双曲函数ppt课件
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双曲线(优秀经典公开课比赛课件).
x2 y2 a2 - b2 =1
,由
{ 题设得
a2+b2=100
a4 =
,
b3
解得a=8,b=6.
∴另一条双曲线方程为
y2 x2 - =1
.
64 36
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【评析】双曲线
x2 y2 - =1
与
36 64
y2 - x2 =1 是一
64 36
对共轭双曲线，一般形式是
x2 a2
y2 - b2
=±1.
因而本题有另一解法，设双曲线方程为
c <
a
6
2.
∴离心率e=
e a
∈(1,
6 ).
2
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考点四 双曲线的综合应用
例4 已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F（ 3 ，0），
一条渐近线m：x + y=0，设过点A(-3 ,0)的直线l
的方向向量e=(1,k). 2
2
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线a ∥ l，且a与l的距离为 ,求k的值;
，
1+k 2
当k＞
2 时，d＞
2
6.
又双曲线C的渐近线为x± 2 y=0，
∴双曲线C的右支在直线b的右下方，
∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于 6.
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离
为 6.
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证法二：假设双曲线C右支上存在点Q（x0，y0）到
直线l的距离为 6 ，
则
{ |kx0 -y0 +3
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l
的距离d1=
b(a-1) a2 +b2
微积分研讨课——通过双曲函数求积分 ppt课件
cosh x cosix
sec hx secix
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5
四则运算
cosh(x y) cosh x cosh y sinh x sinh y sinh(x y) sinh x cosh y cosh x sinh y tanh(x y) tanh x tanh y
陶神镇楼，祝诸位期末爆发！
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16
ex ex
ex ex
双曲余割：sec hx
1 cosh
x
2 e pptx课件 e
x
cosh2 x sinh2 x 1
4
双曲函数和三角函数的转化关系
tanh x i tan ix
coth x i cot ix
csc hx i cscix
sinh x i sin ix
csc hxdx
ln
tanh
x 2
C
cosh xdx sinh x C
sinh xdx cosh x C
tanh xdx ln(cosh x) C
coth xdx ln(sinh x) C
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8
玩一点高端的~
悬链线
与达芬奇的时代时隔170年，久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论
他像伽利略一样，始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他
说，不要再折磨自己去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。
可笑的是，约翰成功地解出这道难题，仅仅牺牲了“整整一晚”
的休息时间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是
一种“奇耻大辱”。
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双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
双曲线ppt
谢谢
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率； 定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的 准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与 圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程 F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
双曲线ppt
演讲人
一般的，双曲线（希腊语“Υπερβολία” ，字面意思是“超过”或“超出”）是定 义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固 定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距 离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一 般位于原点处。
名称定义
播报
编辑
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于 |F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做 双曲线。
即：||PF1|-|PF2||=2a
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点 的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。 对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近 线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支 反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下，渐近线是两个坐标轴。
《二讲双曲线》课件
添加 标题
双曲线的图像：双曲线有两个分支，在平 面坐标系中呈现出“马蹄形”的形状。
添加 标题
参数方程与图像的关系：通过参数方程可 以绘制出双曲线的图像，而通过图像也可 以读取出双曲线的参数方程。
添加 标题
参数方程的应用：双曲线的参数方程在物理学、 工程学等领域有着广泛的应用，例如在研究天体 运动、电磁波传播等问题时常常会用到双曲线的 参数方程。
预习内容建议：回 顾双曲线的定义、 性质和图像
所需准备材料：笔 记本、笔、教材等
预习时间安排：建 议提前一周开始预 习
感谢观看
汇报人：PPT
图像特征：与双曲 线渐行渐远
双曲线的离心率
离心率的定义：离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与焦点的距离与双曲线实 轴长度的比值。
离心率的取值范围：离心率的取值范围是大于1，表示双曲线与焦点的距离大于双曲线实轴长度。
离心率与双曲线形状的关系：离心率越大，双曲线的开口越宽，形状越扁平；离心率越小，双 曲线的开口越窄，形状越接近于椭圆。
双曲线的性质
双曲线是平面上的两条曲线，它们在两个不同的方向上弯曲。 双曲线的两个焦点位于其对称轴上，并且离原点的距离相等。 双曲线的渐近线是与双曲线无限接近的直线，它们与双曲线在同一直线上。 双曲线的离心率大于1，这是双曲线与椭圆和圆的区别之一。
双曲线的几何性质
双曲线的对称性
定义：双曲线关 于原点对称
双曲线的渐近线：双曲线与坐标轴的交点为渐近线，其斜率为b/a。
双曲线的离心率：离心率e是描述双曲线离散程度的参数，其值为c/a， 其中c为焦点到原点的距离。
双曲线的焦点位置：对于中心在原点的双曲线，其焦点位置为x轴正负 方向上，距离原点为c的点。
双曲线PPT课件
椭圆的图像与性质
Y |x|a,|y|≤b B2 关于X,Y轴, 原点对称 (±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2 A1 A2
F1
o
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
B2
F1
A1
A2
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： 双曲线性质： 1、 范围： x≥a或x≤-a Y B2
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=c/a
B1
F2
例题1:求双曲线 焦点坐标,离心率.渐近线方程。
的实半轴长,虚半轴长,
解：把方程化为标准方程：来自可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: 渐近线方程: 即
练习题:填表
6
18 |x|≥3 (±3,0)
4
4 |y|≥2 (0,±2)
10
14
|x|≥
|y|≥5 (0,±5)
y=±3x
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
关于x轴，y轴，原点对称。 2、对称性：
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
X A1
A2
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
Y |x|a,|y|≤b B2 关于X,Y轴, 原点对称 (±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2 A1 A2
F1
o
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
B2
F1
A1
A2
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： 双曲线性质： 1、 范围： x≥a或x≤-a Y B2
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=c/a
B1
F2
例题1:求双曲线 焦点坐标,离心率.渐近线方程。
的实半轴长,虚半轴长,
解：把方程化为标准方程：来自可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: 渐近线方程: 即
练习题:填表
6
18 |x|≥3 (±3,0)
4
4 |y|≥2 (0,±2)
10
14
|x|≥
|y|≥5 (0,±5)
y=±3x
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
关于x轴，y轴，原点对称。 2、对称性：
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
X A1
A2
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线的性质ppt课件
双曲线的渐近线方程为 y 3 x
b3， 而 c2a2b 2， 3a2b 28 a3
解出 a26， b22
双 曲 线 方 程 为x2
y2
1
6 2 完整版ppt课件
18
小结
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0) c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
完整版ppt课件
7
二、导出 y2双 x2曲 1(a线 0,b0) a2 b2
的简单几何性质 y
（1）范围: ya,ya
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线: y a x
b
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
完整版ppt课件
A1
A2
o a
x
它与yybx的x位置的变化:趋势
a
B1
（3）利画用出慢渐双慢近曲靠线线近可的草以图较准确的
ybx
a
完整版ppt课件
y b x a
5
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与 的实 比 e轴c,长 叫做 a
双曲线离的 心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
b c2a2 (c)21 e21
20
备选练习:
1. 过点（1，2），且渐近线为 y 3 x 4
的双曲线方程是__1_6_y__2__.9x2 55
2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点
双曲函数ppt课件
单调递减
12
函数图像
双曲余弦
chx
13
双曲余弦的反函数
ex ex y
2 x ey ey
2
令 u ey
(x 0, y 1) (x 1，y 0)
u 1 2x u
u2 2xu 1 0
u 2x 4x2 4 2来自xx2 1u ey 1, ()舍去
ey =x+ x2-1
y ln(x+ x2-1)
1
x2 1
17
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性
双曲正切
双曲正切
thx
ex ex ex ex (, )
奇函数
18
单调性 极限
双曲正切
ex ex ex ex
1
2e x ex e
x
单调递增
2 1 e2x 1
lim
x+
ex ex
ex ex
ex ex
lim
x-
ex
ex
1 -1
19
函数图像
x
x2 1
2
u ey 0, ()舍去
ey =x+ x2 1
y ln(x x2 1) x (, )
7
双曲正弦与反双曲正弦的图像
shx arshx
8
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
反双曲正弦
反双曲正弦
arshx
y ln(x x2 1)
(, )
奇函数 单调递增
9
反双曲正弦
值域
(, )
导数
(arshx)'
(ln(x x2 1))'
1 (1 1 2x ) x x2 1 2 x2 1
双曲线方程课件
双曲线方程ppt课件
本课件将介绍双曲线方程的定义和特点，以及标准形式与一般形式的转换。 我们也会探索双曲线的图像与性质，以及双曲线方程的解法与应用。还会分 析一些常见的双曲线方程例题，并给出双曲线方程的应用案例。最后，我们 将总结要点并进行分析。
双曲线方程的定义和特点
定义
双曲线是平面上一组点，其到两个独立点的距离之差为常数。
转换过程
通过配凑系数，我们可以将标 准形式转换为一般形式，或者 反之。
双曲线的图像与性质
1
图像
双曲线的图像是两个分离的对称曲线，形状像一个打开的口子。
2
焦点和直线渐近线
双曲线有两个焦点和两条直线渐近线，它们与曲线有着特殊的关系。
3
对称性
双曲线关于中心轴对称，它的两个分支也对称于中心。
双曲线方程的解法与应用
1 解法
通过代数和几何性质，我们可以解双曲线方程并找到其相关参数和特性。
2 应用
双曲线方程在数学和物理等领域中有广泛的应用，如天文学、电磁波理论和工程设计。
3 分析
我们将分析一些常见的双曲线方程例题，以加深对双曲线方程的理解和运用。
常见的双曲线方程例题分析
例题一
给定双曲线方程(x^2/9) (y^2/4) = 1，绘制图像并找出 焦点和渐近线。
双曲线方程在工程设计中用于 曲线的绘制和分析。
总结和要点分析
通过本课件，我们了解了双曲线方程的定义、特点和图像性质。我们学会了 将标准形式转换为一般形式，并掌握了解双曲线方程的解法与应用。通过分 析常见的双曲线方程例题和应用案例，我们深入理解了双曲线方程的用途和 意义。
特点
双曲线有两个分支，对称于中心轴。它们是无限延伸的曲线，不与其两个焦点相交。
本课件将介绍双曲线方程的定义和特点，以及标准形式与一般形式的转换。 我们也会探索双曲线的图像与性质，以及双曲线方程的解法与应用。还会分 析一些常见的双曲线方程例题，并给出双曲线方程的应用案例。最后，我们 将总结要点并进行分析。
双曲线方程的定义和特点
定义
双曲线是平面上一组点，其到两个独立点的距离之差为常数。
转换过程
通过配凑系数，我们可以将标 准形式转换为一般形式，或者 反之。
双曲线的图像与性质
1
图像
双曲线的图像是两个分离的对称曲线，形状像一个打开的口子。
2
焦点和直线渐近线
双曲线有两个焦点和两条直线渐近线，它们与曲线有着特殊的关系。
3
对称性
双曲线关于中心轴对称，它的两个分支也对称于中心。
双曲线方程的解法与应用
1 解法
通过代数和几何性质，我们可以解双曲线方程并找到其相关参数和特性。
2 应用
双曲线方程在数学和物理等领域中有广泛的应用，如天文学、电磁波理论和工程设计。
3 分析
我们将分析一些常见的双曲线方程例题，以加深对双曲线方程的理解和运用。
常见的双曲线方程例题分析
例题一
给定双曲线方程(x^2/9) (y^2/4) = 1，绘制图像并找出 焦点和渐近线。
双曲线方程在工程设计中用于 曲线的绘制和分析。
总结和要点分析
通过本课件，我们了解了双曲线方程的定义、特点和图像性质。我们学会了 将标准形式转换为一般形式，并掌握了解双曲线方程的解法与应用。通过分 析常见的双曲线方程例题和应用案例，我们深入理解了双曲线方程的用途和 意义。
特点
双曲线有两个分支，对称于中心轴。它们是无限延伸的曲线，不与其两个焦点相交。
双曲线的基本性质详解25页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
双曲线的基本性质详解
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
双曲线的基本性质详解
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
高等数学第六节 双曲函数
yarx chlnx( x21)， yartxh1ln1x，
2 1x yarcxot1h lnx1.
2 x1
下面我们给出公式 y = arsh x 的推导： 在 ysh xexex中e令 xu,于是可得
2
u22yu10,
解之得
uy y2 1.
因为 u = ex > 0，所以上式取正号， 即
sh(xy).
2
因为 ch (x)exex chx，所以函数 y ch x
2
是偶函数 ； 因为
s(h x)exexexex sh x.
2
Hale Waihona Puke 2th (x)s(h x)sh xth x. c(h x) cx h
co( txh )c(h x)ch xcoxt. h s(h x) sh x
所以函数 y sh x ，y th x ，y coth x 为奇函数.
注意：双曲函数 不像三角函数那样具有周期性.
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x .
反双曲函数还有如下的表达式：
yarx shlnx( x21)，
uy 1y2, ex y 1y2, xlny( 1y2).
故 y = sh x 的反函数为
ylnx( 1x2).
y
1
y = th x
O
x
-1
双曲余切函数 coxt e e h x x e e x x 即 c sx h x h ,x (,0 ) (0 ,) .
y y = coth x
1
O
x
-1
这些函数之间存在着下述关系： sh (x y) = sh x ch y ch x sh y . ch (x y) = ch x ch y sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x sh2 x = 1 .
2 1x yarcxot1h lnx1.
2 x1
下面我们给出公式 y = arsh x 的推导： 在 ysh xexex中e令 xu,于是可得
2
u22yu10,
解之得
uy y2 1.
因为 u = ex > 0，所以上式取正号， 即
sh(xy).
2
因为 ch (x)exex chx，所以函数 y ch x
2
是偶函数 ； 因为
s(h x)exexexex sh x.
2
Hale Waihona Puke 2th (x)s(h x)sh xth x. c(h x) cx h
co( txh )c(h x)ch xcoxt. h s(h x) sh x
所以函数 y sh x ，y th x ，y coth x 为奇函数.
注意：双曲函数 不像三角函数那样具有周期性.
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x .
反双曲函数还有如下的表达式：
yarx shlnx( x21)，
uy 1y2, ex y 1y2, xlny( 1y2).
故 y = sh x 的反函数为
ylnx( 1x2).
y
1
y = th x
O
x
-1
双曲余切函数 coxt e e h x x e e x x 即 c sx h x h ,x (,0 ) (0 ,) .
y y = coth x
1
O
x
-1
这些函数之间存在着下述关系： sh (x y) = sh x ch y ch x sh y . ch (x y) = ch x ch y sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x sh2 x = 1 .
双曲线定义PPT课件
第5页，共19页。
椭圆：平面内与两定点 F 1、F2的距离之和等 于常数( 大于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。
这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭 圆的焦距。
双曲线：平面内与两定点 F 1、F2的距离的差 的绝对值等于常数( 小于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹
叫做双曲线。这两定点叫做双曲线的焦点，两
常数=2a
2,双曲线就是集合：
F1
y
M
o F2 x
P= {M|||MF1|-|MF2||=2a }
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
第9页，共19页。
cx-a2=± a √(x-c)2+y2
(c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
• ∵c＞a，∴c2 ＞a2
第13页，共19页。
例2.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),
F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距 离差的绝对值等于6，求双曲线的标 准方程。
第14页，共19页。
求标准方程的关键是什么？
1、中心、焦点位置定性；
2、a、b 定量。
位置、大小定标准方程
X型:
Y型:
第15页，共19页。
练习
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
3、与双曲线 x2 y2 1 的相同焦点，且经过
16 4
点 ( 3 2, 2 )
(1) x2 y2 1 16 9
(2) x2 y2 1 5
第19页，共19页。
x2 y2 (3) 1
12 8
定义 |MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
y
椭圆：平面内与两定点 F 1、F2的距离之和等 于常数( 大于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。
这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭 圆的焦距。
双曲线：平面内与两定点 F 1、F2的距离的差 的绝对值等于常数( 小于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹
叫做双曲线。这两定点叫做双曲线的焦点，两
常数=2a
2,双曲线就是集合：
F1
y
M
o F2 x
P= {M|||MF1|-|MF2||=2a }
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
第9页，共19页。
cx-a2=± a √(x-c)2+y2
(c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
• ∵c＞a，∴c2 ＞a2
第13页，共19页。
例2.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),
F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距 离差的绝对值等于6，求双曲线的标 准方程。
第14页，共19页。
求标准方程的关键是什么？
1、中心、焦点位置定性；
2、a、b 定量。
位置、大小定标准方程
X型:
Y型:
第15页，共19页。
练习
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
3、与双曲线 x2 y2 1 的相同焦点，且经过
16 4
点 ( 3 2, 2 )
(1) x2 y2 1 16 9
(2) x2 y2 1 5
第19页，共19页。
x2 y2 (3) 1
12 8
定义 |MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
y
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三角函数读音
正弦：sine（简写sin）[sain] 余弦：cosine（简写cos）[kəusain] 正切：tangent（简写tan）['tændʒənt] 余切：cotangent（简写cot）['kəu'tændʒənt] 正割：secant（简写sec）['si:kənt] 余割：cosecant（简写csc）['kəu'si:kənt]
x [1, )
14
双曲余弦与反双曲余弦的图像
chx archx
15
函数名 符号 表达式 定义域
单调性 奇偶性
反双曲余弦
反双曲余弦
archx
y ln(x x2 1)
[1, )
单调递增 无
16
反双曲余弦
值域
[0, )
导数
(archx)'
(ln(x x2 1))'
1 (1 1 2x ) x x2 1 2 x2 1
29
导数总结
(arcsin x) 1
1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
(ar shx) 1
1 x2
(ar thx)
1 1 x2
(arccos x) 1
1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
(ar chx) 1
x2 1
30
双曲函数间的关系
sh(x y) shxchy chxshy
双曲正切
thx
20
双曲正切
值域
(1,1)
导数
(thx)'
( shx )' chx
(shx)' chx shx(chx)' ch2 x
ch2 x sh2 x ch2 x
1 ch2 x
21
双曲正切的反函数
ex -ex y ex ex
(x (-，+), y (-1，1))
x
e y -e y ey ey
双曲正切
hyperbolic tangent
shx ex ex thx chx ex ex
3
双曲正弦
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
极限
双曲正弦
shx
ex ex 2
(, )
奇函数
单调递增
ex ex lim
+
2 x+
ex ex lim
-
2 x-
4
函数图像
双曲正弦
shx
则
ex2 e x2 ex1 ex1
= 1（(ex2 ex1）（ex2 ex1））
2
2
2
= 1（(ex2 2
ex1）（ 1 ex2
1 ex1
））
=
1（(e 2
x2
e x1）
ex1 -ex2 e ex1 x2
）
=
1(ex2 2
ex1）(1-
1 ex1 +x2
） 0
[0, )
单调递增
(, 0]
x
x2 1
2
u ey 0, ()舍去
ey =x+ x2 1
y ln(x x2 1) x (, )
7
双曲正弦与反双曲正弦的图像
shx arshx
8
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
反双曲正弦
反双曲正弦
arshx
y ln(x x2 1)
(, )
奇函数 单调递增
9
反双曲正弦
值域
1
x2 1
17
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性
双曲正切
双曲正切
thx
ex ex ex ex (, )
奇函数
18
单调性 极限
双曲正切
ex ex ex ex
1
2e x ex e
x
单调递增
2 1 e2x 1
lim
x+
ex ex
ex ex
ex ex
lim
x-
ex
ex
1 -1
19
函数图像
反双曲正切
反双曲正切
arthx
y 1 ln 1 x 2 1 x
(1,1)
奇函数
单调递增
24
反双曲正切
值域
(, )
导数
(arthx)'
(1 ln 1 x)' 2 1 x
1 2
1 1
x
(1 1
x )' x
1 x
1 1 x (1 x)' (1 x) (1 x)(1 x)'
21 x
(1 x)2
1 2
5
双曲正弦
值域
(, )
导数
(shx)'
ex (
ex 2
)'
ex
ex 2
chx
6
双曲正弦的反函数
ex ex y
2 x ey ey
2
令 u ey
(x (-，+), y (-，+))
(x (-，+), y (-，+))
u 1 2x u
u2 2xu 1 0
u 2x
4x2 4
1 1
x x
(1 x) (1 (1 x)2
x)
1
1 x2
25
双曲函数的图像
chx ex ex shx thx
26
双曲函数的图像
chx ex
ex
2
2
thx shx
27
导数总结
(C) 0
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
(x ) x 1
(ex ) ex
(ln x)
令 u ey
(x (-1，1), y (-，+))
u1
u
u 1
=x
u
u2 1 u2 1 =x
(1 x)u2 x 1 u2 1 x 1 x
u 1 x 1 x
y ln 1 x 1 x
1 ln 1 x 2 1 x
x (1,1)
22
双曲正切与反双曲正切的图像
arthx thx
23
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
单调递减
12
函数图像
双曲余弦
chx
13
双曲余弦的反函数
ex ex y
2 x ey ey
2
令 u ey
(x 0, y 1) (x 1，y 0)
u 1 2x u
u2 2xu 1 0
u 2x 4x2 4 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x2 1
u ey 1, ()舍去
ey =x+ x2-1
y ln(x+ x2-1)
(, )
导数
(arshx)'
(ln(x x2 1))'
1 (1 1 2x ) x x2 1 2 x2 1
1
1 x2
10
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性
双曲余弦
双曲余弦
chx
ex ex 2
(, )
偶函数
11
双曲余弦的单调性
因为函数为偶函数，所以只需讨论 [0, ) 上的情况.
设 0 x1 x2 ,
1 x
28
导数总结
(sin x) cos x (tan x) sec 2 x (sec x) sec x tan x
(s hx) c hx 1
(thx) ch2x
(cos x) sin x (cot x) csc 2 x
(csc x) cscx cot x
(chx) shx
1
反三角函数读音
反正弦 arc sine /a:k/ 反余弦 arc cosine 反正切 arc tangent 反余切 arc cotangent
2
双曲函数及其性质
双曲正弦 hyperbolic sine
shx ex ex 2
双曲余弦 hyperbolic cosine
chx ex ex 2
正弦：sine（简写sin）[sain] 余弦：cosine（简写cos）[kəusain] 正切：tangent（简写tan）['tændʒənt] 余切：cotangent（简写cot）['kəu'tændʒənt] 正割：secant（简写sec）['si:kənt] 余割：cosecant（简写csc）['kəu'si:kənt]
x [1, )
14
双曲余弦与反双曲余弦的图像
chx archx
15
函数名 符号 表达式 定义域
单调性 奇偶性
反双曲余弦
反双曲余弦
archx
y ln(x x2 1)
[1, )
单调递增 无
16
反双曲余弦
值域
[0, )
导数
(archx)'
(ln(x x2 1))'
1 (1 1 2x ) x x2 1 2 x2 1
29
导数总结
(arcsin x) 1
1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
(ar shx) 1
1 x2
(ar thx)
1 1 x2
(arccos x) 1
1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
(ar chx) 1
x2 1
30
双曲函数间的关系
sh(x y) shxchy chxshy
双曲正切
thx
20
双曲正切
值域
(1,1)
导数
(thx)'
( shx )' chx
(shx)' chx shx(chx)' ch2 x
ch2 x sh2 x ch2 x
1 ch2 x
21
双曲正切的反函数
ex -ex y ex ex
(x (-，+), y (-1，1))
x
e y -e y ey ey
双曲正切
hyperbolic tangent
shx ex ex thx chx ex ex
3
双曲正弦
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
极限
双曲正弦
shx
ex ex 2
(, )
奇函数
单调递增
ex ex lim
+
2 x+
ex ex lim
-
2 x-
4
函数图像
双曲正弦
shx
则
ex2 e x2 ex1 ex1
= 1（(ex2 ex1）（ex2 ex1））
2
2
2
= 1（(ex2 2
ex1）（ 1 ex2
1 ex1
））
=
1（(e 2
x2
e x1）
ex1 -ex2 e ex1 x2
）
=
1(ex2 2
ex1）(1-
1 ex1 +x2
） 0
[0, )
单调递增
(, 0]
x
x2 1
2
u ey 0, ()舍去
ey =x+ x2 1
y ln(x x2 1) x (, )
7
双曲正弦与反双曲正弦的图像
shx arshx
8
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
反双曲正弦
反双曲正弦
arshx
y ln(x x2 1)
(, )
奇函数 单调递增
9
反双曲正弦
值域
1
x2 1
17
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性
双曲正切
双曲正切
thx
ex ex ex ex (, )
奇函数
18
单调性 极限
双曲正切
ex ex ex ex
1
2e x ex e
x
单调递增
2 1 e2x 1
lim
x+
ex ex
ex ex
ex ex
lim
x-
ex
ex
1 -1
19
函数图像
反双曲正切
反双曲正切
arthx
y 1 ln 1 x 2 1 x
(1,1)
奇函数
单调递增
24
反双曲正切
值域
(, )
导数
(arthx)'
(1 ln 1 x)' 2 1 x
1 2
1 1
x
(1 1
x )' x
1 x
1 1 x (1 x)' (1 x) (1 x)(1 x)'
21 x
(1 x)2
1 2
5
双曲正弦
值域
(, )
导数
(shx)'
ex (
ex 2
)'
ex
ex 2
chx
6
双曲正弦的反函数
ex ex y
2 x ey ey
2
令 u ey
(x (-，+), y (-，+))
(x (-，+), y (-，+))
u 1 2x u
u2 2xu 1 0
u 2x
4x2 4
1 1
x x
(1 x) (1 (1 x)2
x)
1
1 x2
25
双曲函数的图像
chx ex ex shx thx
26
双曲函数的图像
chx ex
ex
2
2
thx shx
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导数总结
(C) 0
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
(x ) x 1
(ex ) ex
(ln x)
令 u ey
(x (-1，1), y (-，+))
u1
u
u 1
=x
u
u2 1 u2 1 =x
(1 x)u2 x 1 u2 1 x 1 x
u 1 x 1 x
y ln 1 x 1 x
1 ln 1 x 2 1 x
x (1,1)
22
双曲正切与反双曲正切的图像
arthx thx
23
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
单调递减
12
函数图像
双曲余弦
chx
13
双曲余弦的反函数
ex ex y
2 x ey ey
2
令 u ey
(x 0, y 1) (x 1，y 0)
u 1 2x u
u2 2xu 1 0
u 2x 4x2 4 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x2 1
u ey 1, ()舍去
ey =x+ x2-1
y ln(x+ x2-1)
(, )
导数
(arshx)'
(ln(x x2 1))'
1 (1 1 2x ) x x2 1 2 x2 1
1
1 x2
10
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性
双曲余弦
双曲余弦
chx
ex ex 2
(, )
偶函数
11
双曲余弦的单调性
因为函数为偶函数，所以只需讨论 [0, ) 上的情况.
设 0 x1 x2 ,
1 x
28
导数总结
(sin x) cos x (tan x) sec 2 x (sec x) sec x tan x
(s hx) c hx 1
(thx) ch2x
(cos x) sin x (cot x) csc 2 x
(csc x) cscx cot x
(chx) shx
1
反三角函数读音
反正弦 arc sine /a:k/ 反余弦 arc cosine 反正切 arc tangent 反余切 arc cotangent
2
双曲函数及其性质
双曲正弦 hyperbolic sine
shx ex ex 2
双曲余弦 hyperbolic cosine
chx ex ex 2