人教版九年级上册·第二十五章：概率初步复习讲义-仅供参考

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甲同学的方案：将红桃 2、3、4、5 四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张 牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明； （2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃 2、3、4 三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方 案公平吗？（只回答，不说明理由）
①若 a、b、c 都是实数，则 a(bc)=(ab)c； ②没有空气，动物也能生存下去；
③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾； ④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；
⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；
⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球从中任意摸 1 个球则为白球.
Eg1.2 下列事件是必然事件的是( )．
要点二、概率的意义 概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验
中，如果事件 A 发生的频率 m 会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 P 就叫做事件 A n
的概率(probability)，记为 P(A)=p. 注： (1) 概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； (2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
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(3) 事件 A 的概率是一个大于等于 0，且小于等于 1 的数，，即 0≤P(A)≤1，其中 P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1. 要点三、古典概型
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型. （1） 一次试验中，可能出现的结果是有限的； （2） 一次试验中，各种结果发生的可能性相等的. 古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例 分析事件的概率. 注：如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件 A 包 含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A）= m .
A．明天要下雨
B.抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于 1
C.打开电视机，正在直播足球比赛;
D．买一张彩票，一定会中一等奖.
类型二、概率
Eg2.1 一只口袋里放着 4 个红球、8 个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区
别，并搅匀．
（1）取出红球的概率为 0.2，白球有多少个？
（2）取出黑球的概率是多少？
人教版九年级上册·第二十五章：概率初步
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①随机事件与概率 ②用列举法求概率 ③用频率估计概率
【考点分析】 1. 随机事件的特点并能对生活中的随机事件作出准确判断。 2. 对随机事件发生的可能性大小的定性分析 3. 用列举法求事件的概率 4. 选择恰当的方法分析事件的概率 5. 会运用树形图法计算事件的概率。 6. 能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。 7. 通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统 计频率的方法来估计概率. 注：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大
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时，结果将较为精确.
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【重点难点】
类型一、随机事件
Eg1.1 指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2. 树形图：当一次试验要涉及 3 个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能
的结果，通常采用树形图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某 一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 注：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必 相同. 要点五、利用频率估计概率
类型三、用列举法求概率
Eg3.1 一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的 5 个红球和 3 个黄球，从中随机摸
出一个，则摸到黄球的概率是( )
A. 1
B. 1
C. 3
D. 3
8
3
8
5
Eg3.2 在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑
克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．
【基础知识】 要点一、必然事件、不可能事件和随机事件 1.定义：
（1）必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做 必然事件． （2）不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． （3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
注： 1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称“不确定事件 2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件 发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大 有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
n 要点四、用列举法求概率 常用的列举法有两种：列表法和树形图法. 1. 列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列 出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事 件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 注：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到 0.333？
Eg2.2 某篮球运动员在近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数 n 8 10 12 9 16 10
进球次数 m 6 8 9 7 12 7
进球频率 m n
(1)计算表中各场次比赛进球的频率；
பைடு நூலகம்
(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?
Eg3.3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中 白球有 2 个，黄球有 1 个，现从中任意摸出一个是白球的概率为 1 .
2 （1）试求袋中蓝球的个数. （2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸 到的都是白球的概率.