用C语言实现高斯 赛德尔迭代方法
Guass-Seidel迭代法
1、高斯-塞德尔迭代法：实验B 、用Guass-Seidel 迭代法求解12310127.111028.3115 4.2x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭这里要求当()(1)61.010k k x x --∞-<⨯时迭代终止。
高斯-塞德尔迭代法程序代码：GaussSeidel.mfunction [ x ] = GaussSeidel( A, b, x0, epsilon, N ) % GaussSeidel 迭代法求解线性方程组的解 % A 方程组系数矩阵，方阵,% b 方程组右端项,% x0 迭代初始值,列向量% epsilon 精度要求,% N 最大迭代次数% x 迭代结果，方程组的近似解，列向量x=x0; %给x 赋一个值[mA,nA]=size(A);mb=length(b);if mA~=nA || mA~=mbdisp('A ，b 输入不正确！');return;endD=diag(diag(A)); %取出A 的对角矩阵DL=-tril(A,-1); %取出A 的严格下三角矩阵，加负号 U=-triu(A,1); %取出A 的严格上三角矩阵，加负号 B=(D-L)\U; %右除，即inv(D-L)*U;f=(D-L)\b;n=1;while n<=N %迭代x=B*x0+f %将迭代的中间步骤显示在命令窗口 if norm(x-x0,inf)<epsilonn %输出满足精度的迭代次数return;endn=n+1;x0=x;endif n>Ndisp('超出最大迭代次数N ，x 尚未达到精度。
'); endendshi.mA=[10,-1,-2;-1,10,-2;-1,-1,5];b=[7.1;8.3;4.2];x0=[0;0;0];epsilon=10^-6;N=30;[ x ] = GaussSeidel( A, b, x0, epsilon, N );。
Gauss-seidel迭代法的思想及C语言编程
即xi( k +1) = (bi − ∑ aij x (jk +1) −
j =1
i −1
j =i +1
∑a x
ij
( k +1)
n
(k ) j
) / aii
( k +1)
这样，每一个计算出来的分量 xi 法收敛得快。
马上就可以用于计算下一个分量 xi +1 ，这种方法比 Jacobi 迭代
（2）Gauss-seidel 迭代法的矩阵形式的推导
⎞ ⎛ x1(k +1) ⎞ ⎛ 0 −a12 " −a1,n−1 −a1n ⎞ ⎛ x1(k ) ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a11 ⎞ ⎛ x1(k +1) ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ (k +1) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ (k +1) ⎟ ⎜ −a ⎟ ⎜ (k ) ⎟ ⎜ b ⎟ 0 a22 0 " −a2,n−1 −a2n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 21 ⎟⎜ # ⎟ + ⎜ ⎟⎜ # ⎟ = ⎜ # # % % ⇔⎜ % # # ⎟⎜ # ⎟ + ⎜ # ⎟ ⎟ ⎜ (k +1) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ (k +1) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (k ) ⎟ ⎜ ⎟ 0 an−1,n−1 b −an−1,n ⎟ ⎜ xn 0 ⎟ ⎜ xn−1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ n−1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ xn−1 ⎟ ⎜ −an−1,1 −an−1,2 " ( k +1) ⎟ ⎜ ( k +1) ⎟ ⎜ (k ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ann ⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ −an1 −an2 " −an,n−1 0⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ bn ⎟ ⎝ ⎠ ( k +1) ( k +1) (k ) ⇔ Dx = Lx +Ux + b ⇔ (D − L)x(k +1) = Ux(k ) + b ⇔ x(k +1) = (D − L)−1Ux(k ) + (D − L)−1b = BJ x + g 其中BJ =(D − L)−1U, g = (D − L)−1b
Gauss-Seidel迭代法
G a u s s-S e i d e l迭代法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数值分析课程论文姓名:学号:Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组摘要线性方程组的求解在许多的工程技术中是一个极为常见的问题，对于线性方程组的求解无论从理论上还是实践应用上都已经成熟.对于一般线性方程组的求解有Gauss消元法为基础的直接法，也有迭代法.其中Gauss-Seidel是一个重要的组成部分.鉴于此，本论文细致地研究了用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组.论文的第一部分先介绍了迭代法求解线性方程组的一般模式，并给出这种迭代法的收敛性条件，Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的基本原理.这一部分是Gauss-Seidel迭代法的理论基础.论文的第二部分给出了Gauss-Seidel迭代法的具体操作步骤，以伪代码的形式细致的描绘如何使用Gauss-Seidel迭代法的求解方程组.同时，为了验证算法的有效性，在这一部分，还引入一个简单的算例，用于MATLAB编程发现计算结果完全正确.论文的第三部分给出了关于Gauss-Seidel迭代法的MATLAB程序，用于计算线性方程组.关键词：Gauss-Seidel迭代法，基本原理，算例，MATLAB程序目录1 Gauss-Seidel迭代法的基本理论 (1)1.1线性方程组的迭代法求解 (1)1.2Gauss-Seidel迭代法的原理 (2)2.具体的算例和操作步骤 (3)2.1. Gauss-Seidel迭代法的伪代码 (3)2.2.具体的算例验证算法的有效性 (3)3．MATLAB程序 (4)参考文献 (6)Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组一. Gauss-Seidel 迭代法的基本理论1.1线性方程组的迭代法求解在考虑求解线性方程组Ax=b 时，其中A 为非奇异矩阵.尽管Guass 消元法通过有限次运算可以求解此问题，其对应的计算复杂度为3O(n ).但是对于工程技术中和某些偏微分方程过程中出现的大型稀疏型矩阵利用迭代法可以更快的收敛，找到解.另外一方面，由于迭代法占用的计算机内存少，且便于计算.这两方面的优势促成了迭代法求解线性方程组的研究.关于迭代法的收敛的几个判定条件 1（迭代法基本原理）设有方程组f Bx x +=，对于任意初始向量()0x 及任意f ，解此方程组的迭代法（即()()f Bx x k k +=+1）收敛的充要条件是()1<B ρ.2（迭代法收敛的充分条件）如果方程组f Bx x +=的迭代公式为()()f Bx x k k +=+1（()0x 为任意初始向量），且迭代矩阵的某一种范数1<=q B v ，则：︒1迭代法收敛；︒2()()()v k k vk x x q qx x 11-*--≤-；︒3()()()v kvk x x q q xx 011--≤-*.定理3 如果mn RA ⨯∈为严格对角占优阵或为不可约弱对角占优阵，则对于任意的()0x ，解方程组b Ax =的Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法均收敛.定理4如果A 为对称正定矩阵，且20<<ω，则解式b Ax =的SOR 方法收敛.1.2Gauss-Seidel 迭代法的原理由Jacobi方法迭代公式()()()()010k k xx B x f +⎧⎪⎨=+⎪⎩初始向量，可知，迭代的每一步计算过程，都是用()k x 的全部分量来计算()1+k x 的所有分量，显然在计算第i 个分量()1+k ix时，已经计算出的最新分量()11+k x ，()12+k x ，…，()11+-k i x 没有被利用.从直观上看，最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第1+k 次近似()1+k x 的分量()1+k jx 加以利用，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法（简称G-S 方法）：()()()()()T=002010n x x x x ，，， （初始向量），()()()()n i k x a x a b a x i j n i j k j ij k j ij i iik i,,2,1;,2,1,0111111 ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑-=+=++或写为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆==∆+=∑∑-==++.1,,,2,1;,2,1,01111i j ni j k j ij k iij i ii i i k i k i x a x a b a x n i k x x x上面第2个式子利用了最新计算出的分量()11+k x ，第i 个式子利用了计算出的最新分量()()1,,2,11-=+i j x k j .还可写成矩阵形式()()()()()()k k k k k Ux b x L D Ux Lx b Dx+=-++=+++111,，若设()1--L D 存在，则()()()()b L D Ux L D x k k 111--+-+-=， 于是Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为()()f Gx x k k +=+1，()6.2.8 其中 ()U L D G 1--=，()b L D f 1--=.由此可以看出，应用Gauss-Seidel 迭代法解式b Ax =，就是对方程组f Gx x +=应用迭代法.G 称为解式的Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵.Gauss-Seidel 迭代法的一个明显优点是，在用计算机计算时，只需一组工作单元，以便存放近似解.由式可以看出，每迭代一步只需计算一次矩阵与向量的乘法.二．具体的算例和操作步骤2.1. Gauss-Seidel 迭代法的伪代码 1.输入问题的参数A,b 2.分解A 为D,L,U.3.计算迭代方程G ，f.4.开始迭代，随机设定一个初值.5.以迭代方程更新x 的值.6.如果到达迭代次数，则进入步骤7；否则，回到步骤5.7.输出x ，结束.2.2.具体的算例验证算法的有效性 求解如下的线性方程组1231231238-3+2=204+11-=336+3+12=36x x x x x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩ 这个方程的真实解为（3,2,1）. 程序运行结果： 情况1：输入GS （A,b ） GS(A,b)xhis =0 0 0 2.5000 2.0909 1.2273 2.9773 2.0289 1.0041 3.0098 1.9968 0.9959 2.9998 1.9997 1.0002 2.9998 2.0001 1.0001 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 ans = 3.0000 2.00001.00000.51.5解的迭代情况图一。
线性方程组的数值算法C语言实现(附代码)
线性方程组AX=B 的数值计算方法实验一、 实验描述：随着科学技术的发展，线性代数作为高等数学的一个重要组成部分，在科学实践中得到广泛的应用。
本实验的通过C 语言的算法设计以及编程，来实现高斯消元法、三角分解法和解线性方程组的迭代法（雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法），对指定方程组进行求解。
二、 实验原理：1、高斯消去法：运用高斯消去法解方程组，通常会用到初等变换，以此来得到与原系数矩阵等价的系数矩阵，达到消元的目的。
初等变换有三种：(a)、(交换变换)对调方程组两行；(b)、用非零常数乘以方程组的某一行；(c)、将方程组的某一行乘以一个非零常数，再加到另一行。
通常利用(c)，即用一个方程乘以一个常数，再减去另一个方程来置换另一个方程。
在方程组的增广矩阵中用类似的变换，可以化简系数矩阵，求出其中一个解，然后利用回代法，就可以解出所有的解。
2、选主元：若在解方程组过程中，系数矩阵上的对角元素为零的话，会导致解出的结果不正确。
所以在解方程组过程中要避免此种情况的出现，这就需要选择行的判定条件。
经过行变换，使矩阵对角元素均不为零。
这个过程称为选主元。
选主元分平凡选主元和偏序选主元两种。
平凡选主元：如果()0p pp a ≠，不交换行；如果()0p pp a =，寻找第p 行下满足()0p pp a ≠的第一行，设行数为k ，然后交换第k 行和第p 行。
这样新主元就是非零主元。
偏序选主元：为了减小误差的传播，偏序选主元策略首先检查位于主对角线或主对角线下方第p 列的所有元素，确定行k ，它的元素绝对值最大。
然后如果k p >，则交换第k 行和第p 行。
通常用偏序选主元，可以减小计算误差。
3、三角分解法：由于求解上三角或下三角线性方程组很容易所以在解线性方程组时，可将系数矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵。
其中下三角矩阵的主对角线为1，上三角矩阵的对角线元素非零。
有如下定理：如果非奇异矩阵A 可表示为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积： A LU = (1) 则A 存在一个三角分解。
C语言迭代法详细讲解
迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 ＝ 1 ，u 2 ＝u 1 ＋u 1 × 1 ＝ 2 ，u 3 ＝u 2 ＋u 2 × 1 ＝4 ，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n ＝u n － 1 × 2 (n ≥ 2)对应u n 和u n － 1 ，定义两个迭代变量y 和x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行11 次，就可以算出第12 个月时的兔子数。
高斯—塞德尔迭代法
高斯 - 塞德尔迭代法
1.高斯 - 塞德尔迭代法公式的矩阵形式
首先将高斯 - 塞德尔迭代法的公式表示为矩阵形式，为此设
这里是系数矩阵 A 的对角部分，是严格下三角部分，是严格上三角部分，则高斯 - 塞德尔迭代法的公式可表示为
(1)
用矩阵乘等式两边得
再用矩阵乘等式两边得
(2)
其中矩阵称为高斯—塞德尔迭代矩阵。
由此可见，高斯 - 塞德尔迭代法是一般迭代法中迭代矩阵为的
特殊情形。
需要指出的是，由于矩阵难于计算，所以式（2）多用在理论分析中。
2.高斯—塞德尔迭代法计算框图（见图）
高斯—塞德尔迭代法计算框图
3.高斯—塞德尔迭代法计算方法的代码实现（见GaoSiSaiDeEr.c）
4.结果分析：。
Gauss~Seidel迭代法求解线性方程组
else
return1;
}
++k;
}while(IsSatisfyPricision(x,x_former,n) && k<MAX_Number);
if(k>=MAX_Number)
return1;
else
{
printf("\nGauss-Seidel迭代次数为%d 次",k);
3．初始向量
得到：
迭代12次后算出
x[1] = -4.0
x[2] = 3.0
x[3] = 2.0
五．程序
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>
#defineMAX_n100
#definePRECISION0.0000001
{
inti;
for(i=1;i<=n;++i)
printf("\nx[%d]=%f",i,x[i]);
}
intIsSatisfyPricision(floatx1[],floatx2[],intn)//判断是否在规定精度内
{
inti;
for(i=1;i<=n;++i)
if(fabs(x1[i]-x2[i])>PRECISION)return1;
#defineMAX_Number1000
voidVectorInput(floatx[],intn)//输入初始向量
{
inti;
GaussSeidel迭代法
Gauss Seidel 迭代法:Gauss Seidel 迭代法是逐个分量进行计算的一种方法，考虑线性代数方程组Ax=b 的分量法表示i j j ij b x a==∑n 1 , i=1,2,···,n对于给定的初值)0(x ,Ga迭代法如下： Gauss Seidel 迭代算法：· k=0· 11)(11)1(1/)2(x a x a b n j k j j k ∑=-==+ ·22)(2)1(1212)1(2/)3(x a x a x a b n j k j j k k ∑=--==++· …·1,1)(,12)1(,11)1(1-n /)1(x ----+--+-=-=∑=n n k n n n n j k j j n n k a x a x a b ·nn n j k j nj n k a x a b /)(x 11)1()1(n ∑-++-=＝＝ ·2)0()1(2)()1(x x x x k k k -<-++ε停止，否则k=k+1从Gauss Seidel 迭代算法的计算过程可以发现，每计算一个新的分量都需要前面所有新计算出来的分量的结果，这是一个严格的串行过程。
那么，如何设计一个并行计算的方法呢？记)0(1s j n i j ij i x a ∑+=＝ ，i=1,2, …,n-1,s n =0。
并行计算方法如下：并行Gauss Seidel 迭代算法：k=0for i=1,n do0,/)(x )1(=-=+i ii i i k i s a s bfor j=1,n,j ≠i do)1(s ++=k i ji j j x a send{for} end{for}2)0()1(2)()1(x x x x k k k -<-++ε停止，否则k=k+1在并行Gauss Seidel 迭代算法中，每次并行计算j s ,之后可以并行计算截止条件是否满足。
高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计
题目：高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计摘要本文通过理论与实例对线性方程组的解法、收敛性及误差分析进行了探讨.在对线性方程组数值解法的讨论下用到了高斯-赛德尔迭代法，进一步研究和总结了高斯-赛德尔迭代法的理论与应用，使我们在分析问题与编辑程序时能更好的把握对高斯-赛德尔迭代法的应用。
关键词Gauss-Seidel迭代法；收敛性；误差分析；流程图；Mathematica编程目录第一章高斯-赛德尔迭代法 (1)§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出 (1)§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论 (1)§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式 (2)§1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性 (1)§1.3 高斯-赛德尔迭代法的误差分析 (1)第二章高斯-赛德尔迭代法的程序设计 (1)§2.1 高斯-赛德尔迭代法在上机中的应用 (1)§2.1.1 高斯-赛德尔迭代法的流程图 (1)§2.1.2 高斯-赛德尔迭代法的源程序 (1)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。
附录 .................................................. 错误！未定义书签。
第一章 高斯-赛德尔迭代法考虑线性方程组A x b=其中A 为非奇异矩阵，对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A 的阶数n 很大但零元素很多）,利用迭代法求解线性方程组A x b =是合适的.在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用A 中有大量零元素的特点.本章将介绍迭代法中的高斯-赛德尔法的思想理论、收敛性及误差分析.§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论在研究雅可比迭代法时，计算1k i x +时，已得(1)(1)(1)121,,,k k k i x x x +++- （这些分别为121,,,i x x x - 的第k+1次近似），Gauss-Seidel 迭代法认为在计算时启用新值，从而产生1(1)(1)()111()i nk k k ii ij jij j j j i iixb a xa x a -++==+=--∑∑.具体原理如下图所示图1.1 基本迭代原理§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式定义1.1 我们注意到在雅可比迭代法中并没有对新算出的分量11k x+，12k x +， ，11k i x +-进行充分利用．不妨设想，在迭代收敛的条件下，我们把(1)()()()11211331111(1)()()()22112332222(1)()()()1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩式中第一个方程算出的11k x +立即投入到第二个方程中，代替()1k x 进行计算，当12k x +算出后代替()2k x 马上投入到第三个方程中计算，依次进行下去，这样也许会得到更好的收敛效果．根据这种思路建立的一种新的迭代格式，我们称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代公式，高斯=赛德尔迭代法的分量形式：(1)()()()11211331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k nn n n n nnn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++++++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式：(1)(),(0,1,2,)k k xBxf k +=+= 其中1()BD L U -=- ，1()f D L b -=- B称为高斯-赛德尔迭代矩阵，f 称为高斯-赛德尔迭代常量.. §1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性根据上节所述，高斯-赛德尔迭代法的迭代格式为(1)(),(0,1,2,)k k xBxf k +=+= （1-1） 其中1()B D L U-=-，1()f D L b -=- .本节要讨论的问题就是任意选取初始值(0)x ，利用迭代格式(1-1)得到的向量序列{}()k x 是否一定收敛，如果收敛的话需要满足什么条件？下面我们给出一般迭代收敛的条件:定理1.2 简单迭代法(1-1)收敛的充分必要条件是迭代矩阵B 的谱半径()1B ρ<．定理1.3 若迭代矩阵B 的某种范数1<B 则（1-2-1）确定的迭代法对任意初值(0)X均收敛于方程组x Bx f =+的唯一解*x 。
高斯积分 c语言
高斯积分 c语言高斯积分是数学中的一种重要积分方法，起源于德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的研究工作。
它在物理、工程、统计学和计算机科学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍高斯积分的基本概念、计算方法以及应用领域，旨在帮助读者更好地理解和运用高斯积分。
首先，我们需要了解什么是高斯积分。
高斯积分是指形如∫e^(-x^2)dx的积分。
由于这个积分没有一个简单的闭式解，因此高斯提出了一种近似计算的方法，通过积分变换将其转化为易于计算的形式，从而得到近似解。
高斯积分在数学分析中有着深远的影响，也为其他领域的问题提供了一种重要的数值计算工具。
高斯积分的计算方法主要有两种，分别是数值计算和函数逼近。
数值计算是通过将积分区间分成若干小段，在每个小段上近似求解积分，并将这些近似结果相加得到最终结果。
这种方法适合于计算机计算，可以得到较高的精度。
而函数逼近是通过将被积函数近似为一个已知的函数形式，再对该函数进行积分计算。
这种方法常用于解决一些特殊的实际问题，便于分析和推导。
无论采用哪种方法，高斯积分的计算都需要结合数学知识和计算工具进行。
高斯积分在实际应用中有着广泛的应用。
首先，它在物理学中常用于解决波动、热传导、电磁场等问题。
比如对于光的传播，可以通过高斯积分来计算在不同介质中的传播情况和光束的聚焦效应。
其次，高斯积分在信号处理和图像处理中也有着重要的地位。
在信号处理中，高斯积分可以用于滤波、降噪和边缘检测等操作。
在图像处理中，高斯积分可以用于图像模糊、图像增强和模式识别等方面的应用。
此外，高斯积分还在统计学和机器学习中有着广泛的应用，用于参数估计、概率密度函数拟合和数据分析等方面。
总之，高斯积分是数学中的一种重要工具，它能够近似计算复杂的积分问题，具有广泛的应用领域。
通过本文的介绍，我们了解了高斯积分的基本概念、计算方法和应用领域，希望读者能够在实际问题中灵活运用高斯积分，以解决复杂的计算问题和提高工作效率。
C语言迭代法详细讲解讲课讲稿
C语言迭代法详细讲解迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 ＝ 1 ， u 2 ＝ u 1 ＋ u 1 × 1 ＝ 2 ， u 3 ＝ u 2 ＋ u 2 × 1 ＝ 4，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n ＝ u n －1 × 2 (n ≥ 2)对应 u n 和 u n － 1 ，定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。
用C语言实现高斯-赛德尔迭代方法
用C语言实现高斯-赛德尔迭代方法,源程序代码:#include "stdlib.h"#include "stdio.h"#include "conio.h"#include "string.h"#include "math.h"#define N 100float Table(int n,float a[N][N],float b[N]){int i,j;float c[N][N];printf("Please input the matrix A by row!\n");label:for(i=0;i<n;i++){printf("Row %d:",i+1);for(j=0;j<n;j++)scanf("%f",&a[i][j]);}printf("Please input the vector b:");for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",&b[i]);for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){if(i==j){c[i][j]=0;continue;}c[i][j]=-a[i][j]/a[i][i];}printf("\nThe matrix A and vector b:\n"); for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)printf("%10.5f",a[i][j]);printf("%10.5f",b[i]);printf("\n");}printf("\nThe Gauss-Seidel iterative scheme:\n"); for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)printf("%10.5f",c[i][j]);printf("%10.5f",b[i]/a[i][i]);printf("\n");}}float init_vec(int n,float x[N]){int i;printf("Please input the initial iteration vector x:"); for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",&x[i]);printf("\nThe initial iteration vector x:\n");for(i=0;i<n;i++)printf("%10.5f",x[i]);printf("\n");}float gs(int n,float a[N][N],float b[N],float x[N]) {int i,j,k;float tmp1,tmp2,x2[N];for(k=0;k<10001;k++){for(i=0;i<n;i++)x2[i]=x[i];for(i=0;i<n;i++){tmp1=0.0;tmp2=0.0;for(j=0;j<i;j++)tmp1+=a[i][j]*x[j];for(j=i+1;j<n;j++)tmp2+=a[i][j]*x2[j];x[i]=(b[i]-tmp1-tmp2)/a[i][i];}for(i=0,j=0;i<n;i++)if(fabs(x2[i]-x[i])<0.00001) j++;if(j==n){printf("\nThis Gauss-Seidel iterative scheme is convergent!"); printf("\nNumber of iterations: %d",k+1);break;}if(k==499){printf("\nThis Jacobi iterative scheme may be not convergent!"); break;}}printf("\nThe results:\n");for(i=0;i<n;i++)printf("%12.7f",x[i]); }int main(){int n;float x[N],a[N][N],b[N];printf("Input n:");scanf("%d",&n);Table(n,a,b);init_vec(n,x);gs(n,a,b,x);getch();}另一种/*seidel iterative mathod */ #include <stdio.h> #include <math.h>void load();# define m 10 /*定义矩阵*/float a[m][m];float c[m];main(){int i,j;float x[m],x1[m],eps[m];float s=0;float t=0;int p=1;int q=1;int k=0;float epsi;load();for(i=0;i<=m-1;i++){for(j=0;j<=m-1;j++){s=s+fabs(a[i][j]);t=t+fabs(a[j][i]);}q=q&&(s<2*fabs(a[i][i]));p=p&&(t<2*fabs(a[i][i]));s=0;t=0;}if((p+q)==0) /*判断是否收敛*/printf("seidel iterative is not retrain"); else {for(i=0;i<=m-1;i++){x[i]=0;x1[i]=0;}do{epsi=x[0]-x1[0];for(i=0;i<=m-1;i++){for(j=0;j<=m-1;j++) s=s+a[i][j]*x[j];x[i]=(c[i]+a[i][i]*x[i]-s)/a[i][i];s=0;eps[i]=fabs(x[i]-x1[i]);x1[i]=x[i];epsi=(epsi>eps[i])?epsi:eps[i];printf("x%d=%f",i,x[i]);printf("\n");}k=k+1;}while(epsi>=1e-3);printf("iteratived %d times",k);}getch();}void load(){int i,j;float b[m*m];printf("\nplease input matrix a\n"); for(i=0;i<=m-1;i++){for(j=0;j<=m-1;j++){scanf("%f",&b[j+i*m]);a[i][j]=b[j+i*m];}}printf("please input const vector c\n"); for(i=0;i<=m-1;i++) scanf("%f",&c[i]); }。
C语言迭代法详细讲解
迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 ＝ 1 ，u 2 ＝u 1 ＋u 1 × 1 ＝ 2 ，u 3 ＝u 2 ＋u 2 × 1 ＝4 ，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n ＝u n － 1 × 2 (n ≥ 2)对应u n 和u n － 1 ，定义两个迭代变量y 和x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行11 次，就可以算出第12 个月时的兔子数。
研究生数值分析(12)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
按行严格对角占优或按列严格对角占优，即满足条件
n
aii aij
(i 1, 2, , n)
j 1 ji
n
或 a jj aij
( j 1, 2, , n)
i 1 i j
则方程组AX=b有唯一解，且对任意初始向量 X (0)
雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法都收敛。
定理5 若方程组 AX=b 的系数矩阵 A [aij ]nn 为对称正定矩阵。则对任意初始向量 X (0) 高斯 -赛德尔迭代法都收敛。
1 2 2 1
A 1 1
1
,
b
1
2 2 1 1
解：先计算迭代矩阵
0 2 2
BJ
D1(L U )
1
0
1
2 2 0
再计算
0 2 2 BG (D L)1U 0 2 3
0 0 2
其矩阵表示形式为 X (k1) D1(LX (k1) UX (k) b)
现将 X (k1) 显式化，由 (D L) X (k1) UX (k) b
得
X (k1) (D L)1UX (k ) (D L)1b
令
BG (D L)1U
（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵），
一种算子范数 , 即
(A)
A r
证明：设λ为A的任一特征值，X为对应于λ的A
的特征向量，即 AX= λX, (X ≠0)
由范数的性质立即可得
X X AX A X
r
r
r
r
r
因为 X ≠0 ， 所以
A r
数值分析 c语言实现高斯赛德尔解法
数值分析程序设计学院：计算机学院姓名：袁薪洋1．实验目的：1熟练掌握C语言程序设计，编程求解问题。
2.运用高斯-赛德尔迭代公式求解线性方程组。
2．实验内容：用高斯-赛德尔迭代公式求解方程组。
10x1-x2-2x3=7.2-x1+10x2-2x3=8.3-x1-x2+5x3=4.2程序的核心代码：#include"math.h"#include<stdio.h>#define NUMBER 20float A[NUMBER][NUMBER+1] ; float ark;int flag,n;void exchange(int r,int k);float max(int k);void main(){float x[NUMBER]; /*此数组用于存放方程解*/int r,k,i,j;printf("***********************************");printf("\n\n用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组\n\n");printf("***********************************");printf("\n\n 请输入方程组的维数：n=");scanf("%d",&n);printf(" \n\n请输入系数矩阵A和向量b:");for(i=1;i<=n;i++){printf("\n\n请输入a%d1--a%d%d系数和向量b%d(数之间用空格格开):",i,i,n,i);//实现将每一行中的系数和向量一次性输入，数之间用空格格开，输完后回车确定for(j=1;j<=n+1;j++) //将刚才输入的数存入数组scanf("%f",&A[i][j]);}for(k=1;k<=n-1;k++){ark=max(k);if(ark==0) //判断方程是否为线性方程printf("\n\n此方程组不合法!");}else if(flag!=k)exchange(flag,k);for(i=k+1;i<=n;i++)for(j=k+1;j<=n+1;j++)A[i][j]=A[i][j]-A[k][j]*A[i][k]/A[k][k]; }x[n]=A[n][n+1]/A[n][n];for( k=n-1;k>=1;k--){float me=0;for(j=k+1;j<=n;j++){me=me+A[k][j]*x[j];}x[k]=(A[k][n+1]-me)/A[k][k];}for(i=1;i<=n;i++){printf(" \n\nx%d=%f",i,x[i]);}void exchange(int r,int k) //交换行的矩函数{int i;for(i=1;i<=n+1;i++)A[0][i]=A[r][i];for(i=1;i<=n+1;i++)A[r][i]=A[k][i];for(i=1;i<=n+1;i++)A[k][i]=A[0][i];}float max(int k) //比校系数大小的函数{int i;float temp=0;for(i=k;i<=n;i++)if(fabs(A[i][k])>temp){temp=fabs(A[i][k]);flag=i;}return temp; }3.运行结果：截图如下：。
gauss-seidel迭代法
gauss-seidel迭代法
高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration Method）是一种迭代法，用于解决线性方程组的数值解。
它是一种基于拉格朗日乘子法的迭代法，可以求解线性方程组的近似解。
算法的基本思想是：每次迭代时，将一个未知变量的值替换为它的最新估计值，即用当前的迭代步骤中的其他变量的最新估计值更新每个未知变量的值。
这样，每次迭代后，所有未知变量的值都会有所改变，直到所有变量的值收敛到一个满足方程组的解。
算法的具体步骤如下：
(1) 选取初始猜测值，即给定一组初始的估计值，用于替换每个未知变量的值。
(2) 对于每个未知变量，使用它的当前估计值和其他变量的最新估计值，求出它的新估计值。
(3) 将新估计值代替旧估计值，重复步骤2，直到所有未知变量的估计值收敛到一个满足方程组的解。
高斯赛德尔与超松弛迭代法
分别运用高斯赛德尔迭代法和超松弛迭代法解线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--243024410143034321x x x 。
1． 高斯赛德尔迭代法编程思路：高斯赛德尔迭代法实在雅克比迭代法的基础上进行优化得到的，即在进行迭代时，将已经算得的第k+1步的迭代值代入第k+1步后边的变量的计算当中去，从而加快了迭代速度。
程序代码：function varargout=Gauss_Seidelli(varargin)A=[4 3 0;3 4 -1;0 -1 4];b=[24 30 -24]';x0=[0;0;0];x=Gauss_Seidel(A,b,x0)function x=Gauss_Seidel(A,b,x0)n=100;%最大迭代次数ee=0.0001;%精度n1=length(b);for i=1:nx1=x0;for j=1:n1s=0;for k=1:n1if k~=js=s+A(j,k)*x0(k);endendx0(j)=(b(j)-s)/A(j,j);endif norm(x1-x0)<eebreakendendx=x0;2． 超松弛迭代法该方法是在高斯赛德尔迭代法的基础上将前一步的结果)(k i x 和)1( k i x 进行适当的线性组合以加速收敛，松弛因子ω的选择是关键，当1<ω<2时，即为超松弛迭代法。
程序代码：function varargout=SORli(varargin)clcA=[4 3 0;3 4 -1;0 -1 4];b=[24;30;-24];x0=[0;0;0];w=1.3;x=SOR(A,b,x0,w);for i=1:3fprintf('%4.2f ',x(i));endfprintf('\n');function x=SOR(A,b,x0,w)%AX=b%x0初始点%w 为 松弛因子n=100;%最大迭代次数ee=0.0001;%精度n1=length(b);for i=1:nx1=x0;for j=1:n1s=0;for k=1:n1if k~=js=s+A(j,k)*x0(k);endendx0(j)=(1-w)*x0(j)+w*(b(j)-s)/A(j,j);endif norm(x1-x0)<eebreakendendx=x0;。
研究生数值分析(12)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
即
( A)
max
1in
i
前面,我们在应用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭 代法解一阶线性方程组时，判断各迭代公式是收敛还
是发散，都要计算雅可比迭代矩阵 BJ 与高斯-赛德尔
迭代矩阵 BG 的特征值.由于矩阵 A 有些算子范数(比
如
A与
A 1 )远比矩阵 A 的特征值容易计算,为此给
雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法都收敛。
定理5 若方程组 AX=b 的系数矩阵 A [aij ]nn 为对称正定矩阵。则对任意初始向量 X (0) 高斯 -赛德尔迭代法都收敛。
只要方程组 AX=b 的系数矩阵 A [aij ]nn 满足 定理4或定理5的条件，就可以十分方便地判断相 应迭代过程的收敛性。
得
X (k1) (D L)1UX (k ) (D L)1b
令
BG (D L)1U
（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵），
fG (D L)1b
则得 X (k 1) BG X (k ) fG 为高斯-赛德尔迭代法的矩阵表示形式。
我们用定理2来判断高斯-赛德尔迭代公式是否
代入得 k 21.18 ，故Jacobi迭代22次即可；
将 BG 0.3, X (0) (0,0,0)T , X (1) (0.3000,1.5600, 2.68400)T 代入得 k 8.76 ，故Gauss-Seidel迭代9次就可以。
对于雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法，还 有一些使用方便的充分条件，其中主要有：
A r
于是 (A) A r
定理给出了一阶线性定常迭代法 X (k1) BX (k) f
高斯赛德尔迭代计算方法
高斯-赛德尔迭代（Gauss-Seidel iteration）是一种用于解线性方程组的迭代计算方法。
它是雅可比迭代（Jacobi iteration）的一种改进，以求解形如 Ax = b 的线性方程组。
迭代过程中，高斯-赛德尔方法按顺序更新解向量的每个分量，所得新值将直接用于后续计算。
这种按顺序更新的方法使收敛速度通常比雅可比迭代法更快。
给定一个 n×n 的系数矩阵 A 和一个 n 维列向量 b ，线性方程组表示为 Ax = b。
高斯-赛德尔迭代的步骤如下：将系数矩阵 A 分解为两部分：一个下三角矩阵 L（包括对角线）和一个上三角矩阵 U（不包括对角线）。
因此，A = L + U。
选取一个初始解向量 x^(0)。
对于每次迭代，按以下顺序更新 x 中的每个分量：x^(k+1)_i = (b_i - sum(A_ij * x^(k+1)_j, j=1 to i-1) - sum(A_ij * x^(k)_j, j=i+1 to n)) / A_ii, for i=1 to n其中，k 是迭代次数，x^(k)_i 是第 k 次迭代得到的解向量中的第 i 个分量。
判断收敛性：计算解向量相邻两次迭代之间的误差，通常采用范数（如无穷范数）表示。
如果误差满足设定的收敛准则（如小于某个阈值），则停止迭代。
如果未达到收敛准则，返回步骤 3，再次迭代。
需要注意的是，高斯-赛德尔迭代的收敛性并非总是得到保证。
通常，当系数矩阵 A 为严格对角占优矩阵（或正定矩阵）时，迭代方法才具有收敛性。
在实际应用中，常尝试使用一系列预处理技术（如 ILU 分解）通过改变原始线性方程组的形式来提高迭代收敛性。
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break; } } printf("\nThe results:\n"); for(i=0;i<n;i++) printf("%12.7f",x[i]); } int main() { int n; float x[N],a[N][N],b[N]; printf("Input n:"); scanf("%d",&n); Table(n,a,b); init_vec(n,x); gs(n,a,b,x); getch(); }
用 C 语言实现高斯-赛德尔迭代方法， 源程序代码： #include "stdlib.h" #include "stdio.h" #include "conio.h" #include "string.h" #include "math.h" #define N 100 float Table(int n,float a[N][N],float b[N]) { int i,j; float c[N][N]; printf("Please input the matrix A by row!\n"); label:for(i=0;i<n;i++) { printf("Row %d:",i+1); for(j=0;j<n;j++) scanf("%f",&a[i][j]); } printf("Please input the vector b:"); for(i=0;i<n;i++) scanf("%f",&b[i]); for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) { if(i==j) { c[i][j]=0; continue; } c[i][j]=-a[i][j]/a[i][i]; } printf("\nThe matrix A and vector b:\n"); for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<n;j++) printf("%10.5f",a[i][j]); printf("%10.5f",b[i]); printf("\n"); } printf("\nThe Gauss-Seidel iterative scheme:\n"); for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<n;j++) printf("%10.5f",c[i][j]);
printf("%10.5f",b[i]/a[i][i]); printf("\n"); } } float init_vec(int n,float x[N]) { int i; printf("Please input the initial iteration vector x:"); for(i=0;i<n;i++) scanf("%f",&x[i]); printf("\nThe initial iteration vector x:\n"); for(i=0;i<n;i++) printf("%10.5f",x[i]); printf("\n"); } float gs(int n,float a[N][N],float b[N],float x[N]) { int i,j,k; float tmp1,tmp2,x2[N]; for(k=0;k<10001;k++) { for(i=i<n;i++) x2[i]=x[i]; for(i=0;i<n;i++) { tmp1=0.0; tmp2=0.0; for(j=0;j<i;j++) tmp1+=a[i][j]*x[j]; for(j=i+1;j<n;j++) tmp2+=a[i][j]*x2[j]; x[i]=(b[i]-tmp1-tmp2)/a[i][i]; } for(i=0,j=0;i<n;i++) if(fabs(x2[i]-x[i])<0.00001) j++; if(j==n) { printf("\nThis Gauss-Seidel iterative scheme is convergent!"); printf("\nNumber of iterations: %d",k+1); break; } if(k==499) { printf("\nThis Jacobi iterative scheme may be not convergent!");