人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：正余弦定理

解三角形模块一：正余弦定理在△ABC 中的三个内角A ，B ，C 的对边，分别用a ，b ，c 表示．1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即asin A =bsin B =csin C =2R ． ① a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ； ② sin A =a2R ，sin B =b2R ，sin C =c2R ； ③ a:b:c =sin A :sin B :sin C ．④ 面积公式：S =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B ．2．正弦定理用于两类解三角形的问题：① 已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；② 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角． 3．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：{c 2=a 2+b 2−2ab cos C ,b 2=a 2+c 2−2ac cos B ,a 2=b 2+c 2−2bc cos A. 变形式为：{cos C =a 2+b 2−c 22ab ,cos B =a 2+c 2−b 22ac ,cos A =b 2+c 2−a 22bc .4．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题： ① 已知两边和任意一个内角解三角形； ② 已知三角形的三边解三角形．考点1：正弦定理例1.（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若4A π=，3B π=，a =，则(b = ) A ．1BC ．2D．【解答】解：因为4A π=，3B π=，a =，所以，由正弦定理sin sin a bA B=，可得：sin sin a B b A ===g故选：D ．（2）在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，2b =，则a 等于( ) ABC ．3D【解答】解：ABC ∆Q 中，60A =︒，45B =︒，2b =， 由正弦定理可得，sin sin a bA B=，则2sin sin b Aa B===故选：D ．例2.（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c．已知a =，2A B π-=，则角(C =)A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【解答】解：在ABC ∆中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．已知a ，2A B π-=，则：sin A B =，故：sin()2B B π+，整理得：cos B B ，所以：tan B =， 由于：0B π<<， 故：6B π=． 2263A πππ=+=， 则：2636C ππππ=--=， 故选：B ．（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C22cos c a B +=，则(A = ) A ．6πB ．56π C ．3π D ．23π【解答】22cos c a B +=，2sin 2sin cos B C A B +=， 而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入化简得2cos sin A B B =， 由于A ，(0,)B π∈，sin 0B ≠，所以cos A =， 可得：56A π=． 故选：B ．例3.（1）满足条件4,45a b A ===︒的三角形的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．无数个D ．不存在【解答】解：由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即216186c c =+-，即2620c c -+=，3c ∴=+3c = 故选：B ．（2）在ABC ∆中，若30A =︒，a 4b =，那么满足条件的(ABC ∆ ) A ．有一个B ．有两个C ．不存在D ．不能确定【解答】解：Q 在ABC ∆中，30A ∠=︒，a =，4b =，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得：2616c =+-，得2100c -+=，(*)Q △2411080=-⨯⨯=>，且两根之和、两根之积都为正数，∴方程(*)有两个不相等的正实数根，即有两个边c 满足题中的条件，由此可得满足条件的ABC ∆有两个解． 故选：B ．（3）ABC ∆满足下列条件：①3b =，4c =，30B =︒；②5a =，8b =，30A =︒；③6c =，b =60B =︒；④9c =，12b =，60C =︒．其中有两个解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④【解答】解：①sin302c ︒=Q ，234b ∴<=<，即sin30c b c ︒<<，因此两解． 同理可得：②两解；③一解，④无解． 故选：A ．考点2：余弦定理例4.（1）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =，4c =．且cos 3cos a B b A =，则ABC ∆的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．【解答】解：ABC ∆中，cos 3cos a B b A =Q ，∴可得：222222322a c b b c a a b ac bc+-+-=g g，整理可得：22222a b c =+，Q b =，4c =，∴解得：a =222cos2a b c C ab +-==，sin C ∴==，11sin 222ABC S ab C ∆∴===．故选：A ．（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，已知()sin sin sin b c C a A b B +=-，则A ∠的大小为( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：()sin sin sin b c C a A b B +=-Q ，∴已知等式利用正弦定理化简得：22()c c b a b +=-，即222b c a bc +-=-，2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-，A ∠Q 为三角形内角，23A π∴∠=．故选：C ．模块二：题型归纳1．解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用 ① A +B +C =π．② sin (A +B )=sin C ；cos (A +B )=−cos C ． ③ sinA+B 2=cos C 2；cosA+B 2=sin C2．④ a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ． 2．与三角形形状相关的几个结论① 在△ABC 中，若a cos A =b cos B ，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形； ② 在△ABC 中，若a cos A=b cos B=c cos C，则△ABC 为等边三角形；③ 在△ABC 中，若sin 2A +sin 2B =sin 2C ，则△ABC 为直角三角形； ④ 在△ABC 中，若a cos B +b cos A =c sin C ，则△ABC 为直角三角形；⑤ 在△ABC 中，若sin A (cos B +cos C )=sin B +sin C ，则△ABC 为直角三角形．考点3：判断三角形形状例5.（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin b a C =，cos c a B =，则ABC ∆一定是( )A ．等腰三角形非直角三角形B ．直角三角形非等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：在ABC ∆中，sin b a C =Q ，cos c a B =， 故由正弦定理可得sin sin sin B A C =，sin sin sin C A B =， sin sin sin sin B A A B ∴=，sin 1A ∴=，2A π∴=．sin sin sin C A B ∴= 即sin sin C B =，∴由正弦定理可得c b =，故ABC ∆的形状为等腰直角三角形，故选：D ．（2）在△ABC 中，a =2b cos C ，则这三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【解答】A（3）在△ABC 中，a 2tan B =b 2tan A ，则这三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【解答】D考点4：解决实际问题例6.（1）在一座50m 高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60︒，塔底俯角为45︒，那么这座塔的高为( ) A．50(1+m B．50(1+ m C．+ m D．+ m【解答】解：如图，由已知可得：50AD DC m ==，tan 60BD AD ∴=︒=，∴塔高为50(1CD BD m +=+．故选：B ．（2）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与点B 相距20√3海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？ 【解答】1小时考点5：正余弦定理综合应用例7.（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2222sin bc A b c a =+-，ABC ∆的外，则a 的值为( )A ．1B ．2CD ．【解答】解：2222sin 2cos bc A b c a bc A =+-=Q ， sin cos A A ∴=，即tan 1A =，4A π∴=，ABC ∆Q 的外接圆半径r =则由正弦定理可得，2sin ar A== 2a ∴=．故选：B ．（2）在ABC ∆中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则(C = ) A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒【解答】解：由正弦定理知2sin sin sin a b cR A B C===， sin 2a A R ∴=，sin 2b B R =，sin 2cC R=，sin :sin :sin 3:5:7A B C =Q ， ::3:5:7a b c ∴=，设3a t =，5b t =，7c t =，222222925491cos 22352a b c t t t C ab t t +-+-∴===-⨯⨯，0180C ︒<<︒Q ， 120C ∴=︒．故选：B ．（3）已知ABC ∆的面积为，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若14b =，(2)cos cos 0a c B b A ++=，则(a c += )A ．16B ．12C ．8D ．4【解答】解：(2)cos cos 0a c B b A ++=Q ，(sin 2sin )cos sin cos 0A C B B A ∴++=，可得：(sin cos sin cos )2sin cos 0A B B A C B ++=，可得：sin()2cos sin 0A B B C ++=，可得：sin()sin A B C +=， 1cos 2B ∴=-，23B π∴=．14b =Q ，ABC ∆的面积为12ac ，可得：60ac =，∴由余弦定理可得：2222196()()60a c ac a c ac a c =++=+-=+-，解得：16a c +=．故选：A ．（4）在ABC ∆中，3A π=，2b =，其面积为sin sin A Ba b++等于( )A ．14B ．13C D【解答】解：由题意可得：11sin 222ABC S bc A c ∆==⨯⨯=解得：4c =，根据余弦定理有：22212cos 416224122a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以，a =根据正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===，则：sin sin sin sin 1sin 12(sin sin )24A B A B A a b R A B R a ++=====++， 故选：A ．课后作业：1.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，13a =，则(b = )A ．12B ．42C ．21D ．63【解答】解：由4cos 5A =，5cos 13C =，可得3sin5A==，12sin13C，3541263sin sin()sin cos cos sin51351365B AC A C A C=+=+=⨯+⨯=，由正弦定理可得6313sin65213sin5a BbA⨯===g．故选：C．2.在ABC∆中，a，b，c分别是角A，B，C22cosc a B+=，则(A=)A．6πB．56πC．3πD．23π【解答】22cosc a B+=，2sin2sin cosB C A B+=，而sin sin()sin cos cos sinC A B A B A B=+=+，代入化简得2cos sinA B B=，由于A，(0,)Bπ∈，sin0B≠，所以cos A=，可得：56Aπ=．故选：B．3.ABC∆满足下列条件：①3b=，4c=，30B=︒；②5a=，8b=，30A=︒；③6c=，b= 60B=︒；④9c=，12b=，60C=︒．其中有两个解的是()A．①②B．①④C．①②③D．③④【解答】解：①sin302c︒=Q，234b∴<=<，即sin30c b c︒<<，因此两解．同理可得：②两解；③一解，④无解．故选：A．4.在ABC∆中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，已知()sin sin sinb c C a A b B+=-，则A∠的大小为()A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：()sin sin sin b c C a A b B +=-Q ，∴已知等式利用正弦定理化简得：22()c c b a b +=-，即222b c a bc +-=-，2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-，A ∠Q 为三角形内角，23A π∴∠=． 故选：C ．5.）在ABC ∆中，3A π=，2b =，其面积为sin sin A Ba b++等于( )A ．14B ．13C D【解答】解：由题意可得：11sin 222ABC S bc A c ∆==⨯⨯=解得：4c =，根据余弦定理有：22212cos 416224122a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以，a =根据正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===，则：sin sin sin sin 1sin 12(sin sin )24A B A B A a b R A B R a ++=====++， 故选：A ．。