第十八章 统计学部分

q1 qr p1 pr h r
对动量采用球坐标：
pz

o
py
p x p sin cos p y p sin sin p z p cos

px
dpx dpy dpz p 2 sin dpdd
体积V内，动量 大小在p 到p dp， 方向在 到 d， 到 d的范围内， 自由粒子的量子态数为 :
px
( x, p x )
L
O
x
2.粒子运动状态的量子描述
微观粒子普遍具有波粒二象性（粒子性与波动性） 德布罗意关系(1924年)：
;
p k
不确定性关系（1925年）
qp h
其中
h 2 6.6261034 J s
都称为普朗克常数。
微观粒子的运动不是轨道运动 微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标,经典描述失效 在量子力学中，微观粒子的运动状态是用波函数来描述的，微观粒子的 运动状态称为量子态。量子态往往可以由一组量子数来表征。这组量子数的 数目等于粒子的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,分立的能量称为能级。 如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。 一个能级的量子态数称为该能级的简并度。 如果一个能级只有量子态，该能级称为非简并的。 普朗克常数的量纲： [时间]· [能量]=[长度]· [动量]=[角动量] 具有这样量纲的一个物理量通常称为作用量，因而普朗克常数也称为基本 的作用量子。这个作用量子常作为判别采用经典描述或量子描述的判据。
1.粒子的运动状态的经典描述
设粒子的自由度数r（能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目），粒 子在任一时刻的力学运动状态（或者微观运动状态）由2r个广义坐标和广义 动量确定：
广义坐标 ：q1 , q2 , q3 ,qr 广义动量 ：p1 , p2 , p3 , pr
粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数：
例2：和大热源接触达到平衡的系统的总粒子数N （是闭系） 、温度T （和大热源接触） 、体积V （外界不做功）不变。
系统的微观状态： 在经典力学中，系统由2Nr个广义坐标和广义动量描述。 在量子力学中，确定系统每一个粒子的量子态（定域系统） 或者，确定每一个量子态上有多少个粒子（非定域系统） 为什么需要这个原理？ 为了研究系统的宏观性质，没必要也不可能追究微观状态的复杂变化， 只要知道各个微观状态出现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均 值。因此，确定各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。
E i ;
i 1
N
N为系统的粒子的总数
i i (qi , pi ; 外场参量 )
c.全同粒子
粒子的质量、电荷、自旋都相同。
d.系统的微观状态
指构成系统的所有粒子的力学运动状态。
1.系统微观运动状态的经典描述
假设系统有N个粒子，每一个粒子的自由度为r，第i个粒子的力学运动状 态，由r个广义坐标和r个广义动量来描述：
进一步说明：
微观粒子的运动必须遵守不确定性关系，不可能同时具有确定的动量和 坐标，所以量子态不能用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义 动量描述量子态，那么一个状态必然对应于空间中的一个体积元（相格）， 而不是一个点，这个体积元称为量子相格。 自由度为1的粒子，相格大小为普朗克常数： 如果自由度为r，相格大小为：
微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它反映的是粒 子运动特征。 例如：在某一能级上，假设有3个粒子，这三个粒子是如 何占据该能级的量子态，也就是它的微观状态是什么样的， 我们需要确定。 任务：在给定的一个分布下，计算系统的微观状态数。 同一个分布对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统给出 的微观状态 数显然是不同的，下面分别加以讨论。 涉及到的数学就是高中的排列组合问题。
qi1 , qi2 ,, qir ;
pi1 , pi2 ,, pir
当组成系统的N个粒子在某一时刻的运动状态都确定时，也就确定了整 个系统的在该时刻的运动状态。 因此，确定系统的微观运动状态需要2Nr个变量。
经典力学中，全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的运动是轨道运动， 原则上是可以被跟踪的）。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子 的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运动状态是不同的。
对于玻尔兹曼系统（定域系统）可有9种不同的微观状态： 量子态1 1 2 3 4 5 6 A B B A A B B A AB AB AB 量子态2 量子态 3
7
8 9
A
B
B
A
对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态： 量子态1 1 AA AA AA 量子态2 量子态3
2 3
4பைடு நூலகம்5 6
A
A
A A A
密度。
注意：
以上讨论没有考虑自旋，并且考虑到是非相对论性的粒子。 如果粒子的自旋不为零，比如电子自旋为1/2，光子自旋为1，由于自旋 角动量在动量方向上的投影有两个可能值（前面已提到，自旋角动量在空间 中的任意一个方向的投影有两个可能值），也就是说，有两个不同的状态， 因此上面的量子态数公式需乘以2：
•微观粒子的全同性原理
微观粒子的波粒二相性（微观世界的基本特征） 不确定性关系
微观粒子不是轨道运动
全同的微观粒子不可分辨
•量子力学如何描述系统的微观粒子运动状态？
全同的粒子可以分辨 （定域系统） 确定每一粒子的量子态
全同的粒子不可分辨
（非定域系统）
确定每一个量子态上的粒子数
（1924年，印度人玻色（Bose）首次提出）
dnx dny dnz Vdp x dpy dpz h3 Vp 2 sin dpdd h3

对 : 0 , : 0 2 积分：0

2
0
sin dd 4
体积V内，动量 大小在p到p dp， 自由粒子的量子态数为 :
4V 2 p dp D ( p )dp 3 h
B
A
A
A A
A
A
费米系统 A
A
A A A
力学（经典力学或量子力学）+统计学原理=统计力学（统计物理学）
经典统计力学
在经典力学基础上建立的统计物理学称为经典统计力学。
量子统计力学
在量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计力学。
两者在统计上的原理上相同，区别在于对微观粒子的描述。
三、等概率原理
系统的宏观状态：指热力学中讨论的系统的状态，即热力学宏观态，由 一组参量表示，如总粒子数N、总能量U、体积V。 例1：孤立系统的总粒子数N （不是开系）、总能量U（外界不做功 也不传热）、体积V （外界不做功）不变。
A
对于费米系统，可以有3个不同的微观状态：
量子态1
量子态2
量子态3
1 A
2 A 3 A
A
A
A
分属玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的两个粒子占据三个量子态给出的微观状态数 粒子类别 量子态1 量子态2 量子态3
A
B
A B A B
A
玻耳兹曼系统 B
B
A A B B A
A
B A A A 玻色系统 A A A A A
2 3 3 H原子， H原子， He原子为费米子
1 2 4
费米子遵从泡利不相容原理: 在含有多个全同近独立费米子的系统，占据一个个体量子态的费米子不可 能超过一个。 玻色子构成的系统不受泡利不相容原理的约束。
3.玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统
玻耳兹曼系统: 由可分辨的全同近独立粒子组成； 特点：处在一个个体量子态上的粒子数不受限制。 玻色系统: 由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成； 特点：不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数 不受限制。 费米系统: 由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成； 特点：受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数 最多只能为1个粒子。 设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果这两个粒子分 属玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统时，试分别讨论系统各有那些可能的 微观状态？
§18-9 统计物理学的基本概念
一.粒子的运动状态
粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。 例：气体中的分子 金属中的离子和电子 辐射场中的光子
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。
如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。
例子:
a.三维自由粒子
自由度：3；μ空间维数：6
广义坐标 ：q1 x q2 y q3 z
能量：
广义动量 ：p1 p x mx p2 p y my p3 pz mz
1 2 2 ( px py p z2 ) 2m

以一维自由粒子为例，以 x, p x 为直角坐标，构成二维的 μ 空间，设一维容器的长度为L，粒子的一个运动状态( x, p x ) 可以 用 μ 空间在一定范围内的一点代表:
等概率原理：
对于处于平衡状态下的孤立系统，系统的宏观状态由N、U、 V 确定，但系统的微观状态数是大量的，并且发生着复杂的变化， ：在相同的宏观条件下，没有理由认为哪一个状态出现的概率更大 一些，很自然认为，这些微观状态应当是平权的。 也就是说，对于孤立系统，在相同的宏观条件下，系统的各 。个可能的微观状态出现的概率是相等的。
•玻色子与费米子
a）费米子：自旋量子数为半整数的粒子。 如：电子、质子、中子等。 b）玻色子：自旋量子数为整数的粒子。 如：光子、介子等。
一个简单规则（几乎普遍适用）：
由玻色子构成的复合粒子是玻色子； 由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子； 由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。
例子： H原子， H原子， He原子为玻色子