均值不等式优质PPT课件

ab＝
ab a－ a＋b
b2≥0，
本
课 时 栏 目
∴ ab≥1a＋2 1b，即1a＋2 1b≤ ab.
开
关
∵
a2＋2 b22－a＋2 b2＝a2＋2 b2－a＋4 b2
＝2a2＋b24－a＋b2＝a2＋b42－2ab＝a－4 b2≥0.
2021
§3.2
9
研一研·问题探究、课堂更高效
∴
a2＋2 b2≥a＋2 b，即a＋2 b≤
证明 b＋a c＋c＋b a＋a＋c b
＝b＋c＋c＋a＋a＋b
本
aabbcc
课 时 栏
＝ba＋ab＋ca＋源自文库c＋cb＋bc，
目 开
∵a>0，b>0，c>0，
关
∴ba＋ab≥2 ba·ab＝2，
同理，ac＋ac≥2，bc＋bc≥2.
∴b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥6.
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研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2
本 课
小结 (1)大小比较除了用比较法，也可利用已知的不等式．
时 栏
(2)本题是选择题，因此也可以采用赋值法，取特殊值解决．
目
开
关
2021
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研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2
跟踪训练1 设0<a<b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是
A.12
B．b C．2ab D．a2＋b2
a2＋b2 2.
本 课 时
∴1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋b2 2.
栏
目
开
关
§3.2
2021
10
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2
典型例题
例1 已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b，2 ab ，2ab，
a2＋b2，其中最大的一个是
A．a2＋b2
B．2 ab
( D)
本
C．2ab
本 课 时 栏
解析 方法一 ∵ab<a＋2 b2， ∴ab<14，∴2ab<12.
目 开 关
∵ a2＋2 b2>a＋2 b>0，∴ a2＋2 b2>12，
∴a2＋b2>12.
()
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2，∴b最大．
2021
a2＋b2 这是一条 2
重要的均值不等式链，请你给出证明．
本
课 时 栏
证明 由于 ab≤a＋2 b成立，
目 开 关
只须证明 ab≥1＋2 1和 a2＋2 b2≥a＋2 b成立即可．
ab
2021
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研一研·问题探究、课堂更高效
∵ ab－1a＋2 1b＝ ab－a2＋abb＝a＋ba＋abb－2ab
＝
aba＋b－2 a＋b
栏 目
(4)a2＋b2＋c2__≥__ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
开 关
4．当a>0，b>0且a≠b时，a＋2 b， ab，1＋2 1，
a2＋b2按从小 2
ab
2
a＋b a2＋b2
到大的顺序排列为____1a_＋__1b_<___a_b_<___2__<_______2_______．
2021
4
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2
探究点一 均值不等式的证明
问题1 利用作差法证明：a∈R，b∈R，a2＋b2≥2ab.
本 课
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
时 栏
∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”．
目
开
关
2021
5
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2
问题2 当a>0，b>0时，a＝( a)2，b＝( b)2. 据此证明：a>0，b>0时，a＋b≥2 ab.
是非负数．
2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、
“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的
条件结构.
2021
2
填一填·知识要点、记下疑难点
§3.2
1．如果a，b∈R，那么a2＋b2_≥___2ab(当且仅当_a_＝__b__时取
“＝”)．
本 课 时
2．若a，b都为_正___实数，那么a＋2 b__≥__ ab(当且仅当a_＝___b
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研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2
方法二 (取特殊值)
本 课 时 栏 目
取a＝14，b＝34，则2ab＝38，a2＋b2＝58， 2ab<12<a2＋b2<b，故选B.
开 关
答案 B
2021
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研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2
例2 设a，b，c都是正数，求证：b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥6.
D．a＋b
课 时
解析 因为a、b∈(0,1)，a≠b，
栏 目
所以a＋b>2 ab，a2＋b2>2ab，
开 关
所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．
而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，
又0<a<1,0<b<1，所以a－1<0，b－1<0，
因此a2＋b2<a＋b，所以a＋b最大．
2021
证明 ∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 a· b
本 课
＝( a－ b)2≥0.
时 栏
∴a＋b≥2 ab.
目
开
关
2021
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研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2
探究 下面是均值不等式 ab≤a＋2 b的一种几何
解释，请你补充完整．
如图所示，AB为⊙O的直径，AC＝a，CB＝
本 课
b，过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于点D，连接AD，BD，OD.
栏
目
a＋b
开 关
时，等号成立)，称上述不等式为_均__值__不等式，其中___2___
称为a，b的算术平均值，___a_b__称为a，b的几何平均值．
2021
3
填一填·知识要点、记下疑难点
§3.2
3．均值不等式的常用推论
(1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2 (a，b∈R)；
本 课 时
(2)当x>0时，x＋1x≥__2__，当x<0时，x＋1x≤_－__2_； (3)当ab>0时，ba＋ab≥__2__，当ab<0时，ba＋ab≤－__2__；
§3.2
2021
1
§3.2
学习要求
1．理解均值不等式的内容及证明．
2．能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．
3．能初步运用均值不等式证明简单的不等式．
本 课
学法指导
时 栏 目 开 关
1．应用均值不等式解决有关问题必须紧扣它的适用条件，公式a2 ＋b2≥2ab只要求a、b是实数，而公式 ab≤a＋2 b强调a、b必须
时
栏
a＋b
目 开 关
由射影定理可知，CD＝___a_b__,而OD＝___2___,因为OD_≥___CD, 所以a＋2 b__≥__ ab，当且仅当C与O_重__合___，即_a_＝ ___b_时，等号
成立．
2021
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研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2
探究点二 均值不等式的拓展
问题 当a>0，b>0时，1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤