对勾函数的几点分析

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对勾函数的性质及应用

对勾函数的性质及运用一、对勾函数by ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f4. 图像在一.三象限, 当0x >时,b y ax x =+≥ab 2（当且仅当bx a =取等号）,即)(x f 在x=ab时,取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时,)(x f 在x=ab -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（∞+,ab）,（ab -∞-,）,减区间是（0,ab ）,（ab -,0）二、对勾函数的变形情势类型一：函数by ax x =+)0,0(<时,)(x f 在x=ab -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0,ab ）,（ab -,0）减区间是（∞+,a b）,（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞,0）,（0,+∞）. ②0,0>++=ac x c bx ax x f .此类函数可变形为bx c ax x f ++=)(,可由对勾函数x c ax y +=高低平移得到演习1.函数x x x x f 1)(2++=的对称中间为类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x ax x f此类函数可变形为kk x ak x x f -+++=)()(,则)(x f 可由对勾函数x a x y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.作函数21)(-+=x x x f 与xx x x f +++=23)(的草图2.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标3. 求函数1)(-+=x xx x f 的单调区间及对称中间类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a bx axx f .此类函数界说域为R ,且可变形为x b x axbx a x f +=+=2)( a.若0>a ,图像如下：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a ba ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最大值ba2,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最小值b a 2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;增区间是],[b b -演习1.函数1)(2+=x xx f 的在区间[)2,+∞上的值域为b. 若0<a ,作出函数图像：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[ba ba ⋅⋅- 3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最小值ba 2-,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最大值b a 25. 单调性：增区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;减区间是],[b b -演习1.如2214xa x +=-+()1,2x ∈-,则的取值规模是类型六：函数)0()(2≠+++=a mx c bx ax x f .可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s m x t m x a m x t m x s m x a x f ,则)(x f 可由对勾函数x tax y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=向（填“左”.“右”）平移单位,向（填“上”.“下”）平移单位. 2.已知1->x ,求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值;3.已知1<x ,求函数199)(2--+=x x x x f 的最大值类型七：函数)0()(2≠+++=a c bx ax mx x f演习1.求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值;若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为 2.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值类型八：函数ax b x x f ++=)(.此类函数可变形为尺度情势：)0()(>-+-++=+-++=a b ax a b a x ax ab a x x f演习1.求函数13)(-+=x x x f 的最小值;2．求函数15)(++=x x x f 的值域;3.求函数32)(++=x x x f 的值域类型九：函数)0()(22>++=a ax b x x f .此类函数可变形为尺度情势：)()()(22222o a b ax a b a x ax ab a x x f >-+-++=+-++=演习 1.求函数45)(22++=x x x f 的最小值;2. 求函数171)(22++=x x x f 的值域。

对勾函数详细分析

对勾函数详细分析对勾函数，又称为Heaviside函数或者单位阶跃函数，是一种常见的数学函数。

它在控制系统、信号处理和电路分析等领域具有广泛的应用。

在数学上，对勾函数可以通过以下方式定义：H(x)=0,x<0H(x)=1/2,x=0H(x)=1,x>0其中，H(x)表示对勾函数，x为自变量。

从定义可以看出，对勾函数在x小于0时取0，在x等于0时取1/2，在x大于0时取1对勾函数在数学上的精确定义可以依赖于Laplace变换或者Fourier 变换等数学工具，用于解决微积分和微分方程等问题。

在实际应用中，对勾函数通常以数学形式存在，用于描述信号的开关行为。

在控制系统中，对勾函数可以表示系统的阶跃响应。

阶跃响应是指当输入信号为一个单位阶跃函数时，系统所产生的响应。

对勾函数可以帮助分析系统的稳定性、零极点和频率响应等性质。

在信号处理中，对勾函数可以用于描述数字信号的采样和量化过程。

当对一个连续信号进行采样时，可以将采样函数表示为对勾函数。

对勾函数在离散时间中具有单位阶跃响应的特性，可以用于分析信号的频谱和滤波等问题。

在电路分析中，对勾函数可以用于描述开关电路的动态响应。

开关电路通常包含开关元件和电容、电感等被控元件。

对勾函数可以帮助确定电路的稳态和暂态响应，并且可以用于分析电路中的信号传输、噪声和功耗等问题。

此外，对勾函数在概率论和统计学中也有应用。

例如，对勾函数可以用于计算累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。

对勾函数可以将离散随机变量转化为连续随机变量，以进行概率计算和数值模拟等工作。

对勾函数具有一些重要的性质。

首先，它是一个连续函数，但不是光滑函数。

它在x=0处的导数不存在，即导数不连续。

其次，对勾函数是一个奇函数，即H(-x)=1-H(x)。

此外，对勾函数是一个分布函数，满足概率的基本性质，即0≤H(x)≤1总结起来，对勾函数是一个常用的数学函数，具有广泛的应用。

它可以表示系统的阶跃响应，在信号处理和电路分析等领域发挥重要作用。

对勾函数

对勾函数图象性质对勾函数 :数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一 ) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ （接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当 a≠0， b≠0时， f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x 叠“加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y＝ ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ ab 同号）当 a ，b 异号时， f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）对勾函数的图像（ab 异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ， b>0 。

之后当a<0，b<0 时，根据对称就很容易得出结论了。

1(二 ) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当 x>0 时，。

当 x<0 时，。

即对勾函数的定点坐标：(三 ) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四 ) 对勾函数的单调性y(五 ) 对勾函数的渐进线O Xy=ax由图像我们不难得到：(六 ) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类耐克函数性质探讨函数y ax b，在 a0或b0时为简单的单调函数，不予讨论。

对勾函数详细分析

对勾函数详细分析对勾函数是一种经典的激活函数，在人工神经网络中被广泛使用。

它的主要特点是非线性，能够接受任意实数作为输入，输出范围在0和1之间。

在本文中，我们会详细分析对勾函数的定义、数学性质、应用以及优缺点。

对勾函数的定义为 f(x) = 1 / (1 + exp(-x))，其中 exp(x) 表示自然指数函数。

这个函数的图像是在x轴上下限分别为负无穷大和正无穷大，y轴上下限分别为0和1的S形曲线。

当 x 趋近正无穷大时，f(x) 趋近于1；当 x 趋近负无穷大时，f(x) 趋近于0。

对勾函数的主要数学性质如下：1.非线性：对勾函数是一种非线性函数，这是它被广泛使用的主要原因之一、它可以通过增加网络的复杂度来学习复杂的非线性模式。

2.可微性：对勾函数是连续可导的函数，这使得它可以与其他函数进行组合，形成复杂的神经网络结构。

对勾函数的导数f'(x)可以通过对f(x)进行求导得到，其表达式为f'(x)=f(x)(1-f(x))。

3.单调性：对勾函数是单调递增的，这意味着当输入值增加时，输出值也会增加。

这种单调性有助于网络的学习过程。

对勾函数在人工神经网络中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.模式识别：对勾函数可以用于二分类问题的模式识别。

例如，在人脸识别中，可以使用对勾函数作为分类器来判断输入图像是人脸还是非人脸。

2.概率估计：对勾函数可以将实数映射到概率值的范围（0到1之间）。

这在机器学习中经常用于估计事件发生的概率。

3.深度学习：对勾函数是目前最流行的神经网络模型，深度神经网络中的常用激活函数。

它可以通过复杂的网络结构来学习高级的非线性模式。

虽然对勾函数有许多优点，但它也有一些缺点。

1.饱和性：当输入值较大或较小时，对勾函数的导数值会趋近于0，导致梯度消失的问题。

这会导致网络训练过程中的梯度更新过小，使得学习过程变得缓慢。

2.输出范围限制：对勾函数的输出范围为0和1之间，这意味着对勾函数不能表示负数的情况。

1 对勾函数的性质及应用

1 对勾函数的性质及应用对勾函数是一种常见的数学函数形式，在不同领域中有着广泛的应用。

它的性质包括有界性、递增性、连续性和可导性等。

本文将详细介绍对勾函数的性质及其在各领域中的应用。

对勾函数的定义为：\[ f(x) = \begin{cases} 0, & \text{if } x < 0 \\ x, & \text{if } 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & \text{if } x > 1 \end{cases} \]首先，对勾函数具有有界性。

在定义域上，函数的取值范围被限定在0和1之间。

当输入小于0时，函数取值为0；当输入大于1时，函数取值为1。

这使得对勾函数在一定范围内有着固定的输出，这种特性在一些问题的建模中非常实用。

其次，对勾函数是递增的。

在定义域内，随着输入的增加，函数的值也会逐渐增加。

当输入从0到1时，函数的值从0逐渐增加到1。

由于递增性，对勾函数常常用来表示随着某个条件的改变，结果的增长或减少的情况。

第三，对勾函数是连续的。

在定义域内，对勾函数没有跳跃或断裂点，可以表示为一条连续的曲线。

这使得对勾函数在各种数学和统计分析中非常方便，例如用于求解连续函数的极值点、最小二乘法估计等。

最后，对勾函数是可导的。

在定义域内的大部分点上，对勾函数都是可导的。

只有在分界点0和1处可能不可导，因为函数在这些点的左右导数可能不相等。

然而，在实际问题中，由于对勾函数在这些点的函数值不连续，导数的存在与否并不会对问题的求解造成太大影响。

对勾函数具有广泛的应用。

下面将分别介绍对勾函数在数学、物理、经济和计算机科学等领域中的应用。

在数学中，对勾函数常用于分段函数的表示。

分段函数是一种函数形式，它在不同的定义域上有着不同的表达式。

由于对勾函数的定义形式简单，且具有可读性，因此常常用来表示分段函数。

例如，在微积分中，对勾函数常用于表示阶梯函数、指示函数等。

在物理学中，对勾函数常用于表示信号的限制和变换。

对勾函数知识点总结

对勾函数知识点总结
一、什么是勾函数
勾函数是一种连续函数，它的函数表达式为：f(x)=1/x。

二、勾函数在数学中的应用
1. 在概率论中，勾函数用于表示受试者和控制者之间的期望。

2. 勾函数也用于测量偏差和抽样误差。

3. 勾函数在统计中可以用于拟合不确定的数据，确定概率分布和数字分布的函数形式。

4. 勾函数还可以用于求解复杂的微积分问题。

5. 在信号处理中，勾函数可以用于表征频谱分析中的尺度变换函数，也可以表征复变振荡器的特性。

三、勾函数的特点
1. 勾函数是个连续函数。

2. 勾函数是一个奇函数。

3. 勾函数在原点处不可导。

4. 勾函数在原点处取极限值为无穷大。

5. 勾函数的图像有一条对称轴，它穿过原点。

6. 从原点开始，勾函数图像呈现“大图式”。

7. 勾函数的曲线实点对称。

8. 勾函数是无穷小的无穷大极限函数。

对勾函数知识点总结

对勾函数知识点总结对勾函数是一种常见的数学函数，也被称为Kronecker delta函数。

它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将对对勾函数的定义、性质和应用进行总结。

一、对勾函数的定义对勾函数是一个二元函数，通常用符号δ(i,j)表示。

它的定义如下：当i=j时，δ(i,j)=1；当i≠j时，δ(i,j)=0。

简单来说，对勾函数在i=j时取值为1，在i≠j时取值为0。

这个函数的定义看起来很简单，但它在实际应用中有着重要的作用。

二、对勾函数的性质1. 对勾函数是对称的，即δ(i,j)=δ(j,i)。

2. 对勾函数满足线性性质，即对于任意的实数a和b，有δ(i,j)=aδ(i,j)+bδ(i,j)。

3. 对勾函数在矩阵运算中有着重要的作用。

例如，对于一个n阶方阵A，可以定义一个n阶单位矩阵I，其中I(i,j)=δ(i,j)。

这样，矩阵A和I的乘积就等于A本身。

三、对勾函数的应用1. 矩阵运算对勾函数在矩阵运算中有着广泛的应用。

例如，在线性代数中，可以使用对勾函数来定义矩阵的转置、逆矩阵等运算。

2. 离散信号处理对勾函数在离散信号处理中也有着重要的应用。

例如，在数字信号处理中，可以使用对勾函数来表示离散时间信号的采样。

3. 物理学对勾函数在物理学中也有着广泛的应用。

例如，在量子力学中，可以使用对勾函数来表示量子态之间的内积。

对勾函数是一种非常重要的数学函数，它在数学、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。

对勾函数的定义、性质和应用都需要我们深入学习和掌握。

(完整版)对勾函数详细分析

对勾函数的性质及应用一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，by ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a ，即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5. 单调性：增区间为（∞+,ab ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0）二、对勾函数的变形形式类型一：函数by ax x=+)0,0(<时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,ab ），（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞，0），（0，+∞）.②0,0>++=ac xcbx ax x f 。

对勾函数的性质及图像

对勾函数的性质及图像
对勾函数是一类常见的抽象函数，它也被称为条件函数。

以一般形式来讲，它有两个参数：一个表示参数，另一个表示值，它把第一个参数映射到第二个参数，其表达式为：y=f(x)，当且仅当条件C成立时才有定义。

这里，参数x表示满足条件C的状态，而参数y表示对应的返回的值。

二、对勾函数的特性
（1）对勾函数是一种非线性函数，它的表达式不是一次方程或者一个多项式，它的表达式可以是任意的。

（2）当参数f与参数x相同时，对勾函数的值也可以不同。

（3）对勾函数是一种强烈以条件为导向的函数，只有当条件C 满足时，函数f才有定义，这使得对勾函数可以精准地控制函数参数的行为。

三、对勾函数的图像
对勾函数的图像包括折线图、曲线图以及平面图等多种类型。

用折线图表示时，把y=f(x)作为一组直线方程可以分别画出两条直线，而这两条直线都是y>=(f(x)的解析解。

用曲线图表示时，可以把对勾函数的图像表示为一条曲线，其中的曲线是y>=(f(x)的解析解，因此曲线图可以表示函数f的连续性。

四、总结
对勾函数是一类常见的抽象函数，它的表达式可以是任意的，且只有当特定条件满足时才有定义。

对勾函数的图像可以用折线图、曲
线图以及平面图等多种类型表示。

这些特性使得对勾函数在许多方面得到了广泛的应用，例如在人工智能中，它通常用于推理过程，给定一组条件，可以用函数f来计算出各种可能的结果，从而让系统变得更加智能。

对勾函数专题讲解

对勾函数专题讲解专题：对勾函数及其应用1.对勾函数定义对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。

2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质1) 定义域：(-∞。

0) ∪ (0.+∞)。

2) 值域：(-∞。

-2ab] ∪ [2ab。

+∞)。

3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。

4) 单调性：(-∞。

-a/b)，(a/b。

+∞) 上是增函数；(-a/b。

0)，(0.a/b) 上是减函数。

3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：±a/b。

求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。

特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。

4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解。

5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。

当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。

例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。

(2) [3,4]。

(3) [-3,-1]。

变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。

例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。

变式训练：求函数 f(x) = (x-1)/(x-1) 的值域。

强化训练：1.下列函数中最小值是 4 的是 ()。

A。

y = x^4 + x^2B。

y = x^4 + xC。

y = x^4 - xD。

y = x^2 + 42.函数 y = x/(x^2+1)。

x∈(1,3] 的值域为 ()。

高中对勾函数知识点

高中对勾函数知识点
勾函数是高中数学中的一个重要概念，它是一种可以用来描述函数的
函数，它可以用来描述函数的性质，以及函数的变化情况。

勾函数的定义是：若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则称f(x)在[a,b]上为勾函数。

勾函数的特点是：它的图像是一条连续的曲线，它的斜率是一个正数，它的函数值是一个递增的序列，它的函数值是一个单调递增的序列，
它的函数值是一个单调递减的序列。

勾函数的应用非常广泛，它可以用来描述函数的变化情况，以及函数
的性质。

例如，在求解某些微分方程时，可以用勾函数来描述函数的
变化情况，以及函数的性质，从而求解出微分方程的解。

此外，勾函数还可以用来求解极值问题，例如求函数f(x)在区间[a,b]上的极大值和极小值。

由于勾函数的斜率是一个正数，因此可以利用
勾函数的性质来求解极值问题。

勾函数也可以用来求解积分问题，例如求函数f(x)在区间[a,b]上的积分。

由于勾函数的斜率是一个正数，因此可以利用勾函数的性质来求
解积分问题。

总之，勾函数是高中数学中一个重要的概念，它可以用来描述函数的
变化情况，以及函数的性质，它的应用非常广泛，可以用来求解极值
问题，以及积分问题。

对勾函数全面解析

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，X。

对勾函数的性质及图像

对勾函数的性质及图像一、引言在数学中，对勾函数是一种常见的函数类型，其性质和图像具有一定的特点。

本文将探讨对勾函数的定义、性质以及绘制其图像的方法。

通过深入研究对勾函数，我们可以更好地理解其在数学中的应用和意义。

二、对勾函数的定义对勾函数通常用符号\( y = \sin(x) \) 表示，其中\( \sin \) 代表正弦函数。

正弦函数是周期性函数的一种，其定义域为实数集，值域在区间\([-1, 1]\)内取值。

对勾函数具有以下几个重要的特点：1.周期性：对勾函数以\( 2\pi \)为一个完整的周期，在每个周期内函数值重复。

2.奇函数性质：对勾函数关于原点对称，即\( \sin(-x) = -\sin(x) \)，这是因为正弦函数是奇函数。

3.连续性：对勾函数在其定义域内是连续的。

三、对勾函数的性质对勾函数具有许多重要的性质，包括但不限于：1.基本性质：对勾函数在整个实轴上都有定义，且处处可导。

2.最值点：对勾函数在\( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)和\( x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \)处取得极值，其中\( k \)为整数。

3.周期性：对勾函数的周期为\( 2\pi \)，即\( \sin(x) = \sin(x + 2k\pi)\)，其中\( k \)为整数。

4.导数性质：对勾函数的导数为余弦函数，即\( y’ = \cos(x) \)。

5.零点：对勾函数在\( x = k\pi \)处取零点，其中\( k \)为整数。

四、对勾函数的图像为了更直观地理解对勾函数的性质，我们可以通过绘制其图像来观察其特点。

下面是一些绘制对勾函数图像的方法：markdown python import numpy as np import matplotlib.pyplot as pltx = np.linspace(-2np.pi, 2np.pi, 1000) y = np.sin(x)plt.plot(x, y, label=’y = sin(x)’) plt.axhline(0, color=’black’,linewidth=0.5)plt.axvline(0, color=’black’,linewidth=0.5) plt.grid(color = ‘gray’, linestyle = ‘–’, linewidth = 0.5)plt.xlabel(’x’) plt.ylabel(’y’) plt.title(’Graph of sin(x)’) plt.legend() plt.show()通过上述代码，我们可以生成对勾函数\( y = \sin(x) \)的图像。

对勾函数知识点

对勾函数知识点对勾函数是一种常见的数学函数，也是离散数学中的一个重要概念。

它在逻辑学、集合论等领域有着广泛的应用。

本文将从对勾函数的定义、性质以及实际应用等方面进行介绍，以帮助读者更好地理解和运用对勾函数。

一、对勾函数的定义和性质对勾函数，又称为特征函数、示性函数或指示函数，是一种从一个集合到一个二元集合（通常是{0, 1}）的函数。

对于给定的集合A，对勾函数的定义如下：f(x) = {1, if x ∈ A;0, if x ∉ A.其中，x表示集合A中的元素，∈表示属于的关系。

对勾函数的性质如下：1. 对勾函数的值只能是0或1，表示元素是否属于集合A。

2. 对勾函数是一种离散函数，它只对集合A中的元素有定义。

3. 对勾函数是一种分段函数，对于集合A中的元素，对勾函数的值为1，对于不属于集合A的元素，对勾函数的值为0。

4. 对勾函数的定义域是集合A的全体元素组成的集合，值域是{0, 1}。

二、对勾函数的实际应用对勾函数在逻辑学、集合论以及计算机科学等领域有着广泛的应用。

下面我们将介绍对勾函数在这些领域中的具体应用。

1. 逻辑学中的应用：在逻辑学中，对勾函数常被用来表示命题的真假。

如果一个命题为真，则对应的对勾函数值为1；如果一个命题为假，则对应的对勾函数值为0。

通过对勾函数，我们可以方便地进行逻辑推理和证明。

2. 集合论中的应用：对勾函数在集合论中起到了重要的作用。

通过对勾函数，我们可以方便地表示集合之间的关系和运算。

例如，两个集合的交集可以用对勾函数表示为两个对勾函数的乘积；两个集合的并集可以用对勾函数表示为两个对勾函数的最大值。

3. 计算机科学中的应用：对勾函数在计算机科学中有着广泛的应用。

例如，在算法设计中，对勾函数可以用来表示某个元素是否满足某个条件，从而方便地进行选择和判断。

在数据结构中，对勾函数可以用来表示一个集合是否为空，从而实现集合的操作和处理。

三、对勾函数的扩展除了上述介绍的基本对勾函数外，还有一些对勾函数的扩展形式。

(完整版)对勾函数详细分析

对勾函数的性质及应用、对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性 x质：1. 定义域： ( ,0) (0, )2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )原点呈中心对称，即 f(x) f( x) 0即 f (x) 在 x= b时，取最小值 2 ab a、对勾函数的变形形式2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个对勾”的形状，且函数图像关于4.图像在一、三象限 , 当 x 0 时， y axb2 ab (当且仅当 x b取等号)，由奇函数性质知：当x <0 时， f (x) 在 x= b时，取最大值 2 ab a 5.单调性：增区间为(,b) ,a, 减区间是( 0 ，类型一：函数 y ax b (a 0,b x 质1. 定义域： ( ,0) (0, )0)的图像与性3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状4. 图像在二、四象限, 当x<0时，f （x）在x= b时，取最小值 2ab；当x 0时，af（x）在x= b时，取最大值 2 aba5. 单调性：增区间为（0，b），（b,0 ）减区间是（b, a a a,b a)类型二：斜勾函数y ax b（ab 0）x① a 0,b 0 作图如下1. 定义域：（ ,0）（0, ）2. 值域：R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5. 单调性：增区间为（- ，0），（0，+ ）② a 0,b 0 作图如下：1. 定义域：( ,0) (0, )2. 值域：R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值5. 单调性：减区间为（- ，0），（0，+ ）2此类函数可变形为 f(x) ax cb ，可由对勾函数 y axc 上下平移得到 x x2练习 1.函数 f(x) x x 1 的对称中心为x类型四：函数 f (x) x a (a 0,k 0)xk此类函数可变形为 f (x) (x k a ) k ，则 f ( x)可由对勾函数 y x a 左右平移， x k x 上下平移得到练习 1. 作函数 f(x) x 1 与 f(x) x 3 x 的草图x 2 x 22. 求函数 f (x) x 1 在 (2, )上的最低点坐标2x 4 3. 求函数 f(x) x x 的单调区间及对称中心x1a. 若 a 0 ，图像如下：1．定义域：( , ) 2. 值域：[ a 2 b ,a 2 b ]3. 奇偶性：奇函数 .4. 图像在一、三象限 . 当 x 0时， f (x) 在x b 时，取最大值 a ，当 x<0 时， f(x)在 x= b 时，取最小值 a2 b 2 b5. 单调性：减区间为( b, )，( , b )；增区间是 [ b, b]类型三函数 f(x)ax 2 bx c(ac 0)x类型五：函数 af(x) 2 xbx( )axf (x)2xa b xxb (a 0,b 0) 。

对勾函数的一点思考对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数,又被

对勾函数的一点思考对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，又被称为“双勾函数”，“勾函数”.不过由于数学教材中对对勾函数涉及较少，学生对相关知识的学习比较分散，也缺乏系统的归纳和提升.因此，学生应在适当的时候，及时加以总结、巩固和提高.对勾函数作为考试的内容时，主要考察单调性、极值、值域等.因此，理解对勾函数的知识，灵活运用这些知识点的技能，对掌握一些题目的做法大有裨益.所谓的对勾函数，是形如()bf x ax x=+ （0,0a b >>）的函数，由它的图像得名. 对勾函数的性质如下：（1）定义域为()(),00,-∞+∞（2）值域为(),2,ab ⎡-∞-+∞⎣（3）奇偶性：在其定义域上是奇函数（4）单调性：单调增区间为⎛-∞⎝和⎫+∞⎪⎪⎭.单调减区间⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝. （5）渐进性：渐进线是y 轴和直线y x =方法一：利用单调性的定义进行证明:任意取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <则()()12f x f x -1212b b ax ax x x =+--，()()211212b x x a x x x x -=-+()1212b x x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()121212a bx x x x x x -=-()*,要判定此式的正负只要确定12a bx x -的正负即可.这样，又需要判断12x x 与ba的大小，由于12,x x 的任意性，考虑到要将区间()0,+∞分为⎛ ⎝与⎫+∞⎪⎪⎭（1）当12,x x ⎛∈ ⎝时，120bx x a <<，120x x -<.∴()*式小于0，即()()120f x f x ->，∴()()21f x f x <.∴()f x 在⎛ ⎝上是减函数（2）当12,x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时12bx x a >，∴()*式大于0即()()120f x f x -<∴()()21f x f x >，∴()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上是增函数. 同理可得，（3）当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()bf x ax x =+是减函数.（4）当,x ⎛∈-∞ ⎝时，()b f x ax x=+是增函数综上所述()bf x ax x =+在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上是增函数，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上是减函数方法二：通过导数的知识来探究单调性.()b f x ax x=+，()222b ax bf x a x x -'=-=，令()0f x '=，1,2x =⎫⎪⎪⎭和⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.相应的极大值为-当,x ⎛∈-∞ ⎝，()0f x '>，此时()f x 单调递增当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '<，此时()f x 单调递减当x ⎛∈ ⎝，()0f x '<，此时()f x 单调递减当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增一、对勾函数值域及其应用对勾函数的值域在高中数学中是一个重要的知识点.对于对勾函数，当其定义域为()(),00,-∞+∞，函数不存在最值，但存在极值.值域为(),2,ab ⎡-∞-+∞⎣；当其定义域为(),0-∞或()0,+∞时，函数存在最值.利用对勾函数的这一性质，我们可以解决一类复杂的函数的值域问题. 例1求21log (2)y x x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭的值域分析：由已知先求出1x x+的范围，这是关键部分，然后再根据对数函数的单调性，求解. 解：令1u x x=+(2)x ≥ ∴ 55220u u u ⎧≥⎪⇒≥⎨⎪>⎩ ∴225log log 2y u =≥ ∴函数的值域为25log ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例2 若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12tan tan x x+的最小值为分析：根据x 的范围，求出tan x 的范围.再根据对勾函数的图像，求出最值. 解：令tan t x =()0t >∴11222y t t t t ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪⎪⎝⎭令()()120g t t tt=+>，由对勾函数的单调性及最值知识，()min g t =∴min y =例3（2006，上海高考）已知函数有ay xx=+如下性质：如果常数0a>，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数.（1）如果函数()2by x xx=+>的值域为[)6,+∞，求b的值（2）研究函数22cy xx=+（常数0c>）在定义域内的单调性，并说明理由（3）对函数ay xx=+和22ay xx=+（常数0a>）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数()2211n nF x x xx x⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（n是正整数）在区间上的最大值和在最小值（可利用你的研究结论）分析：根据题目已知，灵活使用对勾函数的性质，进而解决问题.解：(1)由题意得，2by xx=+在(上是减函数，在)+∞上是增函数，∴当x=，函数2by xx=+取得最小值6.6b=，∴2log9b=(2)设120x x<<，2221212221c cy y x xx x-=+--()222122121cx xx x⎛⎫=--⎪⎝⎭.12x x<<时，21y y>函数22cy xx=+在)+∞是增函数；当120x x<<< 21y y<.函数22cy xx=+在(上是减函数.又22cy xx=+是偶函数，于是，该函数在上(,-∞是减函数，在)⎡⎣上是增函数；(3)当n是奇数时，函数nnay xx=+在(0,上是减函数，在)⎡+∞⎣上是增函数，在(,-∞-上是增函数，在)⎡⎣上是减函数.当n是偶数时，函数nnay xx=+在(0,上是减函数，在)⎡+∞⎣上是增函数，在(,-∞-上是减函数，在)⎡⎣上是增函数；()2211n nF x x xx x⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0212322311n nn nn nC x C xx x--⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23231r n rn n r C x x --⎛⎫++ ⎪⎝⎭1n nn n C x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 因此()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在[]1,2上是增函数.所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924nn⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1x =时，()F x 取得最小值12n +例4 求下列函数在(]1,2x ∈的值域（1）21xy x =+ （2）232x x y x++=分析：对函数进行变形，进而根据x 的范围，求出1x x+的范围，求出值域. 解：（1）2111x y x x x==++ ∵(]1,2x ∈ ∴152,2x x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦ ∴121,152x x⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+ ∴值域为21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）解：23223x x y x x x++==++ ∵(]1,2x ∈∴2x x⎡⎤+∈⎣⎦∴值域为3,6⎡⎤⎣⎦ 例5(2008,江西高考) 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则函数()()1()F x f x f x =+的值域是（）A 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 103,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：令()t f x =，则()1y F x t t ==+，其中1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由()0b y x b x =+>的单调性知b y x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在(]1,3是增函数.又当12t =时，152y =；当3t =时，210532y => 当3t =时max103y =；当1t =时，min 2y =当1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1102,3y t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦函数()()()1Fx f x f x =+的值域为102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、对勾函数的图像应用例1解不等式44a a+> 解：方法一：(1)当0a <，显然不成立(2)当0a >时，244a a +>，∴()220a ->，∴0a >且2a ≠.方法二：把分式不等式化为整式不等式()220a a ⇔->，∴0a >且2a ≠（穿针引线法，奇穿偶不穿）方法三：根据函数4y x x=+的图像，图像在()0,+∞上最小值是4，∴0a >且2a ≠例2 ()11f x x x =+-的图像关于（）对称 A x 轴 B y 轴C 点()1,1D 直线1x =解析： ()1111f x x x =-++- 而()1f x x x=+是奇函数，所以图像关于()0,0对称. ∴()111g x x x =-+-的图像关于()1,0对称∴()1111f x x x =-++-图像关于()1,1对称. 例3 设()f x 的图像向左向上分别平移一个单位，得到()g x 的图像，又()g x 的图像关于1x =对称的是()1h x x x=+的图像，求()f x 的图像. 解： ()y h x =与()2y h x =-关于1x =对称.∴()()1222g x h x x x=-=-+- ∴()()()121121f x x x =--+---123x x=-++-本文就对勾函数性质的应用做了一个简单的介绍，充分认识到了对勾函数图像和性质在解决问题中的重要性.正确掌握这些知识，并灵活使用，有待同学们更深入的去研究，从而使我能进一步理解函数思想和函数方法，进而培养了学生从数学角度分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力.。

对勾函数的几点分析[1]

对勾函数的几点分析对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。

也被形象称为“耐克函数”其它解法对于这个函数f(x)=xb ax , （1）它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；（2）函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；（3）众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。

因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。

高考例题：已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在 (0,√a] 上是减函数，在，[√a,+∞ )上是增函数．（1）如果函数 y=x+(2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞)，求b 的值；（2）研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常数a >0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x) =(x^2+1/x)^n+(1/x^2+x)^n（x 是正整数）在区间[½ ,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x 有最大值f(x)=x+1/x首先你要知道他的定义域是x不等于0当x>0,由均值不等式有：f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2当x=1/x取等x=1,有最小值是：2，没有最大值。

当x<0,-x>0f(x)=-(-x-1/x)<=-2当－x=-1/x取等。

x=-1,有最大值，没有最小值。

对勾函数讲解与例题解析

对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。

的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。

（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。

当x<0时，错误！未找到引用源。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

对勾函数的性质及应用

对勾函数的性质及【2 】运用一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f4. 图像在一.三象限, 当0x >时,b y ax x =+≥ab 2（当且仅当b x a =取等号）,即)(x f 在x=a b 时,取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时,)(x f 在x=a b-时,取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ）,（a b -∞-,）,减区间是（0,a b ）,（a b -,0）二、对勾函数的变形情势类型一：函数b y ax x =+)0,0(<时,)(x f 在x=a b -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0,a b ）,（a b -,0）减区间是（∞+,a b ）,（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞,0）,（0,+∞）.②0,0>++=ac x c bx ax x f .此类函数可变形为b x c ax x f ++=)(,可由对勾函数x c ax y +=高低平移得到演习1.函数x x x x f 1)(2++=的对称中间为类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x a x x f此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(,则)(x f 可由对勾函数x a x y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.作函数21)(-+=x x x f 与x x x x f +++=23)(的草图2.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标3. 求函数1)(-+=x x x x f 的单调区间及对称中间类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a b x ax x f .此类函数界说域为R ,且可变形为x b x a x b x a x f +=+=2)( a.若0>a ,图像如下：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a b a ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最大值b a 2,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最小值b a2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;增区间是],[b b -演习1.函数1)(2+=x xx f 的在区间[)2,+∞上的值域为 b. 若0<a ,作出函数图像：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a b a ⋅⋅- 3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最小值b a2-, 当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最大值b a25. 单调性：增区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;减区间是],[b b -演习1.如2214x a x +=-+()1,2x ∈-,则的取值规模是类型六：函数)0()(2≠+++=a m x c bx ax x f .可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s m x t m x a m x t m x s m x a x f , 则)(x f 可由对勾函数x t ax y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=向（填“左”.“右”）平移单位,向（填“上”.“下”）平移单位.2.已知1->x ,求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值;3.已知1<x ,求函数199)(2--+=x x x x f 的最大值类型七：函数)0()(2≠+++=a c bx ax m x x f 演习1.求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值;若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为2.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值类型八：函数a x bx x f ++=)(.此类函数可变形为标准情势：)0()(>-+-++=+-++=a b a x a b a x a x a b a x x f 演习1.求函数13)(-+=x x x f 的最小值; 2．求函数15)(++=x x x f 的值域; 3.求函数32)(++=x x x f 的值域类型九：函数)0()(22>++=a a x bx x f .此类函数可变形为标准情势：)()()(22222o a b a x a b a x a x ab a x x f >-+-++=+-++=演习 1.求函数45)(22++=x x x f 的最小值;2. 求函数171)(22++=x x x f 的值域。