际模型数学源于生活而又应用于生活，当遇到抽象问题时，一时难以下笔，则可以考虑从实际生活中找原型，并将数学问题放到实际生活情境中去研究，巧妙地构造出新的数学模型，化抽象为具体，化复杂为简单，从而使问题求解带来意想不到的结果.构造模型就是换一种问题语境，其目的在于，为抽象的数学形式寻求某种具体背景，以便于通过直观的意义来解决问题.例19.求方程10=+++w z y x 有多少组正整数解?分析:这是一个不定方程问题,若用代数法进行讨论非常繁琐,若通过构造法将其转化为组合问题,则此题很容易得到解答.即构造10个相同的小球,放在4个盒子中,则每个盒子不空的总的放法即为方程解的组数.其又相当于将10个小球排成一排放在两条竖线之间,则球与球之间构成9个空位,在9个空位间划3条竖线,将每两条竖线间的小球依次装人4个盒子中,共有3C =84种装法,所以原方程有84组正整数解.9可见,通过构造模型可使抽象的数学问题具体化,形象化,从而使问题易于解答.构造法是数学中主要的解题方法之一，具有扎实的基本理论、基本运算的功底，是综合的分析解决问题的基础.同时多方位地、多角度的构造辅助问题，有机的将科学知识融汇贯通，提高解决问题的能力.构造法的应用还有很多，需要针对不同的数学问题采用其相应的构造方法，这里不能一一枚举，但通过以上几例可见，构造法在解题应用中不但具有把问题由繁化简，由难化易，由抽象化具体的转化功能，而且还具有保证解答正确的“保险”功能，因此构造法是解决数学问题应用甚广的一种方法.在解决数学问题中若能巧妙恰当地运用构造法，则可以达到事半功倍的效果.四、结束语笔者在形成论文的过程中，参考了大量的文献资料,对构造法在解题中的应用有了更深层次的理解和认识.在此系统的介绍了构造法的理论简介以及在不同类型题中的相关应用，使我们更进一步的了解构造法的有关知识，为更好的运用打下坚实的基础.同时，从本文的例子可以看出，构造法在解题中有意想不到的功效，它能使问题得到很快解决.但它也不拘一格，我们应具体问题具体分析，多种构造法要学会灵活运用.构造法的核心是根据题设条件，结论特征恰当构造一种新的数学对象.它在许多问题的解决过程中显示出令人瞩目的特殊作用，往往能化繁为简，化难为易，得到简捷明快，出奇制胜的效果，它已成为解决数学问题的重要方法.用构造法解决问题正是学习者主动建构知识的过程，在这个过程中，对自己已有的知识经验进行调整，整合或者重新组合，从而构造出新的数学对象，这样新旧知识发生冲突，从而引发认知结构的重组，构成新的认知结构，培养人们分析问题时的创新能力.同时提高我们作为学习者的学习、研究的能力，为将来成为优秀的数学教师打好基础、做好准备.参考文献[1] 高桐乐,数学解题中的基本模型构造.第二版1989 ,（11）.[2] 杜军涛,巧妙构造解题.考试周刊.2012年第31期.[3] Singh R,Green JH.The relation between career decisionmaking strategies and person-job fit:A study of job changers. Journal of Vocational Behavior,2004,64(1):198～221.[4] 王梅杰,构造法在解决数学问题中的应用法[J].教育科学2011,（12）.[5] 梁法驯,数学解题方法[M].华中理工大学出版杜,2000.[6] 张同君,陈传理,竞赛数学解题研究[M].高等教育出版社, 2005.11.[7] 郑兴明,构造向量巧解垂直问题.中学语数外（高中版），2003.[8] Judith A.McLaughlin.Understanding Statistics in theBehavioral Sciences.Wads worth Group,2002:320～321.[9] 宋波,例析构造数列解题.福建中学数学.2012年第7期.[10] 杨麦秀,构造法在数学分析中的应用.太原师范专科学校学报2001.[11] 戴再平,数学方法与解题研究[M].高教出版社.[12] 王子兴,数学教学论[M].广西师范大学出版社，1992.1.[13] 侯敏义,数学思维数学方法论.东北师范大学出版社.1991.[14] 陈自强,数学解题思维方法引导[M].中南工业大学出版社.1995.6.。
浅议构造法在数学中的作用
浅议构造法在数学中的作用1. 引言1.1 构造法的定义构造法是数学中一种重要的解题方法，它是通过构造出具体的对象或者结构来解决问题的方法。
在数学中，构造法通常包括直接构造出所需对象、通过归纳法逐步构造出解、通过反证法推导出矛盾等方式。
构造法的基本思想是通过建立数学对象之间的关系，从而达到解决问题的目的。
通过构造法，我们可以更清晰地理解问题的本质，找到问题的解决方案。
构造法在数学中具有广泛的应用，涉及代数、几何、组合数学、数论、概率论等多个领域。
构造法的核心是通过建立有效的构造方法和技巧，解决一系列复杂的数学问题。
通过构造法，我们可以深入理解数学的内在规律，提高解决问题的效率和准确性。
构造法在数学领域中具有重要的地位和作用，对于推动数学的发展和教育具有积极的意义。
1.2 构造法在数学中的重要性构造法在数学中起着至关重要的作用。
它不仅是数学研究中常用的方法，也是数学教学中的重要内容。
构造法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，促进数学领域的发展。
构造法在数学中的重要性体现在它对解决问题的作用上。
通过构造法，我们可以借助具体的步骤和方法找到问题的解决方案，为数学理论的发展提供实际的指导。
构造法不仅可以用于证明定理和命题，还可以用于解决实际问题，推动数学领域的研究进展。
构造法在数学教育中的重要性也不可忽视。
通过教授构造法，可以帮助学生培养逻辑思维和创造性思维能力，提高他们解决问题的能力和数学素养。
构造法可以激发学生对数学的兴趣，让他们更好地理解和掌握数学知识，为将来深入研究数学打下坚实的基础。
2. 正文2.1 构造法在代数中的应用构造法在代数中的应用是一种重要的数学方法，通过构造法，我们可以更好地理解和解决代数问题。
在代数中，构造法常常被用于证明存在性和唯一性问题，以及构造出满足特定条件的对象。
一种常见的代数问题是求解某种结构的存在性问题，比如群、环、域等代数结构。
通过构造法，我们可以构造出满足特定条件的结构，从而证明其存在性。
浅谈构造法在中学数学中的应用
浅谈构造法在中学数学中的应用【摘要】构造法是解决数学问题中最基本的方法之一，其本质是通过观察并分析问题的结构及规律，通过与不同领域的数学知识相结合，充分利用创造性来建设出同原命题环环相扣的“数学公式模型”，从而将复杂的问题简单化，最终达到快速、高效的解决数学问题。
本文通过介绍多种实际构造发案例，简单明了的分析了构造法的关键，不仅将构造法的思维方式完美的适用到解决数学问题中，还可通过构造法解决数学问题来提升学生们观察、分析、解决问题的实际能力，对未来的数学发展有着不可或缺的重要意义。
【关键词】构造法；数学；解题；运用On the application of construction method in middle schoolmathematicsAbstract：Construction method is one of the most basic methods to solve mathematical problems. Its essence is to observe and analyze the structure and law of the problem, combine with mathematical knowledge in different fields, and make full use of creativity to build a "mathematical formula model" which is closely related to the original proposition, so as to simplify the complex problems and finally achieve a fast and efficient solution to mathematical problems. In this paper, through the introduction of a variety of practical construction cases, a simple and clear analysis of the key to the construction method, not only the construction method of thinking perfectly applied to solve mathematical problems, but also through the construction method to solve mathematical problems to enhance students' observation, analysis,problem-solving practical ability, has an indispensable significance for the future development of mathematics. Keywords：Construction method; mathematics; problem solving; application目录第一章绪论 (4)1.1研究背景及意义 (4)1.2构造法的概述 (5)1.2.1 构造法的定义 (5)1.2.2 构造法的特征与类型 (5)1.2.3 构造法的作用 (6)1.2.4构造法的步骤 (8)第二章构造法在中学数学中的应用 (8)2.1如何使用构造法解决函数问题 (8)2.2如何使用构造法解决方程问题 (11)2.3如何使用构造法解决数列问题 (12)2.4如何使用构造法解决向量问题 (14)2.5如何使用构造法解决不等式问题 (14)2.6如何使用构造法解决图形问题 (15)第三章中学生对构造法思想掌握情况。
构造法在初中数学解题中的应用
构造法在初中数学解题中的应用内容摘要数学思想方法在中学数学教学中有着十分关键的地位，在初中数学教学中，构造思想方法是一种极具创造性的数学思想方法，尤其在解决繁难的数学问题时，如能根据具体问题恰当运用构造法，那么就会化难为易、化繁为简，使问题迎刃而解，它充分渗透在其他的数学思想方法之中。
利用构造法解题可以更直观，更简单的解决比较复杂的数学问题。
鉴于此，本文的重点主要体现在构造法在解题中的应用上。
具体来说，本文将重点阐述以下几个问题：构造法的理论简介及应用:如构造函数、构造方程、构造几何图形、构造特例反例等。
【关键词】数学解题构造法数学问题Construction method in solving problemsAbstractMathematical thinking method plays a crucial role in the middle school mathematics teaching, in the junior middle school mathematics teaching, the structural thought method is a kind of creative mathematical thinking method, especially in solving hard mathematical problems, such as method to construct proper use can according to the specific problems, then will be hard, change numerous for brief, make the problem solved, it fully penetrated in other mathematical thinking method.Using the method of structure problem solving can be more intuitive, more simple to solve more complex mathematical problems. In view of this, the focus of this article is mainly manifested in the application of construction method in the problem solving. Specifically, this article will focus on the following questions: the theory introduction and application of construction method, such as a constructor, structure equation, structure geometry and special case example, etc.【Key words】Mathematical problem solving Construction method Math problems目录一、引言 (2)二、构造法的理论简介 (2)（一）构造法 (2)（二）构造法的历史过程 (3)（三）构造法的特征 (3)三、构造法在解题中的应用 (4)（一）构造函数 (4)（二）构造方程 (5)（三）构造几何图形 ...............................................................错误!未定义书签。
浅谈中学数学解题中构造法的应用
浅谈中学数学解题中结构法的应用摘要：结构法的本质就是经过深入剖析问题的结构特点和内在规律，综合运用数学知识，构思一个与原命题亲密有关的数学模型，从而把原问题转变为比较简单或易于求解的新问题，使问题在该模型的作用下实现转变，快速获解。
学习一些结构法对数学能力的提升是大有利处的。
本文主要商讨结构函数法在中学解题中的应用，并简要介绍其余几种常用的结构法。
重点词：数学思想方法；结构法；应用一、结构函数法在中学数学解题中的应用（一）结构协助函数法的观点及操作重点在求解某些数学识题时，依据题目结构出适合的函数模型，将原问题转变为研究协助函数的图象、性质及其解题的方法，从而解决本质问题，这就是结构函数法。
这个方法的操作重点有三：（1）确立基本函数模型。
在中学数学中已经确立了五种基本函数，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
它们是一定娴熟掌握的基本函数模型。
在考试和本质应用中下边三种函数是很常用的，我们称之为“重要函数模型”。
（2）掌握基本函数的图象和性质，而后利用它们的图象和性质来解题，或类比基本函数的研究方法。
在高考取，、值重点考察函数的五大性质及其应用，它们是：定义域域（最值性）、周期性、奇偶性、单一性。
（3）结构函数，并把非基本函数化归为基本函数来解决。
（二）总结构造三种“重要函数模型”的解题模式并举例1.结构二次函数模型（1）结构形式。
一般式： y = ax2+bx+c （c≠ 0）；极点式： y = a（ x-x0 ） 2+y0 ，极点（ x0，零点式： y= a（ x-x1 ）（x-x2 ），（2）图解模式。
比如：二次函数 y=ax2+bx+c （ a≠ 0）的图象是抛物线，其对称轴是 x= ，极点为（，）。
经过抛物线的“极点式”及图象掌握最值性，对称性，单一性。
（3）二次函数 f（ x）在区间 [p ，q]上的最值求法：比较特别值 f （p）， f （q）， f（ x0 ）。
依据 x0= 分两种状况：若 x0∈[p ，q] ，则 f（ x0）是一个特别值；若x0[p ，q] ，则不算f（ x0）。
构造法在中学数学解题中的应用
：
０ｎ ， （ ≥２ ｎ∈Ｎ＋ ， 。 ： ）且
５ 构 造 几 何 图 形
注意 问题 和对象 的几何 背景 ， 构造 几何 图形 ， 再
运用 图形 的几何 性质 可 以使 复杂 问题 简单化 ． 例 ７ 如图， 段 Ａ 线 Ｂ在 平 面 内 ， 段 Ｃ 线 Ｄ在
（） １ 求数 列 ｛ 的通项 公式 ； ０｝
・
７ ・ ５
《 数学 之友 》
２１ ０ ０年第 ２ ４期
又 ６ ＝ｌｇ １＋１＝１ ｂ １ ｏ２ ． ：１×２ ～ ＝２ ，
即 ｌ ２ ｌ ＝２ 一 ， ｏ ｏ ＋１ 进而 ｌ ２ ＝ 一１ ｇ ｏ ｏ ２一 ｇ ，
・
６ ｝ ＝ ， 为 的 差 列进 ６ 公 ２ 等 数 ，而 ： ３差
・ ． ．
平面 内 ， 且 ∥卢 Ａ ，Ｂ上∞ ，Ｂ： Ｄ＝ ， 面 ， Ａ Ｃ 口平 之 间 的距 离为 ｈ 求 四面体 Ａ Ｃ 的体积． ， ＢＤ
Ｄ
５
一 ２ Ｏ． １ ＋ ＳＳ ＝
一
口 一 １ ＝ ２
，
所数 ｛） 项 ２差 ２等 数 以列妾 首 为 公 为 的 差 是
， １ Ｉ ， 一 、一 １
为 ｎ 体 为 ＝７ ＝ ｈ 三 锥Ｃ 等 ， 积 ｆｎｈ下 而 棱 其 、 ， １ ， ｌ ０ －
一
（） ２ 由第 一 问可得 ｂ ２ １ ） ｉ ： （ 一ｎ ｎ １，
所 以 ＋ ＋ ＋… ＋ ＝ ＋ １＋ １＋… ＋ １
解 ：。 １ １ ２一口＝ 口 ＝１ ‘ 口 ＝Ｓ ＝ ． １ １ ，
当 ｎ ２时 ， 】 ２ ＞ ｔ ０ ＝Ｓ 一Ｓ一 ＝ ｎ一０ 一［ （， ） ２ ／一１ ７
一
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用1. 引言1.1 构造法的概念构造法是数学中一种重要的方法，它主要利用具体的图像或实例来解决问题。
通过构造法，我们可以通过建立几何图形、代数方程或概率模型等手段，来找到问题的解决方案或证明定理的方法。
构造法的核心思想是通过构建某种结构或模型，来揭示问题的本质或得到问题的答案。
在运用构造法时，我们需要具有一定的数学基础和逻辑思维能力，能够将抽象的概念具体化，通过各种图形、符号或模型来进行推理和证明。
构造法既可以用于解决几何问题，也可以用于证明数学定理，甚至可以在代数方程求解和概率统计中发挥作用。
通过构造法，我们可以更直观地理解和解决数学问题，提高数学思维和解题能力。
构造法的灵活性和实用性使其在数学教学中具有重要意义。
教师可以通过引导学生运用构造法来解决问题，培养学生的逻辑思维能力和创造力。
构造法在某些复杂的问题上可能存在局限性，需要结合其他数学方法进行分析和求解。
构造法是数学中一种重要的思维工具，对学生和教师都具有积极的意义。
1.2 构造法的重要性构造法是一种数学问题解决方法，其重要性不容忽视。
构造法在数学教学中能够培养学生的逻辑思维能力和创造力。
通过学习构造法，学生可以培养问题解决的能力，锻炼他们的思维方式。
构造法在解决实际问题中能够提供一种直观的解决思路。
许多数学问题或者实际生活中的问题可以通过构造法找到解决方法，这种方法更符合直觉，让人易于理解。
构造法在证明数学定理的过程中也有重要作用。
通过构造法，可以更清晰地展示问题的解决过程，从而使得数学定理的证明更加严谨和易懂。
构造法对于数学教学和解决数学及实际问题具有重要意义，不容忽视。
2. 正文2.1 构造法在解决几何问题中的运用构造法在解决几何问题中的运用是数学中一个重要且常用的方法。
它通过几何图形的方式来解决问题，通常通过画图、构造辅助线等方式来找到问题的解决方法。
构造法在几何问题中的运用可以帮助学生更直观地理解问题，并且提高他们的解题能力。
浅谈构造法在中学数学解题中的应用
＋ ， 一 元 二 次 方 程 两 根 之 和 与 两 根 之 积 的 形 式 ， 而 可 ９即 从
以 构造 一元 二 次 方程 来解 题．
从 何 处 着 手 ． 我 们 通 过 观 察 发 现 问题 条 件 的 数 量 关 系 有 若 着 明 显 的 几 何 意 义 或 可 将 该 问题 转 化 为 几 何 图 形 ， 时 我 这 们 就 可 以借 助 几 何 图 形 的 性 质 ， 而 使 问题 得 到 解 决 ． 从
梁 ． 谓 构 造 法 就 是 在 解 题 过 程 中 根 据 所 给 问 题 的 题 设 条 所 件 或 结 论 的 结 构 特 征 ， 用 各 种 知 识 间 的 内在 联 系 ， 形 式 利 或 上 的 某 种 相 似 性 ， 目 的地 构 造 一 个 特 定 的数 学 模 型 ， 过 有 通 对 它 的 讨 论从 而 使原 问题 得 以 解 决．
证明
构造 一元 二 次 方程 ｔ 一６ ＋（ ）＝ ， 么 ， ｔ ｚ ＋９ ０ 那
Ｙ是 ｔ 一６ ＋（ ＋９ ｔ ）＝０的 两根 ．由 △＝３ ６—４（ ＋９ ｚ ）≥Ｏ 甘
一
例 １
（号 ，ｃ …ｓ…ｓ＿ ０ ） ｏ ２ ， 且ｓ 卢 ｙ．
４ ， ｚ ≥０ 又 ∈Ｒ，．一 ｚ ≤０ 故 △ ＝ 一 ｚ ０ 从 而 方 程 的 ． ４ ， ・ ４ ＝ ， 除 此 之 外 ， 有 构 造 公 式 解 题 ， 造 函数 解 题 ， 造 向 还 构 构
简 单 ， 而 达 到解 题 的 最 终 目的 ． 从
、
构 造 法 解 题 的 一 般 步 骤
用 构造 法 解 题 的 一般 步骤 是 ：． 题 设 条 件 进 行 分 析 ； １对 ２ 构 造 辅 助 元 素 ； ． 过 推 演 实 现 问 题 的 转 化 ， 出 新 结 ． ３通 求 果 ， 终实现原问题的解决． 最
浅谈构造法在中学数学解题中的应用
与 轴 的交 点 问题．
川
＝
＋
＋
一
＝
两 丽
＞１ ∈ （
例 ６ 求证 ： １ ＋ １ ＋． ＋ ． ・
如 果问题条 件 中具 有 明显 的或 隐含 的几何意 义
分析 ： 欲证 与 自然 数 ｎ有 关 的不 等 式 ｆ ｎ （ ）＞ｇ （ ，可 构 造 数 列 模 型 ａ ＝ｆ （ ｎ） ｎ） 一 ｇ （ ｎ）
与背景 ， 构造适合 条 件 的图 形 ， 过 图形 启发 思 维 ， 通
分析： 根据条件 ａ＋ ， ６ 结构联想到 ， 而 ６ａ ＋ 从 ∈（ ，） Ｙ ＞ ， Ｙ单 调递增 ； ０ ｅ ， ０ 则
构思—个“ 一元二次” 方程 ， 再运用判别式证明不等 式．
解 ： ａ＋ Ｃ ， ａ＋ ＝１ Ｃ （ ） 由 ｂ＋ ：１ 得 ｂ 一 ． １
∈ ｅ＋。 ， ＜ ， Ｙ （ ， 。 ）Ｙ ０则 单调递减．
ｌ２ ｎ
＝ ，
ｅ ＜３＜ ５＜８ 所 以 ｄ＜ ＜口＜６ ４＜ ， ｃ ．
Ｉ ａ＋ｂ＋ｃＩ ≤
一
将（ ） １ 的两边 平方 ， 将 ａ ＋ｂ ｃ 并 ＋ ＝１ 人 得 代
ａ ｃ 一ｃ （ ） ｂ＝ ． ２
例 ２ 设 ａ ｂ Ｃ∈Ｒ， 证 ： ，， 求
Ｉ ｂＩ Ｉ Ｃｌ
，
即 （ ｓ ｃｓ０—１ ４ｉ Ｏｏ ｎ ）
（ｉ ｃｓ０ ８ ＞０ 易知 ０＜ ｉ ０ ， ＣＳ ｓ Ｏｏ — ） ， ｎ ｔ ｓ ＜１０＜ Ｏ ０＜１所 ｎ ，
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用【摘要】构造法是中学数学中一种重要的解题方法，通过引导学生进行具体的构造操作，培养他们的解决问题的能力。
在几何问题中，构造法可以帮助学生更好地理解和证明定理；在代数问题中，构造法可以让学生更直观地理解代数关系；在概率问题中，构造法可以帮助学生从实际情况中找到规律；在数论问题中，构造法可以帮助学生找到整数的性质和规律。
构造法的应用不仅是单纯地求解问题，更是让学生在实际操作中理解数学知识，培养他们的逻辑思维和创新能力。
构造法在中学数学中具有广泛的应用，不仅能够提高学生的数学水平，也能够激发他们的学习兴趣，是数学学习中不可或缺的重要方法之一。
【关键词】构造法、中学数学、解决问题、思路、几何问题、代数问题、概率问题、数论问题、广泛应用、学生能力、重要方法。
1. 引言1.1 构造法在中学数学中的运用构造法是中学数学中一种常用的解题方法，通过构造出符合条件的情况，来解决数学问题。
构造法在中学数学中的运用涉及了几何、代数、概率和数论等多个领域，可以帮助学生更好地理解数学知识，并培养他们的解决问题能力。
在日常生活和学习中，我们经常会遇到各种数学问题，而构造法正是帮助我们解决这些问题的利器。
通过构造出符合条件的图形、方案或数的性质，我们可以简化问题，找到解题的关键点，从而更快地得出结论。
构造法在几何问题中的应用尤为广泛，比如证明两角相等、证明三点共线等问题都可以通过画图构造来解决。
在代数问题中，构造法可以帮助我们找到未知数的关系，从而得出答案。
在概率问题中，通过构造各种可能的事件，可以计算出概率的大小。
而在数论问题中，构造法可以帮助我们找到规律，并证明一些数论结论。
构造法在中学数学中有着广泛的应用，不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以培养他们解决问题的能力。
构造法是数学学习中重要的方法之一，希望学生能够认真学习和掌握这种方法，从而在数学学习中取得更好的成绩。
2. 正文2.1 解决数学问题的基本思路解决数学问题的基本思路是指导学生如何正确有效地解决各种数学难题的一套方法论。
构造法在初中数学解题中的应用
结构法在初中数学解题中的应用所谓结构法就是依据题设条件或结论所拥有的特色和性质，结构知足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学识题的思想方法。
结构法是一种富裕创建性的数学思想方法。
运用结构法解决问题，重点在于结构什么和怎么结构。
充足地发掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的观点、公式、定理、图形联系起来，进行结构，常常能促进问题转变，使问题中本来蕴涵不清的关系和性质清楚地显现出来，从而适合地结构数学模型，从而谋求解决题目的门路。
下边介绍几种数学中的结构法：一、结构方程结构方程是初中数学的基本方法之一。
在解题过程中要擅长察看、擅长发现、认真剖析，依据问题的结构特色、及其问题中的数目关系，发掘潜伏已知和未知之间的要素，从而结构出方程，使问题解答奇妙、简短、合理。
1、某些题目依据条件、认真察看其特色，结构一个 " 一元一次方程 " 求解，从而获取问题解决。
例 1：假如对于 x 的方程 ax+b=2（ 2x+7 ）+1 有无数多个解，那么 a、 b 的值分别是多少？解：原方程整理得（ a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0 且 15-b=0分别解得a=4， b=152、有些问题，直接求解比较困难，但假如依据问题的特色，经过转变，结构 "一元二次方程 " ，再用根与系数的关系求解，使问题获取解决。
此方法简洁、功能独到，应用比较宽泛，特别在数学比赛中的应用。
3、有时可依据题目的条件和结论的特色，结构出方程组，从而可找到解题门路。
例 3：已知 3， 5， 2x， 3y 的均匀数是4。
20， 18， 5x，-6y 的均匀数是1。
求的值。
剖析：这道题考察了均匀数观点，依据题目的特色结构二元一次方程组，从而解出x、 y 的值，再求出的值。
二、结构几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要擅长发掘题设条件中的几何意义，能够经过结构适当的图形把其二者联系起来，从而结构出几何图形，把代数问题转变为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法1. 引言1.1 介绍构造法在高中数学解题中的重要性构造法在高中数学解题中扮演着重要的角色，它是一种重要的解题方法，可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。
构造法在高中数学学习中扮演着至关重要的角色，不仅仅是因为它可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，更重要的是，构造法可以培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力。
通过构造法解题，学生需要分析问题的特点，寻找问题的根本规律，然后根据规律进行构造推导，最终达到解题的目的。
构造法的应用不仅可以让学生更好地理解和应用数学知识，还可以培养他们的逻辑思维能力和创造性思维能力，提高他们的问题解决能力和创新能力。
构造法在高中数学解题中具有重要的应用价值，对学生的数学学习和发展起着积极的促进作用。
2. 正文2.1 什么是构造法构造法是一种数学解题方法，通常用于解决几何、代数和概率等问题。
它是一种通过构造特定形状或对象来达到解题目的目的的方法。
在解决问题时，我们可以通过构造法来建立一定的几何图形或特定的代数表达式，从而找到问题的解决方案。
构造法的核心思想是通过构造特定的结构或对象，来揭示问题的本质并找到解决问题的方法。
构造法有许多种形式，比如利用平移、旋转、反射等方法来构造几何图形，利用等式变形、代数式构造等方法来解决代数问题，利用概率模型来构造概率问题的解决方法等。
构造法在数学解题中起着至关重要的作用，它能够帮助我们更好地理解问题的本质并找到解决问题的方法。
通过构造法，我们能够更加灵活地思考和处理各种数学问题，提高解题的效率和准确性。
在高中数学学习中，掌握构造法的方法和技巧对于提高数学解题能力至关重要。
2.2 构造法的基本原理构造法的基本原理是一种通过建立特定结构或模型来解决数学问题的方法。
在数学解题中，构造法通常涉及到创建或构建一些可以帮助我们理解和解决问题的图形、符号、方程式或其他形式的模型。
1. 确定问题：首先需要确切地理解题目要求和问题类型，确定需要解决的具体问题。
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用1. 引言1.1 构造法在中学数学中的运用构造法在中学数学中的运用是一种重要的解题方法，通过构造新对象或建立新关系来解决数学问题。
在中学数学教学中，构造法被广泛应用于几何、代数、数论、概率论等不同领域。
构造法可以帮助学生更好地理解数学知识，培养其解决问题的能力和思维方式。
在几何中的运用方面，构造法常常用于证明几何定理或解决几何问题。
通过构造新的图形或引入新的线段，可以简化证明过程或找到问题的解决办法。
在代数中的运用方面，构造法常常用于推导代数式，解方程组，或证明代数恒等式。
通过构造新的代数表达式或引入新的变量，可以简化代数运算或推导过程。
在概率论中的运用方面，构造法常常用于确定概率分布，推导概率关系，或求解概率问题。
通过构造新的随机变量或引入新的事件，可以简化概率计算或解决概率难题。
在解题方法中的运用方面，构造法常常用于解决复杂问题或找到问题的解决路径。
通过构造特定的对象或建立特定的关系，可以帮助学生思路清晰，步步推进，最终解决难题。
构造法在中学数学教学中起着重要作用，可以帮助学生培养综合运用数学知识的能力，提高解决问题的技巧和水平。
构造法的学习策略包括加强数学建模设计能力、提高问题解决思维能力、培养抽象思维能力等。
构造法的发展前景将在不断的科学研究和教学实践中得到进一步拓展和完善，为数学教育的发展提供新的思路和方法。
2. 正文2.1 构造法在几何中的运用构造法在几何中是一种重要的思维方法，通过构造辅助线、引入新点或者借助几何工具等方式，来解决几何问题。
在几何中，构造法可以被广泛运用于证明几何定理、求解几何问题以及展示几何关系等方面。
构造法在几何证明中起着至关重要的作用。
通过构造法，我们可以有效地展示几何定理的证明过程，使得证明更加直观明了。
在证明三角形相似时，可以通过构造高、角平分线或者相似三角形等方式，来展示各边、角之间的对应关系，从而达到证明的目的。
构造法在几何问题求解中也具有极大的帮助。
浅谈构造法在高中数学中的应用
系构造 出一种新 的函数，通过对 函数性质 的研究，使问题得到解决 。
例４、已知 ＞Ｏ，求证ｚ＋ ｚ ＋ 昙
．ｚ＋
Ｚ
思路分析 ：构造 函数 ，（ｚ）＝－ ｚ＋ ＞Ｏ），则 ｚ＋ ≥２，
山
＿』Ｉ
设 ２ Ｏｔ＜口
ｆ（ａ）－ｆ（ｆ １） ａ＋１ 一（卢＋吉）＝ 一卢）＋（ １一 ） 一 ａ（ ８ 一１）
显然 ‘．’２≤口＜ ．‘．ａ一 ＞０， ＞０， 一１＞０故 ＿厂（ａ）－ｆ（ｆ１）＞０
所以ｆ（ｘ）在【２，＋∞）上单调递增，所以左边 厂（２）＝昙
构造函数的关键是 选择恰当的函数解析式 ，这需要有高度 的观察 和分析能力 ，观察想象条件 的主体特征 ，所 以条件 的特点给 了我们很大 的思考的空间 ，我们要 学会使用好每一个条件 。
在数学 解题过程中 ，构造法应用体现在两个方面 ：一是数学 问题本 身有 构造性 的要求或者可 以通过构造 而直接得解 ；二 是有些 问题需要 通 过构造 出一个 与原问题有关或等价 的新 问题 （即称为辅助 问题），并 通 过 辅助 问题帮 助原 问题的解决 。这种 巧妙构 思正是 构造法 的技巧所 在 。
３、构造 方程法 方程作 为中学 数学的重要 内容之一 ，它 与数式 、函数等诸 多知识 密 切地联 系在一起 ，不论解 方程计算 、求值 以及证 明等 ，都可以根据 问题 条件 中的数量关系和结构特征 ，构造 出一个新 的方程 ，然后将 问题 置于 方程 的求解或讨论 中，使问题获得解 决。 例 ５、若 一 ） 一４（ｘ－ｙ）（ｙ一２）＝０，证 明：Ｚｙ＝ ＋２。
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用引言构造法是数学中一种重要的解题方法，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力。
在中学数学教学中，构造法的运用不仅能够提高学生的数学素养，还能够培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将从构造法的概念和特点、在中学数学中的应用以及教学实践中的重要性等方面展开阐述，以期更好地推动构造法在中学数学教学中的应用。
一、构造法的概念和特点构造法是通过构造几何图形、代数式或其它数学对象的方法来解决问题的一种数学解题方法。
它的特点是直观、具体、具有启发性和强调实践性。
构造法的目的是通过具体的操作，使学生对数学问题有更加直观的理解，能够在解题中培养学生的创造力和发散思维。
构造法在数学中的应用非常广泛，比如在几何学中，通过构造法可以更好地理解几何图形的性质和相关定理；在代数学中，通过构造法可以更好地理解代数式的含义和相关运算规律；在解方程、证明定理等方面，构造法也有着独特的应用价值。
二、构造法在中学数学中的应用1. 几何学中的构造法在中学几何学中，构造法是一种非常重要的解题方法。
在证明几何定理时，可以通过构造法来直观地理解定理的内容。
在解决几何问题时，构造法可以帮助学生更好地理解几何图形的性质和相关定理。
要证明一个四边形是平行四边形，可以通过构造法来构造其对角线相等或者相互平分的线段，从而得到证明。
2. 代数学中的构造法在中学代数学中，构造法同样具有重要的应用价值。
在解决代数方程时，可以通过构造法来直观地找到方程的解。
在代数式化简或因式分解时，构造法可以帮助学生更好地理解代数式的含义和相关运算规律。
要因式分解一个多项式，可以通过构造法来找到其因式。
3. 综合运用在实际的数学问题中，往往需要综合运用几何学和代数学的知识来解决问题。
而构造法可以帮助学生更好地综合运用几何和代数的知识来解决实际问题。
在解决动态几何问题时，构造法可以帮助学生更好地理解问题并得到解答。
三、教学实践中构造法的重要性1. 提高学生的数学素养通过构造法的教学，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学素养。
构造法在中学数学解题中的应用
x x ( x 0) x 1 2 2 x x ( x 0) x 1 2 2
证明：构造函数： f ( x)
x x x2 x x f ( x) 1 2x 2 2x 1 2 x x 1 (1 2 x ) x 1 2 2 x x x f ( x) . x 1 2 2
m1 m2 3 ，于是有 x 1 y 3 ，所以 x 2, y 3, z 0 ，所以 x 2 y 3 z 8 . 1 sec 2 tan 3 ( k , k Z ) 例 7：求证： 2 3 sec tan 2
则存在常数 p 1, q 2 使得数列 an pn q 为等比数列. 所以 an n 2 4 2n 1 ，则 an 2n 1 n 2 . 本题形如 an 1 pan qn r ( p, q, r 为非零常数）的形式，解决此问题，一般 将其构造为 an 1 t (n 1) m p (an tn m) 等比数列. 2.3 构造方程或方程组 根据题设条件，利用方程的根的定义、根的判别式、韦达定理等相关知识构 造出方程或方程组，然后利用方程或方程组的有关知识，使问题得以解决。 例 6：已知实数 x, y, z 满足 x y 5, z 2 xy y 9 ，求 x 2 y 3 z 的值。 解：由已知可得：
A. 3 S ， 3 T C. 3 S ， 3 C u T ） B. 3 C u S ， 3 T D. 3 C u S ， 3 C u T
分析：由韦恩图 3 知，三个集合的关系如下图：一目了然，选答案 C.
第 5 页 共 6 页
图3
3. 总结 通过上述的例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的功效，问题很快便可解 决。它可以构造函数、方程、图形甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、 代 数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学 习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。 构造法解题的思维过程具有一 定的灵活性和创造性，运用构造法解题需要掌握数学知识之间的互相关系，而且 需要较强的思维能力和创新意识。 参考文献：
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用1. 引言1.1 构造法的基本概念构造法是指通过建立某种结构或模型来解决问题的方法。
在数学中，构造法是一种重要的解题方法，它可以帮助我们更好地理解问题，并找到问题的解决方案。
构造法主要包括几何构造法、代数构造法、概率构造法、组合数学构造法和数论构造法等多个领域。
通过构造法，我们可以通过建立模型或结构来逐步推导问题的解，从而达到解决问题的目的。
在使用构造法解题时，我们需要根据问题的特点选择适当的构造方法，比如在解决几何问题时，可以通过画图或建立几何结构来推导问题的解；在解决代数问题时，可以通过代数运算或代数结构来建立问题的模型；在解决概率问题时，可以通过概率模型或事件概率的计算来找到问题的解决方案。
构造法是一种灵活多样的解题方法，它在数学中扮演着重要的角色。
通过掌握构造法，我们可以更好地理解数学问题，提高解题效率，同时也可以培养我们的逻辑思维能力和创造性思维能力。
在接下来的正文中，我们将具体探讨构造法在各个数学领域的运用方式和效果。
1.2 构造法在数学中的重要性构造法是数学问题解决的一种方法，通过构造出满足题目条件的对象来解决问题。
在解决数学问题的过程中，构造法可以帮助我们更直观地理解问题的本质，并且能够激发我们思维的活跃性，提高问题解决的效率。
构造法在数学研究中被广泛应用，并在许多数学领域取得了重要的成果。
无论是几何、代数、概率、组合数学还是数论等领域，构造法都发挥着重要的作用，为数学领域的发展提供了重要的思路和方法。
构造法在数学教学中也具有重要意义。
通过引导学生运用构造法解决问题，可以帮助他们培养逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力，提高他们对数学的兴趣和学习动力。
2. 正文2.1 构造法在解决几何问题中的运用构造法在解决几何问题中的运用是数学中常见且重要的应用之一。
通过构造法，我们可以通过几何图形的绘制和分析来解决各种几何问题，从而深入理解几何知识并提高解题能力。
在解决几何问题中，构造法可以帮助我们找到几何问题的解决方法。
浅谈构造法在初级中学数学解题中的应用.doc
浅谈构造法在初中数学解题中的应用－[摘要］构造法是数学解题中常用的方法之一，适用于一些难以运用定向思维方法求解的数学问题，其本质就是利用已知数学关系式和数学理论，构造出满足条件的数学对象．数学构造法是一种极具创新性和技巧性的数学方法，往往会给学生解题带来眼前一亮的效果.ﻪ［关键词]初中数学构造法实践应用ﻭ解题思路是解决数学问题的核心,只有学生具有清晰明了的解题思路,才会取得显著的解题效果.数学构造法利用题设与结论之间的内在联系，将数学问题与学生熟知的数学概念、定理、公式等知识联系起来,实现未知向已知转化,复杂向简便转化.数学构造法的关键在于构造．那么,什么样的题型需要构造？怎样构造才更加有效呢?本文将从初中数学知识出发，探讨构造法在数学解题中的应用.一、方程构造法ﻪﻭ和ｂ4+b2－３=０,试根据已知条件求解代数式ａ4b4+4a4的值.ﻪﻭ分析:对于本题，学生首选的思路就是整体替换,利用已知条件中的a4、b2替换欲求解代数式中的a4b4.可是，在尝试过后不难发现,这样的做法不仅复杂，而且行不通.对此，教师不妨引导学生使用方程构造法，实现已知与未知的形式统一.由题中已知条件实数a、b满足代数式4a４-2a2-3=0 ﻪﻭ和b4+b2-3=０，所以我们可以得到（-２a2）２+(-２ａ２)-3=0 ﻪﻭ .ﻪ二、图形构造法ﻭ．ﻪ分析:对于此题,很多学生拿到手的第一件事就是想办法去除根号，再进行不等式的化简和证明．但是，这样的思路却被不等式复杂的形式所限制,难以解决.此时，我们不妨构造几何图形，将代数向图形进行转化,利用边长关系来进行证明.首先,由已知条件0 图1ﻪ∴OA+OC+ＯＢ+OD≥ＡC+BＤ＝22,即结论得证.ﻪ这样就实现了构造几何图形辅助代数的证明. ﻭ三、函数构造法ﻭ图2 ﻭ总之,构造法在初中数学解题中有着重要的意义和地位.我们必须以学生为本,致力于构造法的实践应用教学,提高学生解决初中数学实际问题的能力. ﻪﻭﻪﻭﻪﻭﻭﻭﻭﻭﻪ浅谈汉字字形基本知识的学习，中小学教育，《中小学教育》ﻭ内容摘要：对于没有接触过汉字的欧美留学生来说,汉字字形的学习是学习难点中的难点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈构造法在中学数学解题中的应用富源六中范文波[摘要]：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。
构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它是一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。
其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。
本文主要通过大量的例题说明构造法是广泛存在于解题过程中的，而且对于解某些问题是非常有用的.[关键词]：构造法；创造性；构造；几何变换1 前言解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。
在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。
构造法就是这样的手段之一.构造的数学思想提炼于数学各分支的研究方法之中，它融直观性、简单性、统一性、抽象性、相似性于一体，显示出简化与精密、直观与抽象的高度统一.什么是构造法又怎样去构造呢？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决，这种方法称之为“构造法”.构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养我们创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高我们的解题能力也有所帮助.构造法包含的内容很多，在解题中的应用也千变万化，无一定规律可言,它需要更多的分析、类比、归纳、判断，同时能激发人们的直觉思维和发散思维.如何借助构造的思想实现解题过程中的转化呢？关键是对题设条件进行逻辑处理，通过一般化、特殊化的想象，巧妙地对问题进行分析与综合，构造出一种思维的创造物和想象物.构造法是数学解题方法中很重要的一种方法，在解题中被广泛应用.它之所以重要，不仅因为它完善了我们的数学思维，开拓了我们的思路，加深了我们对数学的理解，给人以一种美的享受.其妙处在于不是直接去解决所给的问题，而是去构造一个与原问题有关的辅助新问题，这里引出新问题并非为了它本身，而是希望通过它的解决来帮助解决新问题.如果新问题比原问题更简单，更直观，那么这种思考问题的方法就会成功.2 应用构造法解题构造法是数学解题中的一种重要思维方法，不仅可以拓宽思路，创造一些新的情境，提高分析问题解决问题的能力，而且富有巧妙、新颖、独特的功效.有些问题用别的方法束手无策，可一旦用了构造法就豁然开朗了.2.1构造函数法对于某些代数式的证明问题，可以把其中一个元素看成是另一个元素的函数，或者把一个代数式看成一个函数，或者根据题目结构特点，巧妙地构造一个函数，从而站在函数的角度，研究这个函数的性质，达到解决问题的目的.例1 求函数y =分析：由根号下的式子看出11x+-x=且01x ≤≤故可联想到三角函数关系式并构造2sin x θ= (0)2πθ≤≤所以 sin cos )4y x x πθ=+=+当4πθ=即12x =时，max y =2.2 构造方程法若不等式的证明问题正面思维遇阻，可以改为逆向思维，从结论考虑，沟通条件和结论的关系，构造出与结论有关的方程，以便利用方程理论迅速解决问题.有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答.例2 已知实数,,a b c 满足0a b c ++=和2abc =.求证：,,a b c 中至少有一个不小于2分析：由条件得,b c a +=-，2bc a =.所以,b c 是一元二次方程220x ax a++=的两个根，故可构造方程来求解. 证明：由题设显然,,a b c 中必有一个正数，不妨设0a >.则,2b c a bc a +=-⎧⎪⎨=⎪⎩即,b c 是二次方程022=++a ax x 的两实根.所以280a a ∆=-≥. 故2a ≥.2.3 构造几何图形构造几何图形，就是将题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种关系得以在图中表现出来，然后借助几何的直观寻求问题的解答，或借助几何知识对问题进行推证.例3若,,0x y z >，则zx x z yz z y xy y x ++>+++++222222.分析：可以用两边同时平方来证此题，但是太繁.由22x y xy ++我们就会联想到余弦定理，于是构造三角形用余弦定理来求证.证明：如图2—2，作120AOB BOC COA ∠=∠=∠=,设,,OA x OB y OC z ===.由余弦定理AB ＝xy y x ++22, BC ＝yz z y ++22,CA ＝zx x z ++22.因为AB BC CA +>, 图 2—1所以xy y x ++22 +yz z y ++22>zx x z ++22.2.4 构造新数列求原数列通项数列的通项公式是研究数列的关键，因而求数列的通项公式显得极为重要.构造新数列求通项，既可以考察学生等价转换与化归的数学思想，又能反映我们对等差、等比数列的理解深度.2.4.1 形如n+1n a pa q =+，求通项公式，可构造新数列{}n a λ+例4 已知数列{}n a 满足114,21n n a a a +==+，求数列{}n a 通项公式.分析：这类题十分常见，它是有一般方法解的.即引入待定系数λ，拼凑1()n n a p a λλ++=+，使得{}n a λ+成为等比数列.解：设1()n n a p a λλ++=+.整理得1n n a pa p λλ+=+-，与已知121n n a a +=+对比系数得2, 1.p λ==于是11112(1)21n n n n a a a a ++++=+=+即，所以数列{}1n a +是首项为115a +=，公比为2的等比数列.由1152n n a -+=⋅，得1521n n a -=⋅-.2.4.2形如1n n n Aa a a B +=+，求通项公式，构造新数列1n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭分析：两边同时取倒数得,1111n n B a A A a +=+⋅，令111n n b a ++=.得1n n b pb q +=+. 例5在数列{}n a 中，1122,,2n n n a a a a +==+求数列{}n a 的通项公式. 解：由122n n n a a a +=+,两边取倒数得，1211122n n n n a a a a ++==+.整理得11112n n a a +-=，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为12的等差数列.于是,111111(1)(1)2222n n n n a a =+-⋅=+-⋅=.故2n a n =.注：形如1n n n Aa B a Ca D++=+，求数列的通项公式.该数列一般可引如参数,,t λμ，使得1()()n n n t a a a λλλμ+++=++，与已知对比后得系数，转化为新数列1n k a λ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭.2.4.3 构造与n S 有关的数列，再由n S 求n a例6 已知数列{}n a 前n 项的和为n S ，12a =，2n S =，求数列{}n a的通项公式.解：由2nS===即数列==为公差的等差数列.2(1)2n n S n -==即 .当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，22122(1)42n n n a S S n n n -=-=--=-.综上述，数列的通项公式是242n a n ⎧=⎨-⎩(1)(2)n n =≥ .2.5构造立体几何模型法某些不等式的证明，可与立体几何的直观模型密切联系，从而利用立体几何的有关知识给出不等式的一种有效证明.例7已知：锐角,,αβγ满足222cos cos cos 1αβγ++=求证：（1）4ctg ctg ctg αβγ⋅⋅≤， （2）cos cos cos αβγ++≤,（3）222sec sec sec 9αβγ++≥.证明：由条件222cos cos cos 1αβγ++= 图2—2联想到构造立体几何模型——长方体， 于是构造长方体ABCD A B C D ''''--，如图2—2所示，对角线长l ，对角线与三条棱的夹角分别为,,αβγ.设,,AA a AB b B C c '''===.l =，所以有ctgctg ctgαβγ⋅⋅=≤4=， 当且仅当a b c ==,即arccos 3αβγ===时取等号.（2）cos cos cos a b c l l l αβγ++=++3l ≤==即：cos cos cos αβγ++≤.（3）222222sec sec sec ()()()l l l a b c αβγ++=++22222222a b c a b c a b ++++=+ 22222222222222223()()()a b c b a c b a c c a b b c c a+++=++++++ 32229≥+++=. 所以222sec sec sec 9αβγ++≥.结束语：从上面的例子我们不难看出，构造法解题有着意想不到的功效，恰当应用构造法问题容易解决.构造法解题重在“构造”，它可以构造图形、方程、函数甚至其它构造，就会促使我们要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对我们的多元思维培养，学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利.因此，在解题时，我们要从多角度，多渠道进行广泛的联想才能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法.而且还能加强我们对知识的理解，培养思维的灵活性，提高我们分析问题的创新能力.构造法是一种创造性的解题方法，在数学解题中有着广泛的应用.构造法解题的导学功能既体现在思维功能上，也体现在发现、创新功能上，更体现在追求美妙、神奇的功能上.在数学解题过程中，同样存在着“价值观念”问题，解题时要瞄准最终目标，用最小的“代价”来获取最大的“成果”.而利用构造法解题正是这一价值的具体体现，把握这一原则，在解题时就会产生很多巧思妙想，令人耳目一新.在解题过程中渗透这一原则，对提高我们分析和解决问题的能力是非常有益的.应用构造的思想解题需要扎实的基础知识，由此及彼的丰富联想能力和较强的思维能力，在具体的解题过程中，需要仔细审题，弄清题意，借助联想，构造出新的数学形式，使所求的问题转化.参考文献：[1]刘绍学.数学通报[J].《数学通报》编辑部.2007.2[2]中学数学教学参考[J].陕西师范大学出版社.2007.3[3]李维华.中学数学教学[J].人大复印报刊资料.1995.3[4]王培德.数学思想应用及探究——建构数学[M].人民教育出版社.2003.143—161.[5]史久一、朱梧稼等.化归与归纳，类比，联想[M].江苏教育出版社，1988.62—87.[6]王子兴.数学方法论——问题解决的理论[M].中南工业大学出版社，1995.92—101.[7]李明振 .数学方法与解题研究（第二版）[M].上海科技教育出版社，2002.7339—400[8]贺金华. 数学教学中如何培养学生的思维品质[J].数学教学通讯2004.3 38—40[9]刘朝斌. 解一元二次不等式的几点技巧[J].数学教学通讯2004.3 46—47[10]王秀奎、李昆. 构造解析几何模型求函数值域[J].语数外2006.2 37—382010年经济师中级人力资源专业知识与实务试题及答案一、单项选择题(共60题，每题1分。