第三章流体运动学

3.1 研究流体运动的方法
描述流体运动的两种方法
拉格朗日法，研究的是流体中具体的各个质点流动参数的 变化规律，来获得整个流体的运动规律。跟踪各个流体质点 N=N(a,b,c,t)的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理 量随时间的变化及其规律。又称为“质点跟踪法”。 欧拉法，它以考察流场中流体的不同质点通过固定空间
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
3.2 基本概念
三 质点导数
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
2. 速度：
x ( a，b，c，t ) t y( a，b，c，t ) v v ( a，b，c，t ) t z ( a，b，c，t ) w w ( a，b，c，t ) t u u( a，b，c，t )＝
u(a，b，c，t ) 2 x (a，b，c，t ) a x a x ( a，b，c，t )＝ t t 2 2 v ( a，b，c，t ) y(a，b，c，t ) a y a y ( a，b，c，t ) t t 2 2 w (a，b，c，t ) z (a，b，c，t ) a y a y ( a，b，c，t ) t t 2
3.2 基本概念
2、流线（假想的曲线）
流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的切线都与
速度矢量相重合。与欧拉法对应。
u6 u1 u2 3 4
流线
u3
6 u 5 5 u4
1
流线的微分 方程式
2
dx dy dz ux u y uz
流线方程（投影法、也可以根据矢量叉乘法推导）
根据流线的定义，可得出流线的微分方程。如图所示，在 流线AB上取一微分段 ds，将其看作是直线，此时流速矢量u与 微分段ds重合。速度u在各坐标轴上的投影为ux、uy、uz，ds在 坐标轴上的投影为dx、dy、dz。 u z B u uz dx ux dy y dz , , ds u ds u ds u ds u
3. 流体质点的加速度：
3.2 基本概念
三--2、欧拉法表示的质点导数 流体质点运动的加速度
ax
u u( x , y, z , t )
du x u x u x dx u x dy u x dz dt t x dt y dt z dt
ux dx dy dz , uy , uz dt dt dt
流场的两个特例
3.2 基本概念
v v ( x, y , z ) p p ( x, y , z )
一、定常流动和非定常流动
1. 定常流动 流动运动参量，不随时间t变化的流动,只是空间坐标的函数
( x, y , z )
特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而 与时间无关，即具有时间不变性。也即：
同理并推导得
u y u x u u ux x u y u z z 矢量形式： t x y z d u u u y u y u y u y a ( u ) u ay ux uy uz dt t t x y z 其中哈密顿算子 nabla i j k u u x u z u z y x y z az ux uy uz t x y z ax
如教材图3-1，分析在h不变和改变情况下，a段和b段 的流场及其加速度情况。
3.2 基本概念
四、迹线与流线
属拉格朗日法 的研究内容。
1、迹线定义：流体的某一个质点在不同时刻形成的曲线（轨迹线）
举例 烟火 流星
迹线方程 迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线。流体质 点在某一时段的运动轨迹称为迹线。由运动方程：
基本参数： 位移 流体质点的位置坐标：
x x(a，b，c，t ) y y(a，b，c，t ) z z (a，b，c，t )
物理概念 清晰，但 处理问题 十分困难
独立变量：（a,b,c,t）——区分流体各个质点的标志，初始
位置坐标（a，b，c）与时间变量t无关。
3.1 研究流体运动的方法
d x u xd t d y u yd t d z u zd t
便可得到迹线的微分方程：
dx dy dz dt ux uy uz
流线和迹线是两个不同的概念，但是，在恒定流/定常 流/稳定流中，流线不随时间变化，流线上的质点继续沿流 线运动，此时流线和迹线在几何上是一致的，两者重合。
3.1 研究流体运动的方法
一、基本概念
1. 运动要素：表征流体运动状态的物理量，如位移，速度，加速度
2. 运动要素之间的规律
① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。 3. 场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说
流体运动空间的每一点、在某一个时刻，都对应着描述流体运动状态
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不是坐标的函数 即：
u u u P P P ... 0 x y z x y z
2. 非均匀流动：如果均匀场中任何一个物理量的分布不具有空间不 变性，则为非均匀流动
3.2 基本概念
补充:一维流动、二维流动和三维流动
dx ds dy ds dz ds , , ux u u y u uz u
A dz dx
dy
y
uz ux
dx dy dz ds ux u y uz u
y
x
图3－6 式中ux、uy、uz 是空间坐标x，y，z和时间t 的函数。所以流线是针对某一 时刻而言的，时间t的变化会引起速度的变化，流线的位置形状也会随之变化。 只有当流速不随时间变化时（定常流），流线才能不随时间变化。
的参量有一个确定的值，即物理的场
场的分类： 矢量场 标量场
稳定场 时变场
4. 场的描述方法
描述流体运动就是表达流动参数在空间不同位置上随时间连续变 化的规律。
流动参数：表征流体运动的主要物理量统称为流体的流动参数。包 括：流动速度V、压力P 、位移(x,y,z)、密度、动量、动能等。
描述流体运动是从着眼于研究流体质点的运动，还是着 眼于研究流场空间点上流动参数的变化出发，可分为：拉格 朗日（Lagrange）法和欧拉（Euler）法。
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3.1 研究流体运动的方法
优缺点：
√ 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时 变过程 × 数学求解较为困难，很难建立起流体运动轨迹 的数学方程。一般问题研究中很少采用
3.1 研究流体运动的方法
三、 Euler法（欧拉法）
以数学场论为基础，着眼于流场中的某一固定的空间区域 内，任何时刻物理量在场上的分布规律。任意一个物理量N的速 度场可以描述为： u u( x, y, z , t )
第三章 流体运动学
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
3.1 研究流体运动的方法
欧拉法的优越性：
1. 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具 来研究。 2. 采用欧拉法，加速度是一阶导数；而拉格朗日法，加 速度是二阶导数。所得的运动微分方程，分别是一阶 偏微分方程、和二阶偏微分方程。在数学上一阶偏微 分方程比二阶偏微分方程求解容易。 3. 在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。 基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。 拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某 些问题中方便。
3.1 研究流体运动的方法
四、两种描述的关系
两种方法的比较 拉格朗日法
同时描述所有质点的瞬时参数 表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的
欧拉法
分别描述有限质点的轨迹 表达式简单 直接反映参数的空间分布 适合描述流体元的运动变形特性 流体力学最常用的解析方法
3. 流线的性质
3.2 基本概念
v1
交点
（1）定常流动时流线形状不变（速度不随时间变化，则 代表速度方向的流线形状也与时间无关），流线与迹线重合。 非定常流动时流线形状发生变化。 （2）流线是一条光滑的曲线，流线彼此不能相交， 不可能突然转折，但可以相切。
（3）流线簇的疏密反映了速度的大小；流线的弯曲程 度表示了流动速度变化的快慢程度。 （4）均匀流因质点速度大小方向不随位置而变化，故 其流向是相互平行的直线。同一条流线上的流速相等。
二、拉格朗日法（质点跟踪法）
几点说明：
1、对于某个确定的流体质点，初始坐标（a，b，c）为常 数，与时间无关，t为变量——轨迹 2、t为常数，（a，b，c）为变数——某一瞬时刻不同流体质 点的位置分布 3、a，b，c为Lagrange变数，不是变量，也不是空间坐标 和时间t的函数，它只是流体质点的标号
v p T ... 0 t t t t
3.2 基本概念
一、定常流动和非定常流动（续）
2. 非定常流动
流动参量，随时间变化的流动。
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
运动中的流体质点所具有的物理量N(速度、压强、密 度、质量、温度、动量、动能等)对时间的变化率，称为物
理量N的质点导数。
三--1、拉格朗日法表示的质点导数
质点物理量：
1. 流体质点的位置坐标：
x x(a，b，c，t ) y y(a，b，c，t ) 流体质点的运动方程 z z (a，b，c，t )
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
质点加速度：
d u u a ( u ) u dt t


当地加速度
迁移加速度wenku.baidu.com
第一部分：是由于某一空间点上流体质点的速度随时间的变 化而产生的，称为当地加速度。定常场中此式为0 第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变 化而产生的，称为迁移加速度。均匀场中该项为0.
点的运动情况，来了解整个流动空间内的流动情况。它是基
于“流场”的概念的，又称为“观察点法” 。
3.1 研究流体运动的方法
二、拉格朗日法（质点跟踪法） 基本思想：当初始时刻t0某个质点的初始位置（a,b,c）（各 个质点的a,b,c的值各不相同），经过Δt后该质点到达新的位 置(x,y,z)。x=x(a,b,c,t)……