人教版八年级数学上册15.1.2 分式的基本性质(002)

的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 经过约分后的分式 x y ，其分子与分母没 2x
有公因．像这样分子与分母没有公因式的式子， 叫做最简分式．
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的 公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
议一议
在化简分式 5xy 时，小颖和小明的做法
20x2 y
出现了分歧：
b2 ）（b
0）.
想一想: 运用分式的基本性质应注意什么? (1)“都” (2) “同一个” (3) “不为0”
例2 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母 的各项系数都化为整数.
⑴
⑵
练一练
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
⑴ 2x
5y
⑵ 3a 7b
⑶ 10m 3n
二 分式的约分
b(x y) x(x y)(x y)
bx x3
by xy2
,
方法归纳：先将分母因式分解，再将每一个 因式看成一个整体，最后确定最简公分母．
方法归纳
确定几个分式的最简公分母的方法： （1）因式分解 （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂 （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂 （5）积
（2） x2 9 ． x2 6x 9
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解 则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的 公因式进行约分.
知识要点
约分的基本步骤 （１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最 大公约数，并约去相同字母的最低次幂； （２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分 解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
ab
a2
分后分母都变成了a2b.
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的 所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分 母. 注意：确定最简公母是通分的关键.
例4 通分：
(1)
3 2a2b
与
ab ab2c
2 a2 b2 c
最简公分母
解：（1）最简公分母是2a2b2c
3 2a2b
3 bc 2a2b bc
基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个 不等于零的数，分数的值不变.
讲授新课
一 分式的基本性质
思考：下列两式成立吗？为什么？
3 3c （c 0） 4 4c
5c 5 （c 0） 6c 6
a 即对于任意一个分数 b 有：
a a • c a a c （ｃ ０）
b b•c b bc
3bc 2a2b2c
,
ab ab2c
(a b) 2a ab2c 2a
2a2 2ab 2a2b2c
.
(2)
2x 与 3x x5 x5
（2）最简公分母是(x+5)(x-5)
最 简
1·(x-5)
1·(x+5)
公
分 1(x-5) (x+5)
2x x5
3x x5
2x(x 5) (x 5)(x 5)
2x2 x2
思考：你认为分式“a ”与“1”；分式
2a
2
“n ”与“n2 ”相等吗？
m
mn
（a，m ，n 均不为0）
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分 式有什么性质吗？
知识要点
分式的基本性质： 分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不
等于0的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式表示为： A A C , A A C（C 0）. B BC B BC 其中A,B,C是整式.
想一想：
分数和分式在约分和通分的做法上有什
么共同点？这些做法的根据是什么？
分数 分式 依据
约分
通分
找分子与分母的 找所有分母的
最大公约数
最小公倍数
找分子与分母 的公因式
找所有分母的 最简公分母
分数或分式的基本性质
当堂练习
1.下列各式成立的是（ D ）
A.
c ba
c ab
C.
c ba
c ab
B.
中的x和 y
都扩大3倍,那么分式
的值( A ).
A．扩大3倍 B．扩大9倍
C．扩大4倍 D．不变
5.约分
（1）2bc ；（2）（x y）y ；（3 ） x2 xy ；（4 ）m2 m ．
ac
xy2
x2 2xy y2
m2 1
解： （1）2bc 2b ；
ac a
（2）（x
y）y xy2
a2b
2a - b a2
(2ab b2) a2b （b≠0）
想一想： 联想分数的通分，由例1你能想出如何对分式进行 通分？
知识要点
分式的通分的定义
与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使分子、
分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不
相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式
的通分.如分式 a b 与 2a - b 分母分别是ab,a2,通
小颖：250xxy2 y
5x 20 x 2
5xy 小明：20x2 y
5xy 4x 5xy
1 4x
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
•一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
典例精析
例3 约分:（1）1255aab2b2cc3 ； (公因式是5ac2)
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.
找公因式方法: （1）约去系数的最大公约数. （2）约去分子分母相同因式的最低次幂.
5x , 25
3x(xBaidu Nhomakorabea5) (x 5)(x 5)
3x2 x2
5x . 25
母 不同的因式
例5
通分：
x
2
a
y2
与
x2
b
xy
(x+y)(x-y) x(x+y)
解：最简公分母是x(x+y)(x-y)
a x2 y2
a (x y)(x
y)
ax x(x y)(x
y)
x3
ax xy2
,
b x2 xy
b x(x y)
c ab
c ab
D. c c
ba ab
2.下列各式中是最简分式的（ B ）
A. a b ba
B. x2 y2 x y
C. x2 4 x2
D.
x y x2 y2
3.若把分式
y的
x y
x
和y
都扩大两倍,则分式
的值( B )
A．扩大两倍
B．不变
C．缩小两倍
D．缩小四倍
4.若把分式
xy x y
x y； xy
（3） x
2
x2 xy 2xy
y2
（x x （x
y） y）2
x x
； y
（4）m2 m
m 2 1
（1
m（m m）（1
1）m）
m. m1
6.通分：（1）3a1b3
,
3 4a2b
解：最简公分母是12a2b3
1 3ab3
3 4a2b
4a 12a2b3
9b2 12a 2b3
(2) 4 ， 2x 1 2x 4x2 1
典例精析 例1 填空：
想一想：（1） 看分母如何变化，想分子中如为何什变么化不.给 看分子如何变化，想分母出中如x却何≠给0变,出而化了（.b2）≠0?
（1）x3 xy
（x2 ）， 3x2 3xy
y
6x2
x （
2
x） y（x
0）；
（2） 1 ab
（
a a2b
），
2a b a2
（
2ab a2b
三 分式的通分
问题1：
7
通分：
与1
12 8
解：7 7 2 14 12 12 2 24
1 13 3 8 83 24
最小公倍数：24
通分的关键是确 定几个分母的最 小公倍数
分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分
数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.
问题2：填空
a b (a2 ab)
ab
x2 xy x2
（x
y
）
(x2 xy) x x2 x
x y x
x2
x
（
2x
x
）
2
xx 1 (x2 2x) x x 2
想一想：
联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进
行约分？
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与
分母的最简公分母.
知识要点
约分的定义 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式
2xy
2xy(x y)
2x2 y 2xy2
(x y)2 (x y)2(x y) (x y)2(x y)
x x2 y2
x(x y) (x y)2(x y)
x2 y2 (x y)2(x y)
课堂小结
内容
A A C , A A C（C 0）. B BC B BC
作用
分式进行约分
进行分式运算
分式的
和通分的依据 的 基 础
基本性质
(1)分子分母同时进行；
(2)分子分母只能同乘或同除， 注 意 不能进行同加或同减；
(3)分子分母只能同乘或同除 同一个整式；
(4)除式是不等于零的整式
解：最简公分母是(2x+1)(2x-1)
4
4(2x+1)
8x+4
1- 2x -(2x -1)(2x+1) -4x2 +1
2x 4x2 -1
小贴士：在分式的约分与通分中，通常碰到如下 因式符号变形： (b-a)2=(a-b)2;b-a=-(a-b).
(3)
2xy (x y)2
， x2
x
y2
解：最简公分母是(x+y)2(x-y)
第十五章 分 式
15.1.2 分式的基本性质
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质．（重点） 2.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．（难点）
导入新课
情境引入 1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个 苹果？
解：3 6
2 与 4 相等吗?
5 10
分数的
2.这些分数相等的依据是什么？