千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第75炼-几何问题的转换

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千题百炼- 函数的性质综合应用必刷100题(原卷版)

专题04函数的性质综合应用必刷100题任务一:善良模式(基础)1-50题一、单选题1．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭2．（2021·湖南·高三月考）已知函数()f x 满足22()()326f x f x x x +-=++，则（）A ．()f x 的最小值为2B ．x R ∃∈，22432()x x f x ++>C ．()f x 的最大值为2D ．x R ∀∈，22452()x x f x ++>3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0,1]D ．[1,1]-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x 2+1）＝x 4，则函数y ＝f （x ）的解析式是（） A ．()()21,0f x x x =-≥ B ．()()21,1f x x x =-≥ C ．()()21,0f x x x =+≥ D ．()()21,1f x x x =+≥5．（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数()f x 满足()()()222f a b f a f b +=+对,a b ∈R 恒成立，且(1)0f ≠，则(2021)f =（）A ．1010B ．20212C ．1011D ．202326．（2021·安徽·六安二中高三月考）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21x f x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．21x -- B ．21x -+ C ．21x --- D ．21x --+7．（2021·河南·高三月考（理））||||2()x x x e f x e -=的最大值与最小值之差为（）A ．4-B ．4eC ．44e- D ．08．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞- D ．()3,-+∞9．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数()(1ln 31xxa x f x x a +=+++-（0a >，1a ≠），且()5f π=，则()f π-=（） A ．5- B ．2C ．1D ．1-10．（2021·北京通州·高三期中）已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <11．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数()()221xf x a a R =-∈+为奇函数，则实数a =（）. A ．2-B ．1-C ．0D ．112．（2022·上海·高三专题练习）函数()2020sin 2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(,1]-∞13．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时，()2f x '>恒成立，若不等式()()()1221f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个15．（2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足1(2)()f x f x +=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+，则()2021f 等于（） A ．4 B ．2C ．2-D ．2log 716．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数()f x 是定义在[3,2]a --上的奇函数，且在[3,0]-上单调递增，则满足()()0f m f m a +->的m 的取值范围是（） A ．5,82⎛⎤⎥⎝⎦B ．5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[]2,3D ．[]3,3-17．（2021·浙江·高三期中）已知0a >，0b >，则“2ln39b a ab>-”是“a b >”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件18．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()f x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（） A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭19．（2021·全国·高三期中）已知()2f x +是偶函数，当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3b f =，()4c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<20．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()13f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（）A ．2022B ．0C ．3D ．2022-21．（2021·河北·高三月考）已知函数()3()21sin f x x x x =+++，则()(32)4f x f x -+-<的解集为（） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(2,)+∞22．（2021·河南·高三月考（文））已知函数()()12x x f x e e －＝+，记12a fπ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝，1log 2b f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，()c f π＝，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a23．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．无法确定24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立，且函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，(1)4f =，则(2020)(2021)(2022)f f f ++=（） A ．1 B ．2C ．3D ．425．（2021·江西·高三月考（文））若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且()30f =，则满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为（） A ．(][),15,-∞-+∞ B ．[][]3,05,-+∞ C ．[][]1,02,5-D ．(][),10,5-∞-26．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（） A ．f 3()2<f 1()4-<f 1()4B ．f 1()4<f 1()4-<f 3()2C ．f 3()2<f 1()4<f 1()4-D ．f 1()4-<f 3()2-<f 1()427．（2022·全国·高三专题练习）函数()342221x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，则不等式()1f x ≥的解集是（） A ．()513⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，， B ．(]5133⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦，， C ．513⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．533⎡⎤⎢⎥⎣⎦，28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））函数()f x 满足()()4f x f x =-+，若()23f =，则()2022f =（） A ．3 B ．-3 C ．6 D ．202229．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数2()ln(231)f x x x =-+的单调递减区间为（） A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞30．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．40231．（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x 1<2<x 2，且x 1＋x 2>4，则f (x 1)＋f (x 2)的值（） A ．可正可负 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．恒小于032．（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数()f x 满足()()1f x f x -=()x R ∈，则下列函数中，不是奇函数的为（） A ．()()11f x f x -+ B ．()()11f x f x +-C ．()()1f x f x -D ．()()1f x f x +33．（2021·四川郫都·高三月考（文））已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2log 3 B ．1C ．1-D ．034．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f ≠，则()2021f =（）． A ．2021 B ．1 C ．0D ．1-二、多选题35．（2021·全国·高三月考）()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()()2log 2f x x =-，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 的一个周期为4B ．()20221f =C ．当[]2,3x ∈时，()()2log 4f x x =--D ．函数()f x 在[]0,2021内有1010个零点36．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）关于函数()321x f x x +=-，正确的说法是（） A ．()f x 有且仅有一个零点 B ．()f x 在定义域内单调递减 C ．()f x 的定义域为{}1x x ≠ D ．()f x 的图象关于点()1,3对称37．（2021·福建·三明一中高三月考）下列命题中，错误的命题有（） A ．函数()f x x =与()2g x =是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．函数4sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值为4 D ．设函数22,0()2,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 在R 上单调递增38．（2021·福建·高三月考）已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()13f x f x +=-，()()13f x f x +=-，当02x ≤≤时，()2f x x x =-，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的最小正周期为4 B ．()f x 的图象关于直线2x =对称 C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最大值为2 D ．当68x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12-39．（2022·全国·高三专题练习）设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（） A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称； B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称； C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称； D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称.40．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知函数sin ()()x f x e x R =∈，则下列论述正确的是（） A ．()f x 的最大值为e ，最小值为0 B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期函数，且最小正周期为2πD ．不等式()f x ≥5,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭41．（2021·全国·模拟预测）已知函数()21xf x x =-，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 在(),1-∞上是增函数 B ．函数()f x 的图象关于点()1,2中心对称C ．函数()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得直线//AB x 轴D ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称42．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（） A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称第II 卷（非选择题）三、填空题43．（2021·广东·高三月考）请写出一个函数()f x =__________，使之同时具有如下性质： ①图象关于直线2x =对称；②x R ∀∈，(4)()f x f x +=．44．（2021·湖南·高三月考）已知偶函数()f x 满足()()416f x f x +-=，且当(]0,1x ∈时，()[]222()f x f x =，则()3f -=___________.45．（2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考）定义在R 上的函数f (x )满足()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+，则23(log 8)2f +＝___．46．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，2(2),[3,1)(),[1,3)x x f x x x ⎧-+∈--⎪=⎨∈-⎪⎩，数列{}n a 满足(),n a f n n N =∈*，{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =_________．47．（2021·辽宁沈阳·高三月考）若函数()3121x f x m x⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭为偶函数，则m 的值为________．48．（2021·全国·高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为______.49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________.50．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359xf xg x x x +=-++，则()()13f g -+=______．任务二:中立模式(中档)1-30题一、单选题1．（2021·河南平顶山·高三月考（文））若函数2233()1x x f x x ++=+的最大值为a ，最小值为b ，则a b +=（） A ．4 B ．6 C ．7 D ．82．（2021·重庆南开中学高三月考）函数()1xf x x=+，则下列结论中错误．．的是（） A ．()y f x =的图象关于点()1,1-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为()1,1-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点3．（2021·辽宁沈阳·高三月考）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为（）A ．(),e -∞B ．(),1-∞C ．(),e +∞D ．()1,+∞4．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x->，且()20f -=，则不等式()0f x x >的解集是（） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞D ．()(),20,2-∞-5．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）已知,,(0,1)a b c ∈，且22ln 1a a e -+=，222ln 2b b e -+=，232ln 3c c e -+=，其中e 是自然对数的底数，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（） A ．2- B ．0C ．2D ．47．（2021·陕西·武功县普集高级中学高三期中（文））已知函数()()2020sin 2020f x x x =+，若()()21f x x f m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．[)1,+∞ B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)2,+∞D ．(],1-∞8．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，则实数λ的值是（） A ．14 B ．18C ．78-D ．38-9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61iji x y =+=∑（） A ．0 B ．6C ．12D ．2410．（2021·河南·高三月考（理））对于函数()f x ，122x x a +=时，()()122f x f x b += ，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称．探究函数()x f x =图象的对称中心，并利用它求12021()()()()202220222230222022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（） A ．4042 B．C ．2022 D ．202111．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()()22,031log 1,3x x f x x x -+≤<⎧=⎨-+≥⎩，若对任意的[],1x t t ∈+，不等式()()()12f x f x t f -≤++-恒成立，则实数t 的最小值为( ) A ．-1 B ．23-C ．13-D ．1312．（2021·山东菏泽·高三期中）定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，21,01()44,12x e x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩，若关于x 的不等式||()m x f x ≤的整数解有且仅有7个，则实数m 的取值范围为（） A ．11,53e e --⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,53e e --⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,75e e --⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,75e e --⎛⎤⎥⎝⎦13．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知2()sin 20211xf x x =++，其中()f x '为函数()f x 的导数.则(2021)(2021)(2022)(2022)f f f f ''+-+--=（）A ．0B ．2C ．2021D ．202214．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+<，若2211(),2(2),ln (ln )3333a fb fc f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<15．（2021·天津·南开中学高三月考）已知ln 22a =，1e b =，2ln39c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>16．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 满足1()()02f x f x '+>且有1(2)f e =，则()f x >的解集为（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞17．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（）A ．20B ．24C ．28D ．3618．（2021·北京十四中高三期中）函数()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()22f x f x ππ-=+，且当[0,)x π∈时，2sin ()xf x x πx π=-+，给出下列四个结论：①()0f π=；②π是函数()f x 的周期；③函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增；④函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和为3π．其中，所有正确结论的序号是（） A ．①③ B ．①④ C ．①③④ D ．①②③④19．（2021·江苏扬州·高三月考）已知32a >且33ln ln 22a a =，2b >且ln22ln b b =，52c >且55lnln 22c c =，则（） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c << D ．a c b <<20．（2021·福建·福州四中高三月考）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥，则m 的取值范围是（） A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、多选题21．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2cos2x xf x x=+，则下列关于()f x 判断正确的是（）A ．()f x 是以π为周期的周期函数B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x的值域为⎡⎢⎣⎦D ．函数()f x 的图象可由函数cos242sin 2x y x =+的图象向右平移4π个单位长度获得22．（2021·全国·高三专题练习）函数()f x 对任意实数x 都有()()f x f x ππ+=-，若()()()2f x f x g x +-=，1()()()2g x g x f x π++=，2()(),(),2cos 2()0,(),2g x g x x k k Z x f x x k k Z πππππ-+⎧≠+∈⎪⎪=⎨⎪=+∈⎪⎩则以下结论正确的是（）A ．函数()g x 对任意实数x 都有()()g x g x ππ+=-B ．函数1()f x 是偶函数C ．函数2()f x 是奇函数D ．函数1()f x ，2()f x 都是周期函数，且π是它们的一个周期23．（2022·全国·高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数24．（2021·重庆·高三月考）定义域在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（）A ．()00f >B ．()421f e >-C ．()()()2021202021f ef e ->-D ．()()22202120201f e f e ->-25．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 对任意的实数x ，y 满足()()()()cos 222f x f y x y x y f π++-=⋅，且1(0)(1)0,()12f f f ===，并且当1(0,)2x ∈时，()0f x >，则下列选项中正确的是（） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在11(,)22-上单调递增C ．函数()f x 是以2为周期的周期函数D ．5()02f -=第II 卷（非选择题）三、填空题26．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3x f x e >的解集为________________．27．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________.28．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.29．（2021·广东·大埔县虎山中学高三月考）已知函数())2log f x x =，若任意的正数,a b ，满足()()410f a f b +-=.则19aa a b++的最小值_____.30．（2021·上海·格致中学高三月考）已知函数()f x 的定义域()0,D =+∞，且对任意12,x x D ∈，恒有()()()1212f x x f x f x =+，当1x >时，()0f x <，若()()2212f m f m ->-，则m 的取值范围是______________．任务三:邪恶模式(困难)1-20题一、单选题1．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中（理））已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x ≥时，有22()()f x xf x x +'>，则不等式()()()220182018420x f x f +++-<的解集为（） A ．(),2016-∞- B ．()2016,2012-- C ．(),2018-∞- D ．()2016,0-2．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））设函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，()f x '为()f x 的导函数，当0x >时，ln ()()0x x f x f x '⋅+>，则使得()2()01x f x x +≤-成立的x 的取值范围（）A ．(](),20,1-∞-B ．[)2,0(0,1)-C ．[)2,0(1,)-+∞D ．(](),21,-∞-+∞3．（2021·江苏·无锡市第一中学高三月考）已知()f x 是定(,0)(0,)-∞+∞的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f <，且满足：()()ln 0f x f x x x+'⋅<，则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（） A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(,1)-∞ D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞4．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））定义在R 上的函数()f x ，满足对于任意0x ≠总有1()()f x f x =--成立，且当(1,1]x ∈-时2,01()1<<0x x x f x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-⎪⎩，函数,>1(),01,<0a x g x ax a x a x ⎧⎪=+≤≤⎨⎪-⎩.设两函数图像交点坐标为1122(),(,),(,)n n x y x y x y ⋅，当121n x x x =-时，实数a 的取值范围为（）A ．1(0,3(,1)4- B ．1(0,)(1,324+C ．1(3)(1,)4-+∞D ．1(3)(1,324-+5．（2021·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（） A ．12 B ．14 C ．16 D ．186．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，1(1)3f -=-，对于任意的实数x 均有ln3()()f x f x '⋅<成立，且1()12y f x =-+的图像关于点（12，1）对称，则不等式2()30x f x -->的解集为（） A ．（1，+∞） B ．（-1，+∞） C ．（-∞，-1） D ．（-∞，1）7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，若()()1f x f x '>+，()(6)2f x f x +-=，(6)5f =，则不等式()210x f x e ++<的解集为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(0,3)D ．(3,6)8．（2021·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（） A ．3 B ．72C ．4D ．929．（2021·黑龙江大庆·高三月考（理））设()e 2ln e 2a +=+，2ln 2b =，2e 4ln 4c =-，其中e 是自然对数的底数，则（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<10．（2021·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（） A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭11．（2021·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（） ①()0,1m ∈；②()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ③函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③12．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，若()()1x f f x '+>，()()6f x f x ''=-，()31f =，()65f =，则不等式()ln 210f x x ++<的解集为（） A ．()0,1 B ．()0,3 C ．()1,3 D ．()3,6二、多选题13．（2021·江苏如皋·高三月考）已知函数()y f x =满足：对于任意实数,R x y ∈，都有()()2()cos f x y f x y f x y ++-=，且(0)0f =，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．R,()1x f x ∀∈≤D ．()f x 在ππ[,]22-上是增函数14．（2021·海南·高三月考）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当[0,3]x ∈时，21,[0,1]()(2),(1,3]x x f x f x x ⎧-∈⎪=⎨--∈⎪⎩，当3x >时，1()(4)2f x f x =-，则以下结论正确的是（） A ．()f x 是周期函数B ．任意()()1212,,2x x R f x f x ∈-≤C ．1(10)4f -=-D ．()f x 在区间[2,4]上单调递增15．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．416．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数sin cos ()e e x x f x =-，下列说法中正确的是（）A ．()()f x f x -=B ．()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数 C ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数 D ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一极值点第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________.18．（2021·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =-有三个零点，则实数a 的范围为________．19．（2021·湖北·襄阳四中高三月考）已知()sin x x f x e e x x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围___．20．（2021·浙江·模拟预测）已知0a >，b R ∈，若()3242||2ax bx ax bx a b x b -+≤+++对任意122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则b a的取值范围是______．。

千题百炼- 立体几何综合小题必刷100题(原卷版)

专题19 立体几何综合小题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（）A B ．C D ．2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m αB ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβD ．若//αβ，m α⊂，则//m β3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（）A ．12，23-，12B ．23-，12，12C ．12，12，23-D ．23，23，12-4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（） A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ5．已知四棱锥P ABCD -的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm ）的正三角形，俯视图为正方形，则该四棱锥的体积（单位：3cm ）是（）A ．83BCD ．436．在正方体1111ABCD A B C D -中，则直线1A D 与直线AC 所成角大小为（）A ．30B ．45C ．60D ．907．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为侧面11ABB A 内动点，且满足1PD △PBC 面积的最小值为（）A ．1B C ．2 D ．2 8．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒.1D 、1E 分别是11A B 、11A C 的中点，1CA CB CC ==，则1AE 与1BD 所成角的余弦值为（）A B C D9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，则以下结论错误的是（）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AD ⊥平面CB 1D 1C ．AC 1⊥BDD ．异面直线AD 与CB 1所成的角为45°10．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且//a b ，则实数m 的值等于（）A ．32B ．－2C ．0D ．32或－2 11．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是（）A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直12．已知直三棱柱111ABC A B C -中，60ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A B ．0 C D13．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（）A ．cmB ．10 cmC ．cmD ．30 cm14．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体P -ABC 中，设E ，F 分别是PB ，PC 上的点，连接AE ，AF ，EF （此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（）A ．6个B ．8个C ．10个D ．12个15．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为4的正方形，且2,PA PB PD ===，则四棱锥外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．36πD ．144π二、多选题16．给出下列命题，其中正确的有（）A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．已知空间向量(1,0,1)a =，(2,1,2)b =-，则//a bD ．已知空间向量(1,0,1)a =，(2,1,2)b =-，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标是848,,999⎛⎫- ⎪⎝⎭17．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，以下结论正确的是（）A ．直线1B D 与1BC 是异面直线B ．直线1A D 与1BC 平行C ．直线1BD 与1BD 垂直D ．三棱锥11A BC D -的体积为64318．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是棱1CC 上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使//DP 面11AB DB ．二面角1P BB D --的平面角大小为60︒C ．1PB PD +D ．P 到平面11AB D19．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是（） A ．若//m α，m β⊂，a n β⋂=，则//m n B ．若//m n ，//m α，则//n α C ．若a n β⋂=，αβ⊥，βγ⊥，则n γ⊥ D ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγ20．在下列条件中，不能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（）A ．OM ＝2OA －OB －OC ；B ．111532OM OA OB OC =++； C ．0MA MB MC ++=；D ．OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0；21．如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（）A ．B ．C ．D ．22．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+23．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12AA =，1BC 与1B C 交于点F ，点E 是线段11A B 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．1111222AF AB AC AA =++ B ．存在点E ，使得AF BE ⊥C ．三棱锥B AEF -D ．直线AF 与平面11BCC B第II 卷（非选择题）三、填空题24．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、BC 的中点，则三棱锥N DMC 1的体积为___________.25．已知正三棱锥的底面边长是6，侧棱与底面所成角为60︒，则此三棱锥的体积为__．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，11AA AC BC ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是__________________．27．已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．28．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA 长为3，且11120A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC =__.29．如图，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则用向量,,a b c 表示向量MN =________．30．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且P A⊥平面ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为163，则球O的表面积为___________.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．在三棱锥P －ABC 中，3APB BPC CPA π∠∠∠===，△P AB ，△P AC ，△PBC 的面积分别记为123,,S S S ，且123322S S S === ）A BC D 2．在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，同学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论.已知直线//AD 平面α，直线//BC 平面α，F 是棱BC 上一动点，现有下列三个结论：⊥若,M N 分别为棱,AC BD 的中点，则直线//MN 平面α；⊥在棱BC 上存在点F ，使AF ⊥平面α；⊥当F 为棱BC 的中点时，平面ADF ⊥平面α.其中所有正确结论的编号是（）A ．⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥3．已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A 、B 、C 在下底面圆的圆周上，且AB BC ⊥，点Р在上底面圆的圆周上，则222PA PB PC ++的最小值为（）A ．246B ．226C ．208D ．1984．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（）A ．2πB ．4πC ．5πD ．6π5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF A BEF -的体积为（）A ．112B ．14 C D ．不确定6．如图已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 是对角线1AC 上的一点且1AM AC λ=，()0,1λ∈，则（）A ．当12λ=时，1AC ⊥平面1A DMB ．当12λ=时，//DM 平面11CB DC ．当1A DM 为直角三角形时，13λ=D ．当1A DM 的面积最小时，13λ=7．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于（）A ．2BA •ACB ．2AD •BDC ．2FG •CAD ．2EF •BC8．如图一，矩形ABCD 中，2BC AB =，AM BD ⊥交对角线BD 于点O ，交BC 于点M ．现将ABD △沿BD 翻折至A BD '的位置，如图二，点N 为棱A D '的中点，则下列判断一定成立的是（）A ．BD CN ⊥B ．AO '⊥平面BCDC ．//CN 平面A OM 'D ．平面A OM '⊥平面BCD9．点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中棱AB 的中点，12CN NC =，动点P 在正方形11AA D D （包括边界）内运动，且1//PB 平面DMN ，则PC 的长度范围为（）A ．B ．⎣C ．D ．⎣10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC (不包含端点)上运动，则下列判断中正确的是（）①1//A M 平面1ACD ； ②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦；③AC ⊥平面11MB D 恒成立； ④三棱锥1D AMC -的体积不是定值． A ．①③ B ．①② C ．①②③ D ．②④11．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，6BAC π∠=，SB =4,2SC SA ==，则该四面体的外接球的表面积是（）A ．253πB ．100πCD ．20π12．已知圆锥SO 的母线长为）A ．B ．24C ．36πD ．4813．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD ，1AD =，2PD AB ==，点E 是PB 的中点，过A ，D ，E 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则下列结论中正确的有（）（1）//l 平面PAD ；（2）//AE 平面PCD ；（3）直线PA 与l （4）平面α截四棱锥P ABCD -所得的上、下两部分几何体的体积之比为35．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △是边长为2的正三角形，ABCD 是正方形，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（）A ．293π B ．643π C ．263π D ．283π15．已知在正四面体ABCD 中，E 是AD 的中点，P 是棱AC 上的一动点，BP ＋PE 四面体内切球的体积为（）A B ．13πC ． D16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，H 分别为棱AB ，BC ，11C D ，11A D 的中点，若平面//α平面EFGH ，且平面α与棱11A B ，11B C ，1B B 分别交于点P ，Q ，S ，其中点Q 是棱11B C 的中点，则三棱锥1B PQS -的体积为（） A ．1B ．12C ．13D ．1617．已知球O ，过其球面上A ，B ，C 三点作截面，若点O 到该截面的距离是球半径的一半，且2AB BC ==，120B ∠=︒，则球O 的表面积为（）（注：球的表面积公式24)S r π=A ．643π B ．83πC ．323π D ．169π18．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC =CC 1，P 是A 1C 1的中点，则异面直线BC 与AP 所成角的余弦值为（）A ．0B ．13C D19．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h 、2h 、3h ，则123::h h h =（）A．2B ． C 2:2 D 6:620．如图，二面角l αβ--的大小是60︒，线段AB α⊂．B l ∈，AB 与l 所成的角为30．直线AB 与平面β所成的角的正弦值是（）A B C D二、多选题21．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，则四个推断正确的是（）A ．111AC AD ⊥B ．11AC BD ⊥C ．平面11//A C B 平面1ACD D ．平面11A C B ⊥平面11BB D D22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 到平面AEF 的距离为2323．正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（） A ．截面可以是三角形B ．PA 与底面ABCD 所成的角为60︒C ．PA 与底面ABCD 所成的角为45︒D ．当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：124．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）A ．三棱锥E BCD -B ．三棱锥E BCD -C ．存在某个位置，使得AE BD ⊥D ．设二面角D ABE --的平面角为θ，且0θπ<<，则DAE θ<∠25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A ．1AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC26．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为60C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A27．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，动点M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<.则下列结论中正确的有（）A ．当12a =时，ME 与CN 相交 B ．MN 始终与平面BCE 平行 C ．异面直线AC 与BF 所成的角为45︒D ．当a =MN28．(多选)如图，ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论正确的是（）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°29．已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接EF ，FB ，BE ，H 为BF 的中点，则下列结论正确的是（） A ．DE ⊥BFB ．EF 与CH 所成角为3π C ．EC ⊥平面DBFD ．BF 与平面ACFE 所成角为4π30．下图中正方体1111ABCD A B C D -边长为2，则下列说法正确的是（）A ．平面1C BD ⊥平面1A BDB ．正方体1111ABCD A BCD -外接球与正四面体11A DBCC ．正四面体11A DBCD ．四面体1A ADB第II 卷（非选择题）三、填空题31．空间四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AD BC ==，BD =BD 和AC 所成的角为3π，则该四面体的外接球的表面积为 __.32．如图，A 、B 、C 、D 、P 是球O 上5个点，ABCD 为正方形，球心O 在平面ABCD 内，PB PD =，2PA PC =，则P A 与CD 所成角的余弦值为______．33．已知圆锥、圆柱的底面半径和体积都相等，则它们的轴截面的面积之比的比值是___________34．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左图是南北朝官员独孤信的印信，它是由正方形和正三角形围成.右图是根据这只印信作出的直观图，直观图的所有顶点都在一正方体的表面上（如果一个正八边形的八个顶点都在这个正方体同一个侧面的四条棱上，那么这个八边形的边长就等于这个直观图的棱长）.__________.35．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为__________.36．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1AA =M ，N 分别在棱DA ，DC 上.二面角1D MN D --的大小为30°.若三棱锥1D DMN -，则三棱锥1D DMN -的外接球的表面积为___________.37．异面直线a 、b 所成角为3π，直线c 与a 、b 垂直且分别交于A 、B ，点C 、D 分别在直线a 、b 上，若1AC =，2AB =，3BD =，则CD =________．38．已知四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为4的正方形，SD ⊥面ABCD ，点M 、N 分别是AD 、CD 的中点，P 为SD 上一点，且SD ＝3PD ＝3，H 为正方形ABCD 内一点，若SH ∥面PMN ，则SH 的最小值为__．39．如图，在ABC 中，AB AC ==1cos 3BAC ∠=-，D 是棱BC 的中点，以AD 为折痕把ACD △折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的表面积为___________.40．在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子,M N 分别在正方形对角线,AC BF 上移动，若CM BN =，则MN 长度的最小值为__________．任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．已知四面体ABCD M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，F 为棱AB 上异于A ，B 的动点．有下列结论： ①线段MN 的长度为1；②若点G 为线段MN 上的动点，则无论点F 与G 如何运动，直线FG 与直线CD 都是异面直线；③MFN ∠的余弦值的取值范围为；④FMN 1．其中正确结论的为（） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④2．已知三棱锥P ABC -，其中PA ⊥平面ABC ，2PA =，2AB AC ==，2BAC π∠=.已知点Q 为棱PA（不含端点）上的动点，若光线从点Q 出发，依次经过平面PBC 与平面ABC 反射后重新回到点Q ，则光线经过路径长度的取值范围为（）A ．(1B ．)4C ．4⎫⎪⎭D ．(3．如图，已知锐二面角l αβ--的大小为1θ，A α∈，B β∈，M l ∈，N l ∈，AM l ⊥，BN l ⊥，C ，D 为AB ，MN 的中点，若AM MN BN >>，记AN ，CD 与半平面β所成角分别为2θ，3θ，则（）A ．122θθ<，132θθ<B ．122θθ<，132θθ>C ．122θθ>，132θθ<D ．122θθ>，132θθ>4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与1A C 、不重合），有以下四个结论：⊥存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ⊥存在点M ，使得//DM 平面11B D C ；⊥若1A DM 的周长为L ，则L⊥若1A DM 的面积为S ，则S ∈⎝．则正确的结论为（） A ．⊥⊥ B ．⊥⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点，若满足1PB PC d +=的点P 的个数为4，则d 的取值范围为（）A ．)2B ．C ．2,1⎡⎣D ．(16．在三棱锥D ABC -中，222AD AB AC BC ===，点A 在面BCD 上的投影G 是BCD △的垂心，二面角G AB C --的平面角记为α，二面角G BC A --的平面角记为β，二面角G CD A --的平面角记为γ，则（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βγα>>D ．γβα>>7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1AA 的中点，F 是棱BC 上一点（不包括端点），则下列结论错误的是（）A ．三棱锥11CB EF -的体积为定值16B ．存在点F ，使得直线EF 与直线1CD 相交C ．当F 是棱BC 的中点时，直线EF 与直线1CD 所成的角为π6D ．平面1D EF 截正方体所得的截面是五边形8．如图，在等边三角形ABC 中，,D E 分别是线段,AB AC 上异于端点的动点，且BD CE =，现将三角形ADE 沿直线DE 折起，使平面ADE ⊥平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，则下列选项中错误的是（）A ．ADB ∠的大小不会发生变化 B ．二面角A BDC --的平面角的大小不会发生变化 C ．BD 与平面ABC 所成的角变大 D ．AB 与DE 所成的角先变小后变大9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足10cm AB BC CD DA DB =====，15cm AC =，则该“鞠”的表面积为（）A ．2350cm 3πB ．2700cm 3πC ．2350cm πD 210．已知在Rt ABC △中，斜边2AB =，1BC =，若将Rt ABC △沿斜边AB 上的中线CD 折起，使平面ACD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（）A ．13π3B ．20π3C ．10π3 D ．7π311．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，5AD =，14AA =，点F 是1AA 的中点，点E 为棱BC 上的动点，则平面1C EF 与平面11ABB A 所成的锐二面角正切的最小值是（）A ．513BC D ．13512．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M ，N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB内，且三角形PMN 的面积PMN S =△P 的轨迹长度为（）A B C D13．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A B C D14．如图，等腰直角ABC 中，2AC BC ==，点P 为平面ABC 外一动点，满足PB AB =，2PBA π∠=，给出下列四个结论：①存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PBC ； ②存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PAB ； ③设PAC △的面积为S ，则S 的取值范围是(]0,4；④设二面角A PB C --的大小为α，则α的取值范围是π0,4⎛⎤⎥⎝⎦.其中正确结论是（） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④15．已知AB 、CD 是圆O 的两条直径，且60AOC ∠=︒，如图1，沿AB 折起，使两个半圆面所在的平面垂直，折到点D 位置，如图2．设直线BD '与直线OC 所成的角为θ，则（）A ．90BD C '∠=︒且60θ>︒B ．90BDC '∠=︒且60θ≤︒ C ．90BD C '∠≠︒且60θ>︒ D ．90BD C '∠≠︒且60θ≤︒二、多选题16．如图，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．点P 为半圆弧AD (不含A ，D 点)一动点．下列说法正确的是（）A ．三梭锥P —ABD 的每个侧面三角形都是直角三角形B ．三棱锥P —ABD 体积的最大值为83C ．三棱锥P —ABD 外接球的表面积为定值32πD ．直线PB 与平面ABCD17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点F 在正方形11CDD C 内，则（） A ．若112BF BC BD →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则三棱锥的11-F B CC 的外接球表面积为4π B ．若1//B F 平面1A BD ，则1B F 不可能垂直1CD C ．若1C F ⊥平面1A CF ，则点F 的位置唯一D ．若点E 为BC 中点，则三棱锥11A AB E -的体积是三棱锥1-A FA B 体积的一半18．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图⊥，已知球的体积为43π，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图⊥.则下列结论正确（）A ．经过三个顶点,,ABC 的球的截面圆的面积为4π B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．多面体ABCDEF 的体积为94D ．球离球托底面DEF 119．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38aC ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(14a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '20．如图，ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，4CAD π∠=，3BCD π∠=.现将Rt ACD △沿斜边AC 翻折成△11(D AC D 不在平面ABC 内）.若M ，N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD △翻折过程中，下列结论正确的是（）A ．//MN 平面1ACDB ．1AD 与BC 不可能垂直C ．二面角1D AB C -- D ．直线1AD 与DM 所成角的取值范围为(,)63ππ21．已知边长为a 的菱形ABCD 中，π3ADC ∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（） A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 可能相互垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38aC ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(14a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '22．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱11B C 上一点（不与端点重合），则（）A ．平面OCP 截正方体1111ABCD ABCD -所得截面一定是梯形 B ．存在点P ，使得三棱锥1P ABD -的体积为23C ．存在点P ，使得AP 与11CD 相交D ．当P 是棱11B C 的中点时，平面OCP 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得截面圆的面积269π23．在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，AC CD ⊥，直线AB ，CD 所成的角为60°，AB CD ==，4AC =，则四面体ABCD 的外接球表面积为（）A B ．52π C ．80π D ．208π第II 卷（非选择题）三、填空题24θ，则当tan θ等于______时，侧面积最小．25．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A ，B ，C 是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为,,AB BC CA ，由这三条劣弧围成的图形称为球面ABC ．已知地球半径为R ，北极为点N ，P ，Q 是地球表面上的两点若P ，Q 在赤道上，且PQ =，则球面NPQ △的面积为________；若NP PQ QN R ===，则球面NPQ △的面积为________．26．如图，在矩形ABCD 中，2,4,AB BC E ==是边AD 的中点，将ABE △沿直线BE 折成A BE ∠'，使得二面角A BE C '--的平面角为锐角，点F 在线段A B '上运动(包括端点)，当直线CF 与平面A BE '所成角最大时，FBE 在底面ABCD 内的射影面积为___________.27．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱两两垂直，AB 与底面BCD 成30角，P 是平面BCD 内任意一点，则AP BP的最小值是________.28．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是棱AD 的中点，点,F G 在平面1111D C B A 内，若EF =CE BG ⊥，则FG 的最小值为_________．29．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，得四边形1BFD E ，给出下列结论：①四边形1BFD E 有可能为梯形； ②四边形1BFD E 有可能为菱形； ③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形1BFD E 有可能垂直于平面11BB D D ；⑤四边形1BFD E 其中正确结论的序号是_____________30．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为________.。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第83炼-特殊值法解决二项式展开系数问题

第 83 炼特殊值法解决二项式展开系数问题一、基础知识：1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。

所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式3、常用赋值举例：（1）设ab n C n0an Cn 1a n 1b C n 2a n2b 2L C n ran r br L C n nb n，①令 a b 1 ，可得： 2nC n 0C n 1L C n n②令 a1,b1，可得：0 C n 0C 1nC n 2C n 3Ln1nC；，即：CnCn2nnL C n nC 1nC n 3LCn n 1(C n (假设n 为偶数），再结合①可得：C 0C 2nnLC n nC 1nC n 3 Ln1C n2n 1（2）设fx 2x 1 na 0a 1x a 2x 2Ln a nx n① 令 x 1，则有：a 0 a 1 a 2L a n2 n1 1 nf1，即展开式系数和② 令 x 0，则有： a 0 20n1 n f0，即常数项③ 令 x1 ，设 n 为偶数，则有：a 0 aa 2a 3 La n1 2 1 n f1a 0 a 2 L a n a 1 a 3 L a n 1f1即偶次项系数和与奇次项系数和的差由①③即可求出 a 0a 2 La n 和 a 1 a 3 L a n 1 的值二、典型例题：例 1：已知 3x 1 8 a 02a 1x a 2xL a 8x 8 ，则 a 1 a 3a 5 a 7 的值为 __________思路：观察发现展开式中奇数项对应的 x 指数幂为奇数，所以考虑令 x 1,x 1 ，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到 a 1 a 3 a 5 a 7 的值解：令 x 1 可得： 28 a 0 a 1 L a 8 ①令 x 1 可得：4 a o a 〔 a 2 L a 8答案:求式子特点可令x 2，得到a oa 1 Lan o ,只需再求出a o 即可。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第74炼利用几何关系求解圆锥曲线问题

的相互转化 4 在椭圆中利用两条焦半径的和为常数可将一条焦半径转移至另一条焦半径 5 在曲线中利用两条焦半径的差为常数意点在曲线的哪一支 3 1 圆相关的最值问题已知圆 C 及圆外一定点 P 设圆 C 的半径为 r 则圆点到 P 点
A
可将一条焦半径转移至另一条焦半径注
距离的最小值为 PM = PC − r 结 PC 并延长
'
'
点共线时，
( PA
答案
'
+ PB
)
min
= A' B = 41 ，即 ( PA + PB )min = 41
41
1 点共线取得最值的条件动点位于两定点之间时，则距离和取到最小
小炼有话说
值。同理当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。 2 处理线段和差最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用线
段转移法，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件例 2 设抛物线 y 2 = 4 x 的距离为 d 2 A. 思路一点 P 到此抛物线准线的距离为 d1 到直线 l : 3 x + 4 y + 12 = 0
则 d1 + d 2 的最小值为 B.
3
16 5
C.
18 5
D.
4
通过作图可观察到直接求 d1 + d 2 的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知
C
垂足为 P
CP
圆 C 交于 M
其
l
P M
4 已知圆 C 和圆外的一条直线 l 线解线长的最小值为 PM
则过直线 l
的点作圆的

高中数学考前100问(最终版)

“ .高中数学考前回归教材资料亲爱的高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下 100 个问题，您是否有清醒的认识？1．集合中的元素具有无序性和互异性.如集合{a,2}隐含条件 a ≠ 2 ，集合 {x | ( x -1)(x - a) = 0}不能直接化成{1,a }.2.研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如:{ x | y = lgx }与{ y | y = lgx }及{ (x, y)| y = l gx }三集合并不表示同一集合；再如：设 A={直线}，B={圆}，问 A ∩B 中元素有几个？能回答是一个，两个或没有吗？”与“A={(x, y)| x + 2y = 3},B={(x, y)|x 2 + y 2 = 2}, A ∩B 中元素有几个？”有无区别？过关题：设集合 M = {x | y = x + 3}，集合 N ＝ {y | y = x 2 + 1, x ∈ M }，则 MN = ___（答： [1, +∞) ）3 .进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和韦恩图进行求解；若 AB= φ ，则说明集合 A 和集合 B 没公共元素，你注意到两种极端情况了吗？ A = φ 或 B = φ ；对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、和非空真子集的个数分别是2n 、 2n - 1 和 2n - 2 ，你知道吗？你会用补集法求解吗？A 是B 的子集 ⇔ A ∪B=B ⇔ A ∩B=A ⇔ A ⊆ B ，你可要注意 A = φ 的情况.过关题：已知集合 A={-1, 2}, B={x| m x + 1 = 0}，若 A ∩B=B ，则所有实数 m 组成的集合为.1答： m = {0,1,- }2已知函数 f ( x ) = 4 x 2 - 2( p - 2) x - 2 p 2 - p + 1 在区间 [-1,1] 上至少存在一个实数 c ，使 f (c) > 0 ，求实数 p 的取值范围.答： (-3, 3 2) ）4 .（1）求不等式（方程）的解集，或求定义域时，你按要求写成集合或区间的形式了吗？（2）你会求分式函数的对称中心吗？过关题：已知函数 f ( x ) = a - x x - a - 1的对称中心是(3, -1)，则不等式 f (x) > 0 的解集是 .答：{x | 2 < x < 3}5 .求一个函数的解析式，你注明了该函数的定义域了吗？6 .四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真假！复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样，差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果原命题: p ⇒ q ;逆命题: q ⇒ p ;否命题: ⌝p ⇒ ⌝q ；逆否命题: ⌝q ⇒ ⌝p ；互为逆否的两个命题是等价的.如：“ sin α ≠ sin β ”是“ α ≠ β ”的条件.（答：充分非必要条件）若 p ⇒ q 且 q ≠ p ;则 p 是 q 的充分非必要条件（或 q 是 p 的必要非充分条件）;| 注意命题 p ⇒ q 的否定与它的否命题的区别:命题 p ⇒ q 的否定是 p ⇒⌝ q ；否命题是 ⌝p ⇒ ⌝q命题“p 或 q ”的否定是“┐P 且┐Q ”，“p 且 q ”的否定是“┐P 或┐Q ”注意：如 “ a, b ∈ Z ，若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数，则 a + b是奇数”；否定是“若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是奇数”7.绝对值的几何意义是什么？不等式ax + b |< c ，| ax + b |> c (c > 0) 的解法掌握了吗？过关题：| x | + | x – 1|<a 的解集非空，则 a 的取值范围是，| x | – | x – 1|<a 恒成立，则 a 的取值范围是.有解，则 a 的取值范围是.答： a > 1 ； a > 1 ； a > -18.如何利用二次函数求最值？注意对 x 2 项的系数进行讨论了吗？若 (a - 2) x 2 + 2(a - 2) x - 1 < 0 恒成立，你对 a - 2 =0 的情况进行讨论了吗？若改为二次不等式 (a - 2) x 2 + 2(a - 2) x - 1 < 0 恒成立，情况又怎么样呢？9. （1）二次函数的三种形式：一般式、交点式、和顶点式，你了解各自的特点吗？（2）二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗？你能相互转化吗？（ 3）方程有解问题，你会求解吗？处理的方法有几种？过关题：不等式 a x 2 + b x + 2 > 0 的解集为{x | - 1 1< x < } ，则 a + b = .2 3答： -14过关题：方程 2sin 2 x – sinx + a – 1 = 0 有实数解，则 a 的取值范围是.9答： [-2, ]8特别提醒：二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两根即为不等式 ax 2 + bx + c > 0 (< 0) 解集的端点值，也是二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点的横坐标.对二次函数 y = ax 2 + bx + c ，你了解系数 a, b , c 对图象开口方向、在 y 轴上的截距、对称轴等的影响吗？对函数 y = lg( x 2 - 2ax + 1) 若定义域为 R ，则 x 2 - 2ax + 1 的判别式小于零；若值域为 R ，则 x 2 - 2ax + 1 的判别式大于或等于零，你了解其道理吗？例如：y = lg(x 2 + 1)的值域为，y = lg(x 2 – 1) 的值域为，你有点体会吗？答： [0, +∞);( -∞, +∞)10 求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数 y = log (x 2 - 2x -3)的单调增区间？再如已知函数2y = log (x 2 - 2ax -1)在区间 [2,3] 上单调减，你会求 a 的范围吗？答： 0 < a <a34若函数 y = x 2 - 2ax + 2 的单调增区间为[2, +∞)，则 a 的范围是什么？答： a = 2若函数 y = x 2 - 2ax + 2 在 x ∈ [2, +∞)上单调递增，则 a 的范围是什么？答： a ≤ 2两题结果为什么不一样呢？y 11.函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定和证明是两回事呀！判断方法：图象法、复合函数法等. 还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗？（⑴ 比较大小；⑵ 解不等式；⑶ 求参数的范围.）如已知 f ( x ) = 5sin x + x 3 ， x ∈ (-1,1)， f (1- a) + f (1- a 2 ) < 0 ，求 a 的范围. 答： (1, 2)求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间是区间不能用集合或不等式表示.12.判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性的必要非充分条件）.1过关题：f (x) = a x 2 + b x + 3 a + b 是偶函数，其定义域为[a – 1, 2a]，则 a = , b =.答： ;0313.常见函数的图象作法你掌握了吗？哪三种图象变换法？（平移、对称、伸缩变换）函数的图象不可能关于 x 轴对称，（为什么？）如：y 2 = 4x 是函数吗？函数图象与x 轴的垂线至多一个公共点，但与轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个；函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象；如圆；图象关于 y 轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数.指数函数与对数函数关于直线y = x 对称，你知道吗？过关题：函数 y = 2f (x – 1)的图象可以由函数 y = f (x)的图象经过怎样的变换得到？过关题：已知函数 y = f (x) (a ≤x ≤b )，则集合{(x, y)| y = f (x) ,a ≤x ≤b } ∩{(x, y)| x = 0}中，含有元素的个数为（）A. 0 或 1B. 0C. 1D. 无数个答： A14.由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = f (- x ) 的图象？答：以 y 轴为对称轴翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = - f ( x ) 的图象？答：以 x 轴为对称轴翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = - f (- x ) 的图象？答：以 (0,0) 为对称中心翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = f (| x |) 的图象？答：去左翻右⑴ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于 x 轴的对称的曲线 C 是： . 答： f ( x , - y) = 0 1⑵ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于 y 轴的对称的曲线 C 是：.答： f (- x , y) = 0 2 ⑶ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = x 的对称的曲线 C 是： . 答： f ( y , x) = 0 3⑷ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = - x 对称的曲线 C 是：.答： f (- y , - x ) = 04⑸ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = x + m 的对称的曲线 C 是：.答： f ( y - m , x + m ) = 0 5⑹ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = -x + m 的对称的曲线 C 是：.答： f (m - y , m - x) = 06⑺ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 x = m 对称的曲线 C 是： .答： f (2m - x, y) = 0 7⑻ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = m 对称的曲线 C 是： .答： f ( x ,2 m - y) = 08 ⑼ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于原点的对称的曲线 C 是：.答： f (- x , - y) = 09过关题： f (x) = log x 关于直线 y = x 的对称函数（反函数）.答： y = 2x或 [ b 的单调区间吗？（该函数在 (-∞,-. y指数式、对数式：a n = n a m ，a - n = 1 ，a 0 = 1 ，log 1 = 0 ，log a = 1 ，lg 2 + lg5 = 1 ，log x = ln x ，215.函数 y = x + kx(k > 0) 的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用基本不等式求最值的联系是什么？若 k ＜0 呢？你知道函数bab b,+∞) 上单调递增；在 (0, ] 或 [- ,0) 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！a a a求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值.16.(1)切记：研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行！一般是先求定义域，后化简，再研究性质]过关题： y = log1 (-x2+ 2x )的单调递增区间是________(答：（1,2）).2已知函数 f (x) = log 3 x + 2, x ∈[1, 9]，则函数 g (x) = [f (x)] 2 + f (x 2)的最大值为 . 答：13求解中你注意到函数 g (x)的定义域吗？(2)抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？（即找函数原型）过关题 12：已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T ，则 f (-（答：0）几类常见的抽象函数：①正比例函数型： f ( x ) = kx(k ≠ 0) --------------- f ( x ± y ) = f ( x ) ± f ( y ) ；T2) = __x ②幂函数型： f ( x ) = x 2 -------------- f ( x y) = f ( x ) f ( y) ， f ( ) =y f ( x ) f ( y)；③指数函数型： f ( x ) = a x ---------- f ( x + y) = f ( x ) f ( y) ， f ( x - y) =f ( x ) f ( y)；x ④对数函数型： f ( x ) = log x --- f ( x y) = f ( x ) + f ( y) ， f ( ) = f ( x ) - f ( y) ；a⑤三角函数型： f ( x ) = tan x ----- f ( x + y) = f ( x ) + f ( y) 1 - f ( x ) f ( y).17．解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质明确了吗？对指数函数 y = a x ，底数 a 与 1 的接近程度确定了其图象与直线 y = 1 接近程度；对数函数 y = log x 呢？你 a还记得对数恒等式（a log a N = N ）和换底公式吗？知道： n m log N = log aa m N n吗？mmm a a eana b = N ⇔ log N = b (a > 0, a ≠ 1, N > 0) ， a log a N = N .a如 ( )log 28的值为________(答： 1 2 - β + 2k π ,( k ∈ Z )sin x > ； ⎨2 由三角函数线，我们很容易得到函数 y = sin x ， y = cos x 和 y = tan x 的⎪ tan θ ≥ 1函数 y =2sin(π15︒,75[ 2 ) 时，x, sinx, tanx 的大小关系如何？cos ϕ = ⎨ ⎩ϕ 1 2 64 )18.你还记得什么叫终边相同的角？若角α 与 β 的终边相同，则α = β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边共线，则：α = β + k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称，则：α = -β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则：α = π - β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于原点对称，则：α = β + (2 k + 1)π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于直线 y = x 对称，则：α =π各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦； ︒ 角的正弦、余弦、正切值还记得吗？ 19.什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如：⎧ 3 2 ⎪cos θ < 2 ⎩单调区间；三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出它们的单调区间、对称中心、对称轴及其取得最值时的 x 值的集合吗？（别忘了 k ∈ Z ）ππ– 2x)的单调递增区间是- + k π ,+ k π]( k ∈ Z ) 吗？你知道错误的原因吗？663y = tan x 图象的对称中心是点 ( k π 2,0) ，而不是点 (k π ,0) (k ∈ Z ) 你可不能搞错了！你会用单位圆比较sinx 与 cosx 的大小吗？当x ∈ (0, π过关题:函数 y = tan x 与函数 y = sin x 图象在 x ∈[-2π,2π]上的交点的个数有个？答： 520 ．三角函数中，两角 α、β 的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？⎧⎪ a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin(x + ϕ ) 中 ϕ 角是如何确定的？（可由 ⎪ ⎪ s in ϕ =⎪ aa 2 +b 2ba 2 +b 2确定，也可由tan= b a及 a , b 的符号来确定）公式的作用太多了，有此体会吗？重要公式： sin 2α = 1- cos2α ； cos 2α = 1 + cos2α ．；nat α = ± 1-osc α = nis α = 1-osc α ;222 1+osc α 1+osc α nis α1± sin θ = (cos ± sin )2 = cos ± sin12 ,k π + 2 ， α + βα + β = 2 ⋅ α + β (αβ ) (αβ )2-等），（答： y = - 3A.π函数 y = sin ⎛ 5π- 2 x ⎪ 的奇偶性是______（答：偶函数）y A 、 “ θ θ θ θ2 2 2 2等，你还记住哪些变形公式？特殊角三角函数值你记清楚了吗？如：函数 f ( x ) = 5 s in x cos x - 5 3 c os 2x +53( x ∈ R ) 的单调递增区间为___________（答：2[ k π - π5π 12]( k ∈ Z ) ）巧变角：如 α = (α + β ) - β = (α - β ) + β ， 2α = (α + β ) + (α - β ) ， 2α = (β + α) - (β -α) ，2=- -2如（1）已知 tan(α + β ) = 25π 1 π 3， tan( β - ) = ，那么 tan(α + ) 的值是_____（答：）；4 4 4 22（2）已知 α , β 为锐角， sin α = x,cos β = y ， cos(α + β ) = -4 3 1 - x 2 + x( < x < 1) ）5 5 53 5，则 y 与 x 的函数关系为______（3）若 x =π6是函数 y = a sinx – b cosx 的一条对称轴，则函数 y = b sinx – a cosx 的一条对称轴是ππ B.C.D. π （）答： B63221.会用五点法画 = A s in( ωx + ϕ ) 的草图吗？哪五点？会根据图象求参数 ω、ϕ 的值吗？什么是振幅、初相、相位、频率？答： A,ϕ, wx + ϕ, | ω |2π22.同角三角函数的三个基本关系，你记住了吗？三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限”⎫ ⎝ 2 ⎭23.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边角互化？（用：面积公式，正弦定理，余弦定理，大角对大边等实现转化），三角形解的个数题型你熟悉吗（一解、两解、无解）？24.你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？（1）角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化；（2）名的变换：见切化弦；, 且 < α < ，则 cos α -sin α的值为.答： -过关题: sin α = 5 ,sin β = , 且α ,β为锐角, 则 α + β =.答：y = sin x −左−或−平−−|Φ|→ y = sin( x + Φ) −横−坐−伸−到−原来−的−倍→ y = sin(ω x + Φ)1 ω− 右移 y = sin x −横−坐−伸−到−原来−的−倍→ y = sin ωx −左−或−平−−|→ y = sin(ωx + Φ)1 Φω−−−−− 原来的− → y = A s in(ωx + Φ) −−−平−−→ y = A s in(ωx + Φ) + b 2 ]（3）次的变换：降幂公式；π π（4）形的变换：通分、去根式、1 的代换1 = sin 2 α + cos 2 α = tan =sin =cos0）等，这些统称为 1 的代换.4 225.在已知三角函数中求一个角时，你（1）注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函数值）（2）注意考虑到函数的单调性吗？过关题： sin α cos α = 1 π π8 4 23210π 5 10426.形如 y = Asin(ωx + ϕ) +b ，y = A t an(ωx + ϕ) 的最小正周期会求吗？有关周期函数的结论还记得多少？周期函数对定义域有什么要求吗？求三角函数周期的几种方法你记得吗？怎么证明函数为周期函数？27、 y = Asin(ωx + ϕ) +b 与 y =sinx 变换关系:φ正左移负右移；b 正上移负下移;标缩标缩右移 | ω标缩下移28.在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？过关题：已知 s in α cos β = 12 1 1 ，求 sin β cos α 的变化范围.答： [- , ]2 2提示：整体换元，令 s in β cos α = t ，然后与 sin α cos β 相加、相减，求交集.29.请记住(sin α ± cos α )与 sin α cos α 之间的关系.5过关题：求函数 y = sin2x + sinx + cosx 的值域.答： [- , 2 + 1]430 常见角的范围①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是(0,②直线的倾斜角、与的夹角的取值范围依次是[0, π ) ， [0,π31 以下几个结论你记住了吗？π π] ， [0, ] ， [0, π ] ； 2 2⎩y=2sinθB=b+c⑷面积公式：S=1a⑴如果函数f(x)的图象关于直线x=a对称，那么函数f(x)满足关系式为，且函数f(x)若为奇函数，则函数f(x)的周期为.答：f(a+x)=f(a-x),4|a|⑵如果函数f(x)满足关于点（a,b）中心对称，那么函数f(x)满足关系式为；答：f(a+x)+f(a-x)=2b⑶如果函数f(x)的图象既关于直线x=a成轴对称，又关于点(b,c)成中心对称，那么f(x)是周期函数，周期是T=4|a-b|.（4）f(x+a)=f(b-x)，则f(x)的图象关于x=a+b2对称.过关题：已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且满足g(x)=f(x–1)，则f(2006)+f(2007)+f(2008) =.答：0132.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？l=|α|r,S=lr若α是角度，公式又是什么形式2呢？过关题:已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.（答：2cm2），⎧x=2cosθ曲线⎨π（θ为参数,且-π≤θ≤-）的长度为.答：34π333.三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？A B+C⑴内角和定理：三角形三内角和为π,sinA=sin(+C),cosA=-cos(B+C),s in=cos()22⑵正弦定理：a b c===2R（R为三角形外接圆的半径）, sin A sinB sinC注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解⑶余弦定理：a222-2bc cos A，cos A=定三角形的类型.b2+c2-a2(b+c)2-a2=-1等，常选用余弦定理鉴2bc2bc1abcah=ab sin C=224R，内切圆半径r=2S∆ABC a+b+c（5）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大角对大边，大边对大角，你注意到了吗？sinA>sinB⇔A>B，你会证明吗？（6）已知a,b,A时三角形解的个数的判定：bCh a其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a<h时，无解；②a=h时，一解（直角）；③h<a<b时，两解（一锐角，一钝角）；④a≥b时，一解（一锐角）.⑵A为直角或钝角时：①a≤b时，无解；②a>b时，则b36.倒数法则还记得吗？（指ab>0,a>b⇒1）(x>③正数x,y满足x+2y=1，则1+的最小值为______（答：3+22）；（7）三角形为锐角三角形满足什么条件？34．常见的三角换元法：已知x2+y2=a2，可设x=a cosθ,y=a sinθ；已知x2+y2≤1，可设x=r cosθ,y=r sinθ(0≤r≤1)；已知x2y2+a2b2=1，可设x=a cosθ,y=b sinθ；35.重要不等式的指哪几个不等式？若a,b>0，（1）a2+b2≥a+b≥ab≥2（当且仅当a=b时取等号）；221+1a b（2）a、b、c∈R，a2+b2+c2≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；（3）若a>b>0,m>0，b+m<a a+m（糖水的浓度问题）.111<，常用如下形式：a>b>0⇒0<<，a b a b11a<b<0⇒0>>）用此求值域的注意点是什么？a b如求函数y=12x-11的值域，求函数y=2x-1的值域呢？37.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法及放缩法（a2+b2≥(a+b)22≥2|ab|）等号成立的条件是什么？基本变形：①a+b≥；(a+b2)2≥；38利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到一正，二定，三相等？如：①函数y=4x-91)的最小值2-4x2.（答：8）②若若x+2y=1，则2x+4y的最小值是______（答：22）；1x y39.二元函数求最值的三种方法掌握了吗？方法一：转化为一元问题，用消元或换元的方法；方法二：利用基本不等式；方法三：数形结合法，距离型、截距型、斜率型）过关题：若正数a,b满足a b=a+b+3,则a+b的取值范围是.（答：[6,+∞)）40不等式的大小比较，你会用特殊值比较吗？a + b， .“ x - 1 - . 答： ( 2, 3)过关题：已知 a > b > 0，且 a b = 1，设 c = 2, P = log a, N = log b , M = log ab ，c cc则 A. P < M < NB. M < P < NC. N < P < MD. P < N < M ( )答： A41 不等式解集的规范格式是什么？（一般要写成区间或集合的形式）另外“序轴标根法”解不等式的注意事项是什么？将不等式整理成一边为零的形式，将非零的那边因式分解，要求每个因式中未知量 x 的最高次数项的系数均为正值，求各因式的零点，画轴，穿线，注意零点的重数，在写解集时还得考虑解集中是否包含零点如:解不等式 ( x + 3)( x - 1)3 ( x + 2)2 ≥ 0 .（答：{x | x ≥ 1或x ≤ -3 或 x = -2} ）；42.解分式不等式f ( x )g ( x )> a(a ≠ 0) 应注意什么问题？（在不能肯定分母正负的情况下，一般不能去分母而是移项通分）43.解含参数不等式怎样讨论？注意解完之后要写上：综上，原不等式的解集是…”解不等式ax 2 ax - 1> x(a ∈ R)（综上，当 a = 0 时，原不等式的解集是{x | x < 0} ；当 a > 0 时，原不等式的解集是{x | x > 1 a或 x < 0} ；当 a < 0 时，原不等式的解集是{x | 1 a< x < 0 } ）过关题：解关于 x 的不等式：ax + 1> 1 ，（| a |≠1） x + 1答： a > 1,{x | x > 0或x < -1}； a =1,∅； 0 < a < 1,{x | -1 < x < 0}44.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）45.解对数不等式应注意什么问题？（化成同底，利用单调性，底数和真数都大于零）过关题：解关于 x 的不等式： log ( x 2- x - 2) > log1 1 421246.会用不等式 || a | - | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b | 证一些简单问题吗？取等号需满足什么条件的？47.不等式恒成立问题有哪几种处理方式？（特别注意一次函数型和二次函数型，还有恒成立理论）过关题：对任意的 a ∈[-1, 1]，函数 f (x) = x 2 + (a – 4) x + 4 – 2a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是.答： (-∞,1) (3, +∞)过关题：当 P(m, n )为圆 x 2 + ( y – 1) 2 = 1 上任意一点时，不等式 m + n + c ≥0 恒成立，则 c 的取值范围是.答： [ 2 - 1,+∞)48.等差、等比数列的重要性质你记得吗？证明方法是什么？}{公式法（利用等差、等比数列的通项公式或利用a=⎨直接写出所求数列的通项公式）S-S n≥2⎩nna2+(2n-1)=n2，（等差数列中的重要性质：若，则；等差数列的通项公式：a=kn+b型前n项和：S=An2+Bn型n n等比数列中的重要性质：若，则用等比数列求前n项和时一定要注意公比q是否为1？（过关题：求和：S=x+2x2+3x3++nx n要注意什么？n时，；时，）49.等差数列、等比数列的重要性质：an+1-an-1=d(a为常数)的数列有什么性质？若{a}为等差数列，n则{a2n-1，ka +b }也是等差数列，它们的公差是什么？n50.数列通项公式的常见求法：观察法（通过观察数列前几项与项数之间的关系归纳出第项a与项数n之间的关系）n⎧S n=11nn-1叠加法（适用于递推关系为an+1-a=f(n)型）n连乘法（适用于递推关系为an+1=f(n)型）an构造新数列法（如递推关系n+1=pa+q;an n+1=pa+b(b为等差数列或等比数列)型）n n n51.数列求和的常用方法：公式法：⑴等差数列的求和公式（两种形式），⑵等比数列的求和公式⑶1+2++n=n(n+1)，1+3+5+1+3+5++(2n+1)=(n+1)2；12+22+32+1+n2=n(n+1)(2n+1)6分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含(-1)n因式，周期数列等等）倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）错位相减法：（“差比数列”的求和）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：⑴1111111 =-⑵=(-)n(n+1)n n+1n(n+k)k n n+k⑶11111<=(-)k2k2-12k-1k+11111111-=<<=-k k+1(k+1)k2k(-1)k-1kk kn (n + 1)(n + 2) 2 n (n + 1) (n + 1)(n + 2)(n + 1)!n ! (n + 1)!裂项法求和：如求和：1 + 1 1 + 2 1 + 2 + 3 +① a n+1-a n =…… ⎨= 0如 a n = -2n 2+29n-3 ⎪< 0n +1 = ⎨= 1 (a n >0) 如 a n = ⎪< 1 ⎩ 求通项常法: （1）可利用公式: a = ⎨ ⎩S n - S n -1 n ≥ 22 22 22n n 14, n = 1n + 1 + n (n ≥ 2) ，则 a =________（答：a = n + 1 - 2 + 1） a n ＝ an －1 an －2 a⑷⑹ 2( n + 1 - n ) < 1 n< 2( n - n - 1) ⑺ a = S - S n nn -1 (n ≥ 2)⑻ C m -1 + C m = C m ⇒ C m = C m - C m -1 （理科）nnn +1nn +1n分组法求数列的和：如 a n =2n+3n 、错位相减法求和：如 a n =(2n-1)2n 、1 + + 11 +2 +3 + + n =（答：2nn + 1）、倒序相加法求和：如①求证： C 0 + 3C 1 + 5C 2 +nnn+ (2 n + 1)C n = (n + 1) 2n ；（理科）nx 2 1 1 1 7②已知 f ( x ) = ，则 f (1)+ f (2) + f (3) + f (4) + f ( ) + f ( ) + f ( ) ＝___（答：）1 + x2 234 2求数列{a n }的最大、最小项的方法（函数思想）：⎧> 0⎪ ⎩②a ⎪ an ⎧> 19 n (n + 1)10 n③ a n =f(n) 研究函数 f(n)的增减性如 a n =nn 2 + 156⎧S n = 1 1 n如：数列{a } 满足 n1 1 a +a + 1+ 1a= 2n + 5 ，求 a （答： a =n n{2n +1, n ≥ 2 ）（2）先猜后证（3）递推式为 an ＋1＝ a ＋f(n) (采用累加法)； a nn ＋1 ＝ a ×f(n) (采用累积法)；n如已知数列{a } 满足 a = 1 ，a - a n1nn -1 =1nn（4）构造法形如 a = kann -1+ b 、 a = kann -1+ b n （k , b 为常数）的递推数列如已知 a = 1,a = 3a1nn -1+ 2 ，求 a （答： a = 2 3n -1 - 1 ）；n n（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下 2 个公式的合理运用a n ＝（a n －a n-1）+(a n-1－a n-2)+……＋（a 2－a 1）＋a 1 ；aa a n ⋅ n －1 2a 11（ a ≠ 0）i+ 13n - 24 + 1 1 , 数列{a n }的前 n 项和为 Sn , 点 P n (a n , - a答：（1） a = 4n - 3 4n - 3 2 4n - 3 4n - 3 + 4n + 1 = >，求数列通项时注意到 n ≥ 2 了吗？一般情况是： a= ⎨ ⎩S - S 常用定理:①线面平行 b ⊂ α ⎬ ⇒ a //α ; ⎬ ⇒ a //α ; a ⊥ β ⎬ ⇒ a //α a ⊄ α⎪⎭ a ⊄ α ⎪⎭ ②线线平行: a ⊂ β ⎬ ⇒ a //b ; ⎬ ⇒ a // b ; α ⋂γ = a ⎪ ⇒ a //b ; a // b ⎫ ⇒ c // bα ⋂ β = b ⎭β ⋂γ = b ⎭③面面平行: a ⋂ b = O ⎬ ⇒ α // β ; ⎬ ⇒ α // β ; ⎬ ⇒ α // γa // β ,b // β ⎪⎭④线线垂直: a ⊥ α⎫⎬ ⇒ a ⊥ b ;所成角 90；a ⊂ α ⎪ (三垂线);逆定理?b ⊂ α ⎭α // β ⎫ α // β ;; α//β ⎫⎬ ⇒a ⊥ β ; a // b ⎫⎬ ⇒ b ⊥ αa ⋂b = O ⎬ ⇒l ⊥α α ⋂β = l ⎬ ⇒ a ⊥ β l ⊥ a,l ⊥ b ⎪⎭ a ⊂α, a ⊥ l ⎪⎭⑥面面垂直：二面角 900; a ⊂ β ⎫ a // β ⎫（6）倒数法形如 a =nan -1的递推数列都可以用倒数法求通项.ka + bn -1如①已知 a = 1,a =1n②已知数列满足 a =1， a1n -1- a = a an n n -1，求 a （答： a = n n 1 n 2），已知函数 f (x) = -x 2 a n +1)(n ∈N*)在曲线 y = f (x)上, 且 a 1 =1, a n > 0.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证: S n >2n4n + 1 + 1 (n ∈N*);(3)若数列{b n }的前 n 项和为 T n , 且满足 Tn +12 n= Tnan +12+ 16n 2 - 8n - 3 , 试确定 b 1 的值, 使得数列{b n }是等差数列.n1 12 2（2）提示： a = （3） b = 1n 1 由 a = S - Sn n n -1n ⎧ S1 n n -1 n = 1 n ≥ 252.立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α 、a ∩α =A (a ⊄ α ) 、a ⊂ α③平面与平面:α ∥β 、α ∩β =a线//线 ⇔ 线//面 ⇔ 面//面，线⊥线 ⇔ 线⊥面 ⇔ 面⊥面.a //b ⎫ α ⊥ β⎫⎪ ⎪a ⊂ β ⎭a //α⎫ ⎫⎪ a ⊥ α⎫ ⎬ ⎬ ⎪ b ⊥ α ⎭ ⎪ a // c ⎭a ⊂ α,b ⊂ α ⎫⎪a ⊥ α ⎫ α // β ⎫ a ⊥ β ⎭ γ // β ⎭PO ⊥ α ⎫⎬ ⇒ a ⊥ P Aa ⊥ AO ⎪⎭⑤线面垂直: a ⊂α,b ⊂α⎫ α⊥β ⎫⎪ ⎪ a ⊥α⎭ a ⊥ α⎭⎬⇒ α ⊥ β ; ⎬⇒ α ⊥ β a ⊥ α ⎭ a ⊥α ⎭两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的平面角的取值范围依次是： (0, π ] 、 [0, ] 、， 53.异面直线所成的角如何求？（异面问题相交化，即转化到同一平面上去求解）范围是什么？过关题：在正方体 ABCD – A 1B 1C 1D 1 中，点 P 在线段 A 1C 1 上运动，异面直线 BP 与 AD 1 所成的角为θ ，则角θ 的取值范围是 .π22[0, π ] .(3)在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题？“作、证、算”三个步骤可一个都不能少啊！（理科）求空间角①异面直线所成角θ 的求法：π（1）范围： θ ∈ (0, ] ；2（2）求法：平移以及补形法、向量法.如（1）正四棱锥 P - ABCD 的所有棱长相等， E 是 PC 的中点，那么异面直线 BE 与 P A 所成的角的余弦值等于____（答：3 3）；（2）在正方体 AC 1 中，M 是侧棱 DD 1 的中点，O 是底面 ABCD 的中心，P 是棱 A 1B 1 上的一点，则OP 与 AM 所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围 [0,π2] ；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；如（理）（1）在正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，已知 AB=1，D 在棱 BB 1 上，BD=1，则 AD 与平面 AA 1C 1C所成的角正弦为______（答：64）；（2）正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别是 AB 、C 1D 1 的中点，则棱 A 1B 1 与截面 A 1ECF 所成的角的余弦值是______（答：3 3）；如（1）正方形 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，二面角 B-A 1C-A 的大小为________（答： 60 ）；（2）正四棱柱 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中对角线 BD 1＝8 BD 1与侧面 B 1BCC 1 所成的为 30°，则二面角 C 1—BD 1—B 1的正弦为______（答：6 3）；（3）从点 P 出发引三条射线 PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是 60°，则二面角 B-P A-C 的余弦值是______（答： 13）；54.（1）有关长方体的性质和结论，你记得吗？过关题：平面α 、 β 、 γ 两两互相垂直，直线 l 与平面 α 、 β 所成的角分别为 30o 、45o ，则直线 l 与平面 γ 所成的角为 .答： 30︒; r = ; R = aa | ! （2）有关正四面体的性质和结论，你记得吗？正方体中有一个正四面体的模型，你知道吗？你能灵活运用吗？侧棱与底面所成的角的余弦值为；侧面与底面所成的二面角的余弦值为；正四面体的内切球半径 r 与外接球的半径 R 之比为，它们与正四面体的高 h 之间的关系分别为、 .答：3 ; 1 ; 1 h 3h 3 3 34 4（3）正三棱锥、正四棱锥的性质，你记得吗？它们的特征直角三角形，你会应用吗？（4）求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）（5）求多面体体积的常规方法有哪些？（直接法、等体积法、割补法）55.球的表面积、柱、锥、球的表面积会求吗？体积公式都记得吗？过关题：一个四面体的所有棱长都是 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为. 答： 3π56．平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ⇔ 顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ⇔ 顶点在底面射影为底面垂心 ;斜高相等(侧面与底面所成相等 ) ⇔ 顶点在底面射影为底面内心 ;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ ,则 S 侧 cos θ =S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?;57.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征⑴ 几个概念：零向量、单位向量、与同方向的单位向量，平行向量，相等向量，相反向量，以及一个向量在另一向量上的投影（在 b 方向上的投影是 a | cos θ =a ⋅b , θ为向量a 与 b 的夹角）一定要记住 | b |过关题：在直角坐标平面上，向量 OA = (4,1) 与 OB = (2, -3) 在直线 l 上的射影长度相等，则 l 的斜率为. 答： -12⑵ 0 和 0 是有区别的了， 0 的模是 0，它不是没有方向，而是方向不确定；0 可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直.⑶ 若 a = 0 ，则 a ⋅ b = 0 ，但是由 a ⋅ b = 0 ，不能得到 a = 0 或 b = 0 ，你知道理由吗？还有： a = c 时， a ⋅ b = c ⋅ b 成立，但是由 a ⋅ b = c ⋅ b 不能得到 a = c ，即消去律不成立.58.向量中的重要结论记住了吗？如：在三角形 ABC 中，点 D 为边 AB 的中点，则 CD =12(CA + CB) ；已知直线 AB 外一点 O ，点 C 在直线 AB 上的充要条件为 O C = tOA + (1- t )OB .（三点共线）59 你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗？60.向量运算的有关性质你记住了吗？数乘向量，向量的内积，向量的平行，向量的垂直，向量夹角的求法，两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗？（不等价）向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量是－ a .)、共线向量、相等向量②当 a ， b 同向时， a • b ＝ a b ，特别地， a 2= a • a = a , a = ③ | a • b |≤| a || b |.如已知 a = (λ,2λ)，b = (3λ ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ 的取值范围是b b 或 λ > 0且 λ ≠ ）； b 1 2如（1）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) , B(-1,3) ,若点 C 满足 OC = λ OA + λ OB ,（2）在 ∆ABC 中，① PG = 1 ( P A + PB + PC ) ⇔ G 为 ∆ABC 的重心，特别地 P A + PB + PC = 0 ⇔ P 为e e , →a e e 注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）61、加、减法的平行四边形与三角形法则: AB + B C = A C ; AB - AC =CB ; a - b ≤ a ± b ≤ a + b62、向量数量积的性质：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为θ ，则：① a ⊥ b ⇔ a • b = 0 ；2 a 2 ；当 a 与 b 反向时， a • b ＝－ a b ；当θ 为锐角时， a • b ＞0，且 a 、不同向， a ⋅ b > 0 是θ 为锐角的充要条件；当θ 为钝角时， a • b ＜0，且 a 、不反向， a ⋅ b < 0 是θ 为钝角的充要条件；→ →→ →______（答： λ < -4133④向量 b 在 a 方向上的投影︱︱cos θ ＝a ⋅ ba⑤ →和 →是平面一组基底则该平面任一向量 = λ →+ λ →( λ , λ 唯一)121 12 212特别： OP ＝ λ OA + λ OB 则 λ + λ = 1 是三点 P 、A 、B 共线的充要条件，向量基本定理是什么？12−−→ −−→ −−→12其中 λ , λ ∈ R 且 λ + λ = 1,则点 C 的轨迹是___（答：直线 AB ）1 2123∆ABC 的重心；② P A ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ P A ⇔ P 为 ∆ABC 的垂心；③向量 λ ( AB + AC )(λ ≠ 0) 所在直线过 ∆ABC 的内心(是 ∠BAC 的角平分线所在直线)；| AB | | AC |如：（1）若 O 是 △ABC 所在平面内一点，且满足 OB - OC = OB + OC - 2OA ，则 ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（2）若 D 为 ∆ABC 的边 BC 的中点，∆ABC 所在平面内有一点 P ，满足 P A + BP + CP = 0 ，设 | AP | | PD |= λ ，则 λ 的值为___（答：2）；（3）若点 O 是 △ABC 的外心，且 OA + OB + CO = 0 ，则 △ABC 的内角 C 为__（答：120 ）；63.任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率，直线的斜率公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式记住了吗？直线的倾斜角的范围是什么？有关直线的倾斜角及范围，你会求吗？。

千题百炼- 立体几何综合大题必刷100题(原卷版)

专题20 立体几何综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.2．如图，正方形11ABB A 的边长为2，11,AB A B 的中点分别为C ，1C ，正方形11ABB A 沿着1CC 折起形成三棱柱111ABC A B C -，三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AD AA λ⊥=.（1）证明:当12λ=时，求证：1DC ⊥平面BCD ；（2）当14λ=时，求二面角1D BC C --的余弦值.3．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的正切值.4．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90.BAC ∠=︒点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长.5．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的余弦值.6．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，三角形PAB 为正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 是棱AD 的中点．（1）求证：PC BM ⊥；（2）求二面角B PM C --的正弦值．7．已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示.（1）若点G ，H 分别是AC ，BF 的中点，求证：//GH 平面EFCD ；（2）求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.8．已知如图1所示，等腰ABC 中，4AB AC ==，BC =D 为BC 中点，现将ABD 沿折痕AD 翻折至如图2所示位置，使得3BDC π∠=，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．（1）证明：//BC 平面DEF ；（2）求四面体BCDE 的体积．9．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2，BC =BB 1=4，1AC AB ==BCC 1=60°.（1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1：（2）设二面角C -AC 1-B 的大小为θ，求sinθ的值.10．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，∠BAD =90°，已知PA PC ==，2,3AD AB BC ===.（1）证明：AC PD ⊥；（2）若二面角P AC B --的余弦值为13，求四棱锥P ABCD -的体积.11．如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB ＝2BC ＝2．（1）求证：平面CC 1D 1D ⊥底面ABCD ；（2）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为3π，求线段ED 1的长度．12．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是斜边PA 的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点．（1）求证：平面DEM ⊥平面PAB ；（2）若直线MF 与平面ABCD E DM F --的余弦值．13．如图所示，四棱锥E ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面EAB ⊥底面ABCD ，EA EB =，F 在侧棱CE 上，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离．14．在三棱锥B －ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12BB =，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）求二面角1B EC C --的大小.16．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =．（1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.19．如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证BC PAC ⊥平面；（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB ∥.（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅰ）若1==PA AB ，3AD =，CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积.21．如图，直三棱柱ABC A B C '''-，90BAC ∠=，,AB AC AA λ'==点M ，N 分别为A B '和B C ''的中点． (∠)证明：MN ∠平面A ACC '';(∠)若二面角A MN C '--为直二面角，求λ的值．22．如图，在三棱锥S ABC -中, 侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90,BAC ∠=︒O 为BC 中点. （∠）证明：SO ⊥平面;ABC（∠）求二面角A SC B --的余弦值.23．如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面是边长为ⅠBAD ＝120°，且PAⅠ平面ABCD ，PA ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MNⅠ平面ABCD ；(2) 过点A 作AQⅠPC ，垂足为点Q ，求二面角A—MN—Q 的平面角的余弦值．24．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====∠O 为AC 的中点． ∠1）证明：PO ⊥平面ABC ∠∠2）若点M在棱BC上，且2，求点C到平面POM的距离．MC MB25．如图，在三棱锥P∠ABC中，P A∠AB∠P A∠BC∠AB∠BC∠P A∠AB∠BC∠2∠D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：P A∠BD∠(2)求证：平面BDE∠平面P AC∠(3)当P A∠平面BDE时，求三棱锥E∠BCD的体积．26．如图，在四棱锥P-ABCD中，PAⅠCD，ADⅠBC，ⅠADC=ⅠPAB=90°，BC=CD=1AD．2（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CMⅠ平面PAB ，并说明理由；（Ⅰ）证明：平面PABⅠ平面PBD ．27．如图，在三棱台ABC–DEF 中，平面BCFEⅠ平面ABC ，ⅠACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BFⅠ平面ACFD ；（Ⅰ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.28．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DEⅠ平面A 1C 1F.29．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11BAC 90AB AC 2,4,A AA ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.∠1）证明：11D A BC A ⊥平面∠∠2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,60,AB AD AC CD ABC PA AB BC ⊥⊥∠===，E 是PC 的中点．（∠）证明CD AE ⊥；（∠）证明PD ⊥平面ABE ；--的大小．（∠）求二面角A PD C任务二:中立模式(中档)30-70题31．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点.（1）证明：BD⊥PF；（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；32．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；33．如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥CE ，AE ⊥CD ，BC AD ∥，AB =3，CD =4，AD =2BC =10.（1）证明：∠AED 是锐角；（2）若AE =10，求二面角A -BE -C 的余弦值.34．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12A E EA =（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E ，求二面角1E D C D --的余弦值.35．如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,BC BD BA ===ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值．36．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，3AB =，1CD =，AD =60ABC ∠=，30BAD ∠=，点E 在AB 上，满足AD DE ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若点F 为PA 的中点，求平面PCD 与平面DEF 所成角的余弦值.37．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，22PA AB ==，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，E 为PD 的中点，在平面PCD 内作EF PC ⊥于点F .（1）求证：平面AEF ⊥平面PAC ；（2）求二面角P AC E --的余弦值.38．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且13AE AB =，13BF BC =．（1）求证：11A F C E ⊥；（2）求直线1A F 与平面1B EF 所成角的正弦值．39．如图，在多面体1111ABCD A B C D -中，1111,,,AA BB CC DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，11=2AB BC CD AA CC ====，1=1BB ，14AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C ；（2）求1BC 与平面11AA B B 所成角的余弦值.40．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，AE AF ==BE DF ==E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明PA ⊥底面ABCD ；（2）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --，试求PC 与平面P AT 所成角的正弦值．41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且P A =AB ，90PAB ∠=.（1）证明：PC BD ⊥；（2）若60ABC ∠=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.42．1.如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面成的锐二面角为60，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l ．（1）求证：//l CD ；（2）求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值．43．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB AD ⊥，平面APD ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，且AB BC AE ED ===，PA PD ==.（1）求证：CE PD ⊥.（2）设平面PAB ⋂平面PCD l =，求二面角E l A --的余弦值.44．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ADC =∠︒，4BC =，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，1,,CD PD DC PM MD =⊥⊥．（1）证明：BC PM ⊥；（2）若PA =BN 与平面PDC 所成角的正弦值．45．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A到平面1A PO的距离；--的余弦值大小.（2）求二面角1A PB O46．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上的一动点.（1）求证:当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；BA，试问:是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ（2）设BQ=λ1在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.47．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．48．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2PA AB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）设点M 在线段PC 上，且二面角C MB A --的余弦值为57，求点M 到底面ABCD 的距离.49．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长2的等边三角形，PA PC ==F 在线段BC 上，且3FC BF =，D 为AC 的中点，E 为的PD 中点.(Ⅰ)求证：EF //平面PAB ；(Ⅱ)若二面角P AC B --的平面角的大小为2π3，求直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值.50．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧面是正方形，60DAB ∠=︒，经过对角线1AC 的平面和侧棱1BB 相交于点F ，且12B F BF =．（1）求证：平面1AC F ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1F AC C --的余弦值．51．直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周的旋转的上底面面积为9π，下底面面积为36π，侧面积为，且二面角111B AA C --为90，P ，Q 分别在线段1CC ，BC 上．（∠）若P ，Q 分别为1CC ，BC 中点，求1AB 与PQ 所成角的余弦值；（∠）若P 为1CC 上的动点、Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值．52．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C --的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．53．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．54．在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题21图（1））是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，故学名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马钉的结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）．（Ⅰ）判断四面体1234A A A A -的形状特征；（Ⅱ）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的23（即4123OA OA '=），如图（3），将2A ，3A ，4A '置于地面，求1OA 与面234A A A '所成角θ的正弦值.55．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；（2）求正八面体AEFBH 中二面角A BF C --的余弦值；（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）56．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB 上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --E 点位置，若不存在，请说明理由．57．如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,AE EF BE ＝＝ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.58．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,2,BAC AB AC A A A B ∠=︒====侧棱1A A ⊥平面,ABC 点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ=（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）当二面角C BD A --的余弦值为，求λ的值.59．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，1,45AB BC ABC ∠===，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 是1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.60．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PB BD PD ===PA =（1）证明：PC ⊥平面ABCD ；（2）如图，取BC 的中点为E ，在线段DE 上取一点F 使得23DF FE =，求二面角F PA C --的大小.61．如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=，1112,AA AC A B A D ====E 在1A D 上．（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；（2）当E 为线段1A D 的中点时，求点1A 到平面EAC 的距离．62．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ，4OP OA ==，3OB =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足()01PM MC λλ=<<．（1）若三棱锥P MBD -体积是169，求λ的值；（2）若直线PA 与平面MBD λ的值．63．光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与B'C'，A'C'分别交于不同的两点E，F．（1）试求截面面积S随θ变化的函数关系式S（θ）；（2）当E和F分别为B C''和A C''的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB'所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长．64．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，且E，M分别为BC，PD的中点，点F为棱PC上一动点．（1）证明：平面AEF ⊥平面P AD ．（2）若AB ＝P A ，在线段PC 上是否存在一点F ，使得二面角F ﹣AE ﹣M 定F 的位置；若不存在，说明理由．65．如图，三棱柱111ABC A B C -中，111AA B C =，11120BB C ∠=︒，1190AB C ∠=︒．（1）求证：ABC 为等腰三角形；（2）若11111AB C B AC ∠=∠，11B AB B BA ∠=∠，点M 在线段11B C 上，设111102B M B C λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，若二面角11A CM C --λ的值．66．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB AD ==，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，PA =（1）点E 在线段PC 上，37PE PC =，点F 在线段PD 上，35PF PD =，求证：PC ⊥平面AEF ；（2）设M 是直线AC 上一点，求CM 的长，使得MP 与平面PCD 所成角为45︒．67．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1AB =，2PA =，E 为PB 的中点，点F 在棱PC 上，且PF PC λ=．（1）求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值；（2）当直线BF 与平面CDE 所成的角最大时，求此时λ的值．68．如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，且1AB BC ==，2AD =，PA PD =，M 为AD 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为（1）求四棱锥PABCD ﹣的体积；（2）在棱CD 上(不含端点)是否存在一点Q ，使得二面角C AP Q --？若存在，请确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.69．已知四棱锥P ABCD -P 中，底面ABCD 是平行四边形，PA AB =，PAD BAD ∠=∠，,E F 分别是,AB DC 的中点，2,3,AD PF PE ===（1）求证：AD ⊥平面PAB ；（2）若PB =B PC A --的余弦值.70．如图，矩形ABCD 中，AB ADλ=()1λ>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角.（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[]2,3λ∈时，求cos θ的取值范围.任务三:邪恶模式(困难)70-100题71．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为,PA BD 中点，2PA PD AD ===．（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）求二面角E DF A --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．72．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.∠()0BA PA PD ⋅+=；∠PC ∠点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上.如图，平面五边形PABCD 中，PAD △是边长为2的等边三角形，//AD BC ，22AB BC ==，AB BC ⊥，将PAD △沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F M 、分别是AB CE 、的中点，且___________.（1）求证：AB FM ⊥；（2）当EF 与平面PAD 所成角最大时，求平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.73．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．74．2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆()222210x y a b a b+=>>所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比.75．如图，已知边长为2的正方形材料ABCD ，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设FCB θ∠=.（1）用θ表示此容器的体积；（2）当此容器的体积最大时，求tan θ的值.76．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，平面ACD 与平面BCD 垂直且CD =（1）若2AB AC ==，证明：45BCD ∠<︒；（2）若33AB AC ==，当ACD △与BCD 面积之和最大时，求二面角C AB D --的余弦值.77．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为DB 1Ⅰ平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围．78．平面凸六边形11MBB NC C 的边长相等,其中11BB C C 为矩形,1190BMC B NC ∠=∠=︒．将BCM ,11B C N △分别沿BC ,11B C 折至ABC ,111A B C ,且均在同侧与平面11BB C C 垂直,连接1AA ,如图所示,E ,G 分别是BC ,1CC 的中点．（1）求证：多面体111ABC A B C -为直三棱柱；（2）求二面角1A EG A --平面角的余弦值．79．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是,PA PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.80．已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF Ⅰ平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.81．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -（1）求证：;BD AP ⊥（2）设),(BE EC R λλ=∈若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF λ的值；（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.82．设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为AC BC ⊥，AC BC =，且平面PAB ⊥平面ABC .（1）确定O 的位置（需要说明理由），并证明：平面POC ⊥平面ABC .（2）与侧面PAB 平行的平面α与棱AC ，BC ，PC 分别交于D ，E ，F ，求四面体ODEF 的体积的最大值.83．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，2AB DC ==，14AA =.（Ⅰ）求证：1//BC 平面1A CD ；（Ⅰ）求平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值.84．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角E 在母线PC 上，且1,AE CE EC BD ==⊥．（1）求证：平面BED ⊥平面ABD ；（2）设线段PO 上动点为M ，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值．85．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=.（1）求二面角1A AB C 所成角θ的正弦值.（2）,M N 分别是棱11A C ，11B C 的中点，又2AP BP =.求经过,,M N P 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -的截面的周长.86．如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111AC AA ==，D 为11A C 的中点．（1）证明：AC BD ⊥；（2）记二面角1A AC B --的大小为θ，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线1AA 与平面11BB C C 所成角的正弦值的取值范围．87．如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别是AB ，AP 的中点，AB BC ⊥，MD PC ⊥，//MD BC ，1BC =，2AB =，3PB =，CD =PD =（Ⅰ）证明：//PC 平面MND ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．88．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为12231111()2k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ π--∠+∠++∠+∠，其中Q i （i ＝1，2，…，k ，k ≥3）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，…，平面Q k ﹣1PQ k 和平面Q k PQ 1遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面．（1）如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD ，AB ＝BC ＝1，1AA =P 为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P ﹣ABCD 在点P 处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）89．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，3PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C 的大小．90．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．91．已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD ，TA ，TC 分别交于点P ，Q ，R 且AP TQ CRx AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α.（1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用基底{},,a b c 表示向量TD ；（2）证明，四面体T ABC -中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面α，点M 的线段上.92．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，ⅠABC =3π，ⅠB 1BD =6π，11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B ===。

高考数学十大专题技巧知识点+练习题专题三转化为直角坐标方程或普通方程可解决的问题(教师版)

高考数学十大专题技巧知识点+练习题专题三转化为直角坐标方程或普通方程可解决的问题对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解．要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系，求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标(参数方程)解决，或解决较麻烦时常用的技巧是转化为直角坐标方程(普通方程)解决．【例题选讲】[例1]在直角坐标系xOy中，曲线C1＝－1＋cosα，＝sinα(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋k sinθ)＝－2(k为实数)．(1)判断曲线C1与直线l的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的斜率．[规范解答](1)由曲线C1＝－1＋cosα，＝sinα可得其普通方程为(x＋1)2＋y2＝1.由ρ(cosθ＋k sinθ)＝－2可得直线l的直角坐标方程为x＋ky＋2＝0.因为圆心(－1,0)到直线l的距离d＝11＋k2≤1，所以直线与圆相交或相切，当k＝0时，d＝1，直线l与曲线C1相切；当k≠0时，d<1，直线l与曲线C1相交．(2)由于曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝2，故圆心到直线l的距离d＝11＋k2＝＝22，解得k＝±1，所以直线l的斜率为±1．[例2]在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a cosθ(a≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l ＝3t＋1，＝4t＋3(t为参数)．(1)求圆C的标准方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．[规范解答](1)由ρ＝2a cosθ，ρ2＝2aρcosθ，又ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，所以圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2.＝3t＋1，＝4t＋3，t，t，因此x－13＝y－34，所以直线l的普通方程为4x－3y＋5＝0．(2)因为直线l与圆C恒有公共点，所以|4a＋5|42＋－32≤|a|，两边平方得9a2－40a－25≥0，所以(9a ＋5)(a －5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a ∞，－59∪[5，＋∞)．[例3]在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1＝cos α，＝sin 2α(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝－22，曲线C 3：ρ＝2sin θ．(1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．[规范解答](1)曲线C 1＝cos α，＝sin 2α消去参数α，得y ＋x 2＝1，x ∈[－1，1]．①曲线C 2：ρ＝－22⇒x ＋y ＋1＝0，②联立①②，消去y 可得：x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2(舍去)，所以M (－1，0)．(2)曲线C 3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，是以(0，1)为圆心，半径r ＝1的圆．设圆心为C ，则点C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|0＋1＋1|2＝2，所以|AB |的最小值为2－1．[例4]极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π]．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ＝3t ＋3，＝－3t ＋2(t 为参数)的距离最短，写出D 点的直角坐标．[规范解答](1)由ρ＝2sin θ可得ρ2＝2ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0．(2)直线l ＝3t ＋3，＝－3t ＋2(t 为参数)，消去t 得l 的普通方程为y ＝－3x ＋5，由(1)得曲线C 的圆心为(0，1)，半径为1，又点(0，1)到直线l 的距离为|1－5|1＋3＝2＞1，所以曲线C 与l 相离．设D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，则曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行，∴y 0－1x 0·(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2＝1，∴x 0＝－32(舍去)或x 0＝32，∴y 0＝32，∴点D[例5]以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρ＝－3，⊙C的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ．(1)求直线l 和⊙C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[规范解答](1)直线l ：ρ＝－3，∴θcos 2π3－cos θsin＝－3，∴y x ·32＝－3，即y ＝－3x ＋23．⊙C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ，ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝4x ＋2y ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0．(2)⊙C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5，∴圆心C (2，1)，半径R ＝5，∴⊙C 的圆心C 到直线l 的距离d ＝|1＋23－23|(3)2＋12＝12，∴|AB |＝2R 2－d 2＝＝19，∴弦AB 的长为19．[例6]已知曲线C ＝3＋10cos α，＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．[规范解答](1)∵曲线C ＝3＋10cos α，＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，①曲线C 表示以(3,1)为圆心，10＝ρcos θ，＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ．(2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1，∴圆心C 到直线的距离为d ＝322，∴弦长为210－92＝22．[例7]在平面直角坐标系xOy 中，直线l ＝1＋t cos α，＝3＋t sin α(t 为参数)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1：ρ＝4cos θ.直线l 与曲线C 1相切．(1)将曲线C 1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值．(2)已知点Q (2，0)，直线l 与曲线C 2：x 2＋y 23＝1交于A ，B 两点，求△ABQ 的面积．[规范解答](1)曲线C 1：ρ＝4cos θ，即ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即C 1：(x －2)2＋y 2＝4，可得圆心(2，0)，半径r ＝2，直线l ＝1＋t cos α，＝3＋t sin α(t 为参数)，其中0≤α＜π，由题意l 与C 1相切，可得普通方程为y －3＝k (x －1)，k ＝tan α，0≤α＜π且α≠π2，因为直线l 与曲线C 1相切，所以|k ＋3|k 2＋1＝2，所以k ＝33，所以α＝π6．(2)直线l 的方程为y ＝33x ＋233，代入曲线C 2：x 2＋y 23＝1，整理可得10x 2＋4x －5＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－25，x 1·x 2＝－12，所以|AB |＝1＋13·＝625，Q 到直线的距离d ＝43313＋1＝2，所以△ABQ 的面积S ＝12×625×2＝625．[例8]在直角坐标系xOy 中，曲线C＝4cos θ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为＝t ＋3，＝2t －23(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A ，B两点．(1)求|AB |的值；(2)若F 为曲线C 的左焦点，求FA →·FB →的值．[规范解答](1)＝4cosθ＝2sin θ(θ为参数)，消去参数θ得x 216＋y 24＝1．＝t ＋3，＝2t －23消去参数t 得y ＝2x －43．将y ＝2x －43代入x 2＋4y 2＝16中，得17x 2－643x ＋176＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)1＋x 2＝64317，1x 2＝17617.所以|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝1＋417×(643)2－4×17×176＝4017，所以|AB |的值为4017．(2)由(1)得，F (－23，0)，则FA →·FB →＝(x 1＋23，y 1)·(x 2＋23，y 2)＝(x 1＋23)(x 2＋23)＋(2x 1－43)(2x 2－43)＝x 1x 2＋23(x 1＋x 2)＋12＋4[x 1x 2－23(x 1＋x 2)＋12]＝5x 1x 2－63(x 1＋x 2)＋60＝5×17617－63×64317＋60＝44，所以FA →·FB →的值为44．【对点训练】1．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，π32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；(2)判断直线l 与圆C 的位置关系．1．解析由题意知，M，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，(0．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1)，故直线OP 的平面直角坐标方程为y =．(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，(0，所以直线l 30y +-=．又圆C 的圆心坐标为(2，，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离32d r ==<，故直线l 与圆C 相交．2．已知直线l 的参数方程为2,4x a t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的参数方程为4cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2．解析(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16．(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离4d =≤，解得a -≤≤．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ＝m ＋2cos α，＝2sin α(α为参数，m 为常数)．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρ＝2．若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围．3．解析圆C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4，直线l 的极坐标方程化为θ＋22sin ＝2，即22x ＋22y ＝2，化简得x ＋y －2＝0．因为圆C 的圆心为C (m ，0)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|m －2|2，直线l 与圆C 有两个公共点，所以d ＝|m －2|2＜2，解得2－22＜m ＜2＋22，即实数m 的取值范围是(2－22，2＋22)4．在极坐标系中，已知三点O (0，0)，22(1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为＝－1＋a cos θ，＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值．4．解析(1)O (0，0)，B 22O (0，0)，A (0，2)，B (2，2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0＝ρcos θ，＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos(2)圆C 2＝－1＋a cos θ，＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2．5．(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0．(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．5．解析(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4．(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2，由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0．经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43．经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2．6．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1＝t cos α，＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ．(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．6．解析(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0．2＋y 2－2y ＝0，2＋y 2－23x ＝0，＝0，＝0，＝32，＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π．因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4|．当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4．7．在直角坐标系xOy 中，曲线C ＝sin α＋cos α，＝sin α－cos α(α为参数).(1)求曲线C 的普通方程；(2)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的方程为2ρ＋12＝0，已知直线l与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |.7．解析(1)＝sin α＋cos α，＝sin α－cos α(α为参数)得sin α＝x ＋y 2，cos α＝x －y2，将两式平方相加得1，化简得x 2＋y 2＝2．故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2.(2)由2ρ＋12＝0，知ρ(cos θ－sin θ)＋12＝0，化为直角坐标方程为x －y ＋12＝0，圆心到直线l 的距离d ＝24，由垂径定理得|AB |＝302.8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1＝2t －1，＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值．8．解析(1)∵ρ＝21－cos θ，∴ρ－ρcos θ＝2，即ρ＝ρcos θ＋2．∵x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0．∴曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0．(2)＝2t －1，＝－4t －2(t 为参数)，∴2x ＋y ＋4＝0．∴曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0，表示直线2x ＋y ＋4＝0．∵M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，∴|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值．不妨设M 2(r 2－1，2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝≥325＝3510，当且仅当r ＝－12时取等号．∴|M 1M 2|的最小值为3510．9．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22l ＝t ，＝－1＋22t(t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点.(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB 面积的最大值.9．解析(1)由圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos得ρ2＝cos θ－22ρsin＝ρcos θ，＝ρsin θ代入可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.∴圆心坐标为(1，－1)，∴(2)由题意，得直线l 的直角坐标方程为22x －y －1＝0.∴圆心(1，－1)到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|（222＋(－1)2＝223，∴AB ＝2r 2－d 2＝22－89＝2103.点P 到直线l 的距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝523，∴S max ＝12×2103×523＝1059.10．已知曲线C 1＝2cos θ，＝2＋2sin θ(θ为参数)，以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝－4cos θ.(1)求曲线C 1与C 2的交点的极坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．10．解析(1)＝2cos θ，＝2＋2sin θ，＝2cos θ，－2＝2sin θ，两式平方相加，得x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2－4y ＝0．①由ρ＝－4cos θ，得ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＝－4x ．②①－②得x ＋y ＝0，代入①得交点为(0，0)，(－2，2)．其极坐标为(0，0)22(2)如图．由平面几何知识可知，A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，点O 到AB 的距离为2．∴△OAB 的面积为S ＝12×(22＋4)×2＝2＋22．11．已知曲线C 1＝－2－32t ，＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值．11．解析(1)ρ＝22cos2(cos θ＋sin θ)，即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0，故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)C 1的普通方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1，1)为圆心，以2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.12．在平面直角坐标系xOy 中，C 1＝t ，＝k (t －1)(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．12．解析(1)＝t ，＝k (t －1)可得其普通方程为y ＝k (x －1)，它表示过定点(1，0)，斜率为k 的直线．由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0，整理得(x ＋5)2＋(y －3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．(2)因为圆心(－5，3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|－6k －3|1＋k 2＝|6k ＋3|1＋k 2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k 2－1，故|6k ＋3|1＋k 2－1＝2，得3k 2＋4k ＝0，解得k ＝0或k ＝－43．13．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l ＝5＋32t ，＝12t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．13．解析(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y2＝4x ，＝5＋32t ，＝12t (t 为参数)，得y ＝13(x －5)，即直线l 的普通方程为x －3y －5＝0．(2)由(1)可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ |＝222－(32)2＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37．。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第70炼求点的轨迹方程

第70炼求点的轨迹问题一、基础知识：1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。

常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p 。

若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程。

高考数学第75炼几何问题的转换

A
C
B

二、典型例题：例 1：如图： A, B 分别是椭圆 C :
x2 y2 1 a b 0 的左右顶点， F 为其右焦点， 2 a 2 b2
是 AF , FB 的等差中项， 3 是 AF , FB 的等比中项（1）求椭圆 C 的方程（2）已知 P 是椭圆 C 上异于 A, B 的动点，直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴，若过 F 作直线 FQ AP ，并交直线 l 于点 Q 。证明：
a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a, b 共线 x1 y2 x2 y1 ； a b x1 x2 y1 y2 0
（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）
12k 4k 2 3
6 8k 2 12k P 2 , 2 4k 3 4k 3
k FQ 1 k
另一方面，因为 FQ AP
1 3 1 y x 1 FQ : y x 1 ，联立方程： Q 2, k k k x 2
B 2,0
k BQ 3 k 3 2 2 4k 0
k BP 12k 4k 2 3 12k 3 6 8k 2 16k 2 4k 2 2 4k 3 0
k BQ k BP
B, Q , P 三点共线
例 2：已知椭圆
x2 y2 1(a b 0) 的右焦点为 F ， M 为上顶点， O 为坐标原点，若 a2 b2
b2 3 椭圆方程为：

千题百炼——高考数学100个热点问题

千题百炼——高考数学100个热点问题第四章第26炼求未知角的三角函数值三角函数与解三角形第26炼求未知角的三角函数值在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧一、基础知识：1、与三角函数计算相关的公式：（1）两角和差的正余弦，正切公式：① sin sin cos sin cos② sin sin cos sin cos③ cos cos cos sin sin④ cos cos cos sin sin⑤ tan tan tan tan tan⑥ tan1tan tan1tan tan（2）倍半角公式：① sin22sin cos② cos2cos sin2cos112sin③ tan222222tan 1tan2，其中tan（3）辅助角公式：asin bcos2、解决此类问题的方法步骤： b a（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值（4）将结果整体代入到运算式即可3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。

确定角的范围有以下几个层次：（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如：5，则） 612243（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。

高中数学讲义微专题75 几何问题的转换

微专题75 几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。

1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题：① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB ∠为钝角（再转为向量：0CA CB ⋅<；若点在圆上，则ACB ∠为直角（0CA CB ⋅=）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ⋅>）（3）三点共线问题① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：()()1122,,,a x y b x y ==，则,a b 共线1221x y x y ⇔=；a b ⊥12120x x y y ⇔+=（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则ABC 的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IP AC IQ AQ ⊥⊥I 在BAC ∠的角平分线上AI AC AI AB AP AQ ACAB⋅⋅⇒=⇒=（4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点DP DA DB ⇒=+（5）P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：P 在AB 垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若,,A B C 共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：AC AB AC AB ⋅=⋅，AC BC AC BC ⋅=-⋅A二、典型例题：例1：如图：,A B 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是,AF FB 的等差中项，3是,AF FB 的等比中项（1）求椭圆C 的方程（2）已知P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ AP ⊥，并交直线l 于点Q 。