群的定义比较及其应用定稿
群的基本概念.
（2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ）
∴ (AB)-1 = B-1A-1
三、 群阶: 群元的数目（g）
有限群 h（g 为有限）
无限群 ∞
四, 可换群:
离散的无限群 （可数的无穷多） 连续群 （不可数的无穷多）
( Abel 阿贝尔群 )
1、 群乘：将集合中的任意两个元素构成唯一的另一个 元素的一种运算。群乘不一定是代数运算中的乘法（如相继 操作），也不一定满足交换律。 2、交换群（阿贝尔群）： 群乘与群元的顺序无关 AB = BA
的晶体结构只有确定的230种。（230个空间群）
通过对这些具有一定力学性能、物理性能的材料
的微观本质的分析，可以反过来利用对称群分析看看
可以通过哪些方式（如掺杂等）来改变晶体的晶格以
获得性能更佳、物理效应更显著的晶体。
相似的物理性能
（压电、铁电、热释电、光学性能等）
对称性
晶体结构
对称性分析
改变晶体的结构
伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并 用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而 且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪 念他，人们称之为伽罗瓦理论。 正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学 的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数 学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数 学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数 学发展现代阶段的开始。
站在巨人阿贝尔的肩膀上面
• 这样的求根公式究竟有没有呢?在伽罗瓦刚 上中学不久，年轻的挪威数学家阿贝尔已经 作出了回答：“没有。”阿贝尔从理论上予 以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开 方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都 决不可能是一般五次方程的求根公式。
定稿的名词解释
定稿的名词解释一、引言定稿，作为一个常见的词汇，经常在办公场合中出现。
它具有一定的实际意义和使用方法。
通过对定稿的深入解释，能够帮助人们更好地理解和运用这一概念。
本文将对定稿进行详细剖析，揭示其背后的含义和应用。
二、定稿的定义定稿，指的是在完成初稿之后经过修改、补充和完善后的最终版本，通常被视为最正式、最终的文本作品。
在各行各业中，均有定稿这一概念的存在，它对于保证文本的准确性、合格性以及一致性都起着重要作用。
三、定稿的过程1. 修改：定稿的过程通常开始于对初稿的修改。
在修改中，人们会审查和审核文本中存在的错误、不合理之处，以确保文本的正确性和清晰度。
同时，人们还会对表达方式、语气、用词等进行优化和改善，以使得文本更具可读性和良好的沟通效果。
2. 补充：在确认初稿的基础上，定稿的过程还可能包括对文本内容的补充。
补充的内容可以是初稿中遗漏的重要信息，亦或是根据需求和目标群体的反馈，增加对某个问题的详细描述。
补充不仅能够提高文本的完整性和信息量，还可以让读者更充分地了解所涉及的话题。
3. 完善：最后一步是对定稿进行完善。
这一过程主要包括对定稿的排版、格式进行调整，确保文本的版式规范和美观。
同时，也要对文中的图片、图表等进行优化和调整，以提高视觉效果。
完善是定稿过程中不可忽视的环节，是文本最终达到高质量的必要步骤。
四、定稿在不同领域中的应用1. 文学创作：在文学创作中，定稿扮演着决定性的角色。
作家们需要通过反复的修改和完善，将初稿中的思想和情感融入到最终的文本中。
只有经过多次的审阅和推敲，才能使作品更加精炼、有力地表达出作者想要传达的主题和意图。
2. 学术论文：学术界对于定稿有着更为严格的要求。
在学术论文中，定稿需要经过严格的评审和同行专家的批阅，才能最终被正式发布或发表。
在这个过程中，作者需要对研究内容进行充分论证和分析，确保论文的学术性和科学性。
3. 商务合同：商务合同的定稿对于商业活动的顺利进行至关重要。
第四章-种群与群落(定稿)
第四章种群和群落第1节种群的特征一、学习目标:1.列举种群的特征, 种群的特征之间的内在关系。
2、初步学会调查种群密度的方法, 分析种群其他特征对于种群密度的影响3. 能用种群特征去描述身边的种群, 并能对种群的研究提出有建设性的看法；关注人口问题, 认同计划生育国策、关注濒危动物种群数量的变化及措施。
二、学习重点: 种群的基本特征及内在关系学习难点: 样方的选择和确定【自学导航】: 带着问题进课堂掌握学习主动权（一）种群的概念:生活在的生物的个体。
思考: 个体与种群的区别与联系是什么呢？种群各特征之间有内在的联系吗？（二）种群的特征:1. 种群密度概念: 是指在________ _或________ _中的个体数。
意义: 反映了种群在一定时期的数量。
种群密度是种群最基本的________ _。
调查方法: ___________法和_________ __法。
（1）如果要调查某麦田中某杂草的种群密度, 可用_________法, 简要写出该方法调查种群密度的步骤：①调查对象: 一般选取__________植物作为调查对象。
②样方多少: 一般来说, 样方数量_______, 调查结果_________。
③样方大小: 对草本植物而言, 一般以的正方形为宜。
④样方位置：要做到_________, 是取样的关键。
⑤取样方法: 法和法。
⑥测量方法: 在被调查种群的分布范围内, 选取若干样方, 计算出所有样方种群密度的 , 作为该种群的种群密度估计值。
（2）如果要调查某麦田中田鼠的种群密度, 应用_________ __法。
①应用范围: 活动能力 , 活动范围的动物。
②测量方法: 在被调查的种群的活动范围内, 捕获一部分个体, 做上后再放回原来的环境中, 经过一段时间后进行 , 根据重捕到的动物中占总个体数的比例, 估计种群密度。
思考：在调查种群密度时, 样方法与标志重捕法有什么不同？尝试在适用对象、统计方法和注意问题上分析？2. 出生率和死亡率:⑴概念:出生率: 在单位时间内_____________的个体数目, 占该________个体总数的比例。
群的等价定义及其证明
群的等价定义及其证明1 引言群是具有一种代数运算的代数系，是代数结构中重要的一种．群的系统研究起源于19世纪初Galois 研究多项式方程根式解的问题．这是数学史中一块众所周知的里程碑．随后人们在理解了Galois 的思想之后，于19世纪中叶给出了抽象群的概念，开始以公理化的方式研究群．群论是近世代数的重要内容，近世代数又在近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而群论是现代科学技术的数学基础之一．时至今日，群论的发展已日趋完善，在各个学科领域得到广泛的应用．为了便于学习、掌握群的知识和全面、深刻理解群的概念，以下给出了群的近十种定义，并通过证明，阐明群的各个定义间的等价关系．2 预备知识代数系[]1(23)P - 设A 、B 是两个非空集合，映射σ:A B C ⨯→称为A B ⨯到C 的一个代数运算．称(),,A B C σ⨯是一个代数系，特别地，当B C =时，称σ是A 左乘B 的代数运算，当A C=时，称σ为B 右乘A 的代数运算，当A B C ==时，称σ为A 的一个二元运算，此时代数系统记作()σ,A 或简记作A ．半群[]1(5)P 设() ,A 是一个代数系统，定义A 的一个二元运算“ ”，我们称它为乘法运算，如果“ ”满足结合律，则称() ,A 是一个半群．幺半群[]1(7)P () ,A 是半群，如果有e G ∈，恒有a ae ea ==，则称e 是A 的单位元，又称幺元，() ,A 就称为幺半群．为简便其间，在以下群的定义当中所定义的二元运算，即乘法运算“ ”不再书写．3 群的定义定义 1[]1(24)P 若幺半群() ,G 中每个元都有逆元，则称() ,G 是一个群．定义 2 设G 是半群，G 中存在左幺元素e （即对a G ∈，均有ea a =），并且G 中每个元素a均有左逆元素1-a ( 即1a a e -=)， 则称G 是一个群．定义 3[]2(33)P 一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于的G 任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个左单位元e ，能让ea a =，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元a1-，能让1a a e -=． 定义 4[]3(21)P 设G 是半群，对于任意元素a 、b ∈G ，方程ax =b 和xa =b 在G 都可解，则称G 为群．定义 5[]2(31)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的 ;Ⅱ．结合律: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元素a 、b 、c 都对;Ⅲ．对于G 的任意两个元a 、b 来说ax =b 和ya =b 都在G 里有解．定义 6[]2(35)P G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: ∀a 、b ∈G ，∃c G ∈，使ab =c ;Ⅱ．结合律: ∀a 、b 、c G ∈， ()bc a =()c ab ;Ⅲ．右单位元: ∃e G ∈，∀a ∈G ，a ea =;Ⅳ．右逆元: ∀a ∈G ， ∃1-a ∈G ，e a a =-1．定义 7[]3(21)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个单位元e ，使a ea ae ==，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ， G 里至少存在一个逆元1-a ，使 a a 1-=a 1-a =e ．定义 8 设一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: a ∀、b G ∈，ab ∈G ;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c G ∈，()bc a =()cab 成立; Ⅲ．存在右单位元，即对∀a ∈G ae =a ;Ⅳ．存在左逆元，即对a ∀∈G ∈∃-1a G 使得e a a =-1;Ⅴ．左商不变性: 对a ∀、b ∈G ， 都有11--=bb aa．4 群的等价证明(为了简便只对定义间的不同条件做等价证明)定义1⇒定义2 由定义1可知G 中有单位元e ，对∈∀a G 使得a ae ea ==，且每个元都有逆元．显然，G 中存在左幺元e 使a ae =．并且G 中每个元素均有左逆元1-a ，使得1a a e -=．定义2⇒定义3 显然成立．定义3⇒定义4 从定义3的条件可知G 中存在左单位元e ，并且对a ∀、b G ∈，G 中1a -∃、1b -使得1a a e -=，1b b e -=，ea a =，由封闭性1ba G -∈，显然1ba a b -=，即xa b =在G 中有解，再由ax b =，可得11a ax a b --=．显然易得1ex x a b -==，且有1a b G -∈，因而ax b =在G 中也有解．定义4⇒定义5 显然成立．定义5⇒定义6 由定义5可知，在G 里对a G ∀∈ ，ax a =有解，设x e G =∈即ae a =．对b G ∀∈， ya b =在G 里有解，则be yae ya b ===，所以e 为右单位元．且有ax e =在G 中有解，设1x a -= 即1aae -=．由a 的任意性可得，对于G 里的每个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，使1aa e -=．定义6⇒定义7 由定义6可知，G 里面存在右单位元e ，对于a G ∀∈，都有右逆元即1ae a aa e -==，．设元1a -的右逆元为11a -，即111a a e --=，又111111a ea a a e ----=，可得1111a aa a e ---=，得1a a e -=．显然1a -同为a 的左逆元，又由于1ae aa a ea a -===，e 同时为左单位元，所以G 里面至少存在一个单位元e ，能让ae ea a ==．同样G 里面至少存在一个逆元1a-能使11aa a a e --==，其中a G ∀∈．定义7⇒定义8 由定义7可知，在G 里存在右单位元e ，使得a G ∀∈，ae a = ，存在逆元，即对于a G ∀∈，1a G -∃∈使得11a a aa e --==．显然G 的每一个元a 存在左逆元1a G -∈，使得1a a e -=．且对a b G ∀∈，，即11a b G --∃∈，，使得11aa bb --=．定义8⇒定义1 设G 为一个非空集合，根据定义8可知，G 中存在右单位元e ，使得对a G ∀∈，都有ae a =．且每个元都有左逆元．则有1e G -∈，使得11e e e e --==．且可知1ee ee e -==．对1a G -∈使得1a a e -=，11aa ee e --==．由a 的任意性可知，G 里每个元素都有右逆元．又由1ae aa a a -==，可得ea a =，即e 同时为左单位元．显然(),G 为幺半群，且每个元都有逆元．5 有限群定义[]2(3840)P -设 G 是一个有限非空集合，对于一个叫做乘法的代数运算， 称G 是一个群，假如满足: Ⅰ．封闭性: a b G ∀∈、，bc G ∈;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c ∈ G ，()bc a =()c ab 成立;Ⅲ．左消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若zy zx =，则y x =，右消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若yz xz =，则y x =．证明 （此处用定义１的各个条件证明G 是一个群）集合G 是代数运算封闭且满足结合律．则首先是个半群．因G 为限集，不妨设G n =，对于a G ∀∈，设'121{,,,,}n n G a a a a+=⋅⋅⋅，显然'G 中元素的个数有1n +个．又有'G G ⊂，所以'G 中至少有两个元素相等．在此不妨,(11)i ja a j i n =≤≤≤+．再设G 存在元素1e ，使得1j j a e a =，那么i j a a =等价于1j i j j a a a e -=，由左消去律得1i j a e G -=∈，显然同样有1j i j j i j e a a a a a -===，有i j a a =得1i j i j j aa a aa ---=，由右消去律可得i j a a a -=，即1e a a =，易知1ae a =．对∀b G ∈，同理有2e G ∈，使得22e b be b ==．由等式1212ae be e ae b =，变形整理得12ae b ae b =，由消去律可得12e e =．不妨设12e e e ==，由,a b 的任意性，可知对c G ∀∈，有ec ce c ==，即G 存在单位元e ．由以上可知对于a G ∀∈，显然有m a e =，(m 为整数)．令11m aa --=，则11a a aa e --==，所以G 里每个元素都有逆元．6 群与对称性以及几种特殊群6.1 对称和群的关系这里所讲的对称概括的说是：若考虑的对象A 是一个带有若干关系的集合M （数学中的对象大致都具有这种形式）时，我们就把所有保持这些关系不变的，集合M 的一一变换的全体所购成的群看作是这个对A 的对称，即为集合M 的对称群[]4(11)P ． 在此补充以下几个定义．1) 置换：一个有限集合的一一变换叫作一个置换[]()250P ．2) 置换群：一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群[]()250P ．3) n 次对称群:若一包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫作n 次对称群，这个群通常用n S 来表示[]()250P ．下面通过一个例子阐述对称群的意义和实质．我们把以数域F 中的数作系数的n 元多项式的全体记作[]12,,,n F x x x ⋅⋅⋅(或简记作[]F x )，每一n 元多项式可以唯一地表示为不同类单项式的有限线性和:()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅1212nn a x x x ααααα=⋅⋅⋅∑．其中()12,,,n αααα=⋅⋅⋅，{}0i Z α+∈而a F α∈．令{}12,,n M x x x =⋅⋅⋅，则M 的n 次对称群n S 中的元素就是{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅的一个置换，略去字母x 的下标，这时一一变换可记作1212n n i i i σ⋅⋅⋅⎛⎫= ⎪⋅⋅⋅⎝⎭, 其中()12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,n ⋅⋅⋅的一个排列，而()j j i σ=．利用变换群n S 中的元素∑去定义集合[]F x 到[]F x 的一个映射． [][]:F x F x σφ→,()()1212,,,,,n n i i i f x x x f x x x ⋅⋅⋅→⋅⋅⋅,其中()12,,n i i i f x x x ⋅⋅⋅是在多项式()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅中将1x 换成1i x ，2x 换成2i x ，⋅⋅⋅后所得到的多项式，显然σφ是集合[]F x 的一个变换．令{}|n n T S σφσ=∈，n T 是[]F x 的一些(n !个)变换组成的集合．定义“ ”为变换之间的乘法运算．证明代数系(),n T 为[]F x 的置换群．证明 任取,n S σθ∈，令12121212,n n n n i i i i i i j j j σθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭. 则有σθφφ：()()()121212,,,,,,,,n n n i i i j j j f x x x f x x x f x x x →→, σθφ： ()()1212,,,,,n n j j j f x x x f x x x →. 显然有θσθφσφφ=即运算满足封闭性．对,,n S σθϕ∀∈，则有对应的,,n T σθϕφφφ∈，可得等式：()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==，()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==， 所以()()σθϕσθϕφφφφφφ= 即运算满足结合律．对单位元n I S ∈，则有I n T φ∈ 显然有I Iσσφφωφφ== I I σσσφφφφ==． 令()11σσφφ--=，显然()n T ∈-1σφ， 可得:()()111I σσσσσσφφφφφφ---===． 显然由σφ的任意性可知n T 中每个元都有逆元．进而可知()n T 为[]F x 的置换群．令()12,,,n f x x x 是一个n 元多项式，令(){}|f n S T f f σσφφ=∈=，同理可证(),f S 满足群的各个条件，即f S 为群．则称()f S 为n 元多项式()12,,n f x x x 的对称群[]()289P -.6.2 几种特殊群 例1 设()n SL Q 是有理数域Q 上所有其行列式为1的n 阶矩阵的全体，()n SL Q 关于矩阵的乘法“”作成的代数系()(),n SL Q 为一个群，称之为特殊线性群[]()252P .证明 任取三个元(),,n A B C SL Q ∈，则考虑AB 其行列式的值:||||||1AB A B =⨯=，所以()n AB SL Q ∈，运算满足封闭．由矩阵的运算性质显然有:()()AB C A BC =既满足结合律．又有单位矩阵I ，||1I =即()n I SL Q ∈，显然I 为()n SL Q 里的单位元．再有()n SL Q 里每个矩阵的行列式的值为1，显然每个元都可逆，设1A -为A 的逆矩阵，则1AA I -=．由此可得11||||||1AA A A --=⨯=，易得1||1A -=，即()1n A SL Q -∈．由A 的任意性可知()n SL Q 中每个元都有逆元．所以()(),n SL Q 是一个群．例 2 设n Z 为对于模n 的剩余类，定义n Z 中的加法运算“⊕”．即对任n Z 中意元素[][](),01i j i j n ≤≤≤- [][][]i j i j ⊕=+．则()n Z ⊕构成群，称之为剩余类加群[]1(4951)P -．证明 由剩余类的性质，显然易知“⊕”满足封闭性，结合律．同样不难证明[]0为n Z 的单位元．对[]n i Z ∀∈，易得[]n i -为其逆元．很显然()n Z ⊕是一个群．例 3 假如A 是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面绕一个定点的所有旋转组成的集合G ，用θτ表示旋转θ角的旋转．定义运算“”:1212θθθθτττ+=，则(),G 是一个群，也称为平面运动群[]2(48)P ．证明 1212G θθθθτττ+=∈封闭，结合律显然成立，单位元0e G τ=∈，再有对G θτ∈，其逆元，显1G θθττ--=∈然G 是一个群．例 4 若p 为素数，p N 表示关于模p 所有余数构成的集合，即小于p 的非负整数集合．定义pN中的运算“p ⋅”．对任意,p a b N ∈ 则 ()p b a b a p mod ⋅=⋅ 即代数系统{}p p N ⋅-,0是群，并称为模p 乘群，或模p 剩余乘群[]3(23)P .证明 任取{},,0P a b c N ∈-，(){}0mod -∈⋅=⋅p p N p b a b a 运算满足封闭性． 同样不难得知，运算满足结合律．很显然{}10p N ∈-，不难验证1为{}0p N -中的单位元．验证{}0p N -中元素有逆元，任取{}0p a N ∈-，则0a p <<，(),1a p =．因此有整数,c d 使得1c a d p ⋅+⋅=，从而得(),1c p =．当记mod p c c p =时，显然有1p c p ≤<，这表明{}0p p c N ∈-，进而可得等式：()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p a c p a c a c p p p()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p c a p c a c a p p p所以p c 是关于p ⋅的逆元．由a 的任意性可知{}0p N -中元素有逆元．所以说{}p p N ⋅-,0是群．参考文献：[1] 华中师范大学数学系《抽象代数》编写组.抽象代数[M].华中师范大学出版社.2000[2] 张禾瑞.近世代数基础[M].高等教育出版社.1978[3] 王兵山，李舟军.抽象代数[M].国防科技大学出版社.2001[4] 刘绍学.近世代数基础[M].高等教育出版社.1999[5] 吴品三.近世代数[M].北京：人民教育出版社.1979[6] 谢邦杰.抽象代数学[M].上海：上海科学技术出版社.1982[7] 姚慕生.抽象代数学[M].上海：复旦大学出版社.1998[8] N Jacobson.Basic Algebra [M]. W H Freeman and Company .1985。
群的基本概念ppt课件
S3 置换群表：
S3
E (132) (123) (23) (13) (12)
E E (132) (123) (23) (13) (12)
(132) (132) (123) E (12) (23) (13)
(123) (123) E (132) (13) (12) (23)
Eˆ ECˆ31
Cˆ32
Aˆˆvv((12)) ˆv(3)
同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。
2.4 群的直积：直积群
2.4.1 子群 若一个群 H 的群元素皆包含于另一个群 G 之中，就称群 H 是群 G 的子群。 或者说，群 H 的阶为 h，群 G 的阶为 g，且 h ≤ g，H ∈ G。就称群 H 是群 G 的子群。 因为有相同的乘法关系，子群 H 与群 G 有相同的单位元素。
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
C 6:
E ˆ C ˆ6 2(C ˆ3 1) C ˆ6 3(C ˆ2 1) C ˆ6 5
C ˆ6 4(C ˆ3 2) C ˆ6 1
C 6 C 3 C 2
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
Eˆ
C2v Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ ˆYZ
Cˆ 2 (Z) Cˆ 2 (Z)
Eˆ
ˆYZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆYZ
ˆYZ
ˆ XZ
Cˆ 2 (Z) Eˆ
例 2-5 S3 置换群
S3 置换群是三个数码 1，2，3 的所有可能的置换，共有 6 个群 元素：
群的基本知识
第一章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后,对称性的研究在物理学中越来越重要.对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。
物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性,如强作用的SU （2)同位旋对称，SU （3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU （1)的对称，偶偶核的U （6）动力学对称等等.从七十年代起，又开展了超对称性的研究。
群论是研究对称性问题的数学基础,因此，它越来越受到物理学工作者的重视。
1.1 群定义 1.1 设G 是一些元素的集合，}{},,{g g G == .在G 中定义了乘法运算。
如果G 对这种运算满足下面四个条件：（1） 封闭性。
即对任意G g f ∈,，若h fg =,必有G h ∈。
（2） 结合律.对任意G h g f ∈,,，都有())(gh f h fg =.（3） 有唯一的单位元素。
有G e ∈,对任意G f ∈，都有f fe ef ==（4） 有逆元素。
对任意G f ∈，有唯一的G f∈-1，使e ff f f ==--11 则称G 为一个群。
e 称为群G 的单位元素,1-f称为f 的逆元素. 例1 空间反演群。
设E 和I 对三维实空间3R 中向量→r 的作用为 →→→→-==r r I r r E ,即E 是保持→r 不变的恒等变换，I 是使→r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对→r 作用。
集合{}I E ,构成反演群，其乘法表见表1.1。
例2 n 阶置换群n S ，又称n 阶对称群。
将n 个元素的集合},,2,1{n X =映为自身的置换为 ,2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m P 其中n m m m ,,,21 是n ,,2,1 的任意排列,P 表示把1映为1m ，2映为2m ，n 映为n m 的映射。
显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关,如⎝⎛2421 ⎪⎪⎭⎫3143= ⎝⎛2324 ⎪⎪⎭⎫4113。
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群的等价定义及证明风雷摘要：群是近世代数一门古老而丰富的分支，交换群在几何学扮演了很重要的角色，有限群建立了伽利略的方程理论，这两个领域为群的发展提供了原始动力.本文主要讨论群的定义，并证明了它们的等价性，我们的主要目的是通过群的定义而获得群的一些基本性质并为以后的学习打下坚实的基础，另外本文还举例说明了群的一些性质在编码中的应用.关键词:群；等价性；单位元；逆元1 引言近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系，即具有一些n 元运算的集合.代数系中最简单的是具有一个二元运算，本文主要论述的群就是这样的代数系，群是近世代数的一个重要分支，在自然科学的许多领域中都有应用，如在自动机理论中就用到半群和群，在信息安全与编码理论中就用到群.群只有一种代数运算，我们已经知道，一个代数运算用什么符号表示是可以有我们自由决定的，有时可以用“ ”，有时可以用“⋅”，在实际运用中，对于一个群的代数运算表示，为便利起见不用“ ”来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写 a b ，而写a b ⋅ ，因此我们不妨就把一个群的代数运算叫做乘法，当然一个群的乘法一般不是普通的乘法，下面主要就群的定义及其证明进行具体分析.2 群的第一定义设G 是一个非空集合，它对于一个叫作乘法的代数运算来说作成一个群，假如 ⅠG 对于这个乘法来说是闭的；Ⅱ 结合律成立：()()a bc ab c =对于的G 任意三个元素都成立;Ⅲ G 中有单位元素的存在，即存在元素e ，使的对于G 的每一元素a ，都有 ;ea ae a ==Ⅳ G 中元素有逆元，即对于G 的每一个元素a ，存在的G 元素1a -，使得11a a aa e --==.当群的运算“ ”满足交换律时，称(),G 为交换群，或阿贝尔群.例如，整数集Z 关于数的加法构成交换群(),G ，单位元是0，每一个数的逆元是它的负数，Z 关于数的乘法不够成群因为除了1,-1外的数没逆.例1 设G 为整数集，问：G 对运算4ab a b =++ 是否作成群？解：由于对任意整数显然4a b ++为由于惟一确定的整数，故Ⅰ成立.其次，有()(4)(4)48ab c a b ca b c a b c =++=++++=+++同理有()8a bc a b c =+++.因此，对G 中任意元素,,a b c 有 ()()ab c a bc =即Ⅱ成立.又因为对任意整数a 均有(4)(4)44a a a a -=-=-+=.即Ⅲ成立.最后，由于(8)(8)844a a a a a a --=--=--++=- 即Ⅳ成立.因此，整数集对代数运算“ ”作成一个群.例2 设 G ={1,-1,i,-i}，“。
第3节 群的定义及性质
近世 代数
群的三个等价定义
定义2 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代 数 运算，称为乘法。如果下列四个条件成立，则称 G关于乘法“∘”作成一个群. I G关于乘法“∘”封闭，即a,b∈G，a ∘ b∈G； II 乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G (a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)； III G关于乘法“∘”有一个左单位元e，即 a∈G ，存在元e∈G，使得e ∘ a=a； IV 对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左 5/28 逆元，即a∈G ，存在元b∈G，使得b ∘ a=e，其中
近世 代数
群的性质：幂运算规则
性质6 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (2) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (3) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
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近世 代数
元素的阶
定义6 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小 正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在(Z6, )中， [2]和[4]是3阶元， [3]是2阶元， [1]和[5]是6阶元， [0]是1阶元. 在(Z, +)中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
e a b c a e c b b c e a c b a e
近ห้องสมุดไป่ตู้ 代数
群的性质：例题
例3 设群G=(P({a,b}), )，其中为对称差.
解下列群方程
{a}X=， Y{a, b}={b}. 解: X={a}1={a}={a}， Y={b}{a, b}1={b}{a, b}={a}
OECD PISA介绍与分析(定稿)
OECD PISA 介绍与分析一、国际学生评价计划（PISA）概况国际学生评价项目PISA （Programme for International Student Assessment）是经济合作与发展组织OECD（Organization for Economic Cooperation and Development）成员国的合作项目，也是目前世界上最有影响力的国际学生学习评价项目之一，其目的在于对接近完成义务教育的15岁学生进行评估，测试学生们掌握参与社会所需要的知识与技能的情况。
PISA以纸笔测验的形式测量学生的阅读能力、数学能力和科学能力，从而了解学生是否具备未来生活所需的知识和技能，同时学生还需完成一份关于他们的背景和态度的调查表。
PISA每三年测试一次，每次以一方面能力为主（2/3），其他两个方面能力为辅（1/3）。
2000年重点考察阅读能力，2003年的重点是数学能力，2006年则为科学能力，2009年开始第二个循环。
另外，PISA在2003年还增加了问题解决能力的测试。
测试对象：从各个参与国家或地区抽取4500到10000名接近完成义务教育的15岁学生测试目的：测试学生掌握参与社会所需要的知识与技能情况测试内容：PISA测试关注的是青少年现在和将来的生活中所必需的基本的阅读能力（素养）、数学能力（素养）、科学能力（素养）和问题解决能力（2003年增加的）以及他们的学习习惯、态度、家庭背景因素的影响。
二、国际学生评价计划（PISA）发展的背景经济合作与发展组织OECD是一个全球性的国际组织，在经济、社会、环境、教育、公共政策等多个领域的研究，已经成为许多国家政府制定发展政策必不可少的参考。
随着知识经济时代的到来，各国都需要制定国家长远的发展规划，其中十分重要的是教育发展战略，这十分需要有关对教育人力和财力的投资回报等方面可比性的信息资料。
然而，迄今为止的国际测试都是关注学生对其国家某部分的公共课程掌握情况——这是一种有效但却具有局限性的成绩衡量方法，而适应各国的对教育结果进行等效和可靠的测量方法则十分缺乏。
人民群众是历史的创造者 定稿
人民群众是历史的创造者【教学目标】（一）知识目标1.通过教学应识记的知识：人民群众的概念；整个人类历史都是由人民群众来创造的；人民群众在创造历史中的作用。
2.通过教学应理解的知识：人民群众是历史的创造者，应该热爱普通民众，具体表现为尊重你身边的劳动者。
（二）能力目标1、运用所学知识分析现实问题的能力2、透过现象认识本质的能力（三）情感、态度、价值观目标通过本课的学习，认识人民群众在社会发展中的地位和作用，积极投身于群众实践活动中去，实现人生的价值。
【教学重难点】1.唯心史观和唯物史观的不同。
2.人民群众是一个历史范畴。
3．人民群众是历史创造者的主要表现【教学方法】1. 探究式教学法、讲授法、提问法、讨论法、自学阅读等。
2.一课时完成教学任务。
【教学设计】1、历史创造者问题上的两种对立的历史观（1）英雄史观：A、英雄史观含义。
英雄史观从社会意识决定社会存在的基本前提出发，否认物质资料生产方式是社会发展的决定力量，抹煞人民群众的历史作用，宣扬少数英雄人物创造历史。
B、两种基本形式：唯意志论和宿命论唯意志论：认为少数帝王将相，英雄豪杰的意志可以决定历史的进程。
而人民群众不过是盲目追随少数“天才人物”的愚昧无知的“群氓”，这是一种主观唯心主义的观点。
“历史者英雄之舞台，舍英雄几无历史”“舍豪杰皆无世界”大人物“心理之动进稍易其轨而全部历史可以改观”。
——梁启超人民群众是无数个“零”，只有前面添上英雄人物的“实数”时，他们才能变成有效的数字。
——俄国民粹主义者米海洛夫斯基历史的意义在于“超人”的诞生，“超人”具有“决定一切的力量”；人民群众“是一堆任人使用的无定形的材料，是一块需要雕刻家加工的石头”。
——尼采宿命论：认为社会历史是有某种神秘的的精神力量决定的，如“上帝”、“天命”、“宇宙精神”等等。
人只能消极地接受这种神秘力量的摆布，而在历史上无任何能动性可言。
这是一种客观唯心主义的观点。
宇宙精神是历史必然性的基础，历史人物不过是“宇宙精神的”受托人。
抽样设计的理论与方法(3)
36
（六）系统抽样
定义：又称等距抽样，对研究的总体按一定 的顺序排列，每隔一定的间隔抽取一个单元 的抽样方法。 抽选方法：设总体单元数为N，要抽n个单元 为样本，先计算抽样间隔k=N/n，在1到k之间 抽取一个随机起点r，则被抽中单元的顺序位 置是：r，r+k，r+2k，…。当N不能被n整除时，
ylr
)
1
n
f
S
2 y
(1
2
)
O(
1 n3/
2
)
O(
1 n
)
当样本量较大时，将相应的样本估计量代入上式，得 相应的样本估计。 对分层抽样，有相应的分别回归估计和联合回归估计。
30
（三）与单元大小成比例的概率抽样
1、定义：根据单元的大小不同，入样概率不同的 一种不等概率抽样。如农场的大小不同，其抽选 概率可以根据面积大小成比例，也可以按人数多 少成比例。用英文的字头简称为PPS抽样。
整群抽样的优点：
（1）能大大减低收集数据的费用；（2）当总体单元 自然形成的群时，容易取得抽样框，抽样也更容易； （3）当群内单元差异大，而不同群之间的差异小时, 可以提高效率。
缺点：
（1）若群内个单元有趋同性，效率将会降低；（2） 通常无法预先知道总样本量，因为不知道群内有多少 单元；（3）方差估计比简单随机抽样更为复杂 可以综合利用分层和整群抽样技术，采取分层整群抽 样，比如人体尺寸调查，采用分层提高样本代表性， 采用整群抽样，便于数据的收集。
可能降低；
（4）估计值的计算比简单随机抽样复杂
医学伦理学第8章已定稿)
父亲放弃治疗肛闭女婴 引发激辩(视频)
案 例 分 析
产妇燕某，２６岁，第一胎足月顺产一女婴， 体重２９６０g，兔唇，经医生体检还有先天性肛 门闭锁。于是，医生向家属交代新生儿的病情，并 说明兔唇不必急于矫治，而先天性肛门闭锁需要马 上手术，其手术比较简单。家属与产妇商量后，认 为新生儿有先天性缺陷，又是女婴，将来长大不美 观，况且产妇年轻而今后仍有生育的机会，故决定 将新生儿舍弃，让医院进行处理。医生不同意家属 的意见，动员家属尽快同意进行肛门手术，但是家 属却不签字，而且声言如果手术医生将承担一切后 果。 请问：此时，医务人员应如何决策？
• 1. 对社会负责，不瞒报艾滋病 的发生 • 当一个地区发现艾滋病，抱 着家丑不可外扬的思想瞒报艾滋 病的发生是对社会不负责任违背 道德的行为。 • 2.加强预防艾滋病的预防宣教 • 让所有人知道，艾滋病是可 以预防的，医务人员要深入到艾 滋的高发地区，宣传艾滋病的病 因传播途径和危害。宣传正确的 预防方法。
• 5.正确处理为患者保密与维护社会公众健康利益 • • 的关系 为病人保密是医务人员的道德义务，没有病 人的允许不得泄密。在保密的前提下也要按规定 向防疫部门报告维护社会公众健康利益。
二、艾滋病防治工作的道德
艾滋病，是一种过滤病毒 引起的疾病。破坏人体的自然 免疫功能，使人对于各种异常 变化及危及生命的疾病失去抵 御能力，数年后可使部分感染 者因抵抗疾病的能力极度下降 而死于机会性感染和恶性肿瘤。
请问：医生是应该告诉她？还是不告诉她？是 男方的“隐私权”重要，还是女方的“知情权”重 要？
本章重点
1. 性病、传染病和精神疾病防治中的
道德要求 2. 妇产科和儿科工作中的道德要求 3. 老年医疗工作中的道德要求
群的概念和定义怎么写
群的概念和定义怎么写群的概念和定义群是指由两个或两个以上的个体组成的一个集合体，集体中的每个个体被称为群成员。
群可以是自然形成的，也可以是人为组织的。
群的成员之间可以有相互关系，共享共同的目标或兴趣，并通过不同的交流方式进行互动和合作。
群的定义可以从不同的角度进行解释。
从社会学角度看，群是一个由指定规则和共同目标构成的社会集体。
群对个体成员的影响和影响力具有显著的特点，群成员之间通过社会交往和协作来实现共同的目标。
从心理学角度看，群是一个成员之间建立互动和关联的社会单位。
群对个体成员的认知、情感和行为都会产生重要影响。
群有许多不同的类型和形式，可以根据成员的特点、关系和目标进行分类。
例如，家庭是一种很常见的群，由父母和子女组成，共同生活和分享责任。
工作团队是另一种群类型，由成员共同合作完成一项任务或项目。
社交团体如俱乐部、兴趣小组等也是一种常见的群形式，成员之间通过共同的兴趣爱好来建立联系。
群的形成和维持通常涉及着各种因素。
个体之间的相似性、共同目标、相互依赖和地理接近等都有助于群的形成。
同时，共同的价值观、规范和群体认同感也是维持群的重要因素。
群内的社交互动和沟通是维持群功能的重要手段，群成员之间的合作和互助是群内关系的重要基础。
群对个体成员的作用和影响是多方面的。
首先，群为个体提供了社会支持和情感上的满足。
在群内，个体可以找到共鸣、理解和归属感，有助于提高个体的幸福感和满意度。
其次，群为个体提供了学习和发展的机会。
通过与群内其他成员的交流和合作，个体可以学习新知识、技能和经验，并在协作中不断提高自身能力。
此外，群还提供了社会认同的机会，个体可以在群内找到自身在社会中的位置和身份认同。
然而，群也存在一些问题和挑战。
例如，群内可能存在权力关系和冲突。
不同个体之间的权力和利益分配可能会导致群内的竞争和不协调。
此外，群内可能存在压力和压力来源，例如群体期望和规范的压力。
某些成员可能会感到被动或不自由，并对群体中的规则和期望感到不满。
群的几个基本定义
Exercise 找出 C 群中和 C 共軛的元素
3v 3
對稱群裏互相共軛的元素集合起來，定義成群裏的一個 class(類)
3 2 1 2 ' " 1. 在 C 3v 中， E , C3 C3 , V V V ，每一個類的階數分別為 1, 2, 3。群的階數除以類的階數為
3
若 g 階的群 G 是 h 階群 H 的一個子群，即 G = {G =E, G , G ……G }，X 是群 H 中的一個
1 2 3
g
元素，則共軛子群(conjugate subgroup) X-1 GX = { X-1G X, X-1G X, X-1G X……X-1G X}
1 2 3
g
若群中的每個元素 X 都使 X-1 GX = G ，則子群 G 被稱為群 H 的正規子群 (normal subgroup/normal divisor) 或不變子群 (in variant subgroup) 或自共軛子群 (self-conjugate sub group) Exercise 子群 G = { E, C3, C32}。証明子群 G 是群 C 的正規子群?
-1
-1 0 0 1 1 2
-1
3 2 1 - 2 1 2 3 2
-1
3 2 1 - 2
(R)
1 R
3 2
11
2 (R)
2 2 =1 (E)11 2 (E)11 +1 (C3 ) V 2 (C3 )11 +1 (C3 )11 2 (C3 )11 ' ' " " +1 ( V )11 2 ( V )11 +1 ( V )11 2 ( V )11 +1 ( V )11 2 ( V )11
什么是群的概念
什么是群的概念群是指由一组人或物体组成的集合体。
在社会学中，群也被定义为一群个体之间相互作用并且彼此产生影响的社会单位。
群的概念在社会科学研究中具有重要意义，既可以用来研究人类社会行为，也可以用来研究自然界中的物质组织。
群具有以下几个基本特征：首先，群是由一组成员组成的，这些成员之间可以是人类个体也可以是非人类个体。
其次，群的成员之间存在相互作用，并且这些相互作用对群的发展和变化具有重要的影响。
再次，群是一个相对稳定的单位，它具有一定的组织结构和内部规则，能够在一定程度上保持自己的稳定性和一致性。
最后，群的成员之间存在某种共同目标或共同利益，他们通过协作和合作来实现这些目标或利益。
群在社会学领域的研究非常广泛，有关群的研究可以从多个层次进行：个体层面、群体层面和社会层面。
在个体层面上，群的研究主要关注个体在群体中的行为、态度和心理。
例如，研究表明，个体在群体中会受到同伴和社会规范的影响，从而改变自己的行为和态度。
在群体层面上，群的研究关注群体的组织结构、动力学和决策过程。
例如，研究表明，群体的决策过程常常受到群体智慧、群体动力和群体动态平衡等因素的影响。
在社会层面上，群的研究关注群体之间的相互作用和群体对整个社会的影响。
例如，研究表明，群体在社会变革和社会运动中发挥着重要的作用，能够改变社会的结构和秩序。
群在生物学领域的研究也非常重要，例如，在动物行为学领域，研究表明，动物往往以群体的形式生活。
群对于动物的存活、繁衍和适应环境具有重要的意义。
例如，许多动物在食物、避敌和交配等方面通过组成群体来实现自身的利益和生存需求。
在生态学领域，群体的研究可以帮助我们理解物种的种群结构和相互关系，以及生态系统的稳定性和功能。
例如，研究表明，群体中的个体之间的相互作用能够影响物种的丰富度、多样性和稳定性。
总而言之，群是由一组成员组成的集合体，具有相互作用、稳定性和共同目标或利益的重要特征。
群的研究在社会科学和生物学领域具有广泛的应用，可以帮助我们理解人类社会行为、动物行为以及自然界中物质组织的组织结构和功能。
群的定义
第 5 讲第二章群论§1 群的定义（2课时）本讲教学目的和要求：群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。
变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。
而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。
教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。
本讲的重点和难点：由于本讲知识群论的最基本部分，照理不该出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意：（1）半群，幺半群和群的关系.（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路.（3）群的阶和群中元素的阶.本讲的教法和教具：使用多媒体教室中的教学设备，并鼓励学生参与教学活动。
说明：本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）一、 半群定义 1. 设G 为任一非空集合，G 上定义了一个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，即)()(,,,c b a c b a G c b a =∈∀，那么代数体系},{ G 叫做是一个半群.注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ab ”来替代“b a ”.（2）在不发生混淆的前提下，半群},{ G 可简记为G .定义2. 设},{ G 是一个半群，那么∙如果乘法“ ”满足交换律，则称},{ G 为可换半群.∙如果G 是有限集，则称},{ G 为有限半群.例1、},{},,{⋅+Z Z 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。
群表示论基础——群在集合上的作用
群表⽰论基础——群在集合上的作⽤设Ω是⼀个集合,那么群G到对称群S(Ω)的每个同态ϕ:G→S(Ω)叫做群G在集合Ω上的⼀个置换表⽰.特别的如果ϕ是单的,那么称ϕ是忠实表⽰.注意群G中任意元素g在ϕ下的像ϕ(g)是Ω中的⼀个置换,因此我们可以将群G中的每个元素视作置换,即ga:=ϕ(g)a,∀a∈Ω形象的看就是群作⽤在集合上.如果我们在Ω中定义关系a∼b⇔∃g∈G使得ga=b,不难验证这是⼀个等价关系,那么Ω可被分解成⼀些等价类的⽆交并,如果我们记[a]={ga:g∈G}为等价类,那么Ω=⋃a[a]其中每个等价类称为G−轨道,元素a的轨道也记作Orb a:=[a]也记作O a.特别的如果Ω只有⼀条轨道,那么称G在Ω上的作⽤是传递的(也称为可迁的).那么显然G在每条轨道上的作⽤是传递的.我们来看具体的群作⽤的例⼦:例1.设G是群,取Ω=G,考虑映射ϕ:G→S(G),定义ϕ(g)a=ga,∀a,g∈G,那么ϕ是⼀个同态,这是因为∀g,h,a∈G有ϕ(gh)a=gha=ϕ(g)ϕ(h)a因此ϕ是群G在集合G上的⼀个置换表⽰,并且Kerϕ={1}我们也把这个表⽰称为群G的左正则表⽰,且显然这个表⽰是忠实的.类似的可以定义右正则表⽰.利⽤此我们可以得出如下的Cayley定理:每个群均同构于某个置换群.只需对例1中的左正则表⽰⽤同态基本定理G=G/Kerϕ≃Imϕ≤S(G),这就说明群G同构于某个置换群.例2.设H≤G,取Ω:={aH:a∈G}即为全体左陪集构成的集合,考虑映射πH:G→S(Ω),定义πH(g)(aH)=gaH,不难验证这也是⼀个同态,称为G对于⼦群H的左诱导表⽰.如果g∈KerπH,那么∀a∈G有πH(g)(aH)=gaH=aH⇒g∈aHa−1,注意a的任意性可知KerπH=⋂a∈G aHa−1即为H的全体共轭⼦群之交.类似的也可以定义右诱导表⽰.例3.设A⊂G是群G的任意⼦集,取Ω:={aAa−1:a∈G}即为A的共轭⼦集的全体.考虑映射ρA:G→S(Ω),定义ρA(g)aAa−1=gaAa−1g−1,这也是⼀个同态,称为群G对于⼦集A的共轭表⽰.类似的可求出其同态核KerρA=⋂a∈G aN G(A)a−1即为A的正规化⼦N G(A)的全体共轭⼦群之交.设a∈Ω,我们考虑集合Stab(a):=G a:={g∈G:ga=a},即为保持元素a不动的那些群元素之集合.不难验证其构成群G的⼦群,即Stab(a)≤G,称作元素a的稳定⼦群.我们有如下的:轨道-稳定⼦定理设有限群G作⽤在集合Ω上,那么∀a∈Ω有|G|=|Orb(a)|⋅|Stab(a)|↔|Orb(a)|=[G:Stab(a)]证明设G=∪n i=1g i Stab(a),注意到∀g,h∈G,那么g Stab(a)=h Stab(a)⇔h−1g∈Stab(a)⇔h−1ga=a⇔ga=ha这说明在同⼀陪集中的元素作⽤在a上的结果是相同的,且不同陪集的元素作⽤结果不同.这便说明了|Orb(a)|=[G:Stab(a)]特别的如果G在Ω上的作⽤是可迁的,那么|G|=|Ω|⋅|Stab(a)|,∀a∈Ω⽽若G 是⽆限群,轨道长度有限时,我们通常⽤后⾯的表达形式|Orb(a )|=[G :Stab(a )].特别的如果a ,b 位于同⼀轨道中,即存在g ∈G 使得b =ga ,那么我们看他们的稳定⼦群有什么关系.任取h ∈Stab(b ),则hb =b ⇒hga =ga ⇒g −1hg ∈Stab(a ),即Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,类似可得Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,这说明Stab(b )=g Stab(a )g −1即同⼀轨道中元素的稳定⼦群是共轭的.例4.正n (n ≥3)边形的对称群.我们把平⾯中能够使得图形Γ与⾃⾝重合的正交变换(旋转和镜⾯反射)称作称作图形Γ的对称,显然全体这种对称构成⼀个群,称为图形Γ的对称群,记作S (Γ),特别的正n 边形的对称群,记作D n .我们来考虑它的结构:显然D n 可看做是对n 个顶点的置换,我们可以视作群D n 作⽤在顶点击Ω={1,2,⋯,n }上,显然这个作⽤是传递的,⽤绕中⼼旋转2πn 的置换σ=(12⋯n )依次作⽤即可.再者对于某个顶点1,保持1不动的置换只有两个,分别是恒等置换和保持1不动的反射τ={(2,n )(3,n −1)⋯n 2,n 2+2,n ≡0(mod根据轨道-稳定⼦定理|D_n|=|\Omega|\cdot|\mathrm{Stab}(1)|=2n .注意到\sigma^i\tau^j(0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1)恰为2n 个不同的置换,因此D_n=\{\sigma^i\tau^j:0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1\}并且运算满⾜\sigma^n=\tau^2=1,\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau 且\sigma\tau=\tau\sigma^{-1},据此可以得到更⼀般的\tau\sigma^m=\sigma^{-m}\tau,\forall m\in\mathbb Z进⼀步的我们可以求出D_n 的中⼼C(D_n).显然\sigma^i\tau\notin C(D_n),⽽若\sigma^i\in C(D_n),(0\leq i\leq n-1),注意到D_n 的结构,仅需保证其与\tau 可换即可,即\sigma^i\tau=\tau\sigma^i\Leftrightarrow\sigma^{2i}=1\Leftrightarrow n\big|2i 因此C(D_n)=\left\{\begin{matrix}\{1,\sigma^m\}&n=2m\\\{1\}&n=2m+1\end{matrix}\right.与稳定⼦群类似,\forall g\in G ,我们定义元素g 作⽤下的不动点的概念N(g):=\{a\in\Omega:ga=a\},即\Omega 中在置换g 作⽤下保持不动的那些元素.关于不动点,我们有著名的Burnside 引理:设有限群G 作⽤在集合\Omega 上,那么\Omega 中轨道的条数m=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|N(g)|直观来讲就是G 在\Omega 的作⽤时,平均有t 个不动点.下⾯给出他的证明:按照定义显然有\sum\limits_{a\in\Omega}|\mathrm{Stab}(a)|=\sum\limits_{g\in G}|N(g)|,另⼀⽅⾯注意到位于同⼀轨道中两元素的稳定⼦群是共轭的,因⽽具有相同的基数,从⽽\sum_{a\in\Omega}\mathrm{Stab}(a)=\sum_{i=1}^{m}|\mathrm{Orb}(a_i)|\cdot|\mathrm{Stab}(a_i)|=m|G|因此定理成⽴.这是组合数学中⼀个重要的计数定理，但是在实际应⽤时N(g)并不好直接计算,所以有更进⼀步的的Polya 定理来处理计数问题.有兴趣不妨查阅组合数学的教材.类似的我们可以定义群G 作⽤下的不动点:\Omega_0:=\{a\in\Omega:ga=a,\forall g\in G\}即群G 每个元素都保持不动的\Omega 中的元素. 在后⾯的Sylow 定理中会涉及整个群作⽤下不动点的应⽤.()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
论述群的概念
论述群的概念群的概念是一个由多个成员组成的社会单位，其成员之间存在着互动、沟通和合作。
在群中，成员之间通常具有共同的目标、共同的兴趣爱好、相似的特征或共享的价值观念。
群可以是一个小团体，如家庭、朋友圈；也可以是一个大型社会组织，如政府、企业、社会组织等。
群的概念与个体密切相关。
个体是群的组成单位，每个个体都具有不同的特征、需求和价值观。
群的形成是基于个体之间的相互联系和互动。
个体在群中可以相互影响、互相支持和合作，共同实现群体的目标和利益。
同时，群也提供给个体一种归属感和认同感，个体在群中可以找到自己的位置和角色。
群的结构是群的组织形式和成员之间的关系网络。
群的结构可以是松散的，成员之间联系较少；也可以是紧密的，成员之间联系频繁。
群的结构影响着群的运作方式和发展路径。
在群的结构中，通常会存在一些领导者或核心成员，他们在群体中具有较高的权威和影响力，可以带领群体朝着共同的目标前进。
群的功能是群的存在和运作的目的和作用。
群体的功能多种多样，可以包括情感支持、信息交流、知识传递、资源共享、决策制定等。
群的功能可以满足个体需求和群体利益，促进成员之间的相互了解、合作和发展。
群的功能可以帮助群体应对来自外部环境的挑战和压力，提高群体的适应能力和竞争力。
群的发展是群从形成到成长和演变的过程。
群的发展是一个动态的过程，包括形成阶段、成长阶段、稳定阶段和解散阶段。
群的发展过程中，群的目标、结构和功能可能会发生变化，成员之间的互动和关系也会逐渐建立和调整。
群的发展需要成员之间的积极参与和努力，同时也受到外部环境的影响。
群的效能是群体达到目标和完成任务的能力和效果。
群的效能可以通过群的目标达成程度、群内成员的满意度和群体的绩效来衡量。
群的效能受到多个因素的影响，如成员之间的合作程度、沟通效果、领导水平和资源支持等。
高效能的群体通常具有明确的目标、积极的态度、有效的组织和协作能力。
总之，群的概念是一个由多个成员组成的社会单位，具有共同的目标、共同的兴趣爱好、相似的特征或共享的价值观念。
徽宗诗坛的创作群体及其地域分布定稿
徽宗诗坛的创作群体及其地域分布李欣内容摘要：徽宗诗坛的创作群体有江西诗派诗人群、颍昌诗人群、汴京诗人群、江浙诗人群、汝州诗人群，他们活跃在江西－淮南、河南、江浙、福建等地，在地理结构上呈现出纷繁的块状分布。
在这个此消彼长、新老更替的文学环境中，南渡诗人脱颖而出。
关键词：徽宗诗坛诗人群体地域分布北宋末年，诗人苏轼、黄庭坚、陈师道、秦观相继去世，元祐文学的繁荣局面不再，作为元祐学术之一的诗赋在徽宗朝也屡遭禁习，然而，“禁愈严而传愈盛，文人往往以多相夸，士大夫不能诵苏、黄诗便以为不韵”①，故而此时的诗坛，虽没有元祐文学的繁荣，但也不是一片沉寂，除了江西诗派诗人群体外，还存在着颍昌诗人群、汴京诗人群、江浙诗人群、汝州诗人群等不同的群体，他们活跃在江西－淮南，河南、江浙、福建等地，在地理结构上呈现出纷繁的块状分布。
一、江西诗派诗人群体提及南渡前的诗坛，不可避免要涉及到江西诗派。
江西诗派最早因吕本中的《江西诗社宗派图》而得名，该图勾勒出一个以黄庭坚为宗，陈师道等二十五人为派的诗人群体，这些诗人生活在北宋哲宗、徽宗朝，大多仕履不显，他们相互酬唱，以切磋诗艺句法为活动主旨。
未被纳入宗派图的吕本中也与各成员关系密切，酬唱不断。
伍晓蔓博士曾就江西宗派的诸成员划分出几个地域小群体：南昌诗人群（包括列入江西宗派的洪刍、洪朋、洪炎、徐俯，及未列入宗派的洪羽、潘淳等人）、临川诗人群（包括谢逸、谢薖、汪革、饶节，以及《江西宗派图》外的吴贺、汪莘等人）、黄冈诗人群（包括潘大临、潘大观、何颙）、开封诗人群（一支由王直方、李錞等人组成，一支由晁冲之、江端本及其兄弟组成）、蕲春诗人群体（林敏修、林敏功兄弟）、南康诗人群（包括建昌的李彭，星子的善权、祖可），除了开封诗人群体外，其他诗人主要生活在江西—淮南地域，诗人群体的地缘十分接近，群体之间的交往也很密切，其中，又以南昌—临川—建昌—星子诗人为核心，形成了“江西诸人”这一诗人群体，徐俯为诸人的领袖②。
群的定义
第八章群论初步图群论在计算机科学技术相关领域的应用概图8.1 群的定义及其性质群：单位元素、互逆元素和一个可结合运算共同构成的代数系统。
8.1 群的定义及其性质一、半群、独异点与群的定义定义8.1（1）设V=<S, ο>是代数系统，ο为二元运算，如果ο运算是可结合的，则称V为半群.•设<G, •>为一半群,那么<G, •>的任一子代数都是半群，称为<G, •>的子半群。
（2）设V=<S, ο>是半群，若e∈S是关于ο运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=<S, ο,e>.•若独异点<S, ο,e>的子代数含有幺元e，那么它必为一独异点，称为<S, ο,e>的子独异点。
（3）设V=<S, ο>是独异点，e∈S是关于ο运算的单位元，若∀a ∈S，有a-1∈S，则称V为群。
通常将群记作G.8.1 群的定义及其性质代数系统半群独异点群二元运算(封闭)+可结合+可结合+单位元+可结合+单位元+ ∀a∈S, 有a-1∈SV=<S, o>V=<S, o>V=<S, o, e>G8.1 群的定义及其性质实例1•半群<Z+, +>, <N, +>, <Z, +>, <Q, +>, <R, +>, <C, +>, 其中+为普通加法.•独异点<N, +>, <Z, +>, <Q, +>, <R, +>, <C, +>.•群<Z, +>, <Q, +>, <R, +>, <C, +>.分别称为整数加群、有理数加群、实数加群、复数加群。
8.1 群的定义及其性质实例2•半群<M n(R), +>, <M n(R), .>, 其中n是大于1的正整数.•独异点<M n(R), +>, <M n(R), .>.•群<M n(R), +>.<M n(R), .>不是群, 不是每个n阶矩阵都有乘法逆元.在此，+和.分别表示矩阵加法和矩阵乘法。
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群的定义及其证明摘要群在我们的自然科学研究中扮演者越来越重要的角色，从发现群到现在，它被广泛应用于各个领域的研究，无论是在数学上还是在物理化学等学科了，它的规律被人们广泛认可。
由此，肯定了我们对群的研究是有必要的，只有深刻地认识群的本质，才能让它在其他学科中的作用越来越突出。
所以，本文从群的发展演变，群的定义以及一些常见的群：循环群、有限群、同构群、子群、不变子群、置换群、直积群、线性群、二面体群、四元数群的定义，群的应用来进行阐述，让我们对群的定义有一定的把握和对群的应用有简单的认识。
关键词：集合、运算、群、群的定义群的定义比较及其应用AbstractGroup in our study of the natural sciences who plays an increasingly important role, from the discovery of the group until now, it has been widely used in various fields of research, whether in mathematics or in physical chemistry and other disciplines, and its laws are it is widely recognized. Thus, recognition of our research group is necessary, only a profound understanding of the nature of the group, to make it in other disciplines become increasingly prominent. Therefore, this article from the evolution of the development group, the definition of the group as well as some common group: cyclic group, finite group isomorphic groups, subgroups, invariant subgroup, permutation group, direct product group, linear group, dihedral group, quaternion group definition, application group to elaborate, let us define the group a degree of certainty and complex application has a simple understanding. Keywords: definition of set, operations, group, definition of group目录第一章群的由来 (1)第二章基本概念及预备知识 (4)2.2群的定义及其等价证明 (4)2.2.1 群的定义 (5)2.2.2 群的定义的等价证明 (5)第三章几种常见的群 (10)2.3.1循环群 (10)2.3.2 有限群 (10)2.3.3同构群 (12)2.3.4 子群 (12)2.3.5交换群 (13)2.3.6 直积群 (13)2.3.7 线性群 (13)2.3.8 二面体群 (14)2.3.9 四元素群 (14)第四章群的应用 (15)4.1 群在数学中的应用 (15)4.2 群在其他学科的应用 (16)参考文献 (17)谢辞 (18)第一章、群的历史由来群是代数系统的最基本类型之一，群论是近世代数的基本分支之一。
群的思想凝练到今天这样的瑰宝以前，可谓是历经曲折和磨难，从拉格朗日自发采用置换群以解决用根式解代数方程问题起【3】，到伽罗瓦提出了群的定义。
现在，群论是代数学发展最充分的分支之一，群，作为近代数学的基础；群不仅应用于数学本身：拓扑学、函数论、偏微分方程、伽罗瓦理论等，群，作为许多复杂的代数体系的组成部分；作为拓扑学的各种研究对象的性质的敏感的反应器；作为算法理论的练靶场【3】。
更是在分子轨道理论、分子振动、分子光谱学、化学反应选择规律、晶体学与相对论等问题时的研究中有着不可替代的应用。
群的概念是在19世纪时,有法国数学家伽罗瓦第一次提出来的，当时为了要解决高次代数式110(5)n n n x a x a n -+++=≥的代数方程的解的问题。
最初是由猜测的提出与猜测的论证时产生的，拉格朗日第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上的方程”，但是从中看出了方程的根与置换的关系，提出了预解式的概念． 以一元二次方程为例:二次方程 02=++c bx ax 的求根公式显然2124x x ac b -=-，则()2121x x x x -=-ϕ称02=++c bx ax 的预解式，结合韦达定理得出：()04)(2221=---ac b x x ϕ所以得出ac b x x 4)(221-=-ϕ 拉格朗日还研究出三次方程和四次方程的预解式，但当解决五次方程时，他发现这种方法行不通了，于是当时的数学家就怀疑有可能是五次以上的代数方程根本不存在根式求解。
在预解式的研究中，拉格朗日第一次正确地指出方程的根的排列与置换的理论，也是解五次以上代数方程的关键所在．后来挪威数学家阿贝尔证明了对于一般的五次方程和五次以上的方程根式解不可能．后来法国数学家伽罗瓦就解决这样一个问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解? 于是他就建立了判别方程根式可解的充分必要条件． 伽罗瓦证明了方程根式解的充分必要条件是方程的群为可解群. 其思想是将一个n 次方程02211=++++--n n n n a x a x a x的n 个根n x x x ,,,21 作成一个整体，将它们进行排列，也就是进行置换．这些置换的全体构成的集合，并且其中任意两个置换的乘积在这个集合内，伽罗瓦称为“群”，即方程的置换群，称之为“伽罗瓦群”，其中伽罗瓦提出的群的概念并不是现在我们所说的抽象的群概念，而是置换群的概念．他首次注意到一个多项式方程是否根式可解，是由这个方程根集上的一些特殊置换作成的集合是否具有某种性质决定的．为此，他最早使用了“群”这个词【7】．所谓“这个方程根集上的一些特殊置换作成的集合”，用今天的话来讲就是这个方程的伽罗瓦群．它是这个方程根集上的一个置换群，但未必是跟集的对称群：因为一部分根可能被另一些根生成，那些被生成的根在置换下变向何处，当然是由生成他们的那些根的变化情况群定．换句话说，伽罗瓦使用的方程(x)f 的伽罗瓦群，是指(x)f 的根集上的保持根之间所有代数关系的置换所构成的群【7】．这是数学史上最早的“群”的定义．伽罗瓦就是根据他所提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的，伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件，即方程的群是可解群，方程才是根式可解的．伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性，一直到现在群都是作为研究对称性的有力工具．伽罗瓦的工作是代数学的新开端，最重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容、方法上的深刻变革．伽罗瓦提出群概念后，英国数学家凯莱就意识到群的一般性，于1949年引入“抽象群”的概念，他指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都可构成群，于是具体群的研究有了较深入广泛的发展．凯莱之后，德国数学家戴德金又一个给出了抽象群定义，他由置换群出发引导出有限群的抽象定义，还给出了抽象的有限交换群的定义．1870年，数学家克隆尼克类似凯莱抽象群概念给出了相当于有限阿贝尔群的抽象定义．他规定了抽象的元素和抽象的运算，说明运算具有封闭性、结合性和交换性以及一元素的逆元存在且唯一．其中一位法国数学家若尔当在《 置换论 》一书中 ，给出了许多重要的抽象代数的概念，比如：商群、同构、同态、阿贝尔群等，他还在物理学家布拉维斯关于运动群的理论的启发下开展了无限群的系统的研究．若尔当的无限群的系统的研究影响了克莱因对无限变换群的研究，以及挪威数学家李又研究了无限连续变换群，也就是李群的研究．19世纪末，数学家们已经对各类不同的群的研究有了一定的积累，已基本认清了群的本质，群作为整体是具有某种联系的元素的一个集合，我们无需认识这些元素是什么，也无需知道具体是哪一种联系，只需明确这些元素间的联系具备怎样的基本规则，于是就形成了抽象群的概念【10】．经过抽象定义的群，群是一个这样的集合，带有一个运算，即乘法运算，满足封闭性与结合律，即集合中的任意两个元素运算后仍在这个集合内，且在这个集合内有单位元与逆元的存在．也就是后来一直被人们广泛使用和接受的群的定义．一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群．群的定义发展到这儿，我们终于得到了一个明确且高度概括的概念，这个概念适用于所有的群，打破了群的定义的不全面性，同时，也为我们后来研究群作出了巨大的贡献，也为群在其他领域的快速发展奠定了基础，群的概念的发现，如同登月英雄阿姆斯特朗所说“这是个人的一小步，却是人类的一大步．”群，它是具有一个二元运算的集合【3】．在群里，二元运算通常是指乘法，常用“”来表示，常省略“”，写成群里元素相乘的形式，如abc．群的定义及其应用第二章、基本概念及预备知识2.1预备知识集合的定义：若干个（有限或无限）有明确定义的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成一个集合的事物叫做这个集合的元素，简称元．没有任何元素的集合成为空集合．两个集合的关系：如果集合B 中的每一个元素都属于集合A ，就称B 是A 的子集．集合B 是A 的集合A 的子集，而且至少有一个A 的元不属于B ，就称B 是A 的真子集．集合A 和集合B 的共同元素所组成的集合叫做A 和B 的交集．由至少属于集合A 和集合B 之一的一切元素组合的集合叫做A 和B 的并集． 映射的定义：通过一个法则φ，集合G 里的任何一个元g 都能在集合D 中得到一个唯一的元d ，那么这个法则φ叫做集合G 到集合D 的一个映射，元d 称为元g 在映射φ之下的象，元g 称为元在映射φ之下的一个逆元．代数运算的定义：一个A B ⨯到D 的映射叫做一个A B ⨯到D 的代数运算，常用表示．变换的定义：一个A 到A 的映射叫做A 的一个变换．一个A 到A 的满射，单射或A 与A 之间的一一映射称为Ａ的一个满射变换、单射变换或一一变换．同态和同构的定义：【1】①、一个A 到A 的映射φ，叫做一个对于代数运算。
和。
来说的，A 到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a 和b 是A 的哪两个元，只要a a →，b b →就有a b a b →．②、一个A 到A 的一一映射φ是一个对于代数运算。