对勾函数的几点分析

对勾函数的几点分析

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数”

奇偶性与单调性

当x>0时，f(x)=

x b ax +

有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），即当a

b x =的时候

奇函数。 令a b k =

，那么：

增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；

减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0

变化趋势：在y 轴左边，增减，在y 轴右边，减增，是两个勾。

渐近线：耐克函数的图像是分别以y 轴和y=ax 为渐近线的两支双曲线。

对勾函数：图像，性质，单调性

均值不等式，

导数求解，

其它解法

对于这个函数f(x)=x b ax +

,

（1）它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单

调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；

（2）函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；

（3）众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。

高考例题：

已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在 (0,√a] 上是减函数，在 ，

[√a,+∞ )上是增函数．

（1）如果函数 y=x+(2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞)，求b 的值；

（2）研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性，并说明理由；

（3）对函数y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常数a >0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x) =(x^2+1/x)^n+(1/x^2+x)^n （x 是正整数）在区间[½ ,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）

当x>0时，f(x)=ax+b/x 有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x 有最大值

f(x)=x+1/x

首先你要知道他的定义域是x 不等于0

当x>0,

由均值不等式有：

f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2

当x=1/x取等

x=1,有最小值是：2，没有最大值。

当x<0,-x>0

f(x)=-(-x-1/x)

<=-2

当－x=-1/x取等。

x=-1,有最大值，没有最小值。

值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷）

－－－－－－－－－－－－－－

证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在x>0上的单调性设x1>x2且x1，x2∈(0，+∝) 则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -（ax2+b/x2）=a（x1-x2)-b（x1-x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为x1>x2，则x1-x2>0 当x∈(0，√(b/a）)时，x1x2b/a 则ax1x2-b>b-b=0 所以f(x1)-f(x2)>0，即x∈(√(b/a），+∞)时，f(x)=ax+b/x单调递增。

重点（窍门）

其实对勾函数的一般形式是：

f(x)=x+a/x(a>0)

定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)

值域为(-∞,-2根号a)∪(2根号a,+∞)

当x>0,有x=根号a,有最小值是2根号a

当x<0,有x=-根号a,有最大值是：－2根号a

对钩函数的解析式为y=x+a/x(其中a>0),设x1

(1)当x10,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

(2)当-根号a0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(-根号a,0)上是减函数

(3)当00,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(0，根号a)上是减函数

（4）当根号a0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。