【精品】高等数学习题详解第2章 极限与连续

习题2-1

1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限：

(1)1

n n

x n =

+；

（2)2(1)n n x =--;

(3)13(1)n

n x n

=+-; （4）2

1

1n x n =

-。 解：（1）此数列为12341234

,,,,

,,2345

1

n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞

=。

（2)12343,1,3,1,

,2(1),

n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。

（3）1234111

1

31,3,3,3,

,3(1),

234n n x x x x x n

=-=+=-=+=+-

所以lim 3n n x →∞

=。

(4)123421111

11,1,1,1,,1,4916

n x x x x x n

=-=

-=-=-=

-所以lim 1n n x →∞

=-

2.下列说法是否正确：

（1)收敛数列一定有界；

（2）有界数列一定收敛；

（3）无界数列一定发散；

（4）极限大于0的数列的通项也一定大于0.

解：（1)正确.

（2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。

(3）正确。

(4)错误例如数列21(1)n

n x n ⎧

⎫

=+-⎨⎬⎩⎭

极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。

＊

3。用数列极限的精确定义证明下列极限：

（1)1

(1)lim

1n n n n

-→∞+-=；

（2)22

2

lim 11

n n n n →∞-=++; (3）3

2

3125lim

-=-+∞→n n n

证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=

-=<，只要1

n ε

>即可,所以可取正整数1

N ε

≥

.

因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤

∃=⎢⎥⎣⎦

,当n N >时，总有

1(1)1n n n ε-+--<，所以

1

(1)lim 1n n n n

-→∞+-=.

（2）对于任给的正数ε，当3n >时，

要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n n ε---+-=-==<<<+++++++，只要2

n ε

>即可,所以

可取正整数2max ,3N ε⎧⎫

=⎨⎬⎩⎭

.

因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫

∃=⎨⎬⎩⎭

,当n N >时,总有22

211n n n ε--<++,所以

222

lim 11

n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762

()()1

31333(31)313

n n x n n n n ε+--=

--=<=<----，只要123n ε-

>即可，所以可取正整数213

N ε≥+。 因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦

，当n N >时，总有

522

()133n n ε+--<-，所以

3

2

3125lim

-=-+∞→n n n .

习题2—2 1。利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： （1）2

1

lim x x →∞；

（2)-lim x

x e →∞

；

(3)+lim x

x e

-→∞

；

（4）+lim cot x arc x →∞

；

（5）lim2x →∞

；

(6）2

-2

lim(1)x x →+；

（7)1

lim(ln 1)x x →+；

(8）lim(cos 1)x x π

→-

解：（1）2

1

lim

0x x →∞=；

（2)-lim 0x

x e →∞

=；

（3)+lim 0x

x e

-→∞

=;

(4)+lim cot 0x arc x →∞

=;

(5)lim 22x →∞

=;

（6)2

-2

lim(1)5x x →+=；

（7)1

lim(ln 1)1x x →+=；

（8）lim(cos 1)2x x π

→-=-

2。函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的（ D ）

（A )必要条件 (B )充分条件 （C ）充要条件 (D ）无关条件

解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时,我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义,大小如何。

3。()00f x -与()00f x +都存在是函数()f x 在点x 0处有极限的( A ) （A ）必要条件 （B )充分条件 （C )充要条件

（D )无关条件

解：若函数()f x 在点x 0处有极限则()00f x -与()00f x +一定都存在.

4．设()21;0,

;0,x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩

作出()f x 的图像；求()0lim x f x +→与()0lim x f x -→；

判别()0lim x f x →是否存在？

解：()0

lim lim 0x x f x x ++

→→==，()20

lim lim(1)1x x f x x --→→=+=，故()0

lim x f x →不存在. 5．设()x

f x x

=

,()x x x ϕ=,当0x →时，分别求()f x 与()x ϕ的左、右极限，问()0lim x f x →与()0

lim x x ϕ→是否存在？

解：由题意可知()1;0,

1;0,x f x x <⎧=⎨>⎩

,则()00lim lim11x x f x ++→→==，()00lim lim11x x f x --→→==，因此

()0

lim 1x f x →=。

由题意可知()1;0,

1;0,x x x ϕ-<⎧=⎨>⎩

，()00lim lim11x x x ϕ++→→==，()00lim lim(1)1x x x ϕ--→→=-=-，因此

()0

lim x x ϕ→不存在。

*6.用极限的精确定义证明下列极限：

(1）1lim

11

x x

x →∞-=-+;

（2）2-11

lim

-2+1

x x x →-=； （3)0

1

lim sin

0x x x

→=. 证：（1)0ε∀>，要使()122(1)1111x f x x x x ε---=

+=≤<++-，只要2

1x ε

>+即可.