离散数学代数结构作业部分答案

第四章代数结构（作业）

作业：P86：4、7、9

4、

（1）若a和b是整数，则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数，所以运算*是封闭的。（2）任选整数集合中的三个元素x,y和z。则有：

(x*y)*z = (x+y+xy)*z

= (x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z

= x+y+z+xy+xz+yz+xyz

x*(y*z) = x*(y+z+yz)

= x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz)

= x+y+z+yz+xy+xz+xyz

= (x*y)*z

因此，*运算满足结合律。

（3）假设e为（Z,*）的幺元，则有：

任选整数集中的一个元素x，都有

0*x = 0+x+0×x=x且

x*0 = x+0+x×0=x

故0是(Z,*)的幺元。

7、N+上的所有元素都是（N+ ,*）等幂元；

（N+ ,*）无幺元；

（N+ ,*）的零元为1。

9、（A,*）中的等幂元：a、b、c、d；

（A,*）中的幺元：b；

（A,*）中的零元：c；

a-1 = d，b-1 = b，c-1 不存在，d-1 = a，

作业：P87：12、13、18

12、（A，*）到（N4,⊕4）的同构映射f为：

f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3;

或者：

f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1;

13、同构映射f为：

f(0)=∅, f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={a,b};

或者：

f(0)=∅, f(1)={b}, f(2)={a}, f(3)={a,b};

18、任选a ∈N +,b ∈N +, 只需证明f(a+b)=f(a)+f(b)

由f 的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，故f 是（N +,+）到(E +,+)的同态映射。

作业：P96：3，P97：7

3、(1)显然，*运算对Z 是封闭的。 (2) (a*b)*c = (3(a+b+2)+ab)*c

= 3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c = 3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc

a*(b*c) = a*(3(b+c+2)+bc)

= 3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc) = 3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc

= (a*b)*c

故*运算满足结合律。

（3）任选a ∈Z ，(-2)*a=a 且a*(-2)=a ，所以-2是(Z,*)的幺元。

所以（Z,*）是独异点。

7、因为1为(A,*)运算的幺元，而且对任意A 的子集A ’,*在A ’上都是封闭和可结合的运算，因此，（A,*）的所有子独异点为(A ’,*)，其中A ’必须包含1。即：(A,*)的所有子独异点为：

({1},*),({1,2},*),({1,3},*),({1,4},*),({1,2,3},*),({1,2,4},*),({1,3,4},*),({1,2,3,4},*)

P105：3、4、13

3、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100b a ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡220

0b a ＝⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡212100b b a a ,a 1,a 2∈{1,-1}, 所以a 1×a 2∈{1,-1}，b 1×b 2∈{1,-1}。

故（G,×）是封闭的。 而

(⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100b a ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡2200b a )×⎥⎦⎤⎢⎣⎡3300b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡212

100b b a a ×⎥⎦⎤⎢⎣

⎡3300b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3213

2100b b b a a a

⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100b a ×(⎥⎦⎤⎢⎣

⎡22

00b a ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡3300b a )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100b a ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡323

200b b a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3213210

0b b b a a a 故（G,×）是可结合的。（也可以说因为矩阵乘法是可结合的。）

令e =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，c =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--1001

e =⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡1001是幺元。 任选x ∈G ，x ×x =e ，故 x -1

=x 。

(G,×)与群(N 4,⊕4)不同构，因为(G,×)中每个元素以自身为逆元，而(N 4,⊕4)并非如此。 4、（1）封闭性

任选a,b ∈Z,，显然，a+b-2∈Z, 故运算*满足封闭性。 （2）结合律 任选a,b,c ∈Z

（a*b ）*c=a+b+c-2-2=a+b+c-4 a*(b*c)=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4，

故（a*b ）*c= a*(b*c),即*运算满足结合律。 （3）证明存在幺元

任选a ∈Z, 2*a=2+a-2=a 且a*2=a+2-2=a ，故2幺元。 （4）证明每个元素可逆 任选a ∈Z ，则4-a ∈a ；

而且a*(4-a)=2,（4－a ）*a=2，故(4-a)是a 的逆元。

13、任选a,b ∈G,(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*e*a=a*a=e=(a*b)*(a*b)。

故上等式两边同时左乘a -1*b -1

,故a*b=b*a 。所以(G,*)是可交换群。

P112：3、12、14

3、N 12＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}

1的阶数为12；2的阶数为6；3的阶数为4；4的阶数为3；5的阶数为12；6的阶数为2；

显然(N 12,⊕12)是循环群，由循环群性质：一个n 阶循环群若存在k 阶子群，则仅有一个k 阶子群，因此