2017年高考数学分类解析 平面向量

专题07 平面向量的线性运算及其应用（高考押题） 2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破

1．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →

＝( ) A ．(2,4)

B ．(3,5)

C ．(1,1)

D ．(－1，－1)

【答案】C 【解析】DA →＝CB →＝AB →－AC →

＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．

2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →

＝( ) A.12AB →＋12AD → B ．34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD →

D.12AB →＋34AD →

【答案】B 【解析】因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →

)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →

，故选B. 3．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

4．将OA →＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到OB →，则OB →

＝( )

A.⎝

⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32 B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1＋32，1－32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，－1＋32 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1＋32，－1－32 【答案】A 【解析】由题意可得OB →

的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫24－64＝1－32，

纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝

⎛⎭⎪⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1－32，1＋32，故选A. 5．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →

方向上的投影等于( ) A ．－3

2

B ．32

C.3

2

D ．3

【答案】C 【解析】由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →

|＝|OB →|＝|OC →|.又因为|AO →|＝|AC →

|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →

|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝3

2，故选C.

6．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →

(λ∈R ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1，2]

D ．(－1,0)

【答案】B 【解析】由题意可得OD →＝k OC →＝k λOA →＋k μOB →

(0

k >1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.

7．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝1

3，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4

B ．－4

C.94 D ．－94

8．如图3­3，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →

等于( )

图3­3

A ．－34

B ．－89

C ．－14

D ．－49

【答案】B 【解析】∵BF →＝2FO →

，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，

∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝⎛⎭

⎫

132＋0－1＝－89.

9．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已

知向量m ＝⎝⎛⎭⎫12，4，n ＝⎝⎛⎭

⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，

且满足OQ →＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦

⎤π6，π3上的最大值是( )

A ．4

B ．2

C ．2 2

D ．2 3

【答案】A 【解析】因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭

⎫π6，0⇒(x ，y )＝

⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0

⇒⎩⎪

⎨⎪⎧

x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，

即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭

⎫2x －π3，

当x ∈⎣⎡⎦

⎤π6，π3时，

由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝

⎛⎭⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤4， 所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦

⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.

10．已知平面向量a 与b 的夹角为π

3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则|b |＝__________. 【答案】2

【解析】由题意得|a |＝12＋

3

2

＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝