离散数学代数结构作业部分答案

第四章代数结构（作业）作业：P86：4、7、94、（1）若a和b是整数，则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数，所以运算*是封闭的。

（2）任选整数集合中的三个元素x,y和z。

则有：(x*y)*z = (x+y+xy)*z= (x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z= x+y+z+xy+xz+yz+xyzx*(y*z) = x*(y+z+yz)= x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz)= x+y+z+yz+xy+xz+xyz= (x*y)*z因此，*运算满足结合律。

（3）假设e为（Z,*）的幺元，则有：任选整数集中的一个元素x，都有0*x = 0+x+0×x=x且x*0 = x+0+x×0=x故0是(Z,*)的幺元。

7、N+上的所有元素都是（N+ ,*）等幂元；（N+ ,*）无幺元；（N+ ,*）的零元为1。

9、（A,*）中的等幂元：a、b、c、d；（A,*）中的幺元：b；（A,*）中的零元：c；a-1 = d，b-1 = b，c-1 不存在，d-1 = a，作业：P87：12、13、1812、（A，*）到（N4,⊕4）的同构映射f为：f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3;或者：f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1;13、同构映射f为：f(0)=∅, f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={a,b};或者：f(0)=∅, f(1)={b}, f(2)={a}, f(3)={a,b};18、任选a ∈N +,b ∈N +, 只需证明f(a+b)=f(a)+f(b)由f 的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，故f 是（N +,+）到(E +,+)的同态映射。

作业：P96：3，P97：73、(1)显然，*运算对Z 是封闭的。

(2) (a*b)*c = (3(a+b+2)+ab)*c= 3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c = 3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abca*(b*c) = a*(3(b+c+2)+bc)= 3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc) = 3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc= (a*b)*c故*运算满足结合律。

（3）任选a ∈Z ，(-2)*a=a 且a*(-2)=a ，所以-2是(Z,*)的幺元。

所以（Z,*）是独异点。

7、因为1为(A,*)运算的幺元，而且对任意A 的子集A ’,*在A ’上都是封闭和可结合的运算，因此，（A,*）的所有子独异点为(A ’,*)，其中A ’必须包含1。

即：(A,*)的所有子独异点为：({1},*),({1,2},*),({1,3},*),({1,4},*),({1,2,3},*),({1,2,4},*),({1,3,4},*),({1,2,3,4},*)P105：3、4、133、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100b a ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡2200b a ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡212100b b a a ,a 1,a 2∈{1,-1}, 所以a 1×a 2∈{1,-1}，b 1×b 2∈{1,-1}。

故（G,×）是封闭的。

而(⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100b a ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡2200b a )×⎥⎦⎤⎢⎣⎡3300b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡212100b b a a ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡3300b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡32132100b b b a a a⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100b a ×(⎥⎦⎤⎢⎣⎡2200b a ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡3300b a )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100b a ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡323200b b a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡32132100b b b a a a 故（G,×）是可结合的。

（也可以说因为矩阵乘法是可结合的。

）令e =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，c =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001e =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001是幺元。

任选x ∈G ，x ×x =e ，故 x -1=x 。

(G,×)与群(N 4,⊕4)不同构，因为(G,×)中每个元素以自身为逆元，而(N 4,⊕4)并非如此。

4、（1）封闭性任选a,b ∈Z,，显然，a+b-2∈Z, 故运算*满足封闭性。

（2）结合律 任选a,b,c ∈Z（a*b ）*c=a+b+c-2-2=a+b+c-4 a*(b*c)=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4，故（a*b ）*c= a*(b*c),即*运算满足结合律。

（3）证明存在幺元任选a ∈Z, 2*a=2+a-2=a 且a*2=a+2-2=a ，故2幺元。

（4）证明每个元素可逆 任选a ∈Z ，则4-a ∈a ；而且a*(4-a)=2,（4－a ）*a=2，故(4-a)是a 的逆元。

13、任选a,b ∈G,(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*e*a=a*a=e=(a*b)*(a*b)。

故上等式两边同时左乘a -1*b -1,故a*b=b*a 。

所以(G,*)是可交换群。

P112：3、12、143、N 12＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}1的阶数为12；2的阶数为6；3的阶数为4；4的阶数为3；5的阶数为12；6的阶数为2；显然(N 12,⊕12)是循环群，由循环群性质：一个n 阶循环群若存在k 阶子群，则仅有一个k 阶子群，因此(N12,⊕12)的所有2阶子群：({6,62},⊕12)=({0,6},⊕12);(N12,⊕12)的所有3阶子群：({4,42,43},⊕12)=({0,4,8},⊕12);(N12,⊕12)的所有4阶子群：({3,32,33,34},⊕12)=({0,3,6,9},⊕12);(N12,⊕12)的所有6阶子群：({2,22,23,24,25,26},⊕12)=({0,2,4,6,8,10},⊕12)12、证明；若b,c∈S，则对G中任意元素x，由于(G,*)是群，因此*运算满足结合律,即(b*c)*a=b*(c*a)又由条件b*a=a*b，可知：b*(c*a)=b*(a*c)=(b*a)*c=(a*b)*c=a*(b*c)进而，(b*c)*a=a*(b*c)；故b*c∈S，故运算*对S封闭，由于c*a=a*c, 且*运算在<G,*>中满足消去律，故：c-1*(c*a)*c-1=c-1*(a*c)*c-1;根据结合律，可知： (c-1*c)*(a*c-1)=(c-1*a)*(c*c-1);即a*c-1=c-1*a。

故c-1∈S。

即S中每个元素都有逆元。

故(S,*)是(G,*)的子群。

14、证明：设e为(G,*)的幺元。

任选a,b∈A，则e=a*a-1故e∈A，即(A,*)中有幺元e。

而e*b-1=b-1∈A,故A中每个元素都有逆元。

进而，a*(b-1)-1=a*b∈A，故运算*对A封闭。

故(A,*)是(G,*)的子群。

P118：作业：6、76、(N7－{0},⊗7)同构于(N6, ⊕6)。

3为(N7－{0},⊗7)的生成元。

小于6的自然数中，只有5与6互质，故35=5也是(N7－{0},⊗7)的生成元。

即(N7－{0},⊗7)的所有生成元为：3和5。

7、显然，1的阶数为7，故1为（N7, ⊕7）的生成元。

小于7的自然数中，共有1，2，3，4，5，6这七个数与7互质，因此11=1，12=2，13=3，14=4，15＝5，16＝6是（N7, ⊕7）的所有生成元。

P125：作业：4、64、本题等价于求4次对称群中所有阶数为2的元素。

11234 2134f⎛⎫= ⎪⎝⎭212342143f⎛⎫= ⎪⎝⎭312343214f⎛⎫= ⎪⎝⎭412343412f⎛⎫= ⎪⎝⎭512344231f⎛⎫= ⎪⎝⎭612344321f⎛⎫= ⎪⎝⎭712341324f⎛⎫= ⎪⎝⎭812341432f⎛⎫= ⎪⎝⎭912341243f⎛⎫= ⎪⎝⎭，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321432110f6、设S3＝{f1,f2,f3,f4,f5,f6}1123 123f⎛⎫= ⎪⎝⎭2123132f⎛⎫= ⎪⎝⎭3123213f⎛⎫= ⎪⎝⎭4123231f⎛⎫= ⎪⎝⎭5123312f⎛⎫= ⎪⎝⎭6123321f⎛⎫= ⎪⎝⎭令（注意：定义a i的时，a i的前三列与f i的三列完全相同）1123 12443a⎛⎫= ⎪⎝⎭212313442a⎛⎫= ⎪⎝⎭312321443a⎛⎫= ⎪⎝⎭412323441a⎛⎫= ⎪⎝⎭5123 31442a⎛⎫= ⎪⎝⎭612332441a⎛⎫= ⎪⎝⎭令A={a1,a2,a3,a4,a5,a6}如下定义双射函数g：A－>S3；g(f i)=a i；i=1,2,3,4,5,6可以验证∀ f i*f j∈S3，都有：g(f i*f j)=g(f i)*g(f j)，其中*为置换的复合运算。

（注意：因为a i的前三列与f i的三列完全相同，这样定义就可以保证g(f i*f j)=g(f i)*g(f j)一定成立）故(A,*)为与(S3,*) 同构的4次置换群。