数学·必修2(苏教版)练习：章末知识整合2

章末知识整合
一、数形结合思想
“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维习惯在数学上的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”．
解析几何研究问题的主要方法——坐标法，就是数形结合的典范．在本章的学习中主要体现在以下两个方面：
(1)直线的方程中有很多概念，如距离、倾斜角、斜率等都很容易转化成“形”，因此题目中涉及这些问题时可以尝试用数形结合来解决．
(2)与圆有关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想．
[例1]已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－8)2＝4，直线y
＝
5
2x＋b在两圆之间(不与圆相交或相切)，求实数b的取值范围．解：画出示意图如图所示，
直线y＝
5
2x＋b，即5x－2y＋2b＝0.
当直线与圆C1相切时，|2b|
5＋4
＝2，
解得b＝±3；
当直线与圆C2相切时，|－16＋2b|
5＋4
＝2，解得b＝5或b＝11.
结合图形可知3<b<5.
规律总结
圆是一种几何特征非常明显的图形．在解圆的有关问题时，一般要根据题意在平面直角坐标系中画出图形，然后充分利用图形解决问题．
[变式训练]
1．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，则（x－1）2＋（y－1）2的最大值为________．
解析：因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，
所以（x－1）2＋（y－1）2表示点(1，1)与该圆上任意一点的距离．
易知点(1，1)在圆x2＋(y＋4)2＝4外，如图所示，所以（x－1）2＋（y－1）2的最大值为
（1－0）2＋（1＋4）2＋2＝26＋2.
★★答案★★：26＋2
2．已知点A(3，1)，在直线y＝x和y＝0上各找一点M和N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长．
解：由点A(3，1)及直线y＝x，可求得点A关于y＝x的对称点B(1，3)，同理可得点A关于y＝0的对称点C(3，－1)，如图所示．
则AM ＋AN ＋MN ＝BM ＋CN ＋MN ≥BC ，当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时，△AMN 的周长最短，为BC ＝2 5.
由点B (1，3)，C (3，－1)可得直线BC 的方程为2x ＋y －5＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝53.
故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，53. 对于2x ＋y －5＝0，令y ＝0，得x ＝52
， 故点N 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0. 故点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，53与点N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0即所求，此时△AMN 的周长最短，且最短周长为2 5.
二、分类讨论思想
分类讨论思想是数学的基本思想之一，其实质就是把整体问题化为部分问题，从而增加题设的条件来解决问题．
[例2] 过点P (－1，0)，Q (0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程．
解：(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2.
令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2k
. 由题意⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1. 所以这两条直线的方程分别为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2，
即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.
综上可知，所求的直线方程分别为
x ＝－1，x ＝0或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.
规律总结
研究直线要善于从斜率的角度去考虑问题，即从斜率存在和斜率不存在两个方面分类讨论．这是隐含在题中的一个分类因素，易被忽视，也是犯“对而不全”错误的根源之一．
[变式训练]
3．已知直线l ：4x －y sin θ＋1＝0，求它的斜率及斜率的取值范围．
解：直线l 的方程中y 的系数是－sin θ，而sin θ的值域是[－1，1]，sin θ的值可取零，但sin θ＝0的直线的斜率不存在，故视sin θ为研究对象，分类讨论．
(1)当sin θ＝0，即θ＝k π(k ∈Z)时，
直线l 的斜率不存在，倾斜角α＝π2
； (2)当sin θ≠0，即θ≠k π(k ∈Z)时，
直线l 的斜率k ＝4sin θ
⇒k 的取值范围为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 三、函数与方程思想
函数与方程思想在圆中应用较广泛，求圆的方程、直线与圆的交点及圆与圆的交点等都要用到函数与方程思想．
[例3] 已知过点(3，0)的直线l 与圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (其中O 为坐标原点)，求直线l 的方程．
分析：已知OP ⊥OQ ，若设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，由点P ，Q 在圆及直线l 上，可联立方程，借助根与系数的关系求解．
解：设直线l 的方程为x ＋ay －3＝0，由题意知a ≠0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0，x ＋ay －3＝0，(*) 消去y ，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x a 2＋x －6×3－x a ＋3＝0， 即(a 2＋1)x 2＋(a 2＋6a －6)x ＋3a 2－18a ＋9＝0，
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1x 2＝3a 2－18a ＋9a 2＋1
.① 由方程组(*)消去x ，得(3－ay )2＋y 2＋3－ay －6y ＋3＝0，即(a 2＋
1)y 2－(7a ＋6)y ＋15＝0，
所以y 1y 2＝15a 2＋1
.② 依题意知OP ⊥OQ ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.
将①②代入，得3a 2－18a ＋9a 2＋1＋15a 2＋1
＝0. 整理，得a 2－6a ＋8＝0，解得a ＝2或a ＝4，经检验知a ＝2和a ＝4都满足题意，
所以直线l 的方程为x ＋2y －3＝0或x ＋4y －3＝0.
规律总结
函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量间的函数关系．通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决．
方程的思想多用于曲线方程的求解和两直线位置关系的判定．
[变式训练]
4．已知直线l ：y ＝12x 和两个定点A (1，1)，B (2，2)，问直线l 上是否存在一点P ，使得|PA |2＋|PB |2取得最小值，若存在，求出点P 的坐标和|PA |2＋|PB |2的最小值；若不存在，说明理由．
解：假设存在一点P ，使得|PA |2＋|PB |2取得最小值，设此点为P (2x 0，x 0)，则|PA |2＋|PB |2＝(2x 0－1)2＋(x 0－1)2＋(2x 0－2)2＋(x 0－2)2
＝10x 20－18x 0＋10.
因为x 0∈R ，所以当x 0＝910
， 即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫95，910时， PA 2＋PB 2
可取得最小值，且最小值为1910. 四、转化与化归思想
把代数问题几何化、几何问题代数化，可使较复杂问题直观化、具体化、简单化，从而使问题快速得到解决．
[例4] 已知实数x ，y 满足y ＝x 2
－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．
解：设y ＝x 2
－2x ＋2(－1≤x ≤1)表示曲线段AB .由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，如图所示，可知k PA ≤k ≤k PB .
由已知可得A (1，1)，B (－1，5)，
所以k PA ＝1－（－3）1－（－2）＝43，k PB ＝5－（－3）－1－（－2）
＝8. 所以43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2
的最大值是8，最小值是43. 规律总结
对于形如k ＝y 2－y 1x 2－x 1的分式函数y ＝c ＋dx a ＋bx
的值域问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，利用数形结合进行求解．
[变式训练]
5．已知实数x ，y 满足x ＋y ＋1＝0，求x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值．
解：原式可化为(x －1)2＋(y －1)2，其几何意义为点P (x ，y )和点Q (1，1)间距离的平方，而点P (x ，y )在直线x ＋y ＋1＝0上．
设d 为点Q 到直线x ＋y ＋1＝0的距离， 由|PQ |≥d 得（x －1）2＋（y －1）2
≥|1＋1＋1|2， 即x 2＋y 2
－2x －2y ＋2≥92，故所求最小值为92.。