工程力学：第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
轴向拉压应力与力学性能
s max = s a =0 = s 0 s0 t max = s a =45 =
2
圣维南原理
杆端应力分布
应力均匀区
圣维南原理 “ 力作用于杆端的分布 方式，只影响杆端局部范围 的应力分布，影响区约距杆 端 1~2 倍杆的横向尺寸”
（杆端镶入底座, 横向变形受阻）
例 题
例1
已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求： 截面 m-m 上的应力
s ts s cs
愈压愈扁
灰口铸铁压缩
s cb= 3~4s tb
断口与轴线约成45o
温度对力学性能的影响
钢的强度、塑性随温度变化的关系
钢的弹性常数随温度变化的关系
E E,G/GPa
G
T/C
世贸中心塌毁
（点击画面，可重复点击）
大厦受撞击后，为什麽沿铅垂方向塌毁 ？
据分析，由于大量飞机燃油燃烧，温度高达1200 C，组 成大楼结构的钢材强度急剧降低，致使大厦铅垂塌毁
横截面上 的正应力 均匀分布
横截面间 的纤维变 形相同
斜截面间 的纤维变 形相同
斜截面上 的应力均 匀分布
2. 应力 pa
A Fx = 0, pa cosa F = 0
Fcosa pa = = s 0cosa A
3. 应力sa 、ta与最大应力
s a = pa cosa = s 0cos 2a s0 t a = pa sina = sin2a
切应变概念
切应变（shear strain）定义 微体相邻棱边所夹直 角的改变量 g ，称为 切应变（剪应变） 切应变为无量纲量 切应变单位为 rad
例 题
例2 解：
工程力学-材料力学部分总结
5. 梁弯曲变形计算
（1）积分法
EIz EIz M dx C
EIz Mdx dx Cx D
（2）叠加法
边界条件确定
约束条件 光滑连续条件
作图规律
无外力段 外
力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力 集中力偶
P
m
c
c
水平直线
Q Q>0 图Q 特
Q<0
Q
上升直线
下降直线
自左向右, 突变与P同
2
( 3
Q
Q
Q Q1
征
X
X
X
X
X
c
Q2
Q1-Q2=P
M 上升直线 下降直线 开口向上曲线 开口向下曲线 M 转折
图M
M
M
M
M
特
征
X
X
X
X
cX
无变化
Q
X
c
自左向右, 突变与M同
M M1
cX
M2 M1-M2=m
6 静不定问题 （1）静不定问题的求解步骤
判断系统静不定的次数
建立变形协调方程 力与变形间的物理关系
EIz
y My EIz
max
max
M max
Wz
FS max
S
z
Izb
w w max
max
1. 一些基本概念
（1）变形固体的四个基本假设及其作用
（2）应力、应变的概念
应力 正应力σ 切应力τ
应变
线应变ε 切应变γ
（3）内力分析的截面法及其求解步骤
2. 一些基本定理
45
《材料力学》第二章
F
F
F
F
横截面上 正应力分
横截面间 的纤维变
斜截面间 的纤维变
斜截面上 应力均匀
布均匀
形相同
形相同
m
分布
F
m
p
Page24
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 s t
n
F p
n p
FN FN p s 0 cos A A / cos
s p cos s 0 cos 2 s t p sin 0 sin 2
二、材料拉伸力学性能 低碳钢Q235
s
D E A
o
线弹性 屈服
硬化
缩颈
e
四个阶段：Linear, yielding, hardening, necking
Page32
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
低碳钢Q235拉伸试验 线性阶段
s
B A
规律：
s Ee （OA段）
变形：变形很小，弹性 特征点：s p 200MPa （比例极限）
应力——应变曲线（低碳钢）
思考：颈缩阶段后，图中应力为什么会下降？
Page37
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
名义应力与真实应力
真实应力曲线 名义应力曲线 名义应力
FN s A
变形前截面积
颈缩阶段载荷减小，截面积也减小，真实应力继续增加
Page38
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
低碳钢试件在拉伸过程中的力学现象
材料力学应力分析的基本方法：
•试验观察
•几何方程
e const 变形关系
•提出假设
•物理方程
s Ee
第二章、轴向拉压应力与材料的力学性能
材料力学
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力 3、理论分析 横截面上应力为均匀分布，以表示。
F
F F
根据静力平衡条件：
F
FN=F
FN dF d A A
A
即
Arrected by Dr. Wade Cheung 中国民航大学 张威
式中
A 为斜截面的面积，
材料力学
为横截面上的应力。
Arrected by Dr. Wade Cheung 中国民航大学 张威
n
FNV
F
Fs
FN F
n
F
F
p
p cos 0 cos2
1 p sin 0 cos sin sin 2 2
材料力学
拉伸与压缩/斜截面上的应力 拉压杆斜截面上的应力 F
FNV
F
F
Fs FNV
FN F
FS
实验证明：斜截面上既有正应力，又有剪应力，
且应力为均匀分布。
Arrected by Dr. Wade Cheung 中国民航大学 张威
材料力学
n F
FN F
F
p
FN F F p cos cos A A / cos A
2
B
FAB
材料力学
拉伸与压缩
外力特征：作用于杆上的外力的合力作用线与杆件 的轴线重合。
F
轴向拉伸
F
F
e 轴向拉伸和弯曲变形
F
变形特征：杆件产生轴向的伸长或缩短，伴随截面横向缩扩。
材料力学-第二章
第二单元第二章 杆件的轴向拉压应力与材料的力学性能§2-1 引言工程实例: 连杆、螺栓、桁架、房屋立柱、桥墩……等等。
力学特征: 构件：直杆外力：合力沿杆轴作用(偏离轴线、怎样处理?)内力：在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一内力分量为轴力N ，它们在该截面的两部分的大小相等、方向相反。
规定拉力为正，压力为负。
变形：轴向伸缩§2-2 拉压杆的应力一、拉压杆横截面上的应力(可演示，杆件受拉，上面所划的横线和纵线仍保持直线，仅距离改变，表明横截面仍保持为平面)平面假设→应变均匀→应力均匀AN=σ或A P =σ(拉为正，压为负)二、Saint-Venant 原理(1797-1886，原理于1855年提出)问题：杆端作用均布力，横截面应力均布。
杆端作用集中力，横截面应力均布吗? 如图, 随距离增大迅速趋于均匀。
局部力系的等效代换只影响局部。
它已由大量试验和计算证实，但一百多年以来，无数数学力学家试图严格证明它，至今仍未成功。
这是固体力学中一颗难以采撷的明珠。
三、拉压杆斜截面上的应力(低碳钢拉伸，沿45°出现滑移线，为什么?)0cos =-P Ap αα ασ=α=αcos cos AP p ασ=α=σαα2cos cos pασ=α=ταα22sin sin p ()0=ασ=σm ax ()452=ασ=τmax方位角α：逆时针方向为正剪应力τ：使研究对象有顺时针转动趋势为正。
例1和例2，看书p17,18§2-3 材料拉伸时的力学性能(构件的强度、刚度和稳定性，不仅与构件的形状、尺寸和所受外力有关，而且与材料的力学性能有关。
拉伸试验是最基本、最常用的试验。
)一、拉伸试验P18： 试样 拉伸图绘图系统放大变形传感器力传感器--→→→→二、低碳钢拉伸时的力学性能材料分类：脆性材料（玻璃、陶瓷和铸铁）、塑性材料(低碳钢：典型塑性材料)四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符合胡克定律，正比阶段的结束点称为比例极限）、屈服阶段(滑移线)（可听见响声，屈服极限s σ）、强化阶段（b σ强度极限）、局部变形(颈缩)阶段（名义应力↓，实际应力↑） 三(四个)特征点：比例极限、（接近弹性极限）、屈服极限、强度极限(超过强度极限、名义应力下降、实际应力仍上升)。
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
拉压杆斜截面上的应力Ｐ
Ａ为横截面的面积 Ａ为斜截面的面积 横截面上的正应力 斜截面上的应力
N p A P P cos cos A A cos
P A
斜截面上的正应力和剪应力
p cos cos2 p sin cos sin
P
1 1 P A N1 3P C 2 N2
A
∴N2=P－3P= －2P
2
3、内力图
P A l P
3P
B
注意：
1 、一次只能取一个截面， 将原构件分成两部分。
C
l
Ｎ
O
2、内力方向设为正向后建立平 衡方程求解。（说明＋－）
3 、分离体图与原图上下对 齐，截面位置一目了然。 4 、轴力图大小近似按比例， 也要与上图对齐。 练习：
1、变形规律试验及平面假设：
a c
P
b d
变形前
a´ c´
b´ d´
受力后 P
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。 平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面. N 3、横截面上的应力：均匀分布 A
例２-４：计算下图中指定截面上的应力。ＡＢ段与ＣＤ段的横截面积均 为２０mm2，ＡＢ段横截面积为 1０ mm2 ，
C
已知：三角架 ABC 的〔σ 〕=120 MPa，AB 杆为 2 根 80*80*7 的等边角钢，AC 为 2 根 10 号槽钢，AB、AC 两杆的夹角为300 。 求：此结构所能承担的最大外荷载 Fmax
解： 1、F 与 FN 的关系
Y
0
X 0 F Y 0 F
NAC
FNAB cos30 0
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
Page
40
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
大厦受撞击后，为什么沿铅垂方向塌毁？
据分析，由于大量飞机燃油燃烧，温度高达1200℃，组成 大楼结构的钢材强度急剧降低，致使大厦铅垂塌毁
Page 41
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
§2-6 应力集中与材料疲劳 灾难性事故
1954年，英国海外航空 公司的两架“彗星”号 大型喷气式客机接连失 事，通过对飞机残骸的 打捞分析发现，失事的 原因是由于气密舱窗口 处的柳钉孔边缘的微小 裂纹发展所致，而这个 柳钉孔的直径仅为 3.175mm
例：画轴力图。 解： 分段计算轴力 由平衡方程： AB段 FN1 = qx BC段 CD段 FN3 = F 画轴力图
FN 2 = F x F a
q q=F a
2F
g
A
x a
B
a
C
a
D
FN1
x FN 2 2F
g
FN3
F F
+
F
Page 9
• 轴力图：表示轴力沿杆轴 变化的图。 • 设正法（为什么要用设正法？） • 作图要求：图与杆轴线对齐，用工具作图
材料力学
北方民族大学 土木工程学院 傅博
第一章回顾
构建设计基本要求：强度，刚度和稳定性 材料力学的任务： 材料力学研究对象：杆（杆、轴、梁），简单板壳 基本假设：连续、均匀、各向同性 内力计算：截面法 应力、应变、胡克定律（剪切胡克定律）
u u u u u u
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
低碳钢
（压缩）
s p
（拉伸）
o
愈压愈扁 Et Ec
ts
cs
Page 38
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
材料力学-第2章 轴向拉压
24
材料力学－第2章 轴向拉压
拉压杆的应力和圣维南原理
– 点M处的应力p可分解为
•
•
p
垂直于横截面的法向应力分量 — —称为正应力 相切于横截面的应力分量t ——称为 切应力（剪应力）
t
M
正负号规定 正应力 以离开截面为正，指向截面为负，即拉 应力为正，压应力为负 切应力t 对所截物体内部一点产生顺时针方向的 力矩时为正，反之为负
– 杆件上外力（或外力合力）的作用线与杆的轴线 重合（不是平行） – 杆件的变形沿着轴线方向伸长或缩短（主要变 形），同时，伴随着横截面方向的相应减小和增 大（次要变形）
分别称为简单拉伸和简单压缩，或轴向拉伸 和轴向压缩，相应的构件称为拉（压）杆
7
材料力学－第2章 轴向拉压
轴向拉压的基本概念
•
受力及变形特点
F
F
F
F F cos 0 cos A A cos
p
F 所以： p A
38
材料力学－第2章 轴向拉压
拉压杆的应力和圣维南原理
斜截面上的正应力和切应力
F
所以：
p
F
p
t
p cos 0 cos2 0 t p sin sin 2 2
积分别为A，2A，3A。则三段杆截面上 。
(a)轴力和应力都相等
F
F
F
(b)轴力和应力都不等
(c)轴力相等，应力不等 (d)轴力不等，应力相等
29
材料力学－第2章 轴向拉压
拉压杆的应力和圣维南原理
例： 横截面为正方形的砖柱分为上、下两段，其横截面尺
材料力学02(第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能)
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能2.1 内容提要1．轴向拉压外力或外力合力沿杆轴线，杆的变形特征为轴向伸长或缩短。
2．轴力的符号、轴力图、拉压杆与圣维南原理拉压杆唯一的内力分量为轴力，用 F N 表示，规定拉了为正，压力为负。
（参见 1.1 －4，内力是相互作用力，截面法将它转化为外力进行计算，在截开的两部分上转化成的外力指向相反，但根据此定义所计算的内力符号相同）表示轴力沿杆轴变化情况的图线称为轴力图，作图时以平行于杆轴的坐标表示横截面位置，以垂直于杆轴的另一坐标表示轴力。
当作用外力沿横截面非均匀分布但合力沿杆的轴线时，根据圣维南原理，距非均匀分布外力一定距离（通常杆横向尺寸的 1～2 倍距离）之外，横截面上的应力可看作均 匀分布。
拉沿杆横截面各点仅存在正应力σ ，σ =F N A ，其中， A 是横截面面积，并规定拉应力为正，压应力为负。
与横截面成α 角的任意斜截面上，通常既存在正应力σα 又存在切应力τα 。
它们与 横截面正应力σ 的关系为σα = σ cos 2 α ，τα = 1σ sin 2α 23．材料在拉伸和压缩时的力学性质（1）低碳钢拉伸时的力学性质ⅰ）四个阶段低碳钢是典型的塑性材料，其应力应变关系呈现四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部变形（颈缩）阶段。
ⅱ）四个应力特征点比例极限σ p ：应力应变成比例的最大应力，当工作应力σ < σ p 时，σ = E ε ，其中 E 为材料的弹性模量， ε 为正应变。
弹性极限σ e ：材料只产生弹性变形的最大应力，与σ p 很接近。
屈服极限σ s ：使材料产生屈服的应力。
强度极限σ b ：材料能承受的最大应力。
ⅲ）两个塑性指标延伸率δ ：δ = l 1 - l ⨯100% ，其中l 与l 分别为试件试验段原长和断裂后的长度。
l 1 断面收缩率ϕ ：ϕ = A - A 1 ⨯100% ，其中 A 与 A 分别为试件试验段横截面的原A 1面积和断裂后的断口面积。
材料力学考研题解_第二章轴向拉压应力与材料的力学性能
第二章轴向拉压应力与材料的力学性能题号页码2-1 (1)2-3 (2)2-5 (2)2-7 (3)2-9 (4)2-10 (4)2-15 (5)2-16 (6)2-18 (7)2-21 (8)2-22 (9)（也可通过左侧题号书签直接查找题目与解）2-1试画图示各杆的轴力图。
题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。
图2-12-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A =500mm 2，载荷F =50kN 。
试求图示斜截面m -m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。
题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为 100MPa Pa 10001m10500N 10508263=×=××==.A F σ－ 斜截面m -m 的方位角，o50−=α故有MPa 341)50(cos MPa 100cos 22.ασσ=−⋅==o α MPa 249)100sin(MPa 502sin 2.αστα−=−⋅==o 杆内的最大正应力与最大切应力分别为 MPa 100max ==σσMPa 502max ==στ 2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。
试确定材料的弹性模量E 、比例极限p σ、屈服极限s σ、强度极限b σ与伸长率δ，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。
题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。
220GPa Pa 102200.001Pa 10220∆∆96=×=×≈=εσEMPa 220p ≈σ， MPa 240s ≈σ， MPa 440b ≈σ， %7.29≈δ 该材料属于塑性材料。
2-6 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。
若杆径d =10mm ，杆长 l =200mm ，杆端承受轴向拉力F = 12kN 作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。
若轴向拉力F =20kN ，则当拉力作用时与卸去后，杆的轴向变形又分别为何值。
轴向拉应力资料重点
第二章 轴向拉应力与材料的力学性能 拉（压）杆应力 拉（压）杆应力
一、横截面应力
《材料力学》 机械工业出版社
杆件1 —— 轴力 = 1N, 截面积 = 0.1 cm2 ；
杆件2 —— 轴力 = 100N, 截面积 = 100 cm2 。
哪个杆工作“累”？
不能只看轴力，要看单位面积上的力 ——平均应力。
Page 3
《材料力学》 机械工业出版社
第二章 轴向拉应力与材料的力学性能 引言 引言
Page 4
《材料力学》 机械工业出版社
第二章 轴向拉应力与材料的力学性能 引言 Page 5
《材料力学》 机械工业出版社
第二章 轴向拉应力与材料的力学性能 引言 斜拉桥承受拉力的钢缆 Page 6
《材料力学》 机械工业出版社
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
《材料力学》 机械工业出版社
理论上——用简单描述复杂(模型化），抓主要矛盾；
工程上——为（材料组成的）构件当好医生。
Page 38
《材料力学》 机械工业出版社
第二章 轴向拉应力与材料的力学性能 材料在拉伸时的力学性能
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢——典型材料）
1、静力平衡
由 dFN = s dA 积分得
F
m F
Ⅰ
Ⅱ
m
截面各点应力的分布？ 因不知道，故上式求不 F 出应力，要想另外的办 法。
FN
Ⅰ
s
Page 18
第二章 轴向拉应力与材料的力学性能 拉（压）杆应力
2、几何变形
实验结果——变形后，外表面垂线保持为直线；
材料力学第2章 轴向拉压应力与材料的力学性能
2.2 拉压杆的应力
根据平面假设，所有轴向“纤维”伸长量相等，均为△l
故
都相等，又 E，所以横截面正应力均匀分布。 静力平衡关系：
dA F
A
N
单向应力状态
FN A
14
秦飞 编著《材料力学》 第2章 轴向拉压应力与材料的力学性能
2.1拉压杆的内力
例题2–1
作等直杆的轴力图。
秦飞 编著《材料力学》 第2章 轴向拉压应力与材料的力学性能
5
2.1拉压杆的内力
例题2–1
解:采用截面法
(1)AB 段:由平衡方程得：
FN1 5 kN
(2)同理可求得BC段轴力为：
FN2 5 kN 10 kN 15 kN
A
A (3)CD段： FN3 30 kN
S --屈服强度 (yield strength)
得到 曲线： (stress-strain curve)
b --强度极限 (Strength limit)
29
秦飞 编著《材料力学》 第2章 轴向拉压应力与材料的力学性能
2.3 材料在拉伸与压缩时的力学性能
低碳钢拉伸时的力学性能
材料的主要力学性能指标（小结）
主要强度指标：
屈服极限 S
强度极限 b
l1 l 0 100% l0
表征材料塑性变形能力的指标：
伸长率(elongation)：
断面收缩率(percentage reduction in area)：
塑性材料： 5%
脆性材料： 5%
2.2 拉压杆的应力
第二章轴向拉压应力与及材料的力学性能
第⼆章轴向拉压应⼒与及材料的⼒学性能第⼆章轴向拉压应⼒与及材料的⼒学性能2-1试画图⽰各杆的轴⼒图。
题2-1图解：各杆的轴⼒图如图2-1所⽰。
图2-12-2试画图⽰各杆的轴⼒图，并指出轴⼒的最⼤值。
图a与b所⽰分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。
题2-2图(a)解：由图2-2a(1)可知，)(=2xqxqaF-N轴⼒图如图2-2a(2)所⽰，qa F 2m ax ,N =图2-2a(b)解：由图2-2b(2)可知， qa F =R qa F x F ==R 1N )(22R 2N 2)()(qx qa a x q F x F -=--=轴⼒图如图2-2b(2)所⽰，qa F =m ax N,图2-2b2-3 图⽰轴向受拉等截⾯杆，横截⾯⾯积A =500mm 2，载荷F =50kN 。
试求图⽰斜截⾯m -m 上的正应⼒与切应⼒，以及杆内的最⼤正应⼒与最⼤切应⼒。
题2-3图解：该拉杆横截⾯上的正应⼒为100MPa Pa 1000.1m10500N 10508263=?=??==－A F σ斜截⾯m -m 的⽅位⾓，ο50-=α故有 MPa 3.41)50(cos MPa 100cos 22=-?==οασσαMPa 2.49)100sin(MPa 502sin 2-=-?==οαστα杆内的最⼤正应⼒与最⼤切应⼒分别为MPa 100max ==σσMPa 502max ==στ 2-5 某材料的应⼒-应变曲线如图所⽰，图中还同时画出了低应变区的详图。
试确定材料的弹性模量E 、⽐例极限p σ、屈服极限s σ、强度极限b σ与伸长率δ，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。
题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。
220GPa Pa 102200.001Pa10220ΔΔ96=?=?≈=εσEMPa 220p ≈σ, MPa 240s ≈σMPa 440b ≈σ, %7.29≈δ该材料属于塑性材料。
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9
5kN
5kN
y
5kN
1 8kN 2
1
2
1 N1
x
1
2
N2
2
2
N2'
2
例1：画左图杆的轴力图。 3kN 解：1-1截面，左段
X 0 N1 5 0
N1 5
3kN
2-2截面，右段
x
X 0 N2 3 0
x
N2 3
3kN
X 0 N2 '3 0
x
N2' 3
10
[例2] 已知：FA 5F, FB 8F, FC 4F, FD F, 试求：各段内力并画出杆的轴力图。
F
A C
F F
3
二、轴向拉压的概念： （1）受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。
（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。 FN1
FN1
FN2
FN2
4
以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。 三、轴向拉压杆的内力和内力图
1.内力：物体内部各粒子之间的相互作用力。 2. 附加内力：由外力作用而引起的物体内部各粒子之间相互作
用力的改变量（材料力学中的内力）。
a
F
F
a a
5
例：已知外力 F，求：1－1截面的内力FN 。
解：（截面法确定）
①截开
1—1 F
②代替，FN 代替。
③平衡方程 F
∑X=0, FN - F = 0,
FN = F
以1－1截面的右段为研究对象： FN
∑X=0, F - FN = 0, FN = F
内力 FN 是沿轴线，所以称为轴力。
F
压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
F
FN （－）FN
F
8
轴力图：轴力沿轴线变化的图形
①取坐标系
F
F
②选比例尺
③正值的轴力画在X轴的上侧, FN
负值的轴力画在X轴的下侧。
+
轴力图的意义
x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
② 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确 定危险截面位置，为强度计算提供依据。
1
§2–1 引言 §2–2 拉压杆的应力与圣维南原理 §2–3 材料拉伸时的力学性能 §2–4 材料拉压的力学性能的进一步研究 §2–5 应力集中与材料疲劳 §2–6 失效、许用应力与强度条件 §2–7 连接部分的强度计算
作业
2
§2-1 引 言
一、工程实例： 工程桁架、活塞杆、厂房的立柱等。
B
F
(1) 公式中各值单位要统一
1N 1m2
1Pa,
1N 1mm2
1MPa
(2) “FN”代入绝对值，在结果 后面可以标出“拉”、“压”。
F/2
F /3 F /3 F /3
外力对内力的影响区域标
22
F / h
F
1.387
h / 2 0.688
h
F
h/4
F
h
0.198
2.575 F / h
1.027 0.973
18
内力
变形 由变形分析内力的分布。
1、实验： 变形前
受力后
F
F
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。
纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。 3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截
面沿杆轴线作相对平移
19
4、应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布
5、应力的计算公式： F
0
FN (x)
x kxdx 1 kx2
0
2
FN
(x)max
1 2
k L2
14
§2-2 轴向拉压杆的应力与圣维南原理 一、问题提出：
2F
2F
F
F
F
F
1. 内力大小不能全面衡量构件强度的大小。 2. 构件的强度由两个因素决定：
①内力在截面分布集度应力； ②材料承受荷载的能力。如：钢，铜、木材等。
图
2F
如
5F F
右
图
3F
示
D FD
x
13
[例3] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出
y
q(x)
杆的轴力图。
x 解：x 坐标向右为正，坐标原点在
L
自由端。
O x
FN
q(x) x
–
k L2 2
FN（x）
取左侧x 段为对象，内力FN(x)为：
x
X
0,
FN (x)
q(x)dx 0
F FN
F
6
作业要求：已知外力 F，求：1－1截面的内力FN 。
F
1—1
解：
F
∑X=0, FN - F = 0,
F F
FN = F
FN
或：
1—1
F ∑X=0, F - FN = 0,
F
FN = F
FN
7
轴力正负的符号规定： — 根据变形来确定。
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。
F
FN （＋）FN
15
二、轴向拉压杆横截面上正应力的确定
杆横截面上内力是如何分布的？
内力
变形 所以，由变形分析内力的分布。
看不见
可见
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
1、实验： 变形前
16
横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
17
横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
8、公式的使用条件 (1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。 （范围：不超过杆的横向尺寸）
21
9、圣维南原理： 作用于杆上的外力可以用其
等效力系代替，但替换后外力作 用点附近的应力分布将产生显著 影响，且分布复杂，其影响范围 不超过杆件的横向尺寸。
外力的等效
F F/2
10、注意的问题
BC
FB
FC
N3
C
X 0 N3 FC FD 0
求CD段内力：
X 0 N4 FD 0
FC N4
FN1 2F, N2= –3F， N3= 5F，N4= F
D
FD D
FD D
FD D
FD
12
FN1 2F, N2= –3F， N3= 5F，N4= F
OA
BC
FA
FB
FC
轴 FN
力
F F
23
三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定
F (1) 内力确定：
FNα= FN = F。
F
(2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力确定：
①应力分布——均布 F
②应力公式——
F
x
FN
由于“均布”，可 得
A FN
FN
A
or N
A
or A N
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
20
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆：
max
FN max A
变直杆： max
FN A
max
7、正应力的符号规定——同内力
拉伸——拉应力，为正值，方向背离所在截面。 压缩——压应力，为负值，方向指向所在截面。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
FN1 A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
X 0 FD FC FB FA FN1 0
F 4F 8F 5F FN1 0 FN1 2F
11
OA
BC
FA
FB
FC
求得AB段内力： N2
X 0
N2 FB FC FD 0
求BC段内力：