流体力学三大方程的推导

微分形式的连续性方程连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。

重点讨论不同表现形式的流体连续方程。

用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。

设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。

先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面流入六面体，从EFGH 面流出。

在x 轴方向流出与流入质量之差()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x xρρρρ∂∂+-=∂∂用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入质量之差分别为()y u dxdydzdt y ρ∂∂()z u dxdydzdt z ρ∂∂这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为：()()()[]y x z u u udxdydzdt x x x ρρρ∂∂∂++∂∂∂在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量()dxdydzdt t ρ∂-∂()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z tρρρρ∂∂∂∂++=-∂∂∂∂()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。

这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。

代表单位时间内，单位体积的质量变化代表单位时间内，单位体积内质量的净流出利用散度公式：得到利用矢量场基本运算公式和随体导数公式：得到 )()()()div(z y x u z u y u x u ρρρρ∂∂+∂∂+∂∂= 0)div(=+∂∂u tρρ()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂在连续方程中 div()div u u u ρρρ=+⋅∇ρρρ∇⋅+∂∂=u tDt D 0div =+u Dt D ρρdiv 0u u tρρρ∂++⋅∇=∂讨论*表明对不可压流体，体积在随体运动中保持不变。

适用于定常或不定常流体。

⑴ 对于定常流动， ，连续方程可简化为， 0t ∂=∂ ⑵ 对于不可压缩流体， ，连续方程可简化为， 0=DtD ρ()0div v ρ=0divv =——微分形式 *表明定常运动时，单位体积内流进流出的质量相等。

适用于可压或不可压流体。

0D divv Dtρρ+=因为 ()0div v tρρ∂+=∂微分形式的运动方程运动方程是流体运动的最基本的运动学原理，即找出流体运动和它受到的作用力之间的关系的数学表达式，依据的理论原理是牛顿的运动定律或动量定理，下面利用欧拉法形式建立微分形式的运动方程。

作用于流体的力质量力流体的作用力表面力 分析对象：流体中以界面 包围的体积为的流体块 στ质量力质量力（体力）：是指作用于所有流体质点的力。

如重力、万有引力等。

（1）质量力是长程力：它随相互作用的元素之间的距离的增加而减小，对于一般流体的特征运动距离而言，均能显示出来。

（2）它是一种分布力，分布于流体块的整个体积内，流体块所受的质量力与其周围有无其他流体存在并无关系。

通常情况下，作用于流体的质量力通常就是指重力。

如果 表示单位质量的流体的质量力，规定其为：其中 是作用在质量为 的流体块上的质量力。

不难看出， 可以看做力的分布密度。

F 0lim m F F mδδδ→'=F ' δF例如：对处于重力作用的物体而言，质量力的分布密度或者说单位质量的流体的质量力就是重力加速度 。

g m δ表面力表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之间的接触面上所受到的相互作用力。

如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面上的摩擦力等。

（1）表面力是一种短程力：源于分子间的相互作用。

表面力随相互作用元素之间的距离增加而迅速减弱，只有在相互作用元素间的距离与分子距离同量级时，表面力才显现出来。

（2）流体块内各部分之间的表面力是相互作用而相互抵消的，只有处于界面上的流体质点所受的，由界面外侧流体所施加的表面力存在。

（3）表面力也是一种分布力，分布在相互接触的界面上。

定义单位面积上的表面力为：其中 是作用于某个流体面积上 的表面力 0lim p p δσδδσ→'=δσp ' δ矢量 是质量力的分布密度，它是时间和空间点的函数，因而构成了一个矢量场。

而矢量为流体的应力矢，它不但是时间和空间点的函数，并且在空间每一点还随着受力面元的取向不同而变化。

所以要确定应力矢 ，必须考虑点的矢径 、该点受力面元的方向（或者说面元的法向单位矢 ）以及时间 t 。

确切地说应力矢是两个矢量（ 、 ）和一个标量函数 t 。

质量力和表面力的比较n r p F 质量力和表面力有着本质的差别。

p n r在运动流体中选取一小六面体体元，其边长分别为： 为了导出流体的运动方程，首先来分析小体元的受力情况。

δδδx y z,,=+dV x y z dtρδδδ质量力表面力根据牛顿第二定律： x yz x δy δzδx 方向质量力分析x x m F F x y zδρδδδ==x 方向的质量力 x 方向表面力分析周围流体对小体元的六个表面有表面力的作用，而通过六个侧面作用于小体元沿 x 方向的表面力分别为：z y x x p p xx xx δδδ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+zy p xx δδ-小体元所受的x 方向的表面力 = 前后侧面之和： 前后侧面： z y x xp xx δδδ∂∂x xx p -xxp z y δδxδ?因此，周围流体通过六个侧面作用于小体元沿x 方向的表面力合力为：z x y y p p yx yx δδδ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+zx p yx δδ-y x z z p p zx zx δδδ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+yx p zx δδ-右左侧面： 上下侧面： z y x z p y p x p zx yx xx δδδ∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++据牛顿运动定律：小体元受力等于其质量与加速度的乘积：z y x z p y p xp z y x F z y x dt du zx yx xx x δδδ∂∂∂∂∂∂δδρδδδρδ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=z p y p x p F dt du zx yx xx x ∂∂∂∂∂∂ρ1x 方向合力分析单位质量流体在 x 方向的运动方程方程可以简化为：单位质量流体在 y 方向的运动方程单位质量流体在 z 方向的运动方程 同理可得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=z p y p x p F dt dw zz yz xz z ∂∂∂∂∂∂ρ1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=z p y p x p F dt dv zy yy xy y ∂∂∂∂∂∂ρ1矢量形式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=zp y p x p F dt V d zy x ∂∂∂∂∂∂ρ 1P F dt V d ∙∇+=ρ1xx xy xz yx yy yz zx zy zz p p p P p p p x y z p p p ∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎪⎛⎫∇∙= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭或者： 流体运动方程的普遍形式微分形式的能量方程1、动能方程2、热流量方程 3、伯努利方程能量守恒定律是自然界的普遍规律，流体在运动过程中也是遵循该定律。

孤立系统（与外界没有质量、能量的交换）：流体在运动过程可以伴随着各种形式的能量之间的相互转换，但起总能量是不变的； 非孤立系统：总能量的变化，等于外力（包括质量力和系统外部的表面力）对系统所做的功和所吸收的热量。

系统的能量对于能量，主要指为三种形式：内能、动能及重力势能。

单位质量的内能------e ：流体分子热运动而具有的能量； 单位质量的动能------v 2/2表示单位质量的重力势能-------gz ：由万有引力起，与位置的高差有关；gzv e e s ++=221τρτρττd gz v e d e E s )21(2++==⎰⎰单位质量的总能量（储存能）-------e s ： 则体积为τ的流体系统的能量E:热力学第一定理对于一个静止的热力学系统（或起始和终止状态处于静止的系统）：系统储存能的增加等于外力对系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。

一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和。

对于某一系统，单位时间对系统所作的功（实际上就是功率）用 表示，单位时间加给系统的热量用Q 表示，则系统能量E 的变化率为:dW dt Q tWDt DE +=d d 将热力学第一定律应用于流体运动，把上式各项用有关的流体物理量表示出来，即是能量方程。

在系统的总能量中，已考虑单位质量的重力势能，则质量力作功功率中将不包括重力作功功率。

推导微分形式的能量方程的思路：根据热力学第一定律，系统能量的变化率等于外力单位时间对系统所作的功与通过热传导向系统单位时间所传的热量之和。

即: 单位时间系统能量的变化=单位时间外力对系统所作的功+单位时间外界传递给系统的热量外力对系统所作的功=质量力所作的功+表面力所作的功外界传递给系统的热量=传导热+辐射热下面用有关的流体的物理量来表达上述各项。

①单位时间系统能量的变化 方法1微元系统能量的时间变化率也分为两部分，一部分是控制体内储存能的变化，其单位时间的变化率为z y x e ts d d d )(ρ∂∂z y x we z ve y ue x s s s d d d )()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂ρρρ另一部分为经控制面迁移的能量引起的，单位时间经全部控制面净流出的储存能为()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂这样微元系统总的储存能的时间变化率为这两部分之和：zy x DtDe zy x v Dt D e Dt De zy x v e Dt D e Dt De z y x v e e Dt Dz y x v div e e v e t z y x e v div e t z y x we z ve y ue x e t Dt DE s s ss s ss s s s s s s s s s s d d d d d d )div (d d d div d d d div )(d d d ))(()(d d d )()(d d d )()()()(ρρρρρρρρρρρρρρρρρρ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇⋅+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=①单位时间系统能量的变化 方法2在t 时刻微元六面体系统的储存能，其系统能量的随体导数:z y x e s d d d ρz y x DtDe dxdydz DtDe dxdydz Dt e D dxdydz e Dt D Dt DE s s s s d d d )()(ρρρρ=+==()0s D e dxdydz Dtρ=由于系统质量的随体导数等于零。