平面与平面地位置关系

平面和平面的位置关系

一、知识梳理

1.两个平面的位置关系

（1）两个平面平行：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．

（2）两个平面相交：如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，称这两个平面相交． （3）两个平面的位置关系只有两种：①两个平面平行：没有公共点；②两个平面相交：有一条公共直线． （4）两个平面平行的画法：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图1，而不应画成图2那样）．平面α和β平行，记作βα//．

图1 图2

2.两个平面平行的判定

工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡都在中央，就能判断桌面是水平的。该检测原理就是：

（1）[两个平面平行的判定定理]：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：若,,a b a b A αα⊂⊂=I ，且//,//,a b ββ则//αβ。（线线平行，则线面平行）。 （2）垂直直于同一直线的两平面平行。 （3）平行于同一平面的两平面平行。 3.两个平面平行的性质

（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。 （2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。 （3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。

（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。

（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。 4.两个平行平面的距离

（1）两个平面的公垂线及公垂线段：直线a 与两个平面α、β都垂直，我们把与两个平行平面都垂直的直线称作两个平行平面的公垂线。公垂线夹在两个平行平面之间的线段称为这两个平行平面的公垂线段。

注意：两个平面不平行时，由于不可能存在同时与它们垂直的直线，因此此时没有公垂线可言，换句话说，当论及公垂线时，就隐含着两个平面平行。 （2）两个平行平面的距离

我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离． 说明：两个平行平面的公垂线段都相等． 5、二面角

半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。

（1） 二面角的定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB ，面为,αβ的二面角，记作二面角AB αβ-- （2）、二面角的画法：分直立式与平卧式两种

①直立式

②平卧式

（3）、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

如图，二面角l αβ--， AOB ∠是二面角的平面角． 注意：

i ）二面角的平面角的范围是[]0,π，当两个半平面重合时，平面角为0o

；当两个半平面合成一个平面时，

平面角为180o

。

ii.）求解二面角问题的关键是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素： ①确定二面角的棱上一点；②经过这点分别在两个面内引射线；③所引的射线都垂直于棱。 iii.）作二面角的平面角的常用方法：①点P 在棱上——定义法

②点P 在一个半平面上——三垂线(逆)定理法

③点P 在二面角内——垂面法

6、两平面垂直：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直。

思考：为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？通过观察可以发现，门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直。

（1）[两个平面垂直的判定定理]：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

符号语言：若AB β⊥，AB α⊂， 则αβ⊥

注意：由符号语言知：判定两个平面垂直时需两个条件，在解题时请特别注意，不要漏掉条件。 （2）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，符号表示：,,,,l AB AB l B αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥I

若为垂足，则AB

二、【典型例题】

例1. 如图，在正方体1AC 中，M N P 、、分别是棱11111C C B C C D 、、的中点。 求证：平面//MNP 平面1A BD ．

例2、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。已知：αβ

⊥，,,

p p a a

αβ

∈∈⊥，求证：aα

⊂。

例3. 如图，在正方体////

ABCD A B C D

-中：

（1）求二面角/D AB D

--的大小；（2）求二面角/A AB D

--的大小.

例4.如图，平面角为锐角的二面角EF

αβ

--，A EF

∈，AGα

⊂，45

GAE

∠=o，若AG与β所成角为30o，求二面角EF

αβ

--的平面角．

A'

C

C'

D'

B'

D

B

A

例5．正方体AB CD —1111D C B A 中，E 、F 分别是11,CC AA 的中点

（1）求证：平面11EB D ∥平面F B D ，（2）若正方体棱长为a ，求平面D EB 1与平面F B D 间的距离。

例6、在长方体1AC 中，已知AB =B C=a ，1BB =b （b ＞a ）连结1BC ，过1B 作11BC E B ⊥交1CC 于E ，交1

BC 于Q 。

求证：（1）⊥1AC 平 面11D EB ；（2）求点1C 到平面11ED B 的距离。

例7、四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD 。 （Ⅰ）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为ο

60，求这个四棱锥的体积；

（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于ο

90。

B

E

A

B C D

A1

C1

B1D1

E

Q