群的定义比较及其应用定稿

群的定义及其证明

摘要

群在我们的自然科学研究中扮演者越来越重要的角色，从发现群到现在，它被广泛应用于各个领域的研究，无论是在数学上还是在物理化学等学科了，它的规律被人们广泛认可。由此，肯定了我们对群的研究是有必要的，只有深刻地认识群的本质，才能让它在其他学科中的作用越来越突出。所以，本文从群的发展演变，群的定义以及一些常见的群：循环群、有限群、同构群、子群、不变子群、置换群、直积群、线性群、二面体群、四元数群的定义，群的应用来进行阐述，让我们对群的定义有一定的把握和对群的应用有简单的认识。

关键词：集合、运算、群、群的定义

群的定义比较及其应用

Abstract

Group in our study of the natural sciences who plays an increasingly important role, from the discovery of the group until now, it has been widely used in various fields of research, whether in mathematics or in physical chemistry and other disciplines, and its laws are it is widely recognized. Thus, recognition of our research group is necessary, only a profound understanding of the nature of the group, to make it in other disciplines become increasingly prominent. Therefore, this article from the evolution of the development group, the definition of the group as well as some common group: cyclic group, finite group isomorphic groups, subgroups, invariant subgroup, permutation group, direct product group, linear group, dihedral group, quaternion group definition, application group to elaborate, let us define the group a degree of certainty and complex application has a simple understanding. Keywords: definition of set, operations, group, definition of group

目录

第一章群的由来 (1)

第二章基本概念及预备知识 (4)

2.2群的定义及其等价证明 (4)

2.2.1 群的定义 (5)

2.2.2 群的定义的等价证明 (5)

第三章几种常见的群 (10)

2.3.1循环群 (10)

2.3.2 有限群 (10)

2.3.3同构群 (12)

2.3.4 子群 (12)

2.3.5交换群 (13)

2.3.6 直积群 (13)

2.3.7 线性群 (13)

2.3.8 二面体群 (14)

2.3.9 四元素群 (14)

第四章群的应用 (15)

4.1 群在数学中的应用 (15)

4.2 群在其他学科的应用 (16)

参考文献 (17)

谢辞 (18)

第一章、群的历史由来

群是代数系统的最基本类型之一，群论是近世代数的基本分支之一。群的思想凝练到今天这样的瑰宝以前，可谓是历经曲折和磨难，从拉格朗日自发采用置换群以解决用根式解代数方程问题起【3】，到伽罗瓦提出了群的定义。现在，群论是代数学发展最充分的分支之一，群，作为近代数学的基础；群不仅应用于数学本身：拓扑学、函数论、偏微分方程、伽罗瓦理论等，群，作为许多复杂的代数体系的组成部分；作为拓扑学的各种研究对象的性质的敏感的反应器；作为算法理论的练靶场【3】。更是在分子轨道理论、分子振动、分子光谱学、化学反应选择规律、晶体学与相对论等问题时的研究中有着不可替代的应用。

群的概念是在19世纪时,有法国数学家伽罗瓦第一次提出来的，当时为了要解决高次代数式110(5)n n n x a x a n -+++=≥的代数方程的解的问题。最初是由猜测的提出与猜测的论证时产生的，拉格朗日第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上的方程”，但是从中看出了方程的根与置换的关系，提出了预解式的概念． 以一元二次方程为例:

二次方程 02=++c bx ax 的求根公式显然2124x x ac b -=-，则()2121x x x x -=-ϕ称02=++c bx ax 的预解式，结合韦达定理得出：

()04)(2221=---ac b x x ϕ

所以得出

ac b x x 4)(221-=-ϕ 拉格朗日还研究出三次方程和四次方程的预解式，但当解决五次方程时，他发现这种方法行不通了，于是当时的数学家就怀疑有可能是五次以上的代数方程根本不存在根式求解。在预解式的研究中，拉格朗日第一次正确地指出方程的根的排列与置换的理论，也是解五次以上代数方程的关键所在．后来挪威数学家阿贝尔证明了对于一般的五次方程和五次以上的方程根式解不可能．后来法国数学家伽罗瓦就解决这样一个问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解? 于是他就建立了判别方程根式可解的充分必要条件． 伽罗瓦证明了方程根式解的充分必要条