千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第75炼-几何问题的转换

第75炼 几何问题的转换

一、基础知识：

在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。

1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系

2、常见几何问题的转化： （1）角度问题：

① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k

② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定

（2）点与圆的位置关系

① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大

② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB ∠为钝角

（再转为向量：0CA CB ⋅<；若点在圆上，则ACB ∠为直角（0CA CB ⋅=）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ⋅>） （3）三点共线问题

① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线

（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：

()()1122,,,a x y b x y ==，则,a b 共线1221x y x y ⇔=；a b ⊥12120x x y y ⇔+=

（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系

（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）

3、常见几何图形问题的转化

（1）三角形的“重心”：设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则ABC 的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫

⎪⎝⎭

（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零

（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IP AC IQ AQ ⊥⊥

I 在BAC ∠的角平分线上AI AC AI AB AP AQ AC

AB

⋅⋅⇒=⇒

=

（4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点

DP DA DB ⇒=+

（5）P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：P 在AB 垂直平分线上

（6）共线线段长度的乘积：若,,A B C 共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：AC AB AC AB ⋅=⋅，AC BC AC BC ⋅=-⋅

C

A

二、典型例题：

例1：如图：,A B 分别是椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是

,AF FB ,AF FB 的等比中项

（1）求椭圆C 的方程

（2）已知P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ AP ⊥，并交直线l 于点Q 。证明：

,,Q P B 三点共线

解：（1）依题意可得：()()(),0,,0,,0A a B a F c -

,AF c a BF a c ∴=+=-

2是,AF FB 的等差中项 42AF FB a c a c a ∴=+=++-= 2a ∴=

3是,AF FB 的等比中项 ()()2

222AF FB a c a c a c b ∴

=⋅=+-=-=

23b ∴=

椭圆方程为：22

143

x y += （2）由（1）可得：()()()2,0,2,0,1,0A B F -

设():2AP y k x =+，设()11,P x y ，联立直线与椭圆方程可得：

()

()22

22223412

4316161202x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨

=+⎪⎩ 2211221612684343

A k k x x x k k --∴=⇒=++

()11212243k

y k x k ∴=+=+ 2226812,4343k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭

另一方面，因为FQ AP ⊥ 1

FQ k k

∴=-

()1:1FQ y x k ∴=--，联立方程：()1132,2y x Q k k x ⎧=--⎪

⎛⎫⇒-⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎩

()2,0B

()303224BQ

k k k -

∴==--- 2222

1201234368164243BP

k

k k k k k k k -

-+===---+ BQ BP k k ∴=

,,B Q P ∴三点共线

例2：已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点为F ，M 为上顶点，O 为坐标原点，若

△OMF 的面积为

2

1

，且椭圆的离心率为22．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且使点F 为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）111

222

OMF

S

OM OF bc =

⋅⋅==

::2

c e a b c a =

=⇒= 1b c ∴== 2222a b c ∴=+= ∴椭圆方程为：2

212

x y +=

（2）设),(11y x P ，),,(22y x Q 由（1）可得：()()0,1,1,0M F

1MF k ∴=-

F 为△PQM 的垂心

MF PQ ∴⊥ 11PQ MF

k k ∴=-

=

设:PQ y x m =+