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C0 (), u C () 的函数空间，在 中具有紧凑支集； 1 H 0 (), C0 () 在 H12 () 中的闭包；
1 () 中的函数， poincare 不等式满足： 对于 H 0
| u |2 dx | u |2 dx,
其中 c c() 是一个常数（可能取决于 , 但与 u 无关） 由 poincare 不等式我们得到，
致的
(ii ) 如果 kp n, 那么 H k , p () Lq () 对于所有满足 1 q 的嵌入是紧致的 (iii ) 如果 kp n, 那么 H k , p () C 0, (), 其中
定义 1.1 如果 f (u h) f (u ) df (u )[h] o( h ), as h 0 ，那么我们就说映射
f : U Y 是 Frechet 可导的，即对于 u U ，得导数 df (u ) L( X , Y ) 。
如果对于 u U ， f 是可导的，那么 f 在 U 中是可导的。 从以上定义我们得出，如果 f 在点 u U 是可导的，那么 f 在点 u 处是连续的。 为了求出映射 f 的导数值，对于所有的 h X ，极限
f ( , u ) 0, 如果 f u ( , u ) L( X , Y ) 是可逆的， 那么 的一个邻域 , u 的一
个邻域 U , 以及一个映射 g C k ( , X ) 使得
f ( , u ) 0, ( , u ) U u g ( )
进一步，如果 f C k (U , Y ), 那么 f 1 也是 C k 阶映射。 设 T , X 是 Banach 空间， T , U X 是开集。 定 理 1.4 （ 隐 函 数 定 理 ） 设 f C k ( U , Y ), k 1. 且 设 ( , u ) U 使 得
C k 映射.如果 f 在 U 中是 k 阶可导的，且映射 X L( X , Y ) 和 u df (u ) 是连续
的，则 f C k (U , Y ).
C 0, 映射.如果 f C (U , Y ) 并且对于某个 0,1 满足
f (u ) f (v) Y sup : u , v U , u v u v X
u f (u , v)[h] df v (u )[h] df (u , v)[h, 0], v f (u , v)[k ] df u (v)[k ] df (u , v)[0, k ]. 并且，
以下结论成立。 命题 1.2 如果在一个邻域 N of (u , v) 中， f 关于 u , v 可偏导， 并且映射 u u f 和
lim
0
Βιβλιοθήκη Baidu
f (u h) f (u ) def Au h
如果 Au L( X , Y ) ， 并且 u Au 是从 U 到 L( X , Y ) 的一个连续映射，那么 f 在 u 处 是可导的，且 df (u ) Au ，通常用 f (u ) 来表示 df (u ) 。 设 f : X Y Z ，分别考虑映射 f v : u f (u , v) 以及 f u : v f (u , v) ， f 关于 u 的 偏 导 和 f 关 于 v 的 偏 导 定 义 如 下 ， 对 于 (u , v) X Y ， 则
则 f C 0, (U , Y ), 若 1, 则映射只能是 Holder 连续映射，若 1 ，则映射为
Lipschitz 映射. C k , 映 射 . 如 果 f C k (U , Y ) 并 且 假 设 u , h U ， 使 得 u th U 对 于 所 有 的
则映射 g 可表示为 f 1. 定理 1.3 （局部可逆定理） 假设 f C1 (U , Y ) 且 df (u ) 是可逆的 （作为空间 L( X , Y ) 的一个线性映射） ，则 f 在 u 处是局部可逆的， f 1 是 C1 阶映射，且
df 1 (v) (df (u )) 1 , v V , 其中 u f 1 (v)
v v f 在该邻域中是连续的，那么 f 在 (u , v) 处是可导的，且 df (u , v)[h, k ] u f (u , v)[h] v f (u , v)[k ]
在连续集中，如果没有出现间断点，我们分别用 f u 和 f v 来表示 u f 和 v f 高阶导数 设 f 在 U 中是可导的，且映射 X L( X , Y ) 和 u df (u ) 关于 u U 也 是可导的，那么 f 在 u 处是二阶可导的， d 2 f (u ) L( X , L( X , Y )). L( X , L( X , Y )) 和
隐函数定理和局部可逆定理 设 f C (U , Y ), u U 且 v f (u ) Y , 我们说 f 在
u 处是局部可逆的，如果 u 的一个邻域 U , v 的一个邻域 V , 以及一个映射
g C (V , U ) 使得 g ( f (u )) u , u U , f ( g (v)) v, v V
而且有
g ( ) ( f u ( p )) 1 f ( p ), 其中 p ( , g ( )),
1.2 函数空间
我们考虑 n 维欧几里得空间 R n 中的有界区域 ，我们主要研究函数 u : R 的 以下函数空间
Lp (), 勒贝格空间赋予范数 Lp ; H k . p (), Sobolev 空间赋予范数 H k , p ;
t 0,1 成立，由于
dr f (u th) d r f (u th)[h]r ,[h]r h, , h , r 1, , k r dt
对 t f (u th) 的 Taylor 公式趋于
f (u h) f (u ) df (u )[h] 1 k d f (u )[h]K o( h k ) k!
u f (u , v) df v (u ), v f (u , v) df u (v), 特别地， u f (u , v) L( X , Z ), v f (u , v) L(Y , Z ).
很容 易看到，如果 f : X Y Z 在点 (u , v) 处是可导的，那么 f 可偏导，且
的线性映射。对于 A L( X , Y ) ，我们通常记为 Ax 或者 A[ x] ，而不写成 A( x) ，得 到以下定理
A L ( X ,Y ) sup Ax Y : x X 1 , A L( X , Y )
L( X , Y ) 是一个巴拿赫空间。如果 U X 是一个开集，那么 C (U , Y ) 是连续映射 f : U Y 的一个巴拿赫空间。
L2 ( X , Y ) 正则同构，从 X 到 Y 是一个双线性空间，可以认为 d 2 f (u ) L2 ( X , Y ). 通
过推导可以定义 k 阶导数 d k f (u ) Lk ( X , Y ) ，从 E 到 R 是一个 k 重线性空间。如 果 f 对于 u U 是 k 阶可导的，那么 f 在 U 中是 k 阶可导的。 用以下符号表示：
前言
非线性泛函的主要目的是发展抽象拓扑和变分方法来研究应用中出现的非 线性现象，虽然这是一个相当新的邻域，开始于大约一百年以前，已将取得了显 著的进展，现在得到了许多众所周知的结果，Leray-Schauder 拓扑度的基本工具， 局部和全局分岔的临界点理论， 可以认为是任何数学和物理专业的研究生应该知 道的课题。 本书讨论了最基本的结果处理上述主题的选择，材料尽可能简单的呈现，以 突出主要思想，在许多情况下，我们更喜欢略强假设下的状态结果，这使论述更 加清晰，避免了一些不必要的细节。 抽象的工具进行了讨论， 考虑到它们在半线性椭圆问题中的应用，从某种意 义上来说，椭圆方程变得像一个引导线，沿着这条线，读者会认识到一种方法比 另一种方法更合适，根据非线性的具体特点，这就是我们讨论拓扑方法和变分工 具的原因。 第一章包含了初步的资料， 本书分为四个部分，第一部分是对拓扑方法和分 支理论的研究，第二章论述了 Lyapunov-施密特还原法和一个简单的特征值的分 支，与前一本书一个引物的非线性分析【20】连接，这本书是一个跟进，第三章 讨论了拓扑度，首先，我们使用分析的方法定义了有限维的程度，这使我们能够 避免一些技术和繁琐的工具，接下来讨论了一些 Leray-Schauder 度和椭圆边值问 题的应用。 在这些应用中，我们也证明了著名的定理 Krasnoselski 定理，在第四章讨论 了全球性质的程度，特别是证明由于 Rabinowitz 全局分岔的结果，还特别注意了 渐近线性边界值问题的正解的存在性。 第二部分和第三部分都用来讨论变分方法，即临界点理论，在第五章和第六 章呈现了一些介绍性的材料之后，在第七章我们讨论了一些主要的形变引理和 Palais-Smale 条件，第八章讨论了山路与连接定理，第九章和第十章分别讨论了 Lusternik-Schnirelman 定理和对称泛函的例子。 椭圆边值问题的进一步结果将在第十一章介绍，包括开拓 Brezis-Nirenberg 结果处理与临界非线性的半线性方程。 第十二章论述了 Morse 理论， 其中还包含潜在运营商对分支的应用和上路临 界点的 Morse 指标的估计。 第四部分收集了许多的附件，解决了前面的部分留下的一些有趣的问题，因 为它们在本质上更加具体或更加复杂，或者是因为它们与目前的研究相悖，因此 仍在进化中， 在这里我们的主要目的是把感兴趣的读者带到当代研究的核心，在 许多情况下，我们有点粗略，查阅原始文件来获得更多细节。 附录 1 介绍了著名的 Gidas-Ni-Nirenberg 对称结果和其他的一些定性结果， 例如 Gidas 和 Spruck Liouville 型定理，附录 2 涉及的是由 P.L.Lions 介绍的集中列 紧方法，还包括缺乏紧性问题的应用，附录 3 与分支理论有关，在没有紧性的情 况下，解决一些分支问题，其中包括基本谱中的分岔问题，附录 4 讨论了理想流 体中涡旋环的经典问题， 附录 5 我们讨论了临界点理论中的一些抽象的摄动方法 以及它们在 Rn 上椭圆型问题、非线性 Schrodinger 方程和奇异摄动问题上的应 用，最后，在附录 6 我们讨论了微分几何中出现的一些问题，从经典的 Yamabe 问题到更近的问题，处理第四阶不变量如 Paneitz 曲率。
序言
在这个章节，我们将讨论一些我们在这整本书中用到的预备知识。
1.1 微积分
我们简要概述一下巴拿赫空间中的一个微积分，不需要证明它，对于它的证明和 更多的细节，请参考章节 1 和章节 2 的【20】 。
Frechet 导数.设 X , Y 是巴拿赫空间， L( X , Y ) 表示线性空间中 X 到 Y 的一个连续
u ( | u |2 dx) 2
等价于标准范数 u H 1
0
1
定理 1.5 （ Sobolev 嵌入定理）设 是 R n 中的一个有界区域，具有 Lipschitz 边界
, 设 k 1,1 p (i ) 如果 kp n, 那么 H k , p () Lq () 对于所有满足 1 q np / n kp 的嵌入是紧
1 () 中的函数， poincare 不等式满足： 对于 H 0
| u |2 dx | u |2 dx,
其中 c c() 是一个常数（可能取决于 , 但与 u 无关） 由 poincare 不等式我们得到，
致的
(ii ) 如果 kp n, 那么 H k , p () Lq () 对于所有满足 1 q 的嵌入是紧致的 (iii ) 如果 kp n, 那么 H k , p () C 0, (), 其中
定义 1.1 如果 f (u h) f (u ) df (u )[h] o( h ), as h 0 ，那么我们就说映射
f : U Y 是 Frechet 可导的，即对于 u U ，得导数 df (u ) L( X , Y ) 。
如果对于 u U ， f 是可导的，那么 f 在 U 中是可导的。 从以上定义我们得出，如果 f 在点 u U 是可导的，那么 f 在点 u 处是连续的。 为了求出映射 f 的导数值，对于所有的 h X ，极限
f ( , u ) 0, 如果 f u ( , u ) L( X , Y ) 是可逆的， 那么 的一个邻域 , u 的一
个邻域 U , 以及一个映射 g C k ( , X ) 使得
f ( , u ) 0, ( , u ) U u g ( )
进一步，如果 f C k (U , Y ), 那么 f 1 也是 C k 阶映射。 设 T , X 是 Banach 空间， T , U X 是开集。 定 理 1.4 （ 隐 函 数 定 理 ） 设 f C k ( U , Y ), k 1. 且 设 ( , u ) U 使 得
C k 映射.如果 f 在 U 中是 k 阶可导的，且映射 X L( X , Y ) 和 u df (u ) 是连续
的，则 f C k (U , Y ).
C 0, 映射.如果 f C (U , Y ) 并且对于某个 0,1 满足
f (u ) f (v) Y sup : u , v U , u v u v X
u f (u , v)[h] df v (u )[h] df (u , v)[h, 0], v f (u , v)[k ] df u (v)[k ] df (u , v)[0, k ]. 并且，
以下结论成立。 命题 1.2 如果在一个邻域 N of (u , v) 中， f 关于 u , v 可偏导， 并且映射 u u f 和
lim
0
Βιβλιοθήκη Baidu
f (u h) f (u ) def Au h
如果 Au L( X , Y ) ， 并且 u Au 是从 U 到 L( X , Y ) 的一个连续映射，那么 f 在 u 处 是可导的，且 df (u ) Au ，通常用 f (u ) 来表示 df (u ) 。 设 f : X Y Z ，分别考虑映射 f v : u f (u , v) 以及 f u : v f (u , v) ， f 关于 u 的 偏 导 和 f 关 于 v 的 偏 导 定 义 如 下 ， 对 于 (u , v) X Y ， 则
则 f C 0, (U , Y ), 若 1, 则映射只能是 Holder 连续映射，若 1 ，则映射为
Lipschitz 映射. C k , 映 射 . 如 果 f C k (U , Y ) 并 且 假 设 u , h U ， 使 得 u th U 对 于 所 有 的
则映射 g 可表示为 f 1. 定理 1.3 （局部可逆定理） 假设 f C1 (U , Y ) 且 df (u ) 是可逆的 （作为空间 L( X , Y ) 的一个线性映射） ，则 f 在 u 处是局部可逆的， f 1 是 C1 阶映射，且
df 1 (v) (df (u )) 1 , v V , 其中 u f 1 (v)
v v f 在该邻域中是连续的，那么 f 在 (u , v) 处是可导的，且 df (u , v)[h, k ] u f (u , v)[h] v f (u , v)[k ]
在连续集中，如果没有出现间断点，我们分别用 f u 和 f v 来表示 u f 和 v f 高阶导数 设 f 在 U 中是可导的，且映射 X L( X , Y ) 和 u df (u ) 关于 u U 也 是可导的，那么 f 在 u 处是二阶可导的， d 2 f (u ) L( X , L( X , Y )). L( X , L( X , Y )) 和
隐函数定理和局部可逆定理 设 f C (U , Y ), u U 且 v f (u ) Y , 我们说 f 在
u 处是局部可逆的，如果 u 的一个邻域 U , v 的一个邻域 V , 以及一个映射
g C (V , U ) 使得 g ( f (u )) u , u U , f ( g (v)) v, v V
而且有
g ( ) ( f u ( p )) 1 f ( p ), 其中 p ( , g ( )),
1.2 函数空间
我们考虑 n 维欧几里得空间 R n 中的有界区域 ，我们主要研究函数 u : R 的 以下函数空间
Lp (), 勒贝格空间赋予范数 Lp ; H k . p (), Sobolev 空间赋予范数 H k , p ;
t 0,1 成立，由于
dr f (u th) d r f (u th)[h]r ,[h]r h, , h , r 1, , k r dt
对 t f (u th) 的 Taylor 公式趋于
f (u h) f (u ) df (u )[h] 1 k d f (u )[h]K o( h k ) k!
u f (u , v) df v (u ), v f (u , v) df u (v), 特别地， u f (u , v) L( X , Z ), v f (u , v) L(Y , Z ).
很容 易看到，如果 f : X Y Z 在点 (u , v) 处是可导的，那么 f 可偏导，且
的线性映射。对于 A L( X , Y ) ，我们通常记为 Ax 或者 A[ x] ，而不写成 A( x) ，得 到以下定理
A L ( X ,Y ) sup Ax Y : x X 1 , A L( X , Y )
L( X , Y ) 是一个巴拿赫空间。如果 U X 是一个开集，那么 C (U , Y ) 是连续映射 f : U Y 的一个巴拿赫空间。
L2 ( X , Y ) 正则同构，从 X 到 Y 是一个双线性空间，可以认为 d 2 f (u ) L2 ( X , Y ). 通
过推导可以定义 k 阶导数 d k f (u ) Lk ( X , Y ) ，从 E 到 R 是一个 k 重线性空间。如 果 f 对于 u U 是 k 阶可导的，那么 f 在 U 中是 k 阶可导的。 用以下符号表示：
前言
非线性泛函的主要目的是发展抽象拓扑和变分方法来研究应用中出现的非 线性现象，虽然这是一个相当新的邻域，开始于大约一百年以前，已将取得了显 著的进展，现在得到了许多众所周知的结果，Leray-Schauder 拓扑度的基本工具， 局部和全局分岔的临界点理论， 可以认为是任何数学和物理专业的研究生应该知 道的课题。 本书讨论了最基本的结果处理上述主题的选择，材料尽可能简单的呈现，以 突出主要思想，在许多情况下，我们更喜欢略强假设下的状态结果，这使论述更 加清晰，避免了一些不必要的细节。 抽象的工具进行了讨论， 考虑到它们在半线性椭圆问题中的应用，从某种意 义上来说，椭圆方程变得像一个引导线，沿着这条线，读者会认识到一种方法比 另一种方法更合适，根据非线性的具体特点，这就是我们讨论拓扑方法和变分工 具的原因。 第一章包含了初步的资料， 本书分为四个部分，第一部分是对拓扑方法和分 支理论的研究，第二章论述了 Lyapunov-施密特还原法和一个简单的特征值的分 支，与前一本书一个引物的非线性分析【20】连接，这本书是一个跟进，第三章 讨论了拓扑度，首先，我们使用分析的方法定义了有限维的程度，这使我们能够 避免一些技术和繁琐的工具，接下来讨论了一些 Leray-Schauder 度和椭圆边值问 题的应用。 在这些应用中，我们也证明了著名的定理 Krasnoselski 定理，在第四章讨论 了全球性质的程度，特别是证明由于 Rabinowitz 全局分岔的结果，还特别注意了 渐近线性边界值问题的正解的存在性。 第二部分和第三部分都用来讨论变分方法，即临界点理论，在第五章和第六 章呈现了一些介绍性的材料之后，在第七章我们讨论了一些主要的形变引理和 Palais-Smale 条件，第八章讨论了山路与连接定理，第九章和第十章分别讨论了 Lusternik-Schnirelman 定理和对称泛函的例子。 椭圆边值问题的进一步结果将在第十一章介绍，包括开拓 Brezis-Nirenberg 结果处理与临界非线性的半线性方程。 第十二章论述了 Morse 理论， 其中还包含潜在运营商对分支的应用和上路临 界点的 Morse 指标的估计。 第四部分收集了许多的附件，解决了前面的部分留下的一些有趣的问题，因 为它们在本质上更加具体或更加复杂，或者是因为它们与目前的研究相悖，因此 仍在进化中， 在这里我们的主要目的是把感兴趣的读者带到当代研究的核心，在 许多情况下，我们有点粗略，查阅原始文件来获得更多细节。 附录 1 介绍了著名的 Gidas-Ni-Nirenberg 对称结果和其他的一些定性结果， 例如 Gidas 和 Spruck Liouville 型定理，附录 2 涉及的是由 P.L.Lions 介绍的集中列 紧方法，还包括缺乏紧性问题的应用，附录 3 与分支理论有关，在没有紧性的情 况下，解决一些分支问题，其中包括基本谱中的分岔问题，附录 4 讨论了理想流 体中涡旋环的经典问题， 附录 5 我们讨论了临界点理论中的一些抽象的摄动方法 以及它们在 Rn 上椭圆型问题、非线性 Schrodinger 方程和奇异摄动问题上的应 用，最后，在附录 6 我们讨论了微分几何中出现的一些问题，从经典的 Yamabe 问题到更近的问题，处理第四阶不变量如 Paneitz 曲率。
序言
在这个章节，我们将讨论一些我们在这整本书中用到的预备知识。
1.1 微积分
我们简要概述一下巴拿赫空间中的一个微积分，不需要证明它，对于它的证明和 更多的细节，请参考章节 1 和章节 2 的【20】 。
Frechet 导数.设 X , Y 是巴拿赫空间， L( X , Y ) 表示线性空间中 X 到 Y 的一个连续
u ( | u |2 dx) 2
等价于标准范数 u H 1
0
1
定理 1.5 （ Sobolev 嵌入定理）设 是 R n 中的一个有界区域，具有 Lipschitz 边界
, 设 k 1,1 p (i ) 如果 kp n, 那么 H k , p () Lq () 对于所有满足 1 q np / n kp 的嵌入是紧