材料力学-1轴向拉伸和压缩

3. 轴力的正负规定: N
N 与外法线同向,为正轴力(拉力)
N N>0
N与外法线反向,为负轴力(压力)
N
N
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 义 ②确定出最大轴力的数值 N
P 及其所在横截面的位置，
+ 即确定危险截面位置，为
强度计算提供依据。
N<0 x
2. 应力的表示：
①平均应力：
∆P
M
pM
=
ΔP ΔA
∆A
②全应力（总应力）：
pM
=
lim
Δ A→0
Δ Δ
P A
=
dP dA
③全应力分解为：
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
σ
=
lim
Δ A→0
ΔN ΔA
=
dN dA
p
τ
σ
M
位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stress)。
第一章 轴向拉伸和压缩（Axial Tension）
§1–1 轴向拉压的概念及实例 §1–2 内力、截面法、轴力及轴力图 §1–3 截面上的应力及强度条件 §1-4 拉压杆的变形 ⋅ 弹性定律 §1-5 拉压杆的弹性应变能 §1-6 拉压超静定问题及其处理方法 §1-7 材料在拉伸和压缩时的力学性能
轴力引起的正应力 —— σ ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
σ max= max( NA((xx)))
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
5. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。
6. 应力集中（Stress Concentration）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
7. 强度设计准则（Strength Design）：
–
kL2 2
N (x)max
=
−
1 2
kL2
§1–3 截面上的应力及强度条件
问题提出：
P
P
P
P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
一、应力的概念 1. 定义：由外力引起的内力集度。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。
§1–1 轴向拉压的概念及实例
一、概念 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
[P] = f ( Ni )
[例3] 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
[σ]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
解：① 轴力：N = P =25kN
②应力：
σ max
=
N A
=
4P
πd 2
=
4 × 25 ×103 3.14 × 0.0142
= 162MPa
同理，求得AB、
N2
BC、CD段内力分
别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
轴力图如右图 N
2P +
–
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
P P
二、
工 程 实 例
§1–2 内力 · 截面法 · 轴力及轴力图
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内
力系的合成（附加内力）。
二、截面法 · 轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的
基础。求内力的一般方法是截面法。
1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
τ
=
ΔT
lim
Δ A→0
Δ
A
=
dT dA
二、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
P
c´
d´
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力： P
σ N(x)
σ
=
N ( x) A
8kN
5kN
3kN
5kN +
8kN – 3kN
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出
杆的轴力图。 q(x)
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
O x
O x
q
q(x)
Nx x
qL
N
N ( x)
=
∫0x
−
kxdx
=
−
1 2
kx2
③强度校核： σ max = 162MPa < [σ ] = 170MPa
④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布 集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N1
A
BC
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
∑ X = 0 N1 − PA + PB − PC − PD = 0
N1 − 5P + 8P − 4P − P = 0 N1 = 2P
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
σ max= max( NA((xx))) ≤ [σ ]
其中：[σ]--许用应力， σmax--危险点的最大工作应力。
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
σ [ max≤ σ ]
②设计截面尺寸：
Amin
≥
N max
[σ ]
③许可载荷： Nmax ≤ A[σ ] ;
在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
例如：பைடு நூலகம்截面法求N。
P
A
P
截开：
P
A P
简图
代替： 平衡：
P A
∑X =0 P−N =0
N
P=N
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。