正交化方法

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正交化方法
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豪斯霍尔德变换——初等反射阵
设向量 w R n 且 wT w 1 , 称矩阵
H ( w) I 2wwT
为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德(Householder)变换). (1) H 是对称矩阵,即 H T H . (2) H 是正交矩阵,即 H 1 H . 证明 H T H H 2 ( I 2wwT )( I 2wwT )
( x1 ,, xn ,1) (v1,n1 ,, vn1,n 1 )
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sin 1 1 cos
i
j
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称为 R n中平面 {xi , x j }的旋转变换(或称为吉文斯(Givens) 变换),
P P(i, j , ) P(i, j ) 称为平面旋转矩阵.
显然, P(i, j , )具有性质: (1) P 与单位阵 I 只是在 (i, i ), (i, j ), ( j , i ), ( j , j ) 位置 元素不一样,其他相同. (2) P 为正交矩阵 ( P 1 PT ). (3) P(i, j ) A (左乘)只需计算第 i 行与第 j 行元素, 即对 A (aij ) mn 有
为正交矩阵.
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R n中变换: y Px
其中 x ( x1 , x2 , , xn )T , y ( y1 , y2 ,, yn )T , 而
i 1 1 cos P P(i, j , ) sin j 1 1
而A+E是A的近似,b+Δb是b的近似,那么由低秩近似可知
[A+E, b+Δb]可以近似为
1 U n 0 T V 0
而其解{x1,x2,…,xn,-1} ∈ [A+E, b+Δb]的零空间。由奇异值 分解的一个应用可知,矩阵V中对应于零奇异值的列构成矩 阵的零空间的正交基。所以Vn+1是零空间的正交基。
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|| a1 || (a2 , q1 ) 0 || q2 || a1 , a2 ,, an q1 , q2 ,, qn 0 0
(an , q1 ) ( an , q2 ) 0 || qn ||
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TLS: 我们求Ax=b, 其实可变换为求{x1,x2,…,xn,-1}使得Ax-b=0。 下面我们将[A,b]作奇异值分解得UΣVT, Σ=diag(σ1,…, σn, σn+1). 因为有扰动,所以A变为A+E,b变为b+Δb,所以变为求 (A+E)x=b+ Δb。
a ,
li
alj ali ,
alj

c
s
s c
(l 1,2, , m).
利用平面旋转变换,可使向量 x 中的指定元素变为零.
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Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正 交基的基础上构造一个新的正交基。设
Vk是Vn上的k 维子空间,其标准正交基为
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a1 q1 || a1 || a2 (a2 , q1 ) q2 q1 || q2 || || q2 || a3 (a3 , q1 ) (a3 , q2 ) q3 q1 q2 || q3 || || q3 || || q3 || an (an , q1 ) ( an , q2 ) (an , qn1 ) qn q1 q2 qn1 || qn || || qn || || qn || || qn ||
Hx ( I 2wwT ) x
x 2wwT x x.
( wT x 0)
3
对于 y S ,Hy ( I 2wwT ) y y 2wwT y y. 从而对任意向量 v R n ,总有
Hv x y v,
其中 v为 v 关于平面S的镜面反射.
且v不在Vk上。由投影原理知,v与其在Vk上的投影 之差 是正交于子空间Vk的,亦即β正交于Vk的正交基ηi。 因此只要将β单位化,即
那么{η1,...,ηk+1}就是Vk在v上扩展的子空间的标准正交基。
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• 根据上述分析,对于向量组{v1,...,vm}张 成的空间Vn,只要从其中一个向量(不 妨设为v1)所张成的一维子空间span{v1} 开始(注意到{v1}就是span{v1}的正交 基),重复上述扩展构造正交基的过程, 就能够得到Vn的一组正交基。 • 这就是Gram-Schmidt正交化。
I 4wwT 4w( wT w) wT I .
2
设向量 v 0 , 则显然
H I 2 vvT v
2 2
是一个初等反射阵. 初等反射阵的几何意义. 设 S是过原点 O且以 w为法向量的超平面 :wT x 0 . 设任意向量 v R n , 则 v x y , 其中 x S , y S . 于是
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ail c Байду номын сангаас a s jl
s ail a c jl
(l 1,2, , n).
其中 c cos , s sin .
(4) AP(i, j )(右乘)只需计算第 i 列与第 j 列元素
4
平面旋转矩阵
2 设 x, y R ,
则变换
sin x1 , 或 y Px cos x2
y1 cos y sin 2
是平面上向量的一个旋转变换,其中
cos P( ) sin sin cos
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