2019-2020学年天津耀华中学高一上学期期中数学试题(含答案解析)

2019-2020学年天津耀华中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2|1,M y y x x R ==-∈，集合{}2|3N x y x ==-，M N =I （ ）．A ．{}(2,1),(2,1)-B ．[1,3]- C ．[0,3] D ．∅【答案】B【解析】解：[1,)M =-+∞，[3,3]N =-， 故[1,3]M N ⋂=- 故选：B2．下列判断正确的是（ ）A ．函数22()2x x f x x -=-是奇函数B ．函数1()(1)1xf x x x+=--是偶函数 C ．函数2()1f x x x =+-是非奇非偶函数D ．函数()1f x =既是奇函数又是偶函数 【答案】C【解析】【详解】试题分析：A 中函数的定义域为{}|2x x ≠不关于原点对称，()f x 不是奇函数；B 中函数的定义域为{}|11x x -≤<不关于原点对称，()f x 不是偶函数；C 中函数的定义域为{}|1,1x x x ≤-≥或，2()1()f x x x f x -=-+-≠，2()1()f x x x f x -=-+-≠-，所以()f x 是非奇非偶函数；D 中是偶函数，不是奇函数.故选C.【考点】函数的奇偶性. 【方法点睛】判断函数奇偶性的方法：⑴定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=〔或或()()0f x f x --=〕⇔函数()f x 是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有〔或或⇔函数()f x 是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①判断定义域是否关于原点对称；②比较与()f x 的关系；③下结论.⑵图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数.⑶运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数；③若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==.3．设函数2(1)()x a x a f x x+++=为奇函数，则实数a =（ ）．A ．1-B ．1C ．0D ．2-【答案】A【解析】∵函数2(1)()x a x af x x +++=为奇函数，∴22(1)(1)()()0x a x a x a x af x f x x x-+++++-+=+=-，化为(1)0a x +=， ∴10a +=，解得1a =-． 故选：A ．4．设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】12>-不能推出12>-，反过来，若x y >则x y >成立，故为必要不充分条件.5．若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为（ ） A ．{2x x <-或)1x > B ．{}12x x << C ．{1x x <-或}2x > D ．{}12x x -<<【答案】D【解析】由题意得出方程0ax b -=的根为1x =，且0a <，然后将不等式02ax bx +>-变形为102x x +<-，解出该不等式即可. 【详解】由于关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的方程0ax b -=的根为1x =，且0a <，0a b ∴-=，得b a =.不等式02ax b x +>-即02ax a x +>-，等价于102x x +<-，解得12x -<<. 因此，不等式02ax bx +>-的解集为{}12x x -<<. 故选：D. 【点睛】本题考查一元一次不等式解集与系数的关系，同时也考查了分式不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.6．如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n<m<0B ．m<n<0C ．n>m>0D ．m>n>0 【答案】A【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C 1，C 2的图象可知n<m,故选A.7．偶函数f (x )在[0,+∞)单调递增,若f (-2)=1,则f (x-2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[-2,2]C ．[0,4]D ．[-4,4]【答案】C【解析】由题意不等式()21f x -≤可化为()()22f x f -≤-，又可得函数在(),0-∞上单调递减，根据偶函数的对称性可将问题转化为2x -和2-到对称轴的距离的大小的问题处理． 【详解】∵偶函数f (x )在[0,+∞)单调递增， ∴函数f (x )在(),0-∞上单调递减．由题意，不等式()21f x -≤可化为()()22f x f -≤-． 又函数的图象关于0x =对称， ∴22x -≤-，即22x -≤， 解得04x ≤≤， ∴x 的取值范围是[0,4]． 故选C ． 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解不等式的关键是根据函数的性质将不等式中的符号“f ”去掉，转化为一般不等式求解，解题时要灵活运用函数的性质将问题转化． 8．已知()53232f x x ax bx =-++，且()23f -=-，则()2f =（ ）A ．3B ．5C ．7D ．1-【答案】C【解析】由题意可得出()()224f f -+=，由此可求出()2f 的值. 【详解】()53232f x x ax bx =-++Q ，()2321662f a b ∴-=-+-+，()2321662f a b =-++，()()224f f ∴-+=，因此，()()()242437f f =--=--=.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.9．设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上，()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式3()2()05f x f x x--<的解集为（ ）．A ．(1,0)(1,)-??B ．(,1)(0,1)-∞-UC ．(,1)(1,)-∞-+∞UD ．(1,0)(0,1)-U 【答案】D【解析】奇函数()f x 定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上，在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，∴函数()f x 的关于原点对称，且在(,0)-∞上也是增函数，过点(1,0)-， 所以可将函数()f x 的图像画出，大致如下：∵()()f x f x -=-， ∴不等式3()2()05f x f x x --<可化为()0f x x<，即()0xf x <，不等式的解集即为自变量与函数值异号的x 的范围， 据图像可以知道(1,0)(0,1)x ∈-⋃． 故选：D ．10．设0a b >>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（ ） A ．1 B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】先把代数式()221121025a ac c ab a a b ++-+-整理成()()()2115a c ab a a b ab a a b -+++-+-，然后利用基本不等式可求出原式的最小值. 【详解】()()()222221110112102255a ac c a ab ab ab a ac c ab a b a a a b =-++-+++++-+--Q ()()()()()2111150224a c ab a a b ab a a b ab a a b ab a a b =-+++-+≥+⋅-⋅=--，当且仅当()511a c ab a a b ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩时，即当2a =22b =25c =时，等号成立，因此，()221121025a ac c ab a a b ++-+-的最小值是4. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最小值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.二、填空题 11．设三元集合,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭={}2,,0a a b +，则20142015a b += ． 【答案】【解析】试题分析：集合,且,,则必有,即,此时两集合为,集合,,，当时,集合为,集合,不满足集合元素的互异性.当时,,集合,满足条件,故201420151,0,1a b a b =-=∴+=,因此，本题正确答案是:. 【考点】集合相等的定义. 12．若幂函数2223(1)m m y m m x --=--在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值为 ． 【答案】2m =【解析】试题分析：由题意得：2211,2302m m m m m --=--<⇒= 【考点】幂函数定义及单调性13．已知:1p x >或3x <-，:q x a >（a 为实数）.若q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】[)1,+∞【解析】求出p ⌝和q ⌝中实数x 的取值集合，然后根据题中条件得出两集合的包含关系，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得，:31p x ⌝-≤≤，:q x a ⌝≤，由于q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则[](]3,1,a --∞Ü，所以，1a ≥. 因此，实数a 的取值范围是[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题考查利用充分必要条件求参数的取值范围，一般转化为两集合的包含关系，考查化归与转化思想，属于中等题.14．某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，日均销售量y （桶）与销售单价x （元）的关系式为y ＝－30x ＋450，则该桶装水经营部要使利润最大，销售单价应定为_______元. 【答案】10【解析】根据题意，列出关系式，()()304505420W x x =-+--，然后化简得二次函数的一般式，然后根据二次函数的性质即可求出利润的最大值. 【详解】由题意得该桶装水经营部每日利润为()()304505420W x x =-+--，整理得2306002670W x x =-+-，则当x=10时，利润最大.【点睛】本题考查函数实际的应用，注意根据题意列出相应的解析式即可，属于基础题.15．设定义在N 上的函数()f n 满足()()13,200018,2000n n f n f f n n +≤⎧⎪=⎨⎡⎤->⎪⎣⎦⎩，则()2012f = ________.【答案】2010【解析】根据函数()y f n =的解析式以及自变量所满足的范围选择合适的解析式可计算出()2012f 的值. 【详解】Q 定义在N 上的函数()f n 满足()()13,200018,2000n n f n f f n n +≤⎧⎪=⎨⎡⎤->⎪⎣⎦⎩，()()()()()201220121819941994132007f f f f f f f ∴=-==+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()20071819891989132002200218f f f f f f f f =-==+==-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()198419841319971997132010f f f f ==+==+=⎡⎤⎣⎦.故答案为：2010. 【点睛】本题考查分段函数值的计算，要结合自变量所满足的范围选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于中等题. 16．已知函数()23a af x x x =-+在()1,3上是减函数，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(],18-∞-【解析】任取1213x x <<<，由题意得出()()120f x f x ->，可得出1220x x a +>，即122a x x <-，由1213x x <<<可得出1219x x <<，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】任取1213x x <<<，则()()1212122323a a a a f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()121212121221121222222a x x x x x x a a a x x x x x x x x x x --+⎛⎫=-+-=-+= ⎪⎝⎭， 1213x x <<<Q ，120x x ∴-<，1219x x <<，由于函数()y f x =在()1,3上单调递减，则()()120f x f x ->，1220x x a ∴+>， 得122a x x <-，1219x x <<Q ，121822x x ∴-<-<-，18a ∴≤-. 因此，实数a 的取值范围是(],18-∞-. 故答案为：(],18-∞-. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数的取值范围，解题时可以利用函数单调性的定义结合参变量分离法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题17．已知不等式()()22110x a x a a -+++≤的解集为集合A,集合()2,2B =-.（I ）若2a =，求A B ⋃；（II ）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（I ）(2,3]A B ⋃=-（II ）3a ≤-或2a ≥【解析】（I ）将a 代入，利用十字分解法求出集合A ，再根据并集的定义求解； （II ）已知A ∩B ＝∅，说明集合A ，B 没有共同的元素，从而进行求解； 【详解】（I ）2a =时，由2560x x -+≤ 得()()320x x --≤，则[]2,3A = 则(]2,3A B ⋃=-（II ）由()()22110x a x a a -+++≤ 得()()10x a x a ---≤则[],1A a a =+，因为A B ∅⋂= 所以12a +≤-或2a ≥，得3a ≤-或2a ≥ 【点睛】本题主要考查并集的定义及求解，考查了子集的性质，涉及不等式解集的求法，是一道基础题18．已知()()221y mx m x m m R =-++∈.（1）当2m =时，解关于x 的不等式0y ≤； （2）当0m ≤时，解关于x 的不等式0y >. 【答案】（1）122xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】（1）将2m =代入函数解析式，结合一元二次不等式的解法可解出不等式0y ≤； （2）不等式等价于()()10mx x m -->，分0m =和0m <两种情况，在0m <时，对1m和m 的大小关系进行分类讨论，即可得出不等式的解. 【详解】（1）当2m =时，2252y x x =-+，解不等式0y ≤，即20252x x ≤-+，即()()2120x x --≤，解得122x ≤≤，因此，不等式0y ≤的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； （2）不等式0y >，即()2210mx m x m -++>，即()()10mx x m -->.（i ）当0m =时，原不等式即为0x ->，解得0x <，此时，原不等式的解集为(),0-∞； （ii ）当0m <时，解方程()()10mx x m --=，得1x m=或x m =. ①当1m m <时，即当10m -<<时，原不等式的解集为1,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②当1m m=时，即当1m =-时，原不等式即为()210x -+>，即()210x +<，该不等式的解集为∅； ③当1m m >时，即当1m <-时，原不等式的解集为1,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了含参二次不等式的解法，解题时要对首项系数以及方程根的大小关系进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．已知函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=-x 2+ax. （1）若a=-2，求函数f (x )的解析式； （2）若函数f (x )为R 上的单调减函数， ①求a 的取值范围;②若对任意实数m ,f (m-1)+f (m 2+t )<0恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1) 222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩. (2) ①a ≤0. ②t>54. 【解析】【详解】（1）当0x <时，0x ->，又因为()f x 为奇函数， 所以22()()(2)2f x f x x x x x =--=---=-所以222 0(){2 0x x x f x x x x -<=--≥ （2）①当0a ≤时，对称轴02ax =≤，所以2()f x x ax =-+在[0,)+∞上单调递减， 由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减， 又在(,0)-∞上()0f x >，在(0,)+∞上()0f x <， 所以当a ≤0时，()f x 为R 上的单调递减函数当a>0时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，不合题意 所以函数()f x 为单调函数时，a 的范围为a 0≤…②因为2(1)()0f m f m t -++<，∴2(1)()f m f m t -<-+所以()f x 是奇函数，∴2(1)()f m f t m -<--又因为()f x 为R 上的单调递减函数，所以21m t m ->--恒成立， 所以22151()24t m m m >--+=-++恒成立， 所以54t > 20．已知：函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =．（1）求(0)f 的值．（2）求()f x 的解析式．（3）已知z R ∈，设P ：当102x <<时，不等式()32f x x a +<+恒成立；Q ：当2][2x ∈-，时，()()g x f x ax =-是单调函数．如果满足P 成立的a 的集合记为A ，满足Q 成立的a 的集合记为B ，求C R A B ⋂（R 为全集）．【答案】（1）(0)2f =-；（2）2()2f x x x =+-；（3）C {|15}R A B a a ⋂=<…【解析】（1）令1x =-，1y =带入化简得到答案.（2）令0y =，代入计算得到答案.（3）根据恒成立问题计算得到{|1}A a a =≥，根据单调性计算得到{|3,5}B a a a =≤-≥或，再计算C R A B ⋂得到答案.【详解】（1）令1x =-，1y =，则由已知(0)(1)1(121)f f -=--++，∴(0)2f =-（2）令0y =，则()(0)(1)f x f x x -=+，又∵(0)2f =-∴2()2f x x x =+-（3）不等式()32f x x a +<+即2232x x x a +-+<+，21x x a -+<． 由于当102x <<时，23114x x <-+<，又2213124x x x a ⎛⎫-+=-+< ⎪⎝⎭恒成立，故{|1}A a a =≥，22()2(1)2g x x x ax x a x =+--=+--对称轴12a x -=， 又()g x 在[2,2]-上是单调函数，故有122a -≤-或122a -≥， ∴{|3,5}B a a a =≤-≥或，C {|35}R B a a =-<<∴C {|15}R A B a a ⋂=≤<．【点睛】本题考查了函数求值，函数解析式，集合的运算，意在考查学生的综合应用能力.。