积分和方程

例4 解:
1 计算定积分 (1 x )e x 1
2
1 x x
dx
Integrate[(1+x-1/x)*Exp[x+1/x],{x,1,2}]
例5
计算定积分
e
0
1
x2
dx
解:
本题用定积分基本公式是积不出来的，但用
上面命令2可以计算出结果：
In[7]:= NIntegrate[Exp[x^2],{x,0,1}]
练习
1.求由两条曲线 y x 与
2
x y 2 围成的平面
区域的面积.
求解微分方程
命令形式1：DSolve[eqn,y[x],x] 功能：解y[x]的微分方程eqn,其中x为变量 例1.求微分方程 y 2 x 的通解.
2x y 3 y 2 y 3 xe 例2. 求微分方程
2
2 -2
4
6
8
-4
然后求出两条曲线的交点： In[2]:=Solve[{y^2-2x==0,y+x-4==0},{x,y}] Out[2]={{x→2,y → 2},{x → 8,y → -4}} 再以y为积分变量求面积： In[3]:=s=Integrate[-y+4-y^2/2,{y,-4,2}] Out[3]=18

2
sin x dx x
的近似值 的近似值
4.求定积分

1 0
sin 3 ( x) 1dx
例6：求由抛物线 成图形的面积。
y 2 2 x 和直线y x 4
所围
In[1]:=Plot[{Sqrt[2x],-Sqrt[2x],-x+4},{x,0,9}] Out[1]=-Graphics4
Out[7]=1.46265(不用该命令，显示错误
或不认识的符号)
练习：
1.（1）
0
x7 dx 4 x 2
（2 ）
0
1
4 x 2 dx
dx
dx （3） 4 x 2
（4）
e2 1
x 1 ln x
(5)

5
0
1 x dx
2.计算定积分 0 x2e3xa dx 3.求定积分 0
求f(x)
的通解.
命令形式2：DSolve[{eqn,y[x0]== y0},y[x],x] 功能 ：求微分方程eqn满足初始条件y[x0]=y0的 特解
例3.解微分方程 y 2x y, y x0 0
的特解
练习
1.求解微分方程 的特解。 2.求解微分方程
y 2 y x
满足初始条件y[0]==2
求不定积分与定积分
1.求不定积分 命令形式:Integrate[f,x]
例1 计算
sinxdx
In[1]:=Integrate[Sin[x],x] Out[1]=-Cos[x]
1 例2 计算 2 dx 2 sin xcos xБайду номын сангаас
In[2]:=Integrate[1/(Sin[x]^2 *Cos[x]^2),x] Out[2]=-Cot[x]+Tan[x]
y 6 y 9 y 0
y 6 y 9 y x
的通解。
3.求解微分方程
的通解。
2x 4.求三阶微分方程 y e cos x
的通解
5.已知函数 f ( x)( x )
(1) f ( x) f ( x);(2) f (0) 1, f (0) 2 满足：
2.计算定积分 命令形式1: Integrate[f,{x,xmin,xmax}] 功能: xmin，xmax表示积分下限和上限。 2 5 例3 计算定积分 1 x dx In[2]:=Integrate[x5,{x,1,2}] Out[2]=21/2 命令形式2: NIntegrate[f[x],{x,xmin,xmax}] 功能: 计算定积分的数值积分，xmin，xmax必须 是数字。