最优化 马昌凤 第三章作业
最优化方法练习题答案修改建议版本--删减版
最优化⽅法练习题答案修改建议版本--删减版练习题⼀1、建⽴优化模型应考虑哪些要素 ?答：决策变量、⽬标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停⽌准则。
min f (x)答：针对⼀般优化模型 s.t. g i x 0,i 1,2,L m ，讨论解的可⾏域 D ，若存在⼀点 X * D ，对 h j x0, j 1,L , p于 X D 均有 f(X *) f(X)则称 X *为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列 X (1),X (2),L ,X (K)L ，满⾜ f(X (K 1)) f (X (K))，则迭代法收敛；收敛的停⽌准则有等。
练习题⼆1、某公司看中了例 2.1中⼚家所拥有的 3种资源 R 1、R2、和R 3，欲出价收购(可能⽤于⽣产附加值更⾼的产品) 的对偶问题)。
如果你是该公司的决策者，对这 3 种资源的收购报价是多少？ (该问题称为例 2.1解：确定决策变量对 3种资源报价 y 1,y 2, y 3作为本问题的决策变量。
确定⽬标函数问题的⽬标很清楚——“收购价最⼩” 。
确定约束条件资源的报价⾄少应该⾼于原⽣产产品的利润，这样原⼚家才可能卖。
因此有如下线性规划问题： min w 170y 1 100y 2 150y 35y 1 2y 2 y 3 10 s.t. 2y 1 3y 2 5y 3 18y 1, y 2,y 3 02、研究线性规划的对偶理论和⽅法(包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法) 答：略。
3、⽤单纯形法求解下列线性规划问题：x (k 1) x (k)x (k 1)x (k)x (k) min zx1x2x3minz4x2x3x1 x22x 32x12x2 x32（1） s.t. 2x1x2 x3 3x22x 3x 42 x1x34x2x3x 5 5x 1,x 2,x 3 0x i 0（i 1,2, ,5）解：(1)引⼊松弛变量 x 4， x 5，x 6min z x 1 x 2x30*x 40* x 5 0* x 6x 1 x 22x 3 x4=22x 1 x 2 x 3x5=3x6=4x1, x2, x3, x4, x5, x6 0因检验数σ2<0，故确定 x 2 为换⼊⾮基变量，以 x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量 x 4 作为换出的基变量因检验数σ3<0，故确定 x 3 为换⼊⾮基变量，以 x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量 x 5作为换出的基变量。
最优化方法及其matlab程序设计 马昌凤 课后答案
yT
Gy)
−
[
1 2
(λx)T
G(λx)
+
1 2
(1
−
λ)yT G(1
−
λ)y
+
1 2
λxT
G(1
−
λ)y
+
1 2
(1
−
λ)yT Gλx]
=
1 2
λxT
G(1
−
λ)x
+
1 2
(1
−
λ)yT
Gλy
−
1 2
λxT
G(1
−
λ)y
−
1 2
(1
−
λ)yT
Gλx
2
= =
1 21 2
λxT λ(1
G(1
−
λ)(x
0 1.1459 1.8541 3.0000
0 0.7082 1.1459 1.8541
0 0.4377 0.7082 1.1459
0.4377 0.7082 0.8754 1.1459 0.7082 0.8754 0.9787 1.1459
(6)
0.7082 0.8115 0.8754 0.9787
−
y)
+
1 2
(1
− λ)(x − y)T G(x − y)
− >
λ)yT Gλ(y − x) 0 G正定保障了严格不等式成立。
反之，必要性：严格凸函数=》Hesse矩阵G正定.
类似，当对任意x ̸= y,及任意实数λ ∈ (0, 1)都有f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y).
AAA最优化理论与方法课件(第3章,马昌凤版)
0.78
H
0.02
0.12
0.14
0.02 0.86
0.04 0.06
0.12 0.04
0.72 0.08
0.14
0.06
0.08
0.74
c 0.76, 0.08,1.12, 0.68T
其最小特征值n 0.52,最大特征值1 0.94
1 1
Байду номын сангаас
n n
2
0.081
方法分类：
1、间接法：对简单问题，求解必要条件或充分条件；
零阶法：只需计算函数值 f(x)
2、迭代算法： 一阶法：需计算 ▽f(x)
二阶法：需计算 ▽2f(x)
直接法 梯度法
从梯度下降到拟牛顿法
训练神经网络的五大学习算法
1、梯度下降法，又称为最速下降法
2、牛顿法
3、共轭梯度法（Conjugate gradient）
最优化理论与方法
Chapter 3 最速下降法和牛顿法
经典是永恒的
3.1 最速下降法及其Matlab实现 3.2 牛顿法及其Matlab实现 3.3 修正牛顿法及其Matlab实现
学习的重要性：
1、直接用于无约束的实际问题； 2、其基本思想和逻辑结构可以推广到约束问题；
3、约束问题可以转化成无约束问题求解。
min f (x) x12 x22 .
xR 2
a2 b2
显然该问题有精确解x* (0,0)T , f (x*) 0. 分析a与b 取不同值时迭代次数的变化规律。初始点都取为
(1,1)T，精度取1e-5。
a
b
离心率
迭代次数 最后目标值
d (1) 4 5 1 / 10 9
最优化方法引论作业
最优化方法引论作业Revised on November 25, 2020土建类0901 张笑闯最优化方法引论作业经过11周的学习，对最优化方法这门课程有了初步的认识，最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
本章将介绍最优化方法的研究对象、特点，以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。
主要是线性规划问题的模型、求解及其应用――运输问题；以及动态规划的模型、求解、应用――资源分配问题。
用最优化方法解决实际问题，一般可经过下列步骤：①提出最优化问题，收集有关数据和资料；②建立最优化问题的数学模型,确定变量,列出目标函数和约束条件；③分析模型，选择合适的最优化方法；④求解，一般通过编制程序，用计算机求最优解；⑤最优解的检验和实施。
上述 5个步骤中的工作相互支持和相互制约，在实践中常常是反复交叉进行。
结合我们土建类专业，由于如今房地产市场的火爆，我们毕业后极有可能从事这方面工作，下面让我们讨论一下房价的问题。
1商品房的最大利润问题某大型房地产公司投资在全国各地投资建设A和B 两种商品房，每周建筑工人工作时间为60小时，建设 A类型房平均每栋需要4周，建设 B类型房子每栋需要6周．根据市场预测，A、B两种类型房子平均销售量分别为每两年9、8栋，它们销售利润分别为、亿元。
在制定生产计划时，经理考虑下述4项目标：首先，产量不能超过市场预测的销售量；其次，工人加班时间最少；第三，希望总利润最大；最后，要尽可能满足市场需求, 当不能满足时, 市场认为B的重要性是A的2倍．试建立这个问题的数学模型．讨论：若把总利润最大看作目标，而把产量不能超过市场预测的销售量、工人加班时间最少和要尽可能满足市场需求的目标看作约束，则可建立一个单目标线性规划模型设决策变量x1，x2分别为产品A，B的产量Max Z = 12x1 + 18x24x1 + 6x2 60x1 9x1 8x1 , x2 0容易求得上述线性规划的最优解为(9,4)T 到 (3,8)T 所在线段上的点, 最优目标值为Z* = 180, 即可选方案有多种.在实际上, 这个结果并非完全符合决策者的要求, 它只实现了经理的第一、二、三条目标，而没有达到最后的一个目标。
动态最优化第3、4、6章 习题
《动态最优化基础》第3章 课后习题3.2.1（P88）对于泛函V [y ]=∫(t 2+y′2)dt T0，欧拉方程的通解是y ∗(t )=c 1t +c 2（参见联系2.2中问题1）（a ）如果初始条件是y (0)=4且终结条件是T =2，y T 是自由的，那么找出极值线。
（b ）画出一个图形来显示初始点、终结点和极值线。
解：由F =t 2+y′2可知，F y′=2y′。
根据垂直终结线的横截条件可知[F y′]t=T =0，即y ′=0。
又由于y 沿着极值曲线y ∗(t )=c 1t +c 2取值，故有y ∗′(t =2)=c 1=0。
根据初始条件y (0)=4可得y ∗(t =0)=c 2=4。
故极值曲线为：y ∗(t )=4。
图形中显示初始点、终结点和极值曲线如下：ytt=2A3.2.3（P88）令问题1中的终结条件改变为y T =5，T 是自由的 （a ）找出新的极值线。
最优终结时间T ∗是多少？ （b ）画出一个图形来显示初始点、终结点和极值线。
解：根据水平终结线的横截条件可知[F −y′F y′]t=T =0，即T2+y′2−y′∗2y′=0。
亦即y∗′(t=T)=c1=T。
根据初始条件y(0)=4可得y∗(t=0)=c2=4。
又由终结条件y T=5可得y T=c1T+c2=T2+c2=5，解得T∗=1。
故极值曲线为：y∗(t)=t+4。
图形中显示初始点、终结点和极值曲线如下：yA=4tT*=1《动态最优化基础》第4章 课后习题4.2.1（P110）对于练习2.2的问题1（V [y ]=∫(t 2+y ′2)dt T0，y (0)=0，y (1)=2）（a ）用行列式检验（4.9）检查函数F 是否关于(y,y ′)是严格凹/凸的。
（b ）如果此检验失败，利用行列式检验（4.12）或特征根检验来检查凹性/凸性。
（c ）最大化/最小化的充分条件满足吗？ 解：（a ）由被积函数F =t 2+y ′2可得：F y =0，F y′=2y ′，F y ′y ′=2，F yy =F yy′=F y′y =0故行列式|D |=|2000|，|D 1|=2，|D 2|=0。
高考生物一轮复习优化方案 第三章1、2、3节课时活页训练 必修3
一、选择题1．(2008年高考江苏卷)下列关于植物生长素生理作用的叙述中，正确的是()A．顶芽生长占优势时侧芽生长素的合成受到抑制B．燕麦胚芽鞘中生长素的极性运输与光照方向无关C．草莓果实的自然生长过程与生长素无关而与乙烯有关D．温特的实验中生长素从胚芽鞘尖端基部进入琼脂块的方式是主动运输解析：选B。
本题考查生长素的运输特点及激素的综合作用。
生长素从胚芽鞘尖端基部进入琼脂的方式为扩散，而在植物体内的极性运输过程是与光照无关的主动运输，顶芽产生的生长素运输到侧芽并积累，从而导致了顶端优势现象。
植物的生长发育过程受多种激素综合调节。
2．(原创题)我们常用雨后春笋来形容一些事物的快速成长。
其实不仅竹子长得快，而且与其同类的小麦、水稻、高粱等多种植物均能快速成长。
他们的快速成长主要是完成于拔节时期，华北老农常用“清明拔三节”来描述小麦在清明时节迅速长高的情形。
小麦、水稻等植物在拔节期体内含量相对增高的激素是()A．生长素B．赤霉素C．细胞分裂素D．乙烯解析：选B。
小麦等禾本科植物的拔节，主要是靠细胞伸长来完成的，而赤霉素的主要功能就是促进细胞伸长，故B为正确答案。
3．(2010年合肥质检)20世纪30年代，科学家发现单侧光能引起某些植物体内生长素分布不均匀；20世纪80年代科学家发现单侧光能引起某些植物体内抑制生长的物质分布不均匀。
现有一种植物幼苗，为了探究该幼苗向光生长的原因，将其直立生长的胚芽尖端切下，放到琼脂块上并用单侧光照射，如图。
下列结果及判断正确的是()①当a、b两侧生长素含量基本相等时，能够确定该幼苗向光生长的原因②当a、b两侧生长素含量基本相等时，不能确定该幼苗向光生长的原因③当a侧生长素含量比b侧高时，能够确定该幼苗向光生长的原因④当a侧生长素含量比b侧高时，不能确定该幼苗向光生长的原因A．①③B．②④C．②③D．①④解析：选D。
题干信息中给出了单侧光引起植物向光生长的两种原因，由图可知，若检测到a、b两侧生长素含量基本相等，可以判断单侧光能引起抑制生长的物质分布不均匀，导致植物向光生长；若检测到a侧生长素含量比b侧高，引起植物向光生长的原因可能是生长素分布不均匀，也可能与植物体内抑制生长的物质分布不均匀有关，因此不能确定。
最优化方法练习题答案
练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。
答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。
练习题二1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。
如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。
解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。
确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。
确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。
最优化方法第三章-孙文瑜
Fnk k ak (1 )(bk a k ) Fnk 1
Fn k 1 k a k (bk a k ), k 1,2,, n 1 Fn k 1 Fn k k ak (bk a k ), k 1,2,, n 1 Fn k 1
25
2018/12/11
3.2.2 Fibonacci法
另一种与0 .618 法相类似的分割方法叫Fibonacci 法. 它与0 .618 法的主要区别之一在于: 搜索区间长度的 缩短率不是采用0 .618 而是采用Fibonacci 数. Fibonacci 数列满足 F0 F1 1
Fk 1 Fk Fk 1 , k 1,2 Fibonacci 法中的计算公式为
N
1
2
1 2
Y
* (t * )
a t1 , t1 t 2 ,
1
最优化方法_chapter1 绪论
三 最终结果
差
差
中
中
差
好
好
好
好
中
中
好
用这种方法娶到最差老婆的概率是1/6,娶到最好老 婆的概率是1/2!由此我们可以得到一个经典的结论:
初恋是靠不住的!
1.2 最优化问题的数学模型及其分类
最优化问题的数学模型包含三要素：
✓目标函数/评价函数 ✓决策变量 ✓约束条件
1.2 最优化问题的数学模型及其分类
第一种最优化问题表示形式为
min
[ x1，x2，L ，xn ]T
f
(x1，x2，...，xn )
s.
t.
gi hj
( (
x1，x2，...，xn x1，x2，...，xn
) )
0 0
i 1，2，...，l j 1，2，...，m (m n)
第二种最优化问题表示形式为
问题的严格全局最优解，称 f (x*)为严格全局最 优值.
y
D
x
x*
x
定义2 如果有x* D 及 0 ，使得当 x D N (x*) 时恒有 f (x) f (x*)，则称 x*为最优化问题的局部 最优解，称 f (x*)为局部最优值.其中：
N (x*) {x | x x * }
题目的规则是这样的:从现在开始甲可以选择和其中 任意一位女士交往一个月,一个月之后如果甲觉得满意就 与之结婚并且之后不能再离婚去选择剩下两位女士了;如 果甲觉得不满意可以从剩下的两个女士中再选择一位女 士交往一个月.第二个月之后如果甲满意那么就与这个女 士结婚,如果不满意就必须娶剩下的一位女士结婚(需要 注意的是与其中任何一个女士交往的过程中都不能和其 他女士同时交往,只能串行不能并行!).
最优化方法大作业
发动机空燃比控制器引言：我主要从事自动化相关研究。
这里介绍我曾经接触过的发动机空燃比控制器设计中的优化问题。
发动机空燃比控制器设计中的最优化问题AFR =afm m && (1)空燃比由方程（1）定义，在发动机运行过程中如果控制AFR 稳定在14.7可以获得最好的动力性能和排放性能。
如果假设进入气缸的空气流量am &可以由相关单元检测得到，则可以通过控制进入气缸的燃油流量f m &来实现空燃比的精确控制。
由于实际发动机的燃油喷嘴并不是直接对气缸喷燃油，而是通过进气歧管喷燃油，这么做会在进气歧管壁上液化形成油膜，因此不仅是喷嘴喷出的未液化部分燃油会进入气缸，油膜蒸发部分燃油也会进入气缸，如方程（2）。
这样如何更好的喷射燃油成为了一个问题。
1110101122211ττττ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦f ff v X x x u x x X x y =x && (2)其中12、,==ff fv x m x m &&=f y m &,=fi u m &这里面，表示油膜蒸发量ff m &、fvm &表示为液化部分燃油、fim &表示喷嘴喷射的燃油，在τf 、τv 、X 都已知的情况下，由现代控制理论知识，根据系统的增广状态空间模型方程（3）00000011011011114.70ττττ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦ff v v a X X u +q q m y q x x x &&& (3)其中()014.7⎰taq =y -m&。
由极点配置方法，只要设计控制器方程（4），就可以使得y 无差的跟踪阶跃输入，那么y 也能较好的跟踪AFR *am /&。
马昌凤课后习题答案(第1章到第10章)
( f g)(x (1 ) y) f (x (1 ) y) g(x (1 ) y) f (x) (1 ) f ( y) g(x) (1 )g( y) ( f (x) g(x)) (1 )( f ( y) g( y)) ( f g)(x) (1 )( f g)( y).
f (x) f (x)T (x x) 1 (x x)T A(x x) 2
f (x) f (x)T (x x).
于是根据凸函数的一阶充要条件得， f (x) 1 xTAx bT x 是严格凸函数。 2
4. 设 f (x) 是定义在 Rn 上的函数，如果对每一点 x Rn 及正数 t 均有 f (tx) tf (x) ，则称 f (x) 为正齐次函数。证明 Rn 上的正齐次函数 f (x) 为凸函数的充要条件是，对任何
x(1) , x(2) Rn ，有
f (x(1) x(2) ) f (x(1) ) f (x(2) ).
证：先证必要性。设正齐次函数 f (x) 为凸函数，则对任意两点 x(1) , x(2) Rn ，必有
f 1 x(1) 1 x(2) 1 f (x(1) ) 1 f (x(2) ).
x (1)
x (1) 1
x (1) 2
,
x
(
2)
x(2) 1
x(2) 2
及每个数
[0,1]
，有
x (1)
（1 )x(2)
xx12((11))
(1 (1
) )
x(2) 1
x(2) 2
.
由题设，有
x1(1)
（1 )x1(2)
|
x(1) 2
|
(1 ) |
x(2) 2
||
x2(1)
最优化 马昌凤 第二章作业
最优化方法及其Matlab程序设计习题作业暨实验报告学院：数学与信息科学学院班级：12级信计一班姓名：李明学号：1201214049第二章 线搜索技术一、上机问题与求解过程 1、用0.618法求解 .1)(min 2--=x x x f 初始区间]1,1[-，区间精度为50.=0δ. 解：当初始时不限制近似迭代函数值得大小，编写程序运行结果为：从结果可以看出迭代次数为9次，极小点为5016.0，极小点的函数值为2500.1-。
根据人工手算，极小值点应该为500.0，所以在设计程序的时候添加函数值误差范围，并取范围为10101-⨯。
编写的设计函数程序并调试改正如下：function [s,fs,k,G,FX,E]=gold(f,a,b,H,F) %输入：% f:目标函数，a ：搜索区间左侧端点；b:搜索区间右侧端点； % H ：搜索区间允许范围；F ：搜索区间函数值允许范围； %输出：% s:近似极小值点：fa ：近似极小点数值；k:迭代次数：% FX ：近似迭代函数值；E=[h,fh]，h 为近似区间误差，fh 为函数值误差 t=(sqrt(5)-1)/2;h=b-a; p=a+(1-t)*h;q=a+t*h;fa=feval(f,a);fb=feval(f,b); fp=feval(f,p);fq=feval(f,q); k=1;G(k,:)=[a,p,q,b];%初始时错误语句：G(1,:)=[a,p,q,b]; %初始调试的时候没有注意到后面需要开辟k 行空间 FX(k,:)=[fa,fp,fq,fb];while (abs(fa-fb)>F) ((b-a)>H) if (fp<fq)b=q;fb=fq;q=p;fq=fp;h=b-a;p=a+(1-t)*h;fp=feval(f,p); %初始时错误语句：b=q;fb=fq;h=b-a;q=a+t*h;fq=feval(f,q); %初始调试的时候对0.618方法没有充分理解所以出现错误 elsea=p;fa=fp;p=q;fp=fq;h=b-a;q=a+t*h;fq=feval(f,q);%初始时错误语句：a=p;fa=fp;h=b-a;p=a+(1-t)*h;fp=feval(f,p); %初始调试的时候对0.618方法没有充分理解所以出现错误 end极小点(s) 迭代次数搜索区间误差 函数值误差 0.501690.04260.0006k=k+1;G(k,:)=[a,p,q,b];%初始时错误语句：G(1,:)=[a,p,q,b]; %初始调试的时候没有注意到前面已经开辟k 行空间 FX(k,:)=[fa,fp,fq,fb]; end if (fp<fq) s=p;fs=fp; elses=q;fs=fq; endh=b-a;fh=abs(fb-fa);%选取试探点最小的数值为近似点，并且计算出以上为搜索区间的的最后误差以及函数值误差 E=[h,fh];在命令窗口内输入如下命令：[s,fs,k,G,FX,E]=gold(inline('s^2-s-1'),-1,1,0.05,1e-10) 回车之后得到如下数据结果：附：在窗口中输出的结果如下>> [s,fs,k,G,FX,E]=gold(inline('s^2-s-1'),-1,1,0.05,1e-10) s = 0.5000 fs = -1.2500 k = 24 G =-1.0000 -0.2361 0.2361 1.0000 -0.2361 0.2361 0.5279 1.0000 0.2361 0.5279 0.7082 1.0000极小点 极小点数值 迭代次数 搜索区间误差 函数值误差 0.500-1.250024410321.0-⨯0000.00.2361 0.4164 0.5279 0.70820.4164 0.5279 0.5967 0.70820.4164 0.4853 0.5279 0.59670.4164 0.4590 0.4853 0.52790.4590 0.4853 0.5016 0.52790.4853 0.5016 0.5116 0.52790.4853 0.4953 0.5016 0.51160.4953 0.5016 0.5054 0.51160.4953 0.4992 0.5016 0.50540.4953 0.4977 0.4992 0.50160.4977 0.4992 0.5001 0.50160.4992 0.5001 0.5006 0.50160.4992 0.4997 0.5001 0.50060.4997 0.5001 0.5003 0.50060.4997 0.5000 0.5001 0.50030.4997 0.4999 0.5000 0.50010.4999 0.5000 0.5000 0.50010.5000 0.5000 0.5000 0.50010.5000 0.5000 0.5000 0.50000.5000 0.5000 0.5000 0.50000.5000 0.5000 0.5000 0.5000 FX =1.0000 -0.7082 -1.1803 -1.0000 -0.7082 -1.1803 -1.2492 -1.0000 -1.1803 -1.2492 -1.2067 -1.0000 -1.1803 -1.2430 -1.2492 -1.2067 -1.2430 -1.2492 -1.2406 -1.2067 -1.2430 -1.2498 -1.2492 -1.2406 -1.2430 -1.2483 -1.2498 -1.2492 -1.2483 -1.2498 -1.2500 -1.2492 -1.2498 -1.2500 -1.2499 -1.2492 -1.2498 -1.2500 -1.2500 -1.2499 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2499 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.25001.0e-04*0.3121 0.00002、用0.618法求解.12)(min 3+-=x x x f的近似最优解，初始搜索区间为]3,0[，区间精度为50.=1δ. 解：当初始时不限制近似迭代函数值得大小，编写程序运行结果为：从结果可以看出迭代次数为8次，极小点为8115.0，极小点的函数值为0886.0-。
【人教A版】2017-2018学年数学必修五优化练习：第三章 章末优化总结 Word版含解析
章末检测(三) 不等式 时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式(x ＋3)2<1的解集是( ) A ．{x |x >－2} B ．{x |x <－4} C ．{x |－4<x <－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}解析：原不等式可化为x 2＋6x ＋8<0，解得－4<x <－2. 答案：C2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b ＋c B ．ac >bc C.c 2a －b>0 D.c 2a －b≥0 解析：∵a >b ，∴a －b >0，c 2≥0 ∴c 2a －b ≥0. 答案：D3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N 解析：因为M －N ＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，所以M >N ，故选A. 答案：A4．已知关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28<0的解集为{x |－7<x <－1}，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为不等式mx 2＋8mx ＋28<0的解集为{x |－7<x <－1}， 所以－7，－1是方程mx 2＋8mx ＋28＝0的两个根，且m >0，所以⎩⎨⎧－7－1＝－8mm ，－7×(－1)＝28m，∴m ＝4.答案：D5．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．6B ．9C ．12D ．15解析：x ，y 为正数，(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4xy ≥9，当且仅当y ＝2x 等号成立，选B. 答案：B6．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：可行域为如图所示的阴影部分，可知z ＝x －y 在点A (0，3)处取得最小值，∴z 最小值＝－3.答案：A7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －3)>10，x 2＋7x ＋12≤0的解集为( )A ．[－4，－3]B ．[－4，－2]C ．[－3，－2]D ．∅解析：⎩⎪⎨⎪⎧ －2(x －3)>10x 2＋7x ＋12≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －3<－5(x ＋3)(x ＋4)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－2－4≤x ≤－3⇒－4≤x ≤－3. 答案：A8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1解析：∵x 2y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，∴(1－xy )(1＋xy )＝1－x 2y 2≥34.∴x 2y 2≥0，∴34≤1－x 2y 2≤1. 答案：B9．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－4 B ．a ≥－4 C ．a ≥－12D ．a ≤－12解析：令y ＝2x 2－8x －4(1≤x ≤4)，则y ＝2x 2－8x －4在x ＝4时取得最大值－4，∴当a ≤－4时，2x 2－8x －4≥a 在1≤x ≤4内有解． 答案：A10．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6D ．8解析：∵a ，b 是实数， ∴2a >0,2b >0，于是2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝223＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2.答案：B11．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润((单位：亩)分别为( ) A ．50,0 B ．30,20 C ．20,30D ．0,50解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.表示的可行域如图，易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，可知当直线经过点B (30,20)，即x ＝30，y ＝20时，z 取得最大值，且z max ＝48.故选B.答案：B12．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x >0，y >0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值为( ) A.256 B.94 C ．1D ．4解析：作出可行域如图阴影部分所示(不包括坐标轴边界上的点)．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋1b z .因为a >0，b >0，所以－a b <0，作直线l 0：y ＝－abx 并向上平移，数形结合知，当l 0平移至过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0，x －y ＋2＝0得点A 的坐标为(8,10)，⎝⎛⎭⎫当且仅当5b 4a ＝a 5b 时取“＝”.∴⎝⎛⎭⎫5a ＋1b min ＝94. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．函数y ＝2－x －4x (x >0)的值域为________．解析：当x >0时，y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－2x ×4x＝－2. 当且仅当x ＝4x ，x ＝2时取等号．答案：(－∞，－2]14．不等式x ＋1x ≤3的解集为________．解析：x ＋1x ≤3⇔x ＋1－3x x ≤0，即2x －1x ≥0，∴x ＜0或x ≥12.答案：(－∞，0)∪[12，＋∞)15．已知不等式x 2－ax －b <0的解集为(2,3)，则不等式bx 2－ax －1>0的解集为________． 解析：方程x 2－ax －b ＝0的根为2,3. 根据韦达定理得：a ＝5，b ＝－6，所以不等式为6x 2＋5x ＋1<0，解得解集为⎝⎛⎭⎫－12，－13. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，－13 16. 设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥3，0≤x ≤4，y ≥1表示的平面区域，则D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．解析：画出可行域，由图知最优解为A (1,1)，故A 到x ＋y ＝10的距离为d ＝4 2.答案：4 2三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知f (x )＝x 2＋2x ＋2a －a 2，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：设g (x )＝x 2＋2x .因为f (x )>0，所以x 2＋2x >a 2－2a .只要使g (x )在[1，＋∞)上的最小值大于a 2－2a 即可． 因为g (x )＝x 2＋2x 在[1，＋∞)上单调递增， 所以g (x )min ＝g (1)＝3.所以a 2－2a <3，解此一元二次不等式，得－1<a <3. 所以实数a 的取值范围是(－1,3)． 18．(12分)已知f (x )＝x 2－(a ＋1a )x ＋1，(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a ＞0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解析：(1)当a ＝12时，有不等式f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，∴(x －12)(x －2)≤0，∴不等式的解集为{x |12≤x ≤2}．(2)∵不等式f (x )＝(x －1a )(x －a )≤0，当0＜a ＜1时，有1a ＞a ，不等式的解集为{x |a ≤x ≤1a}；当a ＞1时，有1a ＜a ，不等式的解集为{x |1a ≤x ≤a }；当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}．19．(12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？ 解析：设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y (目标函数)，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，得交点B (1.5,0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大． 20．(12分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．解析：(1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25. (2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k >66或k <－66.所以k <－66. 即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－66. 21．(13分)某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和． (注：f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额) (1)从第几年开始获利？(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂； ②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂． 问哪种方案最合算？为什么？解析：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，则f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n (n －1)2×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获利就是要求f (n )>0，所以－2n 2＋40n －72>0， 解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利． (2)①年平均利润＝f (n )n ＝40－2⎝⎛⎭⎫n ＋36n ≤16. 当且仅当n ＝6时取等号，故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－2(n －10)2＋128. 当n ＝10时，f (n )max ＝128.故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)． 故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案．22．(13分)设函数f (x )＝x ＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的最小值． 解析：(1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋ax ＋1，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，∵x ∈[0，＋∞)， ∴x ＋1>0，2x ＋1>0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时，f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，f (x )＝x ＋1＋ax ＋1－1. 若x ＋1＋ax ＋1≥2a ，则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号，此时x ＝a －1<0(不合题意)，因此，上式等号取不到．设x 1>x 2≥0，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋1－x 2－a x 2＋1＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a (x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1>x 2≥0，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>1，x 2＋1≥1. ∴(x 1＋1)(x 2＋1)>1，而0<a <1. ∴a(x 1＋1)(x 2＋1)<1， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a.。
工程最优化第三章
最优点同时与目标函数及约束函数的性质有关。存在两种情况：
x2
x2
x(0) =x*
x(0)
x*
S x1
(a) 无约束极值点x(0)S
S x1
(b) 无约束极值点x(0)S
! 目标函数的梯度等于零并不是约束问题的最优性必要条件！
带有不等式约束的优化问题的最优性条件通常是一组不等式与 方程，比较复杂的，很难求解，所以在一般情况下，不是直接 求解这些条件来获得极值点，而是使用各种迭代法求出近似的 极值点。但它在理论上很重要，是各种迭代方法的基础和依据。
（一）可行方向与起作用约束
定义：设点xS，p是一个方向，如果存在实数a1>0, 使对所有
a[0, a1]，有x+apS，则称p为点x 的一个可行方向,或容许
方向、允许方向。
p
几何上，若从x处沿方 向p引一射线，若该射 线起始端有一段在可 行域内，则这个方向p
就叫可行方向。
x S
! 是否为可行方向与起始点的位置有关！
例3.5.1 验证下面的非线性规划在最优点x*处不满足约束规范,
最优点不是K-T点：
min
f
(x) (x1 3)2
x
2 2
s.t g1 (x) x 2 (1 x1 )3 0
g 2 (x) x1 0
g3 (x) x2 0
解：显然最优点 min
fx*(=x[)x1*,(xx21*]T=3[)12,
0]T,
x
2 2
f
=
f
(x*)
=
4.
x2
下面验证在 s.t
因为 g1(x*)
gx*1 (=x[)1,0x]T2处不(1满足x1约)3束 规0 范。 =g02 ,(xg2)(x*) <x10,g03(x*)=0,
优化方案精品练习苏教数必修5第三章3.4.2课时活页训练
一、填空题1．下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是________．①y ＝x ＋4x ②y ＝lg x ＋1lg x ③y ＝x 2＋1＋1x 2＋1④y ＝x 2－2x ＋3 答案：④2．已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为________．解析：∵x ＋3y －2＝0，∴x ＋3y ＝2，∴3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥2 3x ·33y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝232＋1＝7，当且仅当x ＝1，y ＝13时等号成立． 答案：73．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4的最小值为________． 解析：f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －2)＋1x －2≥12·2 (x －2)·1(x －2)＝1， 当且仅当x －2＝1x －2且x ≥52，即x ＝3时取得最小值1. 答案：14．y ＝x ＋1x(x ≠0)的值域为________． 解析：当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时，等号成立．当x <0时，y ＝x ＋1x ＝－[(－x )＋1(－x )]， ∵－x >0，∴(－x )＋1(－x )≥2， 当且仅当－x ＝1－x， 即x ＝－1时，等号成立．∴y ＝x ＋1x≤－2. 综上，函数y ＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)5．函数3x 2＋6x 2＋1的最小值是________．解析：3x 2＋6x 2＋1＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥62－3.当且仅当3(x 2＋1)＝6x 2＋1时取“＝”． 答案：62－36．(2010年高考山东卷)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x ＞0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．∵x ＞0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5知0＜1u ≤15，∴a ≥15. 答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 7．已知0＜x ＜π，则函数y ＝sin x ＋2sin x的最小值为________． 解析：令t ＝sin x ，则t ∈(0,1]，函数y ＝t ＋2t，用函数的单调性定义不难证明此函数在(0,1]上是减函数．所以当t ＝1时，y ＝t ＋2t有最小值3. 答案：38．设a >0，b >0，且ab －a －b －1≥0，则a ＋b 的取值范围为________．解析：∵ab －a －b －1≥0，∴a ＋b ＋1≤ab ≤(a ＋b 2)2. 令a ＋b ＝t ，则t ＋1≤t 24， 即t 2－4t －4≥0，解得t ≥2＋22，或t ≤2－22，又t ＝a ＋b >0，故t ≥2(2＋1)．答案：[22＋2，＋∞)9．已知直线l 过点P (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为________．解析：设直线l 为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，则有关系2a ＋1b ＝1.对2a ＋1b＝1应用二元均值不等式，得1＝2a ＋1b ≥2 2a ·1b ＝22ab，即ab ≥8.当且仅当2a ＝1b 即a ＝4，b ＝2时取“＝”．于是△OAB 面积为S ＝12ab ≥4. 答案：4二、解答题10．求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值． 解：令t ＝x 2＋1，则t ≥1，且x 2＝t －1，∴y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1＝(t －1)2＋3(t －1)＋3t ＝t 2＋t ＋1t ＝t ＋1t＋1. ∵t ≥1，∴t ＋1t ≥2t ·1t ＝2.当且仅当t ＝1t，即t ＝1时，取“＝”， ∴当x ＝0时，函数取得最小值3.11．已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值． 解：1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2a ＋2b b＝1＋b a ＋2a b＋2 ≥3＋22ba ab＝3＋2 2. 当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝2－1，b ＝2－2时取“＝”． 故1a ＋2b的最小值是3＋2 2. 12．为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m 2的长方体二级净水处理池(如下图)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．(1)一般情况下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？(2)若受地形限制，净水处理池的长、宽都不能超过14.5 m ，那么此时净水池的设计为多少米时，可使总造价最低？解：(1)设净水池长为x m ，高为h m ，则宽为200x m ，则总造价f (x )＝400(2x ＋2·200x)·h ＋100·200x·h ＋ 60×200＝800h (x ＋225x )＋12000≥800h ·2 x ·225x＋12000. 当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时上述不等式取到“＝”，故当净水池的长设计为15 m 时总造价最低．(2)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤14.5，0<200x ≤14.5，即x ∈⎣⎡⎦⎤40029，292. 考察函数t ＝x ＋225x 在区间⎣⎡⎤40029，292上的单调性，可得出t ＝x ＋225x在区间⎣⎡⎦⎤40029，292上是单调递减函数，故当x ＝14.5时，f (x )有最小值，即当净水池的长为14.5 m 时，总造价最低．。
最优化原理与方法课后习题1
第一章、预备知识一、考虑二次函数()2211221223f X x x x x x x =++-+1) 写出它的矩阵—向量形式: ()f X =12TTQx x xb +2) 矩阵Q 是不是奇异的? 3) 证明: f(x)是正定的 4) f(x)是凸的吗? 5) 写出f(x)在点x =()2,1T处的支撑超平面(即切平面)方程解: 1) f(x)=xx x x x x2122212132+-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 2121⎪⎪⎭⎫⎝⎛6222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 21+11T-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 21 其中 x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 21 ,Q=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222, b=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11 2) 因为Q=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222,所以 |Q|=6222=8>0 即可知Q 是非奇异的3) 因为|2|>0, 6222=8>0 ,所以Q 是正定的,故f(x)是正定的4) 因为2()f x ∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222,所以|)(2x f ∇|=8>0,故推出)(2x f ∇是正定的, 即)(2x f ∇是凸的5) 因为)(x f ∇=2121(2x 2-1,261)x x x T+++,所以)(x f ∇=(5,11)所以 ()f x 在点x 处的切线方程为5(21-x )+11(12-x )=0 二、 求下列函数的梯度问题和Hesse 矩阵 1) ()f x =2x 12+xx x x x 23923121+++x x x 2322+2) ()f x =2212()21n l x x x x ++解: 1) )(x f ∇= (,94321x xx ++ 26321+++xx x, xx 219+))(2x f ∇=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛019161914 2) )(x f ∇=(x x x x xx 112221221+++,x x x x x x112221221+++))(2x f ∇=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------++++++++)()()()(2221212222212142221214222121222222121222212122221212212122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x 三、 设f(x)=xx x x x x x323223322122--+++,取点)1,1,1()1(Tx=.验证d )1(=(1,0,-1)是f(x)在点x )1(处的一个下降方向,并计算min >t f(x )1(+t d)1()证明: )(x f ∇=)124,123,x 2(233221-+-+x x x x T)5,4,2()(1Tx f =∇d )(1x f ∇=(1,0,-1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛542= -3<0所以d)1(是f(x)在x )1(处的一个下降方向f(x )1(+t d)1()=f((1+t,1,1-t))=433)1(1)1(221(222)1()1+-=----+++-+t t t t t t∇f(x )1(+t d)1()=6t-3=0 所以t=0.5>0所以0min >t f(x )1(+t d)1()=3*0.25-3*0.5+4=3.25四、设,,i i i a b c （j=1,2,….,n ）考虑问题Min f(x)=∑=nj jj xc 1s.t. b nj jjxa =∑=10≥xj(j=1,2,….,n)1) 写出其Kuhn Tuker 条件 2) 证明问题最优值是])([12112∑=nj j j b c a解：1）因),....,1(n j x j = 为目标函数的分母故0>x j所以λ*j （j=1,…,n ）都为0所以Kuhn Tuker 条件为 0)()(=∇+∇x h x f μ即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---x c x c x c n n 2222211 +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a n 21μ=0 2）将ac xjjjμ=代入 h(x)=0 只有一点得221(nj b n j bμ==⇒=∑=故有ac ca x jj nj jjj b∑==1所以最优解是21211()n j j j b a c =⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑.五、使用Kuhn Tuker 条件，求问题min f(x)=)2()1(2122--+x xs.t.,021212112≥≥=+=-x x x x x x 的Kuhn Tuker 点，并验证此点为问题的最优解 解：x=(1/2,3/2) 0≠ 故1λ*，λ*2=0 则 0)()()(2211=+∇+∇x x x f h h μμ 即0111142222121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--μμx x ⇒120,1μμ==-而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇2002)(2x f ()210g x *∇= ()220g x *∇= ()210h x *∇=()220h x *∇=,()()()()()()()22222211221122H x f x g x g x h x h x f x λλμμ***********=∇+∇+∇+∇+∇=∇(){}{}12121213|00|1020,22T T T x y h y h y y y y y y *⎧⎫⎛⎫=∇=∇==-+-=+-==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭故08)(2>=∇x x f x T ,即其为最优解.第二章、无约束优化问题一、设f(x)为定义在区间[a,b]上的实值函数，x *是问题min{f(x)|a b x ≤≤}的最优解。
优化方案精品练习苏教数必修5第三章3.3.1课时活页训练
一、填空题1．在已知五个点A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，D (1，－1)，O (0,0)中，位于直线x －2y ＋1＝0上方(不含边界)的点的个数是________．解析：位于直线x －2y ＋1＝0上方的点坐标满足不等式x －2y ＋1＜0，将上述五个点的坐标分别代入式子x －2y ＋1中知，点B 坐标满足不等式x －2y ＋1＜0.答案：12．若点(1,2)在Ax ＋By ＋5≤0表示的区域内，ω＝A ＋2B ，则ω的范围是________． 答案：ω≤－53．已知点(1,1)和(－1,2)在直线x ＋y ＋n ＝0的同侧，则n 的取值范围是________． 答案：n <－2或n >－14．如果点(5，a )不在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间的带形区域(含边界)内，则整数a 的取值范围为________．答案：a ≤3或a ≥65．直线l ：x ＋y －4＝0与线段AB 有公共点，其中点A (a ＋2,3)，点B (1,2a )，则a 的取值范围为________．解析：因为A 、B 两点在直线l 的两侧或其上．所以(a ＋2＋3－4)(1＋2a －4)≤0，即(a ＋1)(2a －3)≤0.解得－1≤a ≤32. 答案：－1≤a ≤326．设U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|x ＋y >m }，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤n }，点M (1,2)满足M ∈(∁U A )∩B ，则m 、n 的取值范围是________．答案：m ≥3且n ≥5 7.若满足x 2＋y 2－2y ＝0的实数x ，y 使x ＋y ＋c ≥0恒成立，则c 的取值范围是________．解析：画出图形，数形结合．答案：c ≥2－18．不等式|3x ＋2y ＋k |≤8表示的平面区域必包含两点(0,0)和(1,1)，则k 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3×0＋2×0＋k |≤8，|3×1＋2×1＋k |≤8. 即⎩⎪⎨⎪⎧ |k |≤8，|k ＋5|≤8.∴⎩⎪⎨⎪⎧－8≤k ≤8，－13≤k ≤3. ∴－8≤k ≤3.答案：－8≤k ≤39．点P (a ,4)到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，且在不等式3x ＋y ＞3表示的平面区域内，则P 点坐标为________．解析：由题意知|a －2×4＋2|1＋(－2)2＝25， 得a ＝16或a ＝－4.又P (a ,4)在不等式3x ＋y ＞3表示的平面区域内， ∴a ＝16，∴P (16,4)．答案：(16,4)二、解答题10．用不等式表示下列平面区域：解：(1)x －y ＋1≥0；(2) x ＋2y －2≥0.11．已知直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a ，b 不同时为0，c <0)，点P (x 0, y 0)和坐标原点位于直线l 同侧，求点P 到直线l 的距离．解：由题意得：(ax 0＋by 0＋c )·c >0，∵c <0，∴ax 0＋by 0＋c <0点P 到直线l 的距离d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2＝－ax 0＋by 0＋c a 2＋b2. 12．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在直线x －y －1＝0的上方，且点P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，求点P 的坐标．解：设点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋2y 0＋3＝0，x 0－y 0－1<0，|2x 0＋y 0－6|5＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－5，y 0＝1.∴P (－5,1)。
2013优化方案人教版生物必修3知能演练第三章章末综合检测
(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本题包括25小题，每小题2分，共50分)1．(2011·高考山东卷)下列与激素作用无关的实例是()A．草莓果实自然发育成熟B．人舌尖触到蔗糖时感觉甜C．自然生长的雪松树冠呈塔形D．饥饿时人体血糖仍维持正常水平解析：选B。
果实的发育和成熟与生长素、乙烯等植物激素有关，A项不符合题意；人舌尖的味蕾内有味觉感受器，接受刺激产生兴奋，会在大脑皮层产生相应感觉，属于反射活动，与激素作用无关，B项符合题意；自然生长的雪松树冠呈塔形，是生长素生理作用的两重性引起的顶端优势现象，C项不符合题意；饥饿时人体血糖水平的维持正常与胰高血糖素和肾上腺素等的调节有关，D项不符合题意。
2．用云母片插入燕麦胚芽鞘尖端的不同部位(如下图)一段时间后，弯向光源生长的是()A．①③⑤⑦B．①④⑥C．③⑤⑦ D．②⑤⑦答案：A3．在方形暗箱内放一盆幼苗，暗箱的一侧开一小窗，固定光源可从窗口射入。
把暗箱放在旋转器上水平旋转，保持每15 min匀速转一周的速度。
则一星期后幼苗生长状况为图中的()解析：选B。
据题意知，光源固定，花盆与暗箱的相对位置也固定，花盆中的幼苗所接受的光照只能来自于暗箱上的小孔，若花盆与暗箱同时旋转，则幼苗就会向着暗箱的窗口方向生长。
4．通过下图可以直接得出的结论有()A．生长素能促进植物生长B．单侧光照引起生长素分布不均匀C．生长素能由植物体形态学的上端向形态学下端运输D．感受光刺激的部位是胚芽鞘尖端解析：选A。
甲、乙实验对比直接证明了生长素具有促进植物生长的作用。
实验材料均为切去尖端的胚芽鞘，故不能验证B和D项。
该实验也不能验证C项，因为还缺少一个必要的对照实验。
5．将甲、乙两株幼苗分别种在单侧光照射的暗盒中，幼苗顶端罩上不透光的锡箔小帽，结果幼苗直立生长，乙幼苗不戴锡箔小帽，结果弯向光源生长，此实验主要说明() A．植物生长具有向光性B．向光性与植物生长无关C．尖端是感光部位D．尖端能产生某种能促进生长的物质解析：选C。
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最优化方法及其Matlab程序设计习题作业暨实验报告学院：数学与信息科学学院班级：12级信计一班姓名：李明学号：1201214049第三章 最速下降法和牛顿法一、上机问题与求解过程1、用最速下降法求212221216423),(x x x x x x f --+=的极小值。
解：仿照书上编写最速下降法程序如下：function [x,val,k]=grad(fun,gfun,x0) %功能：用最速下降法求解无约束化问题：min f(x) %输入：x0是初始点，fun,gfun 分别是目标函数和梯度 %输出：x,val 分别是近似嘴有点和最优值，k 是迭代次数 maxk=5000;rho=0.5;sigma=0.4;%一开始选择时选择的rho 和sibma 选择的数据不够合理，此处我参照书上的数据编写数据 k=0;epsilon=1e-5; while (k<maxk)g=feval(gfun,x0); %计算梯度 d=-g;%计算搜索方向if (norm(d)<epsilon),break ;end m=0;mk=0; while (m<20)%Armijo 搜索if (feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d) mk=m;break ;%直接利用Armijo 搜索公式,一开始的时候没有记住公式编写出现错误 end m=m+1; endx0=x0+rho^mk*d; k=k+1; end x=x0;val=feval(fun,x0) %求得每一个的函数值然后仿照书上建立两个目标函数和梯度的M 文件：function f=fun(x)f=3*x(1)^2+2*x(2)^2-4*x(1)-6*x(2); function g=gfun(x) g=[6*x(1)-4,4*x(2)-6]';选取初始点为']0,0[，调用函数程序，得出最小极值点为']500.1,6667.0[，极小值为8333.5-，在界面框中输入的程序如下：[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0) val = -5.8333 x =0.6667 1.5000 val =-5.8333 k = 10从结果可以看出迭代次数为10次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。
2、分别用牛顿法和阻尼牛顿法求解函数21222121484),(x x x x x x f --+=的极小点。
解： 牛顿法：改编书上的阻尼牛顿法，将Armijo 线性搜索公式去掉，改编为牛顿法，其中程序为：function [x,val,k]=netwn(fun,gfun,Hess,x0) %功能：用牛顿法求解无约束问题：min f(x) %输入：x0是初始点，fun,gfun,Hess 分别是求 % 目标函数值，梯度，Hesse 矩阵函数%输出：x,val 分别是近似点最优解和最优质，k 是迭代次数 maxk=500;%因为是牛顿法，感觉不能简单直接找出最佳数值，所以需要加大迭代次数 k=0;epsilon=1e-5; while (k<maxk)gk=feval(gfun,x0);%计算梯度 Gk=feval(Hess,x0);%计算Hess 矩阵 if (norm(gk)<epsilon),break ;end dk=-Gk\gk;%计算搜索方向 x0=x0+dk;%直接根据前面的算法框架，得出上面迭代步骤 k=k+1; end%只是将阻尼牛顿法，简单的删去Armijo 搜索公式 x=x0;val=feval(fun,x);然后仿照书上建立两个目标函数和梯度的M 文件：function f=fun(x)f=4*x(1)^2+x(2)^2-8*x(1)-4*x(2);function g=gfun(x)g=[8*x(1)-8,2*x(2)-4]';最后仿照书上建立Hess矩阵的M文件：function He=Hess(x)n=length(x);He=zeros(n,n);He=[8,0;0,2];选取初始点为']0,0[，调用函数程序，得出最小极值点为']2,1[，极小值为8 ，在界面框中输入的程序如下：x0=[0 0]';x,val,k]=netwn('fun','gfun','Hess',x0)x =12val =-8k =1从结果可以看出迭代次数为10次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。
下面看阻尼牛顿法：阻尼牛顿法：仿照书上编写程序并结合Armijo线性搜索步长，有算法程序如下：function [x,val,k]=znetwn(fun,gfun,Hess,x0)%功能：用牛顿法求解无约束问题：min f(x)%输入：x0是初始点，fun,gfun,Hess分别是求% 目标函数值，梯度，Hesse矩阵函数%输出：x,val分别是近似点最优解和最优质，k是迭代次数maxk=100;rho=0.50;sigma=0.4;k=0;epsilon=1e-5;while(k<maxk)gk=feval(gfun,x0);%计算梯度Gk=feval(Hess,x0);%计算Hess矩阵dk=-Gk\gk;%计算搜索方向if(norm(gk)<epsilon),break;end%检查终止准则m=0;mk=0;while(m<20)if(feval(fun,x0+rho^m*dk)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*gk'*dk)mk=m;break ; end m=m+1; endx0=x0+rho^mk*dk; k=k+1; end%Armijo 搜索公式简单的加入牛顿算法中，便得到阻尼牛顿法 x=x0;val=feval(fun,x);两个目标函数、梯度的M 文件和Hess 矩阵的M 文件与牛顿法的相同，做题时直接在源程序上进行改编。
选取初始点为']6,4[，调用函数程序，得出最小极值点为']2,1[，极小值为8-，在界面框中输入的程序如下：x0=[4 6]';[x,val,k]=netwn('fun','gfun','Hess',x0) x = 1 2 val = -8 k = 1从结果可以看出迭代次数为1次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。
3、用最速下降法程序求函数2214121)2()2()(x x x x x f -+-=的极小点，取初始点为T x )3,0(0=。
解：运用上面第一题的程序，建立两个目标函数和梯度的M 文件：function g=gfun(x)g=[4*(x(1)-2)^3+2*(x(1)-2*x(2)),-2*(x(1)-2*x(2))]'; function f=fun(x)f=(x(1)-2)^4+(x(1)-2*x(2))^2;在对话框中输入语句，计算结果为]0075.1,0151.2[。
输入界面语句如下：x0=[0 3]';[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0) val =5.1443e-08 x = 2.0151 1.0075 val = 5.1443e-08 k = 21864、用牛顿法程序求Rosenbrock 函数212212)1()(100)(-+-=x x x x f 的极小点，取初始点为t x )1,2.1(0-=。
解：利用上面一道题的牛顿法程序，两个目标函数、梯度的M 文件和Hess 矩阵的M 文件分别为：function f=fun(x)f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(x(1)-1)^2; function g=gfun(x)g=[200*(x(2)-x(1)^2)*2*x(1)+2*(x(1)-1)*x(1),200*(x(2)-x(1)^2)]'; function He=Hess(x) n=length(x); He=zeros(n,n); He=[-400,400*x(1); 400*(1),200]选取初始点为t x )1,2.1(0-=，调用函数程序，得出极小极值点为']7778.77,8422.8[-，极小值为4648.113，在界面框中输入的命令如下： >> x0=[4 6]';>> [x,val,k]=netwn('fun','gfun','Hess',x0) He = 1.0e+03 *-0.4000 -3.5265 0.4000 0.2000 x = -8.8422 77.7778 val = 113.4648 k = 500从结果可以看出迭代次数为500次，已经达到最大迭代次数，结果不可靠。
二、实验结果与心得1、通过第一题与后面两道题比较可以得出，在寻去极小值点的时候最速下降法没有牛顿法收敛的速度快。
2、通过第二题可以比较得出，牛顿法没有阻尼牛顿法收敛到最佳极小值点的速度快，迭代次数少，这与题中的线性搜索是离不开的，但是两种方法测结果形同，相差的只是时间上的区别。
3、通过做第三题的时候可以得出，在做含有高次指数幂函数时候，牛顿法搜索极小值显然有些速度较慢，迭代次数明显比指数一次的时候要多。