2019年高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)
2019年高考数学试题分项版——三角函数(解析版)
2019年高考数学试题分项版——三角函数（解析版）1、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a ，2c ，2cos 3A，则b=（A ）2（B ）3（C ）2 （D ）3【答案】D 【解析】试题分析：由由余弦定理得3222452b b，解得3b（31b舍去），选 D.2、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)【答案】D 【解析】试题分析：函数y2sin(2x)6的周期为，将函数y2sin(2x)6的图像向右平移14个周期即4个单位，所得函数为y2sin[2(x))]2sin(2x)463，故选 D.3、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x 在,单调递增，则a 的取值范围是（A ）1,1（B ）11,3（C ）11,33（D ）11,3【答案】C 【解析】试题分析：用特殊值法：取1a ，1sin 2sin 3f x xx x，21cos 2cos 3f x x x，但2201133f ，不具备在,单调递增，排除A ，B ，D ．故选C ．4、（2019年高考新课标Ⅰ卷理）已知函数()sin()(0),24f x x+x，为()f x 的零点，4x为()y f x 图像的对称轴，且()f x 在51836，单调，则的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为4x为()f x 的零点，4x为()f x 图像的对称轴，所以()444T kT ，即41412244k k T，所以41(*)k kN ，又因为()f x 在5,1836单调，所以5236181222T，即12，由此的最大值为9.故选B.5、（2019年高考新课标Ⅱ卷文）函数=sin()y A x 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x（B ）2sin(2)3yx（C ）2sin(2+)6yx （D ）2sin(2+)3yx 【答案】A6、（2019年高考新课标Ⅱ卷理）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）ππ26k x k Z （B ）ππ26k x k Z （C ）ππ212Zk xk（D ）ππ212Zk xk【答案】B考点：三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωｘ加减多少值．7、（2019年高考新课标Ⅱ卷理）若π3cos45，则sin 2= （A ）725（B ）15（C ）15（D ）725【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos12144525，且cos 2cos2sin 242，故选 D.8、（2019年高考新课标Ⅲ卷文）若，则（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．9、（2019年高考新课标Ⅲ卷文理）在中，，BC 边上的高等于,则tan13cos 245151545ABC △π4B =13BC sin A =（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D 【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D ．[来源:学科网ZXXK]10、（2019年高考新课标Ⅲ卷理）若，则(A)(B)(C) 1 (D)【答案】A 【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．11、(2019年高考北京卷理) 将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为B.，的最小值为[来源:Z 。
2019数学(文)通用版二轮精准提分练习第二篇 第18练 概率与统计的综合问题
第18练概率与统计的综合问题［中档大题规范练][明晰考情]1。
命题角度:概率与统计知识的交汇处是高考命题的考点。
2.题目难度：中档难度。
考点一古典概型与几何概型要点重组(1）古典概型的两个特征①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件发生的可能性相等.(2)几何概型将古典概型的有限性推广到无限性，几何概型的测度包括长度、面积、角度、体积等。
1.已知A，B两个盒子中分别装有标记为1,2,3,4的大小相同的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球。
(1）用有序数对（i，j)表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球”，试写出所有可能的事件；(2）甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜。
你认为此游戏是否公平？请说明理由。
解（1）甲、乙两人抽到的小球的所有情况有（1,1)，（1,2）,(1，3)，(1,4)，(2，1)，（2,2），(2，3），(2,4）,（3，1),（3，2),（3，3）,(3，4)，（4,1)，（4，2）,（4，3)，（4,4），共16种不同的情况。
(2)甲抽到的小球的标号比乙大，有（2,1）,(3，1)，（3，2)，(4,1)，(4,2)，(4,3），共6种情况,故甲胜的概率P 1＝错误!＝错误!，乙胜的概率为P 2＝1－错误!＝错误!。
因为错误!≠错误!，所以此游戏不公平。
2.已知集合A ＝［－2,2］,B ＝[－1，1],设M ＝｛(x ，y )｜x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素（x ，y ).（1)求以（x ,y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率;(2）求以(x ,y ）为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于错误!的概率. 解 （1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8。
因为圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝错误!＝错误!。
江西省2019年高考数学试卷(文科)以及答案解析
绝密★启用前江西省2019年高考文科数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2019•新课标Ⅲ）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{0，1，2} 2．（5分）（2019•新课标Ⅲ）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）（2019•新课标Ⅲ）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）（2019•新课标Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.85．（5分）（2019•新课标Ⅲ）函数f（x）＝2sin x﹣sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A．2B．3C．4D．56．（5分）（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16B．8C．4D．27．（5分）（2019•新课标Ⅲ）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣1 8．（5分）（2019•新课标Ⅲ）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）（2019•新课标Ⅲ）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）（2019•新课标Ⅲ）已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）（2019•新课标Ⅲ）记不等式组表示的平面区域为D．命题p：∃（x，y）∈D，2x+y≥9；命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．下面给出了四个命题①p∨q②￢p∨q③p∧￢q④￢p∧￢q这四个命题中，所有真命题的编号是（）A．①③B．①②C．②③D．③④12．（5分）（2019•新课标Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考数学真题分训练 三角函数定义与三角函数恒等变换(含答案含解析)
专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换十年大数据x 全景展示年份题号考点 考查内容理 5 三角函数定义 文 7 三角恒等变换2011课标三角函数定义与二倍角正弦公式同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系式、三角函数在各象限 的符号及两角和的正切公式 卷 2理 15三角恒等变换 2023同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换卷 2文 6理 8二倍角公式及诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 此题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、 三角函数性质等根底知识 卷 12023卷 1文 2 三角函数定义同角三角函数根本关系与诱导公式 三角函数在各象限的符号 2023卷 1理 2 诱导公式及两角和与差的三角公式三角恒等变换 三角恒等变换两角差的正切公式、同角三角函数根本关系、 卷 2 理 9二倍角公式二倍角正弦公式、同角三角函数根本关系、三卷 3理 5 同角三角函数根本关系与诱导公式角函数式求值．2023诱导公式、同角三角函数根本关系、三角函数卷 1文 14 同角三角函数根本关系与诱导公式求值利用二倍角公式及同角三角函数根本关系求卷 3 文 6 同角三角函数根本关系与诱导公式 值三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与 转化思想卷 1文 14同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换2023卷 3文 4二倍角的正弦公式与同角三角函数根本关系． 同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归 与转化思想卷 2 理 15 同角三角函数根本关系与诱导公式 理 4 三角恒等变换2023 卷 3 二倍角余弦公式，运算求解能力文 4卷 三角函数定义三角函数定义、同角三角函数根本关系，转化 与化归思想与运算求解能力文 111同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化 归思想与运算求解能力卷 2文 15二倍角公式及同角三角函数根本关系，运算求解能力卷 2 理 10 三角恒等变换三角恒等变换卷 3卷 1文 5文 7二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．诱导公式，两角和的正切公式函数零点2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 同角三角函数根本关系、二倍角公式、已知函 数值求角，运算求解能力 二倍角公式，平方关系 二倍角公式，三角函数的符号 二倍角公式 卷 2 文 11 卷 1 卷 2理 9 三角恒等变换 理 2三角恒等变换2023文 13 三角恒等变换 理 9 三角恒等变换 文 5三角恒等变换卷 3 卷 3两角和的正切公式 两角和的正弦公式大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数定义4/232023 年高考仍将重点考查同角三角函数根本关系及三 角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍 为选择题或填空题，难度为根底题或中档题．同角三角函数根本关系与诱导公式 16/23 三角恒等变换13/23十年真题分类x 探求规律考点 36 三角函数定义1．(2023•新课标Ⅰ，文 11)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，2B (2,b )，且cos 2 ，则| a b | ()3 1 55 2 5 5A ．B ．C ．D ．15（答案）B2（解析） 角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，B (2,b ) ，且cos 2 ， 3 2 3 5630 630 36 6 cos 2 2 c os 2 1， 解 得 cos 2， | cos | ， | sin | 1，66b a 2 1 | s in | | cos | 56 30 6 | tan | | | | a b | ，应选 B ．52．(2023 新课标 I ，文 2)假设 tan 0，则 A. sin 2 0 B ． cos 0C ． sin 0D ． cos 2 0（答案）A（解析）由tan 0知， 在第—、第三象限，即k k 即2 在第—、第二象限，故只有sin 2 0，应选 A ．(k Z )，∴2k 2 2k，23．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则cos 2 =4 53 53 5 45(A)(B)(C)(D) （答案）By 2 5（解析）在直线 y 2x 取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sin ==， r 53∴cos2=1 2 s in 2 = ，应选 B ． 53 4 4．(2023 浙江)已知角 的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P ( , ) ．5 5(1)求sin( )的值； 5(2)假设角 满足sin( )，求cos 的值． 133 4 （解析）(1)由角 的终边过点P ( , ) 得sin ，5 545 45 所以sin() sin ． 3 4 3 (2)由角 的终边过点P ( , ) 得cos ，5 555 得cos( ) 12 由sin( ) ． 13 13由 ( ) 得cos cos( ) c os sin( ) s in ，56 或cos 16 所以cos．65 65考点 37 同角三角函数根本关系与诱导公式1．(2023•新课标Ⅱ，文 11)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 5 5A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1 ， 可得： 4sin cos 2 c os2， (0, ) ， sin 0 ， cos 0 ，25cos 2sin ， sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， 解得：sin ，应选 B ． 53 4 tan，则cos 2sin 222．(2023 新课标卷 3，理 5)假设 6448 25 16 25(A)(B)(C) 1(D)25（答案）A 3 4 3 4 5 3 45 （解析）由tan，得 sin , c os 或 sin , c os ，所以 5 5 16 2512 64cos22sin 2 4 ，应选 A ．25 25 1 3．(2023 全国课标卷 3，文 6)假设tan ，则cos2 ( )3451 5 15 4 5(A) (B)(C) (D) （答案）D104．(2023 浙江)已知R ,sin 2costan 2 ，则( )2 43 34 3 4 A ． B ．C ．D ．43（答案）C10 2sin 2 4c os 2 4 s in cos 10 （解析）由 (sin 2 c os )( ) 可得 ，进一步整理可得 22 sin cos 4 2 212 t an 33 t an 2 8 t an 3 0，解得 tan 3或tan ，于是 tan 2，应选 C ．31 tan2 4sin cos 1sin cos 25．(2023 江西)假设，则 tan2α=( )3 34 4 3A ．−B ．C ．−D ．4 43（答案）B（解析）分子分母同除cos 得： sin cos tan 1 1,∴ tan 3，sin cos tan 1 22 t an 3∴tan 24 1 tan25 1 5 6．(2023 广东)已知sin( ) ，那么 cos22 5B ． 151 25A ．C ．D ．5（答案）C 5 215 （解析）sin( ) sin(2 + ) sin cos ，选 C ．2 2 37．(2023•新课标Ⅰ，文 14)已知 是第四象限角，且sin( ) ，则 tan( )．4 5 4 43（答案）（解析） 是第四象限角， 2k 2k ，则 2k2k ,k Z ， 2 4 4 43533 45 又 sin( ) ， cos( ) 1 sin2( ) 1 ( ) 2 ， ∴ cos() = sin( ) =， 4 5 44 5 4 44sin( )4 44 5 3 sin( ) cos( ) ，则tan( ) = tan( ) = = = ．4 45 4 43 cos( )4 51 28．(2023 新课标Ⅱ，理 15)假设 为第二象限角，tan( ，则sin cos．) 4 （答案）1 2 tan 1，即cos 3sin ，∵sin （解析）(法 1)由 tan() 得，= 2cos 2 1，为第二4 310 3 10 10105象限角，∴sin =，cos = ，∴sin cos ． 1059．(2023 江苏)已知 ( , ) ，sin． 25(1)求sin( ) 的值；45(2)求cos( 2 ) 的值．65 52 55 （解析）(1)∵， ，sin ，∴cos 1 sin 2 24 4 2 2 10 10sin sin cos cos sin(cos sin ) ； 4 4 5 35(2)∵sin 2 2sin cos ，cos 2 cos sin 2 26 63 3 1 43 34 ∴cos 2 cos cos 2 sin sin 2 ． 6 25 2 5 10 考点 38 三角恒等变换1．(2023 全国Ⅰ理 9)已知 0,π ，且3cos2 8cos 5，则sin ()52 31 35 A ．B ．C ．D ．39（答案）A（思路导引）用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论． （解析）3cos 28cos 5，得6cos 2 8cos 8 0，即3cos 4 c os4 0，解得225cos 或cos 2(舍去)，又 1 cos 20,, sin ，应选 A ． 332．(2023 全国Ⅱ理 2)假设 为第四象限角，则 ()A ．cos 2 0 （答案）DB ．cos 2 0C ．sin 2 0D ．sin 2 0（思路导引）由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．0，选项 B 错误；当2时，cos2 cos 3（解析）当 时，cos2 cos 0，6 3sin 0, c os 3 0 ，则sin2 2sin cos 0 选项 A 错误；由 在第四象限可得： ，选项 C 错误，选项 D 正确，应选 D ．363．(2023 全国Ⅲ文 5)已知sin sin 1，则sin( )1 23 2 3 2 A ．B ．C ．D ．32（答案）B（思路导引）将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值． 1 23 3 3 3 13 （解析）由题意可得：sinsin cos 1，则： sin cos 1， sin cos，2 2 2 2 2 3从而有：sin coscos sin3 ，即6 3 ．应选 B ．sin6 63 34．(2023 全国Ⅲ理 9)已知2 t an tan 7 ，则 tan4()A ． 2B ． 1C ．1D ．2（答案）D（思路导引）利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．4tan 1 1 t 2 t an tan7， 2tan 1 tan 7，令t tan ,t 1，则2t 1 t 7，整（解析） 理得t 24t 4 0 ，解得t 2，即 tan 2．应选 D ．5．(2023•新课标Ⅱ，理 10)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 55A ．B ．C ．D ．53（答 案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1， 4sin cos 2 c os2， (0, ) ，sin 0，cos 0 ， cos 2sin ，25sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， sin ，应选 B ． 56．(2023•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5（答案）B（解析）函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数，即：2sin x sin 2x 0在区间0 ，2 ]的根个数， 即2sin x sin 2x ，即sin x (1 cos x ) 0，即sin x 0或cos x 1，∵ x 0 ，2 ]，∴ x 0, ,2 ，应选B ．7．(2023•新课标Ⅰ，文 7) tan 255 ( )A ． 2 3 （答案）DB ． 2 3C ．2 3D ．2 3（解析）∵tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )31tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 3 3 (3 3) 2 12 6 3 3 2 3 ，应选 D ． 3 3 36 6 1 1318．(2023•新课标Ⅲ，理 4 文 4)假设sin ，则cos 2 ()3 8 97 97 98 A ．B ．C ．D ．9（答案）B11 71 2 ，应选 B ．9 9（解析） sin ， cos 2 1 2sin2349．(2023 新课标卷 3，文 4)已知sin cos ，则sin 2 = 37 92 92 97 9A ．B ．C ．D ．（答案）Acos 21 sin 79（解析）因为sin 2 2sin cos，应选 A ．1 310．(2023•新课标Ⅱ，理 9)假设cos( ) ，则sin 2 ()4 5 715C ． 17 A ．B ．D ．25 525（答案）D3（解析）法1 : cos( ) ，4 59 7sin 2 cos( 2 ) cos 2( ) 2 c os 2 ( ) 1 2 125 25 ， 2 4 4 法2 : cos( ) 2(sin cos ) ， (1 sin 2 ) 3 1 9 ， sin 2 2 1259 7， 4 2 5 2 25 25 应选 D ．11．(2023 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=3 3 1 2 1 2A ．B ．C ．D ．22（答案）D1 （解析）原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，应选 D ． 21 sincos 12．(2023 新课标Ⅰ，理 8)设 (0, )， (0, ) ，且 tan，则2 2 A ．3（答案）BB ．2C ．3D ．22222sin 1 sin（解析）∵tan，∴sin cos cos cos sin cos cos2sin cos ,0 sin ， 2 2 2 2 ∴，即2 ，选 B 2 22 313．(2023 新课标Ⅱ，文 6)已知sin 2 ，则cos 2( ) ()4 161 3 1 22 3(A)(B)(C)(D)（答案）A2 1 1 1 （解析）因为sin 2，所以cos 2( ) 1 cos 2( )]= (1 sin 2 ) = ，应选 A ．， 3 4 2 4 2 63cos()10 14．(2023 重庆)假设tan 2 t an ，则＝( ) 5 sin( ) 5A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C3 3 3 3 3 cos() cos cos sin sin cos tan sin 10 10 10 10 10（解析）sin( ) sin cos cos sin tan cos sin5 5 5 5 53 3 3 3cos 2 t an sin cos cos 2s in sin 10 5 10 5 10 5 102 t an cos sin sin cos5 5 5 5 51 2(cos 5cos 5 cos ) (cos ) 3cos cos 10 10 1 10 10 10 ＝ 3，选 C ． 22sin5 104 23 7 8 15．(2023 山东)假设, ，sin 2 ，则sin ( ) 34 57 43 A ．B ．C ．D ．5 4（答案）D 4 2 2 1， （解析）由2 , cos 2 1 sin ， 2， 可得 2 81 cos2 34sin，应选 D ． 21 316．(2011 浙江)假设0＜ ＜ ，- ＜ ＜0，cos( ) ，cos( )，则cos( ) 22434 2 3 233 5 3 96 A ． B ．C ．D ．339（答案）C) cos(（解析）cos() ( )] ) cos( ) c os( )2 4 4 2 4 4 23sin( ) s in( ) ( , ( , )，，而 ， 4 4 2 4 4 4 4 2 4 2 2 2 3 ，sin( ) 4 26因此sin( )， 4 31 32 26 5 3 则cos( )3 3． 2 3 3 9 217．(2023 全国Ⅱ文 13)设sin x ，则cos 2x．3 1 9（答案）（思路导引）直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可． 2 8 1 1 （解析）cos2x 1 2sin 2x 1 2 ( ) 1 2．故答案为：．3 9 992 18．(2023 江苏 8)已知sin 2 ( ) ，则sin 2 的值是________．4 31（答案）32 1 1 21 3（解析）∵sin2( ) ，由sin 2 ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin 2 ) ，解得sin 2 ． 4 3 4 2 2 2 3π419．(2023 浙江 13)已知tan 2，则cos2 ； tan ．3 1（答案）； 5 3（思路导引）利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2 ，依据两角差正切公式得 tan( )4cos cos 2 2 sin sin 2 2 1 tan 1 tan 2 2 3tan 1 14 1 tan 3 （解析） cos 2 cos 2sin 2， tan ，故 5 3 1答案为： ；．5 320．(2023 北京 14)假设函数 f (x ) sin(x ) cos x 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．（答案）2（解析）∵ f (x ) sin(x ) cos x sin x cos cos x sin cos x sin x cos cos x (sin 1)cos (sin 1) sin(x )，(sin 1) 4，cos sin 2 2则cos 2 2 22 2sin 1 1 2sin 1 4，∴sin 1，∴． 221．(2023•新课标Ⅱ，理 15)已知sin cos 1，cos sin 0 ，则sin( ) ．1 （答案）2（解析）sin cos 1，两边平方可得：sin 22sin cos cos 2 1，①，cos sin 0 ， 两 边 平 方 可 得 ： cos22cos sin sin 2 0 ， ② ， 由 ① ② 得 ：1 2 2(sin cos cos sin ) 1 ，即2 2sin( ) 1， 2sin( ) 1， sin( ) ． 25 122．(2023•新课标Ⅱ，文 15)已知 tan( ) ，则 tan ．4 53 2 （答案） 5 1 515（解析）tan() ，tan( )， 则4 4 15 tan( ) tan1 1 5 6 3 ．4 4 tan tan( ) 15 1 4 2 4 4 1 tan( ) t an 1 14 45 ππcos ( ) 23．(2023 新课标卷，文 14)已知a (0，) ，tan α=2，则=__________．243 10 10（答案）1（解析）由tan 2得sin 2cos ，又sin2cos 2 1，所以cos 2 ，因为 (0, )，所5 2 5 2 55以cos,sin ，因为． cos( ) cos cos sin sin，所以5 4 4 45 2 2 5 2 3 10cos( )4 5 2 5 2 10f (x ) sin2x 的最小正周期是 ________． 2 24．(2023 北京 9)函数（答案）21 cos 4x 1 12π πf x 〕 sin 〔22x 〕cos 4x ，所以 f x 的最小正周期T 2 2 （解析）因为 ． 2 4 2tan 23π4 π 4 sin 2 ，则25．(2023 江苏 13)已知 的值是_________． tan2（答案）10tan 2 tan 2 3 （解析）由，得 ，3 tan( ) tan tan 1 tan tan4 44tan (1 tan ) 2 1所以，解得 tan 2或 tan ．1 tan 3 32tan 4 1 tan 2 3 5当tan 2时，sin2 5 ，cos2 ， 1 tan 2 1 tan 2 4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 101 tan2 4 1时，sin2 2tan，cos2 3 当tan ， 3 1 tan 2 51 tan 5 23 24 22 所以sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 102 综上，sin(2 )的值是． 4 1026．(2023 北京)在平面直角坐标系 中，角与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 轴对称．假设yxOy1 3 sin cos( ) =___________．，则 7 （答案）9y 2k， 所 以（ 解 析 ） ∵ 角与 角 的 终 边 关 于 轴 对 称 ， 所 以 ；1sin sin(2k ) sin ，cos cos31 2 379cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 2sin 2 1 2 ( ) 1 ．127．(2023 江苏)假设tan( ) ，则tan =． 4 67 5（答案）tan( ) tan7 4 4 （解析） tan tan( )． 4451 tan( ) tan4 428．(2023 四川)sin15sin75．6（答案）26（解析）sin15 sin 75 sin15 cos15 2 s in(15 45 )． 2129．(2023 江苏)已知 tan 2， tan（答案）3，则 tan 的值为_______． 71 2tan( ) tan 1 tan( ) t an 7 （解析） tan tan( )3． 21 730．(2023 四川)设sin 2 sin ， ( , )，则 tan 2 的值是_____． 2（答案） 31（解析） sin 2 2sin cos sin ，则cos，又 ( , ) ，2 22 t an 2 31 3 则tan 3，tan 23．1 tan 24 6 531．(2023 江苏)设 为锐角，假设cossin 2 ，则 ．的值为1217 2 50（答案）4 324 7（解析） 因为 为锐角，cos( )= ，∴sin( )= ，∴sin2( ) cos2( )， 6 5 6 5 625,6 25 2 17 17 2 所以 sin(2) sin2( ) ] ．12 6 4 2 25 5045 32．(2023 江苏)已知 , 为锐角， tan，cos( ) ． 3 5(1)求cos 2 的值； (2)求 tan( )的值． 4sin cos 4（解析）(1)因为 tan ，tan，所以 ， sin cos ． 33 9因为sin 2 cos 2 1 ，所以cos 2257因此，cos 2 2c os 1 2． 25(2)因为 , 为锐角，所以 (0, π) ． 5 2 55又因为cos( ) ，所以sin( ) 1 cos 2 ( )， 5 因此 tan( ) 2 ．4 2 t an 247 因为 tan ，所以 tan 2 ，3 1 tan 2 tan 2 tan( ) 1+ t an 2 tan( ) 2因此，tan( ) tan2 ( )．11f x a 2cos 2 x cos 2x 为奇函数 ，且 f 0 33．(2023江西)已知函数 (1)求a ， 的值；，其中a R ， 0， ． 44 2 23(2)假设 f ，， ，求sin 的值． 5 （解析）(1)因为 f x a 2 c os2x cos 2x 是奇函数，而 y a 2c os x 为偶函数，所以 21y 2 cos(2x )为奇函数，又 0， ,得． 2f 0，得 (a 1) 0 ，即a 1. f x = sin 2x a 2 c os x由 2 所以 〔 44 1 25 1 4(2)由(1)得： f x f sinsin , ，得 sin 4x , 因为 2 2 5 235 又 ， ，所以cos ,3 4 3 3 sin sin cos sin cos 因此. 3 3 1012f (x ) 2 cos x,x R 34．(2023 广东)已知函数 ． 3 f (1) 求 的值； 33 2cos , ,2 f ，求 (2) 假设． 65（解析）(1) f () 2 cos 1. 3 12 43 3 94 (2)由于cos ,<θ<2π，所以sin 1 cos 21 ， 5 225 5 66 12因此 f 2 cos43 24 2 21 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 .4 45 2 5 2 5。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》图文解析
数学《三角函数与解三角形》知识点练习一、选择题1．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14CD【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=，sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．3．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.4．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-． 由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23x π-＝2k ππ+， 得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ， 所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．5．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.6．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数32cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】合并3sin2cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用平移、伸缩知识即可判断选项。
2019年高考数学试卷含答案
2019年高考数学试卷含答案一、选择题1．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙4．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）ξ0 1 2P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A ．13B ．12C ．23D ．566．函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,47．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．2 B ．23C ．28D ．248．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．43π B ．83π C ．163πD ．203π10．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤11．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．012．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则UA B =（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.15．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是17．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．18．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____.19．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．20．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题21．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长．23．选修4-5：不等式选讲：设函数()13f x x x a =++-. （1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围.24．如图所示，在四面体PABC 中，PC⊥AB，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点，求证： (1)DE∥平面BCP ； (2)四边形DEFG 为矩形．25．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．2．A解析：A【解析】 【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解. 【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A. 【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．4．D解析：D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑5．C解析：C 【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.6．B解析：B 【解析】 【分析】先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】由题得()21ln 2=ln 2201f =--<， ()22ln3=ln3102f =-->，所以(1)(2)0,f f <所以函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,22a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.8．A解析：A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据三视图知几何体是三棱锥，且一侧面与底面垂直，结合图中数据求出三棱锥外接球的半径，从而求出球的表面积公式． 【详解】由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，且三棱锥的侧面SAC ⊥底面ABC ，高为3SO =；其中1OA OB OC ===，SO ⊥平面ABC ，其外接球的球心在SO 上，设球心为M ，OM x =，根据SM=MB 得到：在三角形MOB 中，21SM 3x x +=，213x x +=， 解得33x =， ∴外接球的半径为3233R ==；∴三棱锥外接球的表面积为2164(33S ππ=⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查了三视图复原几何体形状的判断问题，也考查了三棱锥外接球的表面积计算问题，是中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.10．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1aa a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.11．C解析：C 【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()33BC MN ON OM ==-， 由题意可知：2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12．A解析：A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.二、填空题13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．15．2【解析】【详解】当x≤0时由f（x）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f（x）=2x﹣6+lnx单调递增则f（1）＜0f（3）＞0此时函数f（x）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：解析：2【解析】【详解】当x≤0时，由f（x）=x2﹣2=0，解得x=1个零点；当x＞0，函数f（x）=2x﹣6+lnx，单调递增，则f（1）＜0，f（3）＞0，此时函数f（x）只有一个零点，所以共有2个零点．故答案为：2．【点睛】判断函数零点个数的方法直接法（直接求零点）：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点，定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数，性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数16．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得解析：(5,7)【解析】【分析】【详解】由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b << 17．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的 解析：64【解析】【分析】将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.【详解】过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，1122,23BC C D BD ===，故16cos 22223C BD ∠==⨯⨯.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.18．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使解析：34 【解析】【分析】 根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题含答案
高中数学《三角函数与解三角形》期末考知识点一、选择题1．已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>Q ，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.2．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，其中()01f =，5||2MN =，则点M 的横坐标为（ ）A ．12B ．25-C ．1-D ．23-【答案】C 【解析】 【分析】 由(0)1f =求出56πϕ=，由5||23MN πω=⇒=，再根据()2f x =可得答案.【详解】由函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象，可得(0)2sin 1f ϕ==，56πϕ∴=，5||23MN πω===， ∴函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 得52,0362x k k ππππ+=+=得1x =-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3πω=，属于中档题.3．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．B ．CD 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos 5θ∴=- 【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.4．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.5．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由12f πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．【详解】解：将函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象向右平移6π个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象；∵所得图象关于y 轴对称，∴62k ωππφπ-+=+，k Z ∈．∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63k ωπππ-=+，620k ω=-->,则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．6．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】 【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，∴12MF MF ⊥， ∴222440m n c +==， ∴()2222m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+， 在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++， 解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．7．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9π）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518π个单位长度 B ．向右平移518π个单位长度 C ．向左平移536π个单位长度 D ．向右平移536π个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数cos 29y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭转化为7sin 218y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再结合两函数解析式进行对比，得【详解】 函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移536π个单位长度，故选D ． 【点睛】本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．8．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）. A ．4π B ．3π C ．2π D ．π【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈， 从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.9．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22， ∵a ＞c ， ∴C=π6， 故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.10．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A ．78-B ．78C ．18-D ．18【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()())2cos sin cos sin cos sin αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ，所以cos sin 4αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；11．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 3f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.12．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ； 若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ； 令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ． 【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.13．已知函数()3cos(2)2f x x π=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．4 B ．1C ．12D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出()f x 的一个最大值为()2f x ，一个最小值为()1f x ，于此得出12x x -的最小值为函数()y f x =的半个周期，于此得出答案． 【详解】对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12min22Tx x -==，故选D ． 【点睛】本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．14．已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-【答案】C 【解析】 【分析】由已知根据三角函数的诱导公式，求得sin α，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】 由π1cos α25⎛⎫-=⎪⎝⎭，得1sin α5=，又由2123cos2α12sin α122525=-=-⨯=． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．15．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭求得2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭.再由诱导公式求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.根据角的取值范围,舍去不合要求的解即可. 【详解】因为3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭由余弦二倍角公式可得22237cos 212sin 1233525ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以27sin 2cos 26325ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由同角三角函数关系式可得24cos 2625πα⎛⎫+==± ⎪⎝⎭因为()0,απ∈ 则4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,而3sin 035πα⎛⎫+=> ⎪⎝⎭ 所以,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭则,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以22,233ππαπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32,3262ππππα⎛⎫⎛⎫+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即32,662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又因为7sin 20625πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭,所以32,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故cos 206πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以24cos 2625πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 故选:B 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.16．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12ω=，则()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以12ω=，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数， 由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭， 解得02m π<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题17．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）A ．12B ．47C 255D 76565【答案】B 【解析】 【分析】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.【详解】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3(,1)2A a +，所以32CD=，11,2AD DE==，3tan2CDCADAD∠==，1tan2EDEADAD∠==所以tan tantan tan()1tan tanCAD EADBAC CAD EADCAD EAD∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠31422317122-==+⨯.故选：B【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.18．若函数()sin2f x x=向右平移6π个单位后，得到()y g x=，则关于()y g x=的说法正确的是（）A．图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称B．图象关于6xπ=-轴对称C．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增D．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增【答案】D【解析】【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可.【详解】函数()sin2f x x=向右平移6π个单位，得()sin2()sin(2)63g x x xππ=-=-．由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23x π-＝2k ππ+， 得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ， 所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．19．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23x π=时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 选项正确.所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.20．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）A ．15B ．315C ．1D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论． 【详解】 如图：()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD ABCD AC=， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 14B ⎛⎫=--=⎪⎝⎭ 1sin 152ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.。
2019年北京市高考数学试卷(文科)以及答案解析
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（1，2）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）2．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．53．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y＝4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的离心率是，则a＝（）A．B．4C．2D．6．（5分）设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.18．（5分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考数学试题分项版——三角函数(解析版)
2019年高考数学试题分项版——三角函数（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，7)tan 255°等于()A．－2－B．－2＋C．2－D．2＋答案 D解析tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.2．(2019·全国Ⅰ文，11)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则等于()A．6 B．5 C．4 D．3答案 A解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.3．(2019·全国Ⅱ文，8)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于()A．2 B.C．1 D.答案 A解析由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.4．(2019·全国Ⅱ文，11)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.5．(2019·全国Ⅲ文，5)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]上的零点个数为()A．2 B．3 C．4 D．5答案 B解析令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin x cos x＝0，∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0,2π]，∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．6．(2019·北京文，6)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析∵f(x)＝cos x＋b sin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，∴2b sin x＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，充分性成立．∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．7.(2019·北京文，8)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A．4β＋4cos βB．4β＋4sin βC．2β＋2cos βD．2β＋2sin β答案 B解析方法一如图①，图①设圆心为O，连接OA，OB，OP.∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β，∴S阴影＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形AOB＝×2×2sin∠AOP＋×2×2sin∠BOP＋×2β×22＝2sin∠AOP＋2sin∠BOP＋4β＝2sin∠AOP＋2sin(2π－2β－∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2sin(2β＋∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2(sin 2β·cos∠AOP＋cos 2β·sin∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2sin 2β·cos∠AOP－2cos 2β·sin∠AOP＋4β＝2(1－cos 2β)sin∠AOP－2sin 2β·cos∠AOP＋4β＝2×2sin2β·sin∠AOP－2×2sin β·cos β·cos∠AOP＋4β＝4sin β(sin β·sin∠AOP－cos β·cos∠AOP)＋4β＝4β－4sin β·cos(β＋∠AOP)．∵β为锐角，∴sin β>0.∴当cos(β＋∠AOP)＝－1，即β＋∠AOP＝π时，阴影区域面积最大，为4β＋4sin β. 方法二如图②，图②设圆心为O，连接OA，OB，OP，AB，则阴影区域被分成弓形AmB和△ABP.∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β.∵弓形AmB的面积是定值，∴要使阴影区域面积最大，则只需△ABP面积最大．∵△ABP底边AB长固定，∴只要△ABP的底边AB上的高最大即可．由图可知，当AP＝BP时，满足条件，此时S阴影＝S扇形AOB＋S△AOP＋S△BOP＝×2β·22＋2××22·sin－＝4β＋4sin β.即为阴影区域面积的最大值．8．(2019·天津文，7)已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f 等于()A．－2 B．－ C.D．2答案 C解析∵函数f(x)为奇函数，且|φ|＜π，∴φ＝0.又f(x)的最小正周期为π，∴＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝A sin 2x.由题意可得g(x)＝A sin x，g＝，即A sin ＝，解得A＝2.故f(x)＝2sin 2x.∴f ＝2sin ＝.9．(2019·全国Ⅰ理，11)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③答案 C解析f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.10．(2019·全国Ⅱ理，9)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是() A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|答案 A解析A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.11．(2019·全国Ⅱ理，10)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.12．(2019·全国Ⅲ理，12)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点．下述四个结论：①f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极小值点；③f(x)在上单调递增；④ω的取值范围是.其中所有正确结论的编号是()A．①④B．②③C．①②③D．①③④答案 D解析如图，根据题意知，x A≤2π<x B，根据图象可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A≤2π<x B，有≤2π<，得≤ω<，所以④正确；当x∈时，<ωx＋<＋，因为≤ω<，所以＋<<，所以函数f(x)在上单调递增，所以③正确．13．(2019·天津理，7)已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f 等于()A．－2 B．－ C.D．2答案 C解析由f(x)为奇函数可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|＜π，所以φ＝0，所以g(x)＝A sin .由g(x)的最小正周期为2π，可得＝2π，故ω＝2，g(x)＝A sin x，g＝A sin ＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，故f ＝2sin ＝.二、填空题1．(2019·全国Ⅰ文，15)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．答案－4解析∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.综上，f(x)的最小值为－4.2．(2019·全国Ⅱ文，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B ＝0，则B＝________.答案解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝，由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝.3．(2019·天津文，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E 在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.答案－1解析方法一在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)A＝·＋·－2－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.方法二在△ABD中，由余弦定理可得BD＝＝，所以cos∠ABD＝＝－，则sin ∠ABD＝.设与的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故·＝×2×＝－1.4．(2019·浙江，14)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.答案解析在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD×＝，sin∠DBC＝sin [π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCD·cos∠BDC＋cos∠BCD·sin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC ＝，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝.5．(2019·江苏，13)已知＝－，则sin的值是____________________．答案解析＝＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝.6．(2019·全国Ⅱ理，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B ＝，则△ABC的面积为________．答案6解析 方法一 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos，得c ＝2 ，所以a ＝4 ，所以△ABC 的面积S ＝ac sin B ＝×4 ×2 ×sin＝6 .方法二 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos，得c ＝2 ，所以a ＝4 ，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝，所以△ABC 的面积S ＝×2 ×6＝6 .7．(2019·北京理，9)函数2()sin 2f x x =的最小正周期是 ．【思路分析】用二倍角公式可得11()cos(4)22f x x =-+，然后用周期公式求出周期即可．【解析】：2()sin (2)f x x =，11()cos(4)22f x x ∴=-+，()f x ∴的周期2T π=，故答案为：2π．【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题． 三、解答题1．(2019·全国Ⅲ文，18)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin＝b sinA . (1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解 (1)由题设及正弦定理， 得sin A sin＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos ≠0，故sin ＝，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝a . 由正弦定理，得a ＝＝＝＋. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故<a <2， 从而<S △ABC <.因此，△ABC 面积的取值范围是.2．(2019·北京文，15)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．解(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝5.所以b＝7.(2)由cos B＝－，得sin B＝.由正弦定理，得sin A＝sin B＝.在△ABC中，B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin A＝.3．(2019·天津文，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a,3c sin B＝4a sin C.(1)求cos B的值；(2)求sin的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得b sin C＝c sin B，又由3c sin B＝4a sin C，得3b sin C＝4a sin C，又sin C≠0，所以3b＝4a.又因为b＋c＝2a，所以b＝a，c＝a，由余弦定理可得cos B＝＝＝－.(2)由(1)可得sin B＝＝，从而sin 2B＝2sin B cos B＝－，cos 2B＝cos2B－sin2B＝－，故sin＝sin 2B cos ＋cos 2B sin ＝－×－×＝－.4．(2019·浙江，18)设函数f(x)＝sin x，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝2＋2的值域．解(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝或.(2)y＝2＋2＝sin2＋sin2＝＋＝1－＝1－cos.因此，函数的值域是.5．(2019·江苏，15)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；(2)若＝，求sin的值．解(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，由余弦定理cos B＝，得＝，即c2＝.所以c＝.(2)因为＝，由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B.从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝.因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，从而cos B＝.因此sin＝cos B＝.6．(2019·全国Ⅰ理，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sin C.解(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cos A＝＝，因为0°<A<180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.7．(2019·全国Ⅲ理，18)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin ＝b sinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解(1)由题设及正弦定理，得sin A sin＝sin B sin A.因为sin A≠0，所以sin ＝sin B.由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，故cos ＝2sin cos .因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由正弦定理，得a＝4＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故<a<2，从而<S△ABC<.因此，△ABC面积的取值范围是.8．(2019·北京理，15)（13分）在ABC∆中，3a=，2b c-=，1 cos2B=-．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin()B C-的值．【思路分析】（Ⅰ）利用余弦定理可得2222cosb ac ac B=+-，代入已知条件即可得到关于b 的方程，解方程即可；（Ⅱ）sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-，根据正弦定理可求出sin C ，然后求出cos C ，代入即可得解．【解析】：（Ⅰ）3a =，2b c -=，1cos 2B =-． ∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-， 7b ∴=，25c b ∴=-=；（Ⅱ）在ABC ∆中，1cos 2B =-，sin B ∴=， 由正弦定理有：sin sin c b C B =，∴5sin 2sin 7c B C b === b c >，B C ∴>，C ∴为锐角，11cos 14C ∴=， sin()sin cos cos sin B C B C B C ∴-=-111()142=--=． 【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．9．(2019·天津理，15)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值；(2)求sin的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 ＝ ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，又sin C ≠0，所以3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝ a ，c ＝ a ，由余弦定理可得cos B ＝ ＝＝－ . (2)由(1)可得sin B ＝ ＝， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－ ， 故sin ＝sin 2B cos ＋cos 2B sin＝－ × － × ＝－ .。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国1卷)
绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国各地高考数学试题分类三角函数及答案.doc
2011年全国各地高考数学试题分类——三角函数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（课标5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x=上，则cos2θ=（A ）45-（B ）35- （C ）35 （D ）452．（课标11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 3．福建3．若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值等于A ．2B ．3C ．4D ．64．全国（5）设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B)3 (C)6 (D)9 5．天津6．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且，,2,2,AB AD AB BC BD ===则sin C 的值为A ．3 B ．6C D 6．浙江（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos ()423πβ-=，则c o s ()2βα+= （A ）3 （B ）3-（C ）9 （D ）9- 7.安徽（9）已知函数()sin(2)f x x φ=+，其中φ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）[,]()36k k k Z ππππ-+∈ （B ）[,]()2k k k Z πππ+∈（C ）2[,]()63k k k Z ππππ++∈ （D ）[,]()2k k k Z πππ-∈8．辽宁4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=bA ．B ．C D9．（辽宁7）．设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=A ．79-B ．19-C ．19D ．7910．山东（6）若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则ω=A.3B. 2C. 32D. 2311．湖北3.已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A. |,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. |22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C. 5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 二.填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上12．（课标16）在ABC ∆中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 。
文科高考数学重难点02 三角函数与解三角形(解析版)
重难点02 三角函数与解三角形【高考考试趋势】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出,三角试题每年都考,而且文理有别,或"一大一小",或"三小",或"二小"("小"指选择题或填空题,"大"指解答题),解答题以简单题或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内.备考时要熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化鉴于新课标核心素养的要求，三角函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试试点.考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦余弦定理的应用.本专题在以往高考常见的题型上，根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升.【知识点分析以及满分技巧】三角函数与解三角形：从返几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有，1.三解恒等变换与三角函数的图象、性质相结合；2.三角恒等变换与解三角形相结合；3.平面向量、不等式、数列与三角函数和解三角形相结合，难度一般不大，属中档题型.三角函数图形的性质以及应用：对于选择题类型特别是对称中心，对称轴等问题选项中特殊点的带入简单方便，正确率比较高.总额和性的问题一般采用换元法转化成最基本的函数问题去解答.对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形.解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式的时候应注意不等式等号成立的条件.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2020·贵溪市实验中学高三月考（文））在中，角，，所对的边分别ABC :A B C 为，，，且，则的最大值是（ ）a b c BC c bb c +A ．8B ．6C ．D ．4【答案】D【分析】由已知可得：，11sin 22bc A a =所以，2sin a A =因为，所以222cos 2b c a A bc +-=2222cos sin 2cos b c a bc AA bc A +=+=+所以，222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭所以的最大值是4c bb c +故选：D2．（2020·南昌市新建一中（文））在中，内角，，所对应的边分别为ABC :A B C a ，，，且，若，则边的最小值为（）b c sin 2sin 0a B b A +=2a c +=b AB ．C ．2D【答案】D【分析】根据由正弦定理可得，sin2sin 0a B b A +=sin sin2sin sin 0A B B A +=即，，2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=sin 0,sin 0A B ≠≠ ，，∴1cos 2B =-23B π∴=由余弦定理可得．()2222222cos 4b a c ac B a c ac a c ac ac=+-=++=+-=- ．2a c +=≥ 1ac ∴≤ 即．，243bac ∴=-≥，b ≥故边.b 故选：D ．3．（2020·吉林高三其他模拟（文））在中，内角，，所对的边分别为，ABC :A B C a ，，且，，在边上，且，则b c 3a =b =c =M AB BM CM =AMAB=（ ）A ．B ．C ．D ．14133423【答案】C【分析】因为，BM CM =所以为等腰三角形，MBC △因为，，．3a =b =c =由条件可得，222cos2a c b B ac +-==所以，解得3·cos 22BC BM B ==BM =所以AM AB BM =-=可得．34AM AB =故选：．C 4．（2020·河南郑州市·高三月考（文））已知的三个内角，，对应的边分ABC :A B C 别为，，，且，，成等差数列，则a b c sin 2a C π⎛⎫- ⎪⎝⎭()cos 4b B π-()cos 3c A π-的形状是（ ）ABC :A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形【答案】C【分析】，，sin cos 2a C a Cπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()cos 4cos b B b B π-=，()cos 3cos c A c Aπ-=-依题意得，2cos cos cos b B a C c A =--根据正弦定理可得，()2sin cos sin cos cos sin B B A C A C =-+即，()2sin cos sin sin B B A C B=-+=-又，则，sin 0B ≠1cos 2B =-又，所以，()0,B π∈23B π=故的形状是钝角三角形．ABC :故选：C ．5．（2020·安徽六安市·六安一中高三月考（文））已知的三个内角，，所ABC :A B C 对的边分别为，，，满足，且a b c 222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则的形状为（ ）sin sin 1A C +=ABC :A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为的非等腰三角形D ．顶角为的等腰三角形120120【答案】D【分析】因为，222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+所以，2221sin (1sin )1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+所以，222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-根据正弦定理可得，即，222a cb ac +-=-222122a c b ac +-=-所以，因为，所以，所以，1cos 2B =-0B π<<120B = 60A C += 由得，sin sin 1A C +=sin sin(60)1A A +-=得，sin sin 60cos cos 60sin 1AA A +-=得，1sin sin 12A A A +-=得，1sin 12A A +=得，因为为三角形的内角，所以，，sin(60)1A +=A 30A = 30C =所以为顶角为的等腰三角形.ABC :120故选：D6．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·高三月考（文））将函数的图象向右平2sin 2y x =移个单位得到函数的图象．若，则的值为（02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭()f x 50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕ）A ．B ．C ．D ．12π8π6π3π【答案】A依题意，函数，由得()()2sin 22)i (2s n 2f x x x ϕϕ-=-=50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故5124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52sin 222sin 22124ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯-=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，5sin 262sin 2ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22cos 22ϕϕϕ+=2cos 2ϕϕ=故，又，则，故，即.tan 2ϕ=02πϕ<<02ϕπ<<26πϕ=12πϕ=故选：A.7．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与αβ，轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则x α()21，()4cos 5αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（ ）sin β=ABCD【答案】C【分析】因为角的终边过点，所以是第一象限角，α()21，α所以sin α==cos α==因为，，所以为第一象限角，，0,2πβ⎛⎫∈⎪⎝⎭()4cos 5αβ+=αβ+所以，()sin 35αβ+==所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455==故选：C.8．（2020·罗山县楠杆高级中学高三月考（文））函数的()()cosln 2xx f x x e e π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】因为，()()()πcos ln sin ln 2x x x x f x x e e x e e --⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭所以，()()()()()sin ln sin ln x x x x f x x x e e x e e f x ---=-+=-+=-即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D ，()f x又因为，当且仅当时取等号，2xxy e e-=+≥=0x =所以，()ln ln 2ln10x x e e -+≥>=当时，，当时，，[)0,πx ∈sin 0x ≥[)π,2πx ∈sin 0x ≤所以，当时，，当时，，故排除A 、B ，[)0,πx ∈()0f x >[)π,2πx ∈()0f x ≤故选：C ．二、填空题9．（2020·新疆实验高三月考（文））在中，ABC :BC =，则外接圆的面积为______.222cos cos sin sin C A B B C --=ABC :【答案】π【分析】，222cos cos sin sin C A B B C --=，()()2221sin 1sin sin sin C A B B C∴----=即.222sin sin sin sin A C B B C --=由正弦定理得，222222a cb ac b --=⇒-=+由余弦定理得，所以，2222cos a c b bc A =+-cos A =，则，0A π<< 4A π=设的外接圆半径为，则，则,ABC :R 2sin BCRA =1R =则外接圆的面积为：，ABC :2R ππ=故答案为：.π10．（2020·山西高三期中（文））中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC :函数有极值点，则的取值范围是()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭______.【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】由题意，函数，()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+可得，()2222()f x x bx a c ac '=+++-因为函数有极值点，所以有两个不同的实数根，()f x 2222()0x bx a c ac +++-=可得，整理得，222(2)4()0b a c ac ∆=-+->222ac a c b >+-又由，2221cos 222a c b ac B ac ac +-=<=因为，所以，可得，(0,)B π∈3B ππ<<52333B πππ<-<当时，即时，取得最小值，最小值为；23B ππ-=23B π=cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 1π=-当时，即时，此时，233B ππ-=3B π=1cos 2cos 332B ππ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭所以的取值范围是.cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭三、解答题11．（2020·山东济南市·高三开学考试）在四边形中，，是上的ABCD A C ∠=∠E AD 点且满足与相似，，，.BED ∆ABD ∆34AEB π∠=6DBE π∠=6DE =（1）求的长度；BD （2）求三角形面积的最大值.BCD【答案】（1）2）36+【分析】（1），4BED AEB ππ∠=-∠=在三角形中，，BDE sin sin DE BD DBE BED =∠∠即，6sinsin 64BD ππ=所以612=BD =（2）因为，所以，BED ABD ∆∆:C A ∠=∠=6DBE π∠=在三角形中，，BDC 2222cos 6BD DC BC DC BCπ=+-::所以，2272DCBC BC =+:所以，722DCBC BC ≥::所以，(72DCBC ≤:所以，((11sin 7218264BCD S DC BC π∆=≤⨯=::所以三角形面积的最大值为BCD 36+12．（2020·北京海淀区·人大附中高三月考）已知，(2sin ,sin cos )mx x x =-，记函数．,sin cos )n x x x =+ ()f x m n =⋅ （1）求函数取最大值时的取值集合；()f x x （2）设函数在区间是减函数，求实数的最大值．()f x ,2m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m【答案】（1） ；（2）.,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭56π【分析】（1）由题意，得，()2cos 22sin(26f x m n x x x π=⋅=-=- 当取最大值时，即，此时()f x sin(2)16x π-=22()62x k k Z πππ-=+∈所以的取值集合为．x ,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）由得3222262k x k πππππ+≤-≤+，41022266k x k ππππ+≤≤+536k x k ππππ+≤≤+所以的减区间，()f x 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当，得是一个减区间，且1k =5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦52,36πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，5,,236m πππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以， 5(,]26m ππ∈所以的最大值为.m 56π13．（2020·宁夏固原市·固原一中高三月考（文））已知函数．()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭x ∈R（1）求的最小正周期；()f x （2）求在闭区间上的值域．()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）；（2）.π11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知，有21()cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =⋅-1sin 2cos 2)4x x =-+，11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的最小正周期；∴()f x 22T ππ==（2）∵，，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,366x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦当，即时，取得最大值为，236x ππ-=4x π=()f x 14当，即时，取得最小值为，232x ππ-=-12x π=-()f x 12-的值域为.()f x ∴11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））在的中，角，，的对边分ABC :A B C别为，且a b c ，，sin (sin sin )sin 0a A b A B c C ++-=（1）求角；C （2）若，求的取值范围.2c =+a b 【答案】（1）；（2）.23C π=2⎛ ⎝【分析】：（1）由，及正弦定理得sin (sin sinB)sin 0a A b A c C ++-=，2220a ab b c ++-=由余弦定理得，又，所以；2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-0C π<<23C π=（2）由及，得，即，2220a ab b c ++-=2c =224a ab b ++=2()4a b ab +-=所以，所以，当且仅当221()4()4ab a b a b =+-≤+a b +≤a b ==成立，又，所以，2a b c +>=2a b <+≤所以的取值范围为.+a b 2⎛ ⎝15．（2020·黑龙江高三月考（文））在中，角，，所对的边分别为，ABC :A B C a b，，，．c sin 3sin b A B =222b c a bc +-=（1）求外接圆的面积；ABC :（2）若的周长．BC ABC :【答案】（1）；（2）9.3π【分析】解：（1）因为，又，即，所以，sin 3sin b A B =sin sin a b A B =sin sin b A a B =3a =由，得，设外接圆的半径为2221cos 22b c a A bc --==3A π=ABC :R 则，所以外接圆的面积为．12sin a R A=⋅==ABC :3π（2）设的中点为，则．因为，BC D AD =()12AD AB AC =+ 所以，()()222221127||2444AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++= 即，又，，则 ，2227c b bc ++=222b c a bc +-=3a =22918bc b c =⎧⎨+=⎩整理得，解得或（舍去），则．所以的周长为9．()2290b -=3b =3-3c =ABC :。
2019年高考数学大题——三角函数分类汇编答案
高考数学理科三角函数大题专项训练1．（本小题满分12分）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()(),.f x a b f x =求的最大值答案 解：（I ）由2222)(sin )4sin ax x x =+=，222(cos )(sin )1b x x =+=，及2,4sin 1a b x ==得又1[0,],sin 22x x π∈=从而，所以6x π=.（II ）2()cos sin f x a b x x x =⋅=⋅+1112cos 2sin(2)2262x x x π-+=-+. 当[0.]sin 2- 1.326x x πππ=∈时，（）取最大值所以3().2f x 的最大值为2.（12分）已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cos C sin C -b -c =0. (1)求A ;(2)若a =2,△ABC 求b ,c .答案 解:(1)由a cos C sin C -b -c =0及正弦定理得sin A cos C A sin C -sin B -sin C =0.因为B =π-A -C ,A sin C -cos A sin C -sin C =0.由于sin C ≠0,所以sin π6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭=12. 又0<A <π,故A =π3.(2)△ABC 的面积S =12bc sin A 故bc =4.而a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故b 2+c 2=8.解得b =c =2.3．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，并且2sin 12A BC +=++。
（1）求角C 的大小； （2）若2a c ==，求A 。
答案．解：(1) ∵23sin 2A ＋B2－(sin C ＋3＋1)＝0，∴23cos 2C2－(sin C ＋3＋1)＝0，(2分)即23·1＋cos C2－(sin C ＋3＋1)＝0，(3分)即3cos C －sin C ＝1，亦即cos(C ＋π6)＝12.(5分) ∵C 为△ABC 的内角，∴0＜C ＜π，∴π6＜C ＋π6＜7π6.(7分)从而C ＋π6＝π3，∴C ＝π6.(8分)(2)∵a ＝23，c ＝2，∴由余弦定理得b 2＋(23)2－2×b ×23cos π6＝4.(10分) 即b 2－6b ＋8＝0，解得：b ＝2或b ＝4.(12分) 所以A=60或1204.设函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,A ωπϕπ>>-<< )在6x π=处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π (1)求()f x 的解析式; (2)求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域.【答案】：（Ⅰ）6πϕ=（Ⅱ）775[1,)(,]4422231cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈，且21cos 2x ≠故()g x 的值域为775[1,)(,]4425．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =． （1）若m n ∥，3c a =，求角A ； （2）若3sin m n b B ⋅=，4cos 5A =，求cos C 的值． 答案．解：（1）∵m n ∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin2sin2A C =． ………………………………………………2分 ∵,(0,)A C ∈，∴22A C =或22A C +=， 从而A C =（舍）或2A C +=．∴2B =． ………………………………4分在Rt △ABC 中，3tan a A c ==，6A =． …………………………………6分 （2）∵3cos m n bB ⋅=，∴cos cos 3sin aC c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=．∵A B C ++=，∴sin()sin A C B +=． 从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A ∈，∴(0,)2A ∈，3sin 5A =． ……………………10分 ∵sin sin AB >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，22cos B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=4223138255315--+⨯． …………………………………14分6．（本小题满分10分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值答案．解：（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯= 2.c ∴=ABC ∴∆的周长为122 5.a b c ++=++=（Ⅱ）1cos ,sin 4C C =∴===sin 4sin 28a C A c ∴===,a c A C <∴<，故A 为锐角，7cos .8A ∴===7111cos()cos cos sin sin .8416A C A C A C ∴-=+=⨯+=7．(本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．(1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．答案．（1）由⊥a b 可知，2cos sin 0θθ⋅=-=a b ，所以sin 2cos θθ=，……………………………2分所以sin cos 2cos cos 1sin cos 2cos cos 3θθθθθθθθ--==++． ……………………………………………………6分（2）由(cos 2,sin 1)θθ-=-+a b 可得，-=ab 2=，即12cos sin 0θθ-+=，① ……………………………………………………………10分又22cos sin 1θθ+=，且(0,)2θπ∈ ②，由①②可解得，3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，…………………12分所以34sin()cos )()455θθθπ++=+． ……………………………14分8．（本小题满分12分）已知1cos()cos(),(,),63432ππππααα+⋅-=-∈求： （Ⅰ）α2sin ； （Ⅱ）1tan tan αα-．答案（Ⅰ）cos()cos()63ππαα+⋅-=11cos()sin()sin(2),66234πππααα+⋅+=+=- ……2分即1sin(2)32πα+=-，注意到(,)32ππα∈，故23πα+4(,)3ππ∈，从而23)32cos(-=+πα， ……5分213sin )32cos(3cos )32sin(2sin =+-+=∴ππαππαα ……7分（Ⅱ）221sin cos sin cos 2cos 22tan 21tan cos sin sin cos sin 22αααααααααααα---=-===-⋅=． ……12分（或者6732ππα=+∴ ∴ 125πα= ∴α2sin =2165sin =π,2365cos2cos -==πα∴1tan tan αα-=αααααααααα2sin 212cos cos sin cos sin sin cos cos sin 22-=-=-=32）9．（本题满分13分）已知函数2()cos sin 1f x x x =--+． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）若5()16f α=，求cos 2α的值． 答案．解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =--+ 2sin sin x x =- 211(sin )24x =--， 又[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 2x =时，函数)(x f 的最小值为14-.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2115(sin )2416α--=，所以219(sin )216α-=．于是5sin 4α=（舍）或1sin 4α=-．又2217cos 212sin 12()48αα=-=--=． ……………… 13分10.(8分)．在△ABC 中角，A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，向量m=（cos 2C，1），n=（一l,sin （A+B ）），且m ⊥n ． （ I ）求角C 的大小； （Ⅱ）若CA ·32CB =，且a+b =4，求c ． 答案．（ I ）3C π=（Ⅱ）c ∴=11．（本小题满分12分）设函数2()sin sin(2f x x x =-（I ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）△ABC 的内角A.B 、C 的对边分别为a 、b 、c, c=3，1(),24Cf =-若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a ，b 的值．来源学|科|网12．（本小题满分1 2分）在△ABC 321cos 2.B B =-（I ）求角B 的值；（Ⅱ）若BC=2,A=4π，求△ABC 的面积． 答案 解：（Ⅰ321cos 2B B =-，所以 223cos 2sin B B B =．因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan 3B =，所以π3B =．…………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin AC BCB A =，所以sin 6sin BC BAC A⋅==． 因为512C A B π=π--=，所以 562sin sin sin()1246C πππ+==+=． 所以△ABC 的面积133sin 22S AC BC C +=⋅=．……… ………………（12分）13．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B )＝cos C ．（Ⅰ）若a ＝32，b ＝10，求c ；（Ⅱ）求a cos C －c cos Ab的取值范围． 答案 解：（Ⅰ）由sin(A －B )＝cos C ，得sin(A －B )＝sin(π2－C )．∵△ABC 是锐角三角形，∴A －B ＝π2－C ，即A －B ＋C ＝π2， ① 又A ＋B ＋C ＝π， ② 由②－①，得B ＝π4．由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，得(10)2＝c 2＋(32)2－2c ×32cos π4， 即c 2－6c ＋8＝0，解得c ＝2，或c ＝4．当c ＝2时，b 2＋c 2－a 2＝(10)2＋22－(32)2＝－4＜0， ∴b 2＋c 2＜a 2，此时A 为钝角，与已知矛盾，∴c ≠2．故c ＝4．……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知B ＝π4，∴A ＋C ＝3π4，即C ＝3π4－A ．∴a cos C －c cos Ab ＝sin A cos C －cos A sin C sin B ＝sin(A －C )22＝2sin(2A －3π4)． ∵△ABC 是锐角三角形，∴π4＜A ＜π2，∴－π4＜2A －3π4＜π4，∴－22＜sin(2A －3π4)＜22，∴－1＜a cos C －c cos A b ＜1． 故a cos C －c cos Ab的取值范围为(－1，1)．………………………………………12分14．（本小题共13分）函数cos2()2sin sin cos xf x x x x=++.（Ⅰ）在ABC ∆中，3cos 5A =-，求()f A 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.答案 解：（Ⅰ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k ≠-∈Z . 因为,cos2()2sin sin cos xf x x x x=++22cos sin 2sin sin cos x x x x x-=++-----------------------------------2分 cos sin x x =+π2sin()4x =+， -------------------------------------4分因为在ABC ∆中，3cos 05A =-<，所以ππ2A <<，-------------------------------------5分所以24sin 1cos 5A A =-=,------------------------------------7分所以431()sin cos 555f A A A =+=-=. -----------------------------------8分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π()2sin()4f x x =+,所以()f x 的最小正周期2πT =. -----------------------------------10分因为函数sin y x =的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z , -----------------------------------11分 又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z ,所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .----------------------------------13分15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16．（本题满分14分）（1）设21tan -=α，求αααα22cos 2cos sin sin 1--的值； （2）已知cos(75°+α)=31，且-180°＜α＜-90°，求cos(15°-α)的值．答案．（1）原式αααααα2222cos 2cos sin sin cos sin --+=--------------------------3分 2tan tan 1tan 22--+=ααα122141141-=-++=--------------------------------7分（2）由-180°＜α＜-90°，得-105°＜α+75°＜-15°，故sin(75°+α)=322)75(cos 12-=+--α ，-------------10分 而cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]= sin(75°+α)所以cos(15°-α)=322----------------------------------------------14分17. (本小题满分14分)已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中角ϕ的终边经过点(1,3)P ，且0ϕπ<<. （1）求ϕ的值；（2）求()f x 在[0,]π上的单调减区间．18. (本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(1,1)m =，(cos ,sin )n A A =-， 记()f A m n =⋅.（2）若m 与n 的夹角为3π，3C π=，6c =，求b 的值．19．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =． （1）若m n ∥，3c a =，求角A ； （2）若3sin m n b B ⋅=，4cos 5A =，求cos C 的值． 答案．解：（1）∵m n ∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin2sin2A C =． ………………………………………………2分 ∵,(0,)A C ∈，∴22A C =或22A C +=， 从而A C =（舍）或2A C +=．∴2B =． ………………………………4分在Rt △ABC 中，3tan a A c ==，6A =． …………………………………6分 （2）∵3cos m n bB ⋅=，∴cos cos 3sin aC c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=．∵A B C ++=，∴sin()sin A C B +=． 从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A ∈，∴(0,)2A ∈，3sin 5A =． ……………………10分 ∵sin sin AB >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，22cos B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=4223138255315--+⨯． …………………………………14分 20．设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角。
2019年天津市高考数学试卷(文科)以及答案解析
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
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祝各位考生考试顺利！一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）A．2B．3C．5D．63．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．5B．8C．24D．295．（5分）已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．7．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（）＝，则f（）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．28．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．[，]B．（，]C．（，]∪{1}D．[，]∪{1}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）i是虚数单位，则||的值为．10．（5分）设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为．11．（5分）曲线y＝cos x ﹣在点（0，1）处的切线方程为．12．（5分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．13．（5分）设x＞0，y＞0，x+2y＝4，则的最小值为．14．（5分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE ，则•＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3c sin B ＝4a sin C．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面P AC⊥平面PCD，P A⊥CD，CD＝2，AD＝3．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面P AD；（Ⅱ）求证：P A⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面P AC所成角的正弦值．18．（13分）设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2+3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝求a1c1+a2c2+…+a2n c2n（n∈N*）．19．（14分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．20．（14分）设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）e x，其中a∈R．（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜，（i）证明f（x）恰有两个零点；（i）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2．2019年天津市高考数学（文科）答案解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；【解答】解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3．【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要不充分条件故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：i＝1，s＝0；第一次执行第一个判断语句后，S＝1，i＝2，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，j＝1，S＝5，i＝3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S＝8，i＝4，满足退出循环的条件；故输出S值为8，故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5．【分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．【解答】解：由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．【点评】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题．6．【分析】推导出F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，|AB|＝，|OF|＝1，从而b＝2a，进而c＝＝，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），∴|AB|＝，|OF|＝1，∴，∴b＝2a，∴c＝＝，∴双曲线的离心率为e＝．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．7．【分析】根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，∵f（x）的最小正周期为π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝A sin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．则g（x）＝A sin x，若g（）＝，则g（）＝A sin＝A＝，即A＝2，则f（x）＝A sin2x，则f（）＝2sin（2×＝2sin＝2×＝，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．8．【分析】分别作出y＝f（x）和y＝﹣x的图象，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，直线与y＝在x＞1相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，以及直线y＝﹣x的图象，关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，即为y＝f（x）和y＝﹣x+a的图象有两个交点，平移直线y＝﹣x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a＝或a＝，考虑直线与y＝在x＞1相切，可得ax﹣x2＝1，由△＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），综上可得a的范围是[，]∪{1}．故选：D．【点评】本题考查分段函数的运用，注意运用函数的图象和平移变换，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：＝＝＝2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题．10．【分析】解一元二次不等式即可．【解答】解：3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x﹣）＜0；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x＜；即：{x|﹣1＜x＜}；或（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）；【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．11．【分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将x＝0代入导数方程得出在点（0，1）处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．【解答】解：由题意，可知：y′＝﹣sin x﹣，∵y′|x＝0＝﹣sin0﹣＝﹣．曲线y＝cos x﹣在点（0，1）处的切线方程：y﹣1＝﹣x，整理，得：x+2y﹣2＝0．故答案为：x+2y﹣2＝0．【点评】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．本题属基础题．12．【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，则该圆柱的体积为：v＝sh＝π（）2×1＝；故答案为：【点评】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．13．【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝4，则＝＝＝2+；x＞0，y＞0，x+2y＝4，由基本不等式有：4＝x+2y≥2，∴0＜xy≤2，≥，故：2+≥2+＝；（当且仅当x＝2y＝2时，即：x＝2，y＝1时，等号成立），故的最小值为；故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．14．【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝＝＝＝﹣12+×5×2×﹣＝﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；（Ⅱ）（i）用列举法求出基本事件数；（ii）用列举法求出事件M所含基本事件数以及对应的概率；【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，所以，事件M发生的概率P（M）＝．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题以及根据数据分析统计结论的问题，是基础题目16．【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理＝，得b sin C＝c sin B，又由3c sin B＝4a sin C，得3b sin C＝4a sin C，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b＝，c＝，由余弦定理可得cos B＝＝＝﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B＝＝，从而sin2B＝2sin B cos B＝﹣，cos2B＝cos2B﹣sin2B＝﹣，故sin（2B+）＝sin2B cos+cos2B sin＝﹣×﹣×＝﹣．【点评】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中档题．17．【分析】（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，由BG＝PG，得GH∥PD，由此能证明GH∥平面P AD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面P AC，进而DN⊥P A，再上P A⊥CD，能证明P A⊥平面PCD．（Ⅲ）连结AN，由DN⊥平面P AC，知∠DAN是直线AD与平面P AC所成角，由此能求出直线AD与平面P AC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，又由BG＝PG，得GH∥PD，∵GH⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，∴GH∥平面P AD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，依题意得DN⊥PC，又∵平面P AC⊥平面PCD，平面P AC∩平面PCD＝PC，∴DN⊥平面P AC，又P A⊂平面P AC，∴DN⊥P A，又P A⊥CD，CD∩DN＝D，∴P A⊥平面PCD．解：（Ⅲ）连结AN，由（Ⅱ）中DN⊥平面P AC，知∠DAN是直线AD与平面P AC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点，∴DN＝，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝．∴直线AD与平面P AC所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．18．【分析】（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n项和的求解{a n}和{b n}的通项公式即可．（Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．【解答】解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q＞0．由题意可得：3q＝3+2d①；3q2＝15+4d②解得：d＝3，q＝3，故a n＝3+3（n﹣1）＝3n，b＝3×3n﹣1＝3n（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，a1c1+a2c2+…+a2n c2n（n∈N*）＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2b1+a4b2+a6b3+…+a2n b n）＝[3n+×6]+（6×3+12×32+18×33+…+6n×3n）＝3n2+6（1×3+2×32+…+n×3n）令T n＝（1×3+2×32+…+n×3n）①，则3T n＝1×32+2×33+…+n3n+1②，②﹣①得：2T n＝﹣3﹣32﹣33…﹣3n+n3n+1＝﹣3×+n3n+1＝；故a1c1+a2c2+…+a2n c2n＝3n2+6T n＝（n∈N*）【点评】本题主要考查等差等比数列通项公式和前n项和的求解，考查数列求和的基本方法分组和错位相减法的运算求解能力，属中档题．19．【分析】（Ⅰ）由题意可得a＝2b，再由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）求得a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c＝2，即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）|OA|＝2|OB|，即为a＝2b，可得e＝＝＝＝；（Ⅱ）b＝a，c＝a，即a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），代入椭圆方程可得7x2+6cx﹣13c2＝0，解得x＝c或x＝﹣，代入直线PF方程可得y＝或y＝﹣（舍去），可得P（c，），圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP，可设C（4，t），可得＝，解得t＝2，即有C（4，2），可得圆的半径为2，由直线FP和圆C相切的条件为d＝r，可得＝2，解得c＝2，可得a＝4，b＝2，可得椭圆方程为+＝1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件：d＝r，考查化简运算能力，属于中档题．20．【分析】（I）f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，即可得出函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调性．（II）（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：可得g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．可得x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，可得x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＜0．f（x0）＞f（1）＝0．可得函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．即可证明结论．（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），可得＝，由x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x1＞x0＞1，可得＜＝，取对数即可证明．【解答】（I）解：f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．（II）证明：（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝1﹣ae＞0．且g（ln）＝1﹣a＝1﹣＜0，∴g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．即函数f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）单调递减．∴x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）＝，可得h（x）≤h（1）＝0，∴x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＝ln（ln）﹣a（ln﹣1）＝ln（ln）﹣（ln﹣1）＜0．∵f（x0）＞f（1）＝0．∴函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．因此函数f（x）恰有两个零点；（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），∴lnx1＝，即＝，∵x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x1＞x0＞1，故＜＝，取对数可得：x1﹣x0＜2lnx0＜2（x0﹣1），化为：3x0﹣x1＞2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》(含答案)
2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设函数f(x)=Acos(ωx+φ)（其中A＞0，|ω|<;4,0<;φ<;π)的大致图象如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A. π2B. πC. 2πD. 4π2.（5分）数学必修二介绍了海伦−秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.若把以上这段文字写成公式，即S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2]，其中a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边.若√3cosB√3sinB =1tanC，b=2，则△ABC面积S的最大值为()A. √3B. √5C. 3D. √23.（5分）某干燥塔的底面是半径为1的圆面O，圆面有一个内接正方形ABCD框架，在圆O的劣弧BC上有一点P，现在从点P出发，安装PA，PB，PC三根热管，则三根热管的长度和的最大值为()A、4B、2√3C、3√3D、2√6A. 4B. 2√3C. 3√3D. 2√64.（5分）现只有一把长为2m的尺子，为了求得某小区草坪坛边缘A，B两点的距离AB(AB大于2m)，在草坪坛边缘找到点C与D，已知∠ACD=90∘，且tan∠ADB=−2√2，测得AC=1.2m，CD=0.9m，BD=1m，则AB=()A. √373m B. √5m C. √172m D. 3√22m5.（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>;0,ω>;0,|φ|<;π2)在一个周期内的图象如图所示.若方程f（x）=m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1,x2，则x1+x2的值为（)A. π3B. 23π或43π C. 43π D. π3或43π6.（5分）设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0⩽t⩽24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：经长期观观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A、y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B、y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C、y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D、y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]A. y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B. y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C. y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D. y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]7.（5分）泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔.某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60∘，在塔底C处测得A处的俯角为45∘.已知山岭高CD为256米，则塔高BC为()A. 256(√2−1)米B. 256(√3−1)米C. 256(√6−1)米D. 256(2√3−1)米8.（5分）为迎接校运动会的到来，学校决定在半径为20√2m，圆心角为π的扇形空地4OPQ内部修建一平行四边形观赛场地ABCD，如图所示，则观赛场地面积的最大值为( )A. 200m2B. 400(2−√2)m2C. 400(√3−1)m2D. 400(√2−1)m29.（5分）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（cm）和时)，那么单摆摆动一个周期所需的时间为间t（s）的函数关系式为s=6sin(2πt+π6（）A. 2πsB. πsC. 0.5sD. 1s10.（5分）小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A. 11+sin α米 B. 11−cos α米 C. 11−sin α米D. 11+cos α米11.（5分）瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32，沿山道继续走20m ，抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为π3，则该瀑布的高度约为()A. 60mB. 90mC. 108mD. 120m12.（5分）设y =f(t)是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中0⩽t ⩽24，表格中是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y =f(t)的图象可以近似地看成函数y =k +Asin(ωt +φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A. y =12+3sin π6t,t ∈[0，24] B. y =12+3sin(π6t +π2)，t ∈[0，24] C. y =12+3sin π12t,t ∈[0,24] D. y =12+3sin(π12t +π2)，t ∈[0,24] 二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）振动量函数y =√2sin(ωx +φ)(ω>;0)的初相和频率分别为-π和32，则它的运动周期为_______________，相位是_______________.14.（5分）如图，在平面直角坐标系中，点P 以每秒π2的角速度从点A 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B ，再以每秒π3的角速度从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为__________.15.（5分）函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>;0,|φ|<;π2)的图象如图所示，则函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为_______________；为了得到g(x)=sinωx的图象，只需把y=f(x)的图象上所有的点向右平移_______________个单位长度.16.（5分）已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0⩽t⩽24，单位：小时)的函数，记作y=f(t).某日各时刻记录的浪高数据如下表：经长期观测，y=f(t)可近似地看成是函数y=Acosωt+b.根据以上数据，可得函数y=Acosωt+b的表达式为__________.17.（5分）一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是____．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用y=Asin(ωt+φ)+b近似地拟合出月平均气温y(单位：℃)与时间t(单位：月)的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间.(答案不唯一)19.（12分）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：ℎ)的变化近似满足函数关系：f(t)=12−3sin(π12t+π3)，t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？20.（12分）如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m.(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少?(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远?21.（12分）健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=25sin160πt+115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.22.（12分）如果α为小于360°的正角，且这个角的7倍角的终边与这个角的终边重合，则这样的角α是否存在?23.（12分）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：（A＞0，ω＞0）.（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港？答案和解析1.【答案】C;【解析】略2.【答案】A;【解析】此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差公式，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于较难题．先利用两角和的正弦公式、三角形的内角和、诱导公式化简已知条件可得sinC=√3sinA，由正弦定理可得c=√3a代入面积公式结合二次函数的性质即可求解.解：因为√3cosB√3sinB =1tanC=cosCsinC，所以sinC=√3sinCcosB+√3cosCsinB=√3sin(B+C)=√3sinA，由正弦定理可得：c=√3a，代入面积公式可得：S=√14[a2⋅3a2−(a2+3a2−222)2]=√14[3a4−(2a2−2)2]=√14(−a4+8a2−4)=√14[−(a2−4)2+12]=√−14(a2−4)2+3，所以当a=2时，−14(a2−4)2+3取得最大值3，所以△ABC面积S的最大值为√3，故选：A.3.【答案】null;【解析】此题主要考查三角函数的实际应用，属于基础题.求出|PA|+|PB|+|PC|=2√3sin(θ+φ)，利用三角函数的性质即可求解.解：如图，设∠PAC=θ，θ∈[0,π4]，可得|PA|+|PB|+|PC|=2[cosθ+sin(π4−θ)+sinθ]=(2+√2)cosθ+(2−√2)sinθ=2√3sin(θ+φ)，其中tanφ=3+2√2，φ∈(π4,π2 )，所以(|PA|+|PB|+|PC|)max=2√3，由的范围可以取到最大值.故选B.4.【答案】C;【解析】此题主要考查解三角形的实际应用，考查数学运算的核心素养与应用意识，属于中档题.由题意可得AD=1.5m，利用tan∠ADB，求出cos∠ADB，进一步进行求解即可.解：因为∠ACD=90∘，AC=1.2m，CD=0.9m，所以AD=√AC2+CD2=1.5m.因为tan∠ADB=−2√2，所以cos∠ADB=−13，所以AB=√1.52+12−2×1.5×1×(−13)=√172m.5.【答案】D;【解析】略6.【答案】null;【解析】此题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属基础题.通过排除法进行求解，由y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin(ωx+φ)中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．解：排除法：∵y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，∴由T=12可排除C、D，将(3,15)代入，排除B.故选A.7.【答案】B;此题主要考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合思想和运算求解能力，属于基础题．根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC 的值．解：如图所示，在Rt △ACD 中，∠CAD =45°，CD =256， 所以AD =256，在Rt △ABD 中，∠BAD =60°， 所以BD =ADtan∠BAD =256√3， 所以BC =BD −CD =256√3−256， 即塔高BC 为256(√3−1)米． 故选：B.8.【答案】D;【解析】如图所示，连接OC ，设∠COA =θ，作DF ⊥OP ，CE ⊥OP ，垂足分别为F ，E ．根据平面几何知识可知，AB =CD =EF ，DF =OF =CE ，∴CE =20√2sinθ，EF =OE −OF =20√2cosθ−20√2sinθ．故四边形ABCD 的面积S 等于四边形DFEC 的面积，即有S =20√2sinθ×20√2(cosθ−sinθ)=400(sin2θ+cos2θ−1)=400√2sin(2θ+π4)−400，其中θ∈(0,π4)．所以当sin(2θ+π4)=1，即θ=π8时，S max =400(√2−1)，即观赛场地面积的最大值为400(√2−1)m 2．故选D ．9.【答案】D;10.【答案】C; 【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用. 由题设可得PA −1=PAsinα，即可得结果. 解：由题设，PC =PB′sinα=PAsinα，而PC =PA −1，所以PA −1=PAsinα，可得PA =11−sinα米.故选：C11.【答案】A; 【解析】此题主要考查解三角形的应用，根据题意作出示意图是解答该题的关键，考查空间立体感、学科素养和运算能力，属于中档题．作出示意图，过点B 作BC ⊥OA 于C ，结合三角函数和勾股定理，转化为平面几何中的简单计算，即可得解．解：根据题意作出如下示意图，其中tanα=32，β=θ=π3，AB =20m ，过点B 作BC ⊥OA 于C ， 设OH =3x ，则OA =OH tanα=2x ，OB =OH tanβ=√3x ，在Rt △ABC 中，因为AB =20，θ=π3，所以AC =AB ×cos π3=10，BC =AB ×sin π3=10√3，所以OC =OA −AC =2x −10，在Rt △OBC 中，由勾股定理知，(2x −10)2+(10√3)2=(√3x)2， 化简得x 2−40x +400=0，解得x =20， 所以瀑布的高度OH =3x =60m.故答案选：A.12.【答案】A;【解析】略13.【答案】23;3πx−π; 【解析】略14.【答案】f(t)={2sinπt2,0<t⩽2sin[π3(t−2)+π],2<t⩽5;【解析】此题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间的关系，属于综合题.解：由三角函数的定义可得：当动点P在半径为2的上半圆上运动时，t∈(0,2],终边OP对应的角度为π2t，所以P点坐标为(2cosπ2t,2sinπ2t)，当动点P在半径为1的下半圆上运动时，t∈(2,5],终边OP对应的角度为π3(t−2)+π，所以P点坐标为(cos[π3(t−2)+π],sin[π3(t−2)+π])，综上：动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为y={2sinπ2t,t∈(0,2]sin[π3(t−2)+π],t∈(2,5]15.【答案】π;π6+kπ,k∈Z;【解析】略16.【答案】y=12cosπ6t+1;【解析】此题主要考查了三角函数模型的应用的相关知识，试题难度一般. 解题时先计算出周期和振幅，然后求解解析式即可.解：由表中数据，知周期T=12，∴ω=2πT =2π12=π6，由t=0，y=1.5，得A+b=1.5；由t=3，y=1.0，得b=1.0，∴A=0.5，b=1，∴y=12cosπ6t+1.17.【答案】14;【解析】解：设P 与地面高度与时间t 的关系，f （t ）=Asin （ωt+φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω=，又因为f （0）=2，故ϕ=-πt所以f （16）=8sin(π- ． 故答案为：14．18.【答案】解：根据图象可知，当t =1时，y 有最小值15;当t =8时，y 有最大值27. ∴{−A +b =15ω+φ=−π28ω+φ=π2A +b =27解得{A =6b =21ω=π7φ=−9π14， ∴y =6sin(π7t −9π14)+21，周期T =2πω=2ππ7=14，振幅A =6.气温在1月份时达到最低， 在8月份时达到最高.;【解析】此题主要考查由y =Asin(ωt +φ)的部分图象确定其解析式，属于中档题． 当t =8月份时平均气温达到最大值25℃，当t =1月份时，平均气温达到最小值15℃，列出方程组，结合周期与振幅，从而可得函数解析式．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(t)=12−3sin(π12t +π3)，t ∈[0,24), 根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t +π3)⩽1，所以f(t)max=15,f(t)min=9，可得f(t)max−f(t)min=6，则实验室这一天的最大温差为6℃.(2)由题意，令f(t)>10.5，即12−3sin(π12t+π3)>10.5，即sin(π12t+π3)<12，因为t∈[0,24),可得π12t+π3∈[π3,7π3),所以5π6<π12t+π3<13π6，解得6<t<22，即在6时至22时这段时间内大棚需要降温.;【解析】此题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，三角函数模型的应用，属于中档题.(1)根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t+π3)⩽1，求得f(t)max=15,f(t)min=9，进而求得这一天的最大温差；(2)根据题意，令f(t)>10.5，得到sin(π12t+π3)<12，利用正弦型函数的性质，求得t的范围即可求解.20.【答案】解(1)连接OB，如图所示，设∠AOB=θ，则AB=OBsinθ=20sinθ，OA=OBcosθ=20cosθ，且θ∈(0,π2).因为A，D关于点O对称，所以AD=2OA=40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S=AD·AB=40cosθ·20sinθ=400sin2θ.因为θ∈(0,π2)，所以2θ∈(0,π)，所以当sin2θ=1，即θ=π4时，S max=400(m2).此时AO=DO=10√2(m).故当A，D距离圆心O为10√2m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.(2)由(1)知AB=20sinθ，AD=40cosθ，所以AB+BC+CD=40sinθ+40cosθ=40√2sin(θ+π4)，又θ∈(0,π2)，所以θ+π4∈(π4,3π4)，当θ+π4=π2，即θ=π4时，(AB+BC+CD)max=40√2(m)，此时AO=DO=10√2(m)，即当A，D距离圆心O为10√2m时，步行小路的距离最远.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的最值，是中档题21.【答案】解(1)T =2π|ω|=2π160π =180(min).(2)f =1T=80. 即此人每分钟心跳的次数为80.(3)p(t)max =115+25=140(mmHg)，p(t)min =115−25=90(mmHg)， 即收缩压为140mmHg ，舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg ，在正常值范围内.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的周期与频率之间的关系以及求正弦函数的的值域相关问题，属于一般题.22.【答案】解：由题意，有7α=k·360°＋α(k ∈Z)，即α=k·60°． 又由于0°＜α＜360°，即0°＜k·60°＜360°(k ∈Z)，则k 取1，2，3，4，5，所以α的值可取60°，120°，180°240°，300°．; 【解析】略.23.【答案】【解析】（1）由题表中数据可得：水深的最大值为13，最小值为7，所以{A +B =13,−A +B =7B =13+72=10,A =13−72=3,且相隔12小时达到一次最大值，说明周期为12，因此T=2πω=12,ω=π6,故f(t)=3sin π6t +10(0≤t ≤24)（2）要想船舶安全，必须f （t ）≥11.5，即3sin π6t +10≥11.5， 所以sin π6t ≥12，所以2kπ+π6≤π6t ≤5π6+2kπ,k ∈Z ，解得12k+1≤t≤5+12k ，k ∈Z ，当k=0时，1≤t≤5；当k=1时，13≤t≤17.故船舶能安全进出该港的时间段为1：00至5：00，13：00至17：00，共8个小时.; 【解析】略。
海南省2019年高考数学试卷(文科)以及答案解析
海南省2019年高考数学试卷(文科)以及答案解析海南省2019年高考数学文科试卷本试卷共23题，共150分，共4页。
请注意以下事项：1.在条形码区域内准确粘贴条形码，并填写姓名和准考证号码。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：1.已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A。
（﹣1，+∞）B。
（﹣∞，2）C。
（﹣1，2）D。
∅2.设z＝i（2+i），则＝（）A。
1+2iB。
﹣1+2iC。
1﹣2iD。
﹣1﹣2i3.已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（）A。
B。
2C。
5D。
504.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。
若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A。
B。
C。
D。
5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A。
甲、乙、丙B。
乙、甲、丙C。
丙、乙、甲D。
甲、丙、乙6.设f（x）为奇函数，且当x≥时，f（x）＝ex﹣1，则当x＜时，f（x）＝（）A。
ex﹣1﹣B。
ex+1﹣C。
﹣ex﹣1﹣D。
﹣ex+1﹣7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A。
α内有无数条直线与β平行B。
α内有两条相交直线与β平行C。
α，β平行于同一条直线D。
α，β垂直于同一平面8.若x1＝，则p＝（）A。
2B。
C。
1D。
89.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆，则函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝二、非选择题：10.（10分）已知函数f（x）＝x3－3x2－24x＋70，g（x）＝（x＋1）3－3，则f（x）在（﹣∞，＋∞）上的最小值为______，g（x）的零点个数为______。
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高考数学精品复习资料
2019.5
中档大题规范练
中档大题规范练——三角函数
1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x
. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；
(2)求f (x )的单调递增区间．
解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，
故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．
因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x
＝2cos x (sin x －cos x )
＝sin 2x －2cos 2x
＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为
⎣
⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2
，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8
，x ≠k π(k ∈Z )．
所以f (x )的单调递增区间为
⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝
⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．
(1)求f (x )的值域及周期；
(2)求△ABC 的面积．
解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，
所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，
所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3
. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x
＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2
＝π. 又因为sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]．
(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，
所以sin ⎝
⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3
<π， 故当2A －π3＝π2
时，f (x )取到最大值， 所以A ＝512π，所以C ＝π4
. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4
⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64
， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34
. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .
(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；
(2)当x ∈[0，π4
]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a
＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a
＝2sin(2x ＋π6
)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2
＝π，
由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6
，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6
](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3
]， 从而sin(2x ＋π6)∈[12
，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6
)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.
4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2
]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；
(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．
解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，
|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，
由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.
又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12
， 所以x ＝π6
. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12
＝sin(2x －π6)＋12
. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6
)取最大值1， 所以f (x )的最大值为32
. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6
)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)求f (x )在[π8，3π8
]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6
)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1
＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6
)． 最小正周期是2π2ω
＝π，所以，ω＝1， 从而f (x )＝2sin(2x －π6
)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2
＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3
＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3
＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12
]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22
，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22
. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．
解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°
. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°
，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， 由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)， 解得cos θ＝3
－1.
因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.。