均值不等式优质PPT课件
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《均值不等式》课件
均值不等式在经济学中的应用，可以 帮助我们理解经济现象的性质和行为 ，并解决一些经济问题。
05式
总结词
广义均值不等式是对于任意非负实数，其算术平均数总是大于或等于其几何平均数。
详细描述
对于任意非负实数 $x$ 和 $y$，有 $frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。这个不等式在数学和物理中有广泛的应用，特 别是在优化和不等式证明中。
证明
利用切比雪夫不等式的定义和放缩技巧，通过代数变换和数学归纳法，可以得到上述不等式成立。
04
均值不等式的应用
在最优化问题中的应用
均值不等式可以用于解决最优化问题，例如最大值和最小值问题 。通过应用均值不等式，可以找到函数的最优解，使得函数取得 最大或最小值。
均值不等式在解决最优化问题时，可以提供一种有效的数学工具 ，帮助我们找到最优解，并理解函数的性质和行为。
均值不等式的数学符号表示
• 均值不等式的数学符号表示为：对于任意正实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时等号成立。
详细描述
均值不等式的可加性是指，如果一组 数$a_1, a_2, ..., a_n$都大于等于0， 那么这组数的算术平均数大于等于它 们的平方和的几何平均数。
均值不等式的乘除性
总结词
如果$a > 0, b > 0$，那么$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$；如果$a > 0, b < 0$，那么$frac{a+b}{2} < sqrt{ab}$。
05式
总结词
广义均值不等式是对于任意非负实数，其算术平均数总是大于或等于其几何平均数。
详细描述
对于任意非负实数 $x$ 和 $y$，有 $frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。这个不等式在数学和物理中有广泛的应用，特 别是在优化和不等式证明中。
证明
利用切比雪夫不等式的定义和放缩技巧，通过代数变换和数学归纳法，可以得到上述不等式成立。
04
均值不等式的应用
在最优化问题中的应用
均值不等式可以用于解决最优化问题，例如最大值和最小值问题 。通过应用均值不等式，可以找到函数的最优解，使得函数取得 最大或最小值。
均值不等式在解决最优化问题时，可以提供一种有效的数学工具 ，帮助我们找到最优解，并理解函数的性质和行为。
均值不等式的数学符号表示
• 均值不等式的数学符号表示为：对于任意正实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时等号成立。
详细描述
均值不等式的可加性是指，如果一组 数$a_1, a_2, ..., a_n$都大于等于0， 那么这组数的算术平均数大于等于它 们的平方和的几何平均数。
均值不等式的乘除性
总结词
如果$a > 0, b > 0$，那么$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$；如果$a > 0, b < 0$，那么$frac{a+b}{2} < sqrt{ab}$。
基本不等式又叫均值不等式精品PPT课件
设a 0, b 0, a b 1
1 你能给出几个含有 0 ab 1 1 4 4 字母a和b的不等式 a b 1 2 2 1 a b 2 倒数
乘积
1 1 25 ( a )( b ) a b 4
平方
1 1 (1 )(1 ) 9 a其他 b
作业
A、40 B、10
Ｄ）
C、4 D、2
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形， 以满足上述前提，即“一正二定三相等” ２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；
1 当且仅当 x 即x 1时， ymin 2 x 1 当x 0时， x 0, 则y x x
1 x 2 x 1 x 2 x 1 y 2, 当且仅当 x 即x 1时 x ymax 2
知识扫描
基本不等式（又叫均值不等式）
ab
ab 2
(a 0, b 0)
2
a b 2 ab (a 0, b 0)
当且仅当a=b时等号成立
ab ab 2
(a 0, b 0)
代数意义：
a b 如果把 看做是两正数a、b 2 的算术平均数, ab 看做是两正数a、b
看谁最快
1 9 1、已知 x 0, y 0, 且 1, 则x y的 最 x y 16 小值为____.
2、设 a 0, b 0 且a+b=3,则２a＋２b的最小值 为___ 4 2.
均值不等式课件
ຫໍສະໝຸດ 解答0102
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
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CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”
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栏 目
(4)a2＋b2＋c2__≥__ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
开 关
4．当a>0，b>0且a≠b时，a＋2 b， ab，1＋2 1，
a2＋b2按从小 2
ab
2
a＋b a2＋b2
到大的顺序排列为____1a_＋__1b_<___a_b_<___2__<_______2_______．
研一研·问题探究、课堂更高效
目 开 关
∵ a2＋2 b2>a＋2 b>0，∴ a2＋2 b2>12，
∴a2＋b2>12.
()
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2，∴b最大．
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§3.2
方法二 (取特殊值)
本 课 时 栏 目
取a＝14，b＝34，则2ab＝38，a2＋b2＝58， 2ab<12<a2＋b2<b，故选B.
ab＝
ab a－ a＋b
b2≥0，
本
课 时 栏 目
∴ ab≥1a＋2 1b，即1a＋2 1b≤ ab.
开
关
∵
a2＋2 b22－a＋2 b2＝a2＋2 b2－a＋4 b2
＝2a2＋b24－a＋b2＝a2＋b42－2ab＝a－4 b2≥0.
§3.2
研一研·问题探究、课堂更高效
∴
a2＋2 b2≥a＋2 b，即a＋2 b≤
§3.2
探究点一 均值不等式的证明
问题1 利用作差法证明：a∈R，b∈R，a2＋b2≥2ab.
本 课
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
均值不等式PPT教学课件
x, 即x=18时，取等号。
答：池长18m，宽100/9 m时， 造价最低为30400元。
练习：
1、若x 3,函数y x 1 ,当x为何值时， 函数有最值，并求其最值。x 3
2、求证：在直径为d的圆的内接矩形中，面积最大的是 正方形，这个正方形的面积等于 d 2 . 2
当堂练习
当 S1,S2 断开， S3 闭合时两灯串 联。当 S3 断开， S1,S2 闭合时两灯并 联。当S1,S2, S3都闭合时就会使电路造 成 短路 ，而烧坏电源
当 S1和S3 断开， S2 闭合时两灯串联。当
S2 断开，S1和S3 闭合时两灯并联。当 S1,S2, S3都闭合时就会使电路造成 短路 ， 而烧坏电源。
应用 a b ab(a,b R ) 求最值时, 2
注意验证：一正 、二定 、三相等
例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造 价为150元，池壁每1m2的造价为120元， 问怎样设计水池能使总造价最低？ 最低总造价是多少元？
练习:
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四 周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造 单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水 池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的 长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。
（2）如果取下一个小灯泡后闭合开关，另一个 小灯泡还能发光吗？
实验表明
（1）串联电路中的开关无论安装在什 么位置，总是同时控制着连入电路中 的所有用电器。
（2）电流只有一条通路，只要电路中 有一个地方发生断路，电路中就不会 有电流。
二、并联电路
两个小灯泡的两端分别连在一起，然 后并列接到电路中，我们说这两个灯泡是 并联的。
均值不等式PPT优秀课件1
以下不等式是否成立？ a2+b2≥2|ab| a2+b2≥－2ab，
基础知识
3. 定理：(重要不等式）
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
4.定理的几何意义：
基础训练
1 1．试判断 a , ( a 0) 与 2 的 a
大小关系？
( 2 x ) ( 0 x 2 )与 1 的 2．试判断 x x 2 x 大小关系？ x 2 ( 2 x ) ( ) 1
8.已知 a,b, cR, 求证：
2 2 2
1 x 4 , 函数 y x , 当 x _____ 4 x
5
abc a b b c c a
课堂小结
知识要点： （1）重要不等式和基本不等式的条件及结构 特征 （2）基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义 思想方法技巧： （1）数形结合思想、“整体与局部” （2）配凑等技巧
1 5. 已知 0 x , 求函数 y x ( 1 3 x ) 3
的最大值及相应的x值。
1 x 6 y m ax 1 12
6. 求
x 0
2x 时，f (x ) 2 的值域： x 1
f (x) [ 1 ,0 )
能力训练 7.已知
大 6 时，函数有最_______ 值是_______
a b 2
请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个 “风车”图案？
赵爽弦图
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
该结论成立的条件是什么 ？
形的角度 数的角度
a2+b2－2ab
a>0,b>0
=(a－b)2≥0
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是非负数．
2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、
“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的
条件结构.
2021
2
填一填·知识要点、记下疑难点
§3.2
1．如果a，b∈R，那么a2＋b2_≥___2ab(当且仅当_a_＝__b__时取
“＝”)．
本 课 时
2．若a，b都为_正___实数，那么a＋2 b__≥__ ab(当且仅当a_＝___b
栏
目
a＋b
开 关
时，等号成立)，称上述不等式为_均__值__不等式，其中___2___
称为a，b的算术平均值，___a_b__称为a，b的几何平均值．
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3
填一填·知识要点、记下疑难点
§3.2
3．均值不等式的常用推论
(1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2 (a，b∈R)；
本 课 时
(2)当x>0时，x＋1x≥__2__，当x<0时，x＋1x≤_－__2_； (3)当ab>0时，ba＋ab≥__2__，当ab<0时，ba＋ab≤－__2__；
证明 ∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 a· b
本 课
＝( a－ b)2≥0.
时 栏
∴a＋b≥2 ab.
目
开
关
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6
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§3.2
探究 下面是均值不等式 ab≤a＋2 b的一种几何
解释，请你补充完整．
如图所示，AB为⊙O的直径，AC＝a，CB＝
本 课
b，过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于点D，连接AD，BD，OD.
ab＝
ab a－ a＋b
b2≥0，
本
课 时 栏 目
∴ ab≥1a＋2 1b，即1a＋2 1b≤ ab.
开
关
∵
a2＋2 b22－a＋2 b2＝a2＋2 b2－a＋4 b2
＝2a2＋b24－a＋b2＝a2＋b42－2ab＝a－4 b2≥0.
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§3.2
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∴
a2＋2 b2≥a＋2 b，即a＋2 b≤
D．a＋b
课 时
解析 因为a、b∈(0,1)，a≠b，
栏 目
所以a＋b>2 ab，a2＋b2>2ab，
开 关
所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．
而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，
又0<a<1,0<b<1，所以a－1<0，b－1<0，
因此a2＋b2<a＋b，所以a＋b最大．
2021
§3.2
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1
§3.2
学习要求
1．理解均值不等式的内容及证明．
2．能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．
3．能初步运用均值不等式证明简单的不等式．
本 课
学法指导
时 栏 目 开 关
1．应用均值不等式解决有关问题必须紧扣它的适用条件，公式a2 ＋b2≥2ab只要求a、b是实数，而公式 ab≤a＋2 b强调a、b必须
本 课 时 栏
解析 方法一 ∵ab<a＋2 b2， ∴ab<14，∴2ab<12.
目 开 关
∵ a2＋2 b2>a＋2 b>0，∴ a2＋2 b2>12，
∴a2＋b2>12.
()
ห้องสมุดไป่ตู้
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2，∴b最大．
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§3.2
方法二 (取特殊值)
本 课 时 栏 目
取a＝14，b＝34，则2ab＝38，a2＋b2＝58， 2ab<12<a2＋b2<b，故选B.
开 关
答案 B
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§3.2
例2 设a，b，c都是正数，求证：b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥6.
时
栏
a＋b
目 开 关
由射影定理可知，CD＝___a_b__,而OD＝___2___,因为OD_≥___CD, 所以a＋2 b__≥__ ab，当且仅当C与O_重__合___，即_a_＝ ___b_时，等号
成立．
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§3.2
探究点二 均值不等式的拓展
问题 当a>0，b>0时，1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
栏 目
(4)a2＋b2＋c2__≥__ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
开 关
4．当a>0，b>0且a≠b时，a＋2 b， ab，1＋2 1，
a2＋b2按从小 2
ab
2
a＋b a2＋b2
到大的顺序排列为____1a_＋__1b_<___a_b_<___2__<_______2_______．
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a2＋b2 这是一条 2
重要的均值不等式链，请你给出证明．
本
课 时 栏
证明 由于 ab≤a＋2 b成立，
目 开 关
只须证明 ab≥1＋2 1和 a2＋2 b2≥a＋2 b成立即可．
ab
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∵ ab－1a＋2 1b＝ ab－a2＋abb＝a＋ba＋abb－2ab
＝
aba＋b－2 a＋b
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§3.2
本 课
小结 (1)大小比较除了用比较法，也可利用已知的不等式．
时 栏
(2)本题是选择题，因此也可以采用赋值法，取特殊值解决．
目
开
关
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§3.2
跟踪训练1 设0<a<b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是
A.12
B．b C．2ab D．a2＋b2
证明 b＋a c＋c＋b a＋a＋c b
＝b＋c＋c＋a＋a＋b
本
aabbcc
课 时 栏
＝ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc，
目 开
∵a>0，b>0，c>0，
关
∴ba＋ab≥2 ba·ab＝2，
同理，ac＋ac≥2，bc＋bc≥2.
∴b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥6.
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§3.2
探究点一 均值不等式的证明
问题1 利用作差法证明：a∈R，b∈R，a2＋b2≥2ab.
本 课
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
时 栏
∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”．
目
开
关
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§3.2
问题2 当a>0，b>0时，a＝( a)2，b＝( b)2. 据此证明：a>0，b>0时，a＋b≥2 ab.
a2＋b2 2.
本 课 时
∴1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋b2 2.
栏
目
开
关
§3.2
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§3.2
典型例题
例1 已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b，2 ab ，2ab，
a2＋b2，其中最大的一个是
A．a2＋b2
B．2 ab
( D)
本
C．2ab