10.10 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
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【例10-10】求图（即例 】求图（即例10-7）所示吊车梁的绝对最大弯矩。 ）所示吊车梁的绝对最大弯矩。 解： (1)求跨中临界荷载 求跨中临界荷载
荷载F 移动到中点C时 荷载 P2或FP3移动到中点 时， 跨中截面弯矩达到最大值， 跨中截面弯矩达到最大值，为
( M PC ) = 280(0.6 + 3 + 2.28) max
FP1 =280kN FP2 =280kN FP3 =280kN 1.44m 4.8m 4.8m A C 6m 6m
FP4 =280kN
B
= 1646.4kN ⋅ m
0.6
3
2.28
故可确定F 故可确定 P2和FP3是跨中截 面的临界荷载。 面的临界荷载。
FP1 =280kN FP2 =280kN FP3 =280kN K d K 4.8m 1.44m 4.8m FP4 =280kN
585.28
478.48
371.68
同理， 同理，可求出吊车移动 时在各截面所引起的最 大剪力F 大剪力 QPmax和最小剪力 FQPmin，将它们分别乘以 m，再与相应的恒载剪力 ， 相加， 值FQq相加，即可作出剪 力包络图
为此，可通过以下试算结合解析的办法来解决。 为此，可通过以下试算结合解析的办法来解决。 3。计算方法 。
x
FPi 距距距距距
a FR C D a/2 a/2 E
l-x-a
合合 FR 距距距距距
FP1 FP2 FPi A
FPn B
F FRA = R (l − x − a) l
FRA
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在绘制内力包络图时，一般是将梁长分成若干等分， 在绘制内力包络图时，一般是将梁长分成若干等分，对每一分 点所在截面均按10.7节~10.9节所述方法，利用影响线求出其内 节所述方法， 点所在截面均按 节 节所述方法 力的上、下限值，最后再连成曲线。 力的上、下限值，最后再连成曲线。
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M
Ⅰ P max
1120 12 0.72 2 = ( − ) − 280 × 4.8 12 2 2 = 1624.9kN ⋅ m
又设F 位于截面C之右且 又设 P2位于截面 之右且 FP4已移至梁外，则 已移至梁外，
A
FR = 280 × 3 = 840kN
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5×1.2m
截面弯矩的最小值是仅由 恒载引起的，即等于M 恒载引起的，即等于 q。
M min
839.18
1439.21
M max
1800.31 2011.03 2049.36 2027.04
b) 弯矩包络图
(KN.m)
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(2)剪力包络图 剪力包络图
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A
B
MC影响线
(2)求FP2作用点截面的最大弯矩（令 FPcr = FP 2 时） 求 作用点截面的最大弯矩（
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(2)求FP2作用点截面的最大弯矩 求
先求出合力F 的大小和位置， 位于截面C之左 先求出合力 R的大小和位置，设FP2位于截面 之左
l /2
l/2
F RB
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x
FPi 距距距距距
a FR C D a/2 a/2 E
l-x-a
合合 FR 距距距距距
FP1 FP2 FPi A
FPn B
FRA
l /2
l/2
F RB
FR M x = FRA x − M i = (l − x − a ) x − M i l
dM x FR = (l − 2 x − a ) = 0 l dx
FR = 280 × 4 = 1120kN
1.44 a= = 0.72m 2
A
1.44m FP1 4.8m FR FP2 FP3 4.8m FP4 B 1 2 C3 a/2=0.36m 0.36m a=0.72m 1.44m FP1 FR 4.8m FP2 FP3 4.8m FP4 B 1 a/2=0.56m C 2 3 0.56m 4
x
FPi 距距距距距
a FR C D a/2 a/2 E
l-x-a
合合 FR 距距距距距
M max
F l a = R ( − )2 − M i （10-17） ） l 2 2
A
FP1 FP2 FPi
FPn B
若合力F 位于F 的左边， 若合力 R位于 Pi的左边，则 ）、式 式（10-16）、式（10-17）中 ）、 ） a/2前的减号应改为加号。 前的减号应改为加号。 前的减号应改为加号
10.10 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
10.10.1 内力包络图 在恒载和移动荷载共同作用下,连接各截面某内力最 在恒载和移动荷载共同作用下 连接各截面某内力最 大值和最小值的曲线称为该内力的包络图。 大值和最小值的曲线称为该内力的包络图。包络图 弯矩包络图和 分弯矩包络图和剪力包络图 。包络图由两条曲线构 一条由各截面内力最大值构成， 成：一条由各截面内力最大值构成，另一条由最小 值构成。因此，内力包络图实际上表达了各截面上 值构成。因此， 内力变化的上、下限。 内力变化的上、下限。
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所示为一跨度为12m的简支吊车梁，承受图示两台同吨位的吊 的简支吊车梁， 例:图10-32a所示为一跨度为 图 所示为一跨度为 的简支吊车梁 车荷载，吊车轮压为FP1= FP2= FP3= FP4=280kN，取动力系数m=1.1。吊车 车荷载，吊车轮压为 ，取动力系数 。 梁自重q=12kN/m。试作该梁的内力包络图。 梁自重 。试作该梁的内力包络图。
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72
26.8
2
18.4
3
63.6
4
133.44
5 6
240.24
9
26.8 692.08
10
72 798.88
0
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8
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c)
剪力包络图(kN) 剪力包络图
10.10.2 简支梁的绝对最大弯矩 1.定义 定义 简支梁弯矩包络图中的最大弯矩， 简支梁弯矩包络图中的最大弯矩，亦即各截面最大弯 矩中的最大者，称为简支梁的绝对最大弯矩 简支梁的绝对最大弯矩。 矩中的最大者，称为简支梁的绝对最大弯矩。 2.问题分析 问题分析 一是绝对最大弯矩发生的截面位置 两个未知变量 :一是绝对最大弯矩发生的截面位置不知 一是绝对最大弯矩发生的截面位置不知 最不利荷载位置也不知道 二是相应于此截面的最不利荷载位置也不知道。 道，二是相应于此截面的最不利荷载位置也不知道。 已知：梁在集中荷载组作用下的弯矩图为多边形，最大 已知：梁在集中荷载组作用下的弯矩图为多边形， 弯矩发生的截面位置， 弯矩发生的截面位置，必然就在某一集中荷载作用的位 置。
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FRA
l /2
l/2
FRB
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根据以上结论， 根据以上结论，就可以将所需试算的各个荷载之下的最大弯矩按 式（10-17）分别求出，并将它们加以比较，便可求得绝对最大 ）分别求出，并将它们加以比较， 弯矩。不过，当荷载数目较多时，这仍然是比较繁锁的。 弯矩。不过，当荷载数目较多时，这仍然是比较繁锁的。
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可知，简支梁的绝对最大弯矩， 可知，简支梁的绝对最大弯矩，必然产生在当移动荷载移动到某 一临界位置时，某一集中荷载（即临界荷载）作用点处的截面。 一临界位置时，某一集中荷载（即临界荷载）作用点处的截面。 解决问题的关键也就集中在： 解决问题的关键也就集中在：绝对最大弯矩究意发生在哪一个集 中荷载的作用点处以及该点的截面位置。 中荷载的作用点处以及该点的截面位置。
4.实用计算法 实用计算法 因为简支梁在吊车荷载作用下的绝对最大弯矩通常总是发 生在梁的跨中附近。经验表明， 生在梁的跨中附近。经验表明，使梁的中点发生最大弯矩 的临界荷载，也就是发生绝对最大弯矩的临界荷载。据此， 的临界荷载，也就是发生绝对最大弯矩的临界荷载。据此， 计算绝对最大弯矩可按以下步骤进行： 计算绝对最大弯矩可按以下步骤进行：
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dM x FR = (l − 2 x − a ) = 0 l dx
x=
或
l a − 2 2
（10-16a ） （10-16b） ）
x=l −x−a
式（10-16）表明：当FPi与合力FR恰好位于梁上中间两侧的对称位置时， ）表明： 与合力 恰好位于梁上中间两侧的对称位置时， FPi之下截面的弯矩达到最大值，其值为 之下截面的弯矩达到最大值，
aLeabharlann Baidu=1.12m
a=
280 × 4.8 − 280 × 1.44 = 1.12m 840
M
Ⅱ P max
840 12 1.12 = ( + ) − 280 × 4.8 12 2 2 = 1668.4kN ⋅ m > MⅠmax = 1624.9kN ⋅ m P
由此可知， 位于截面C之右 之右0.56m时，其所在截面的最大弯矩为 由此可知，FP2位于截面 之右 时 1668.4kN·m。 。 同理，可求得当 位于截面C之左 之左0.56m时，其所在截面的最大弯矩 同理，可求得当FP3位于截面 之左 时 也为1668.4kN·m 。 由于一般情况下绝对最大弯矩与跨中截面的最大弯矩相差值均在5%以 由于一般情况下绝对最大弯矩与跨中截面的最大弯矩相差值均在 以 因此，设计时常用跨中截面的最大弯矩代替绝对最大弯矩。 内，因此，设计时常用跨中截面的最大弯矩代替绝对最大弯矩。
3）从这些可能的最大值中找出最大者，即为绝对最大弯矩。 ）从这些可能的最大值中找出最大者，即为绝对最大弯矩。
应当注意的是，当将临界荷载 和合力F 应当注意的是，当将临界荷载FPcr和合力 R对称作用 于梁中点的两侧时，如果梁上的荷载有变化， 于梁中点的两侧时，如果梁上的荷载有变化，就应重 新计算合力F 的大小和位置。 新计算合力 R的大小和位置。
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计算绝对最大弯矩可按以下步骤进行
1）首先确定能使跨中截面C发生最大弯矩的临界荷载 Pcr（有时不 ）首先确定能使跨中截面 发生最大弯矩的临界荷载 发生最大弯矩的临界荷载F 只一个）。 只一个）。
2）对每一临界荷载确定梁上合力FR以及相应的 R与FPcr之间的距离 ， ）对每一临界荷载确定梁上合力 以及相应的F 之间的距离a， 然后，用最大弯矩计算式（ 然后，用最大弯矩计算式（10-17）计算可能的绝对最大弯矩。 ）计算可能的绝对最大弯矩。
A
0
1
2
3
4
5 C
6
7
8
9
10 B
5×1.2m
798.88 692.08
5×1.2m
240.24
133.44
FQmax
63.6 18.4
478.48
585.28
FQmin
371.68
工程中常这样简化： 工程中常这样简化：求出两 端和跨中截面的最大、 端和跨中截面的最大、最小 剪力值，连以直线， 剪力值，连以直线，即得到 近似的剪力包络图。 近似的剪力包络图。
FP1 =280kN FP2 =280kN FP3 =280kN K d K 4.8m 1.44m 4.8m FP4 =280kN
(1)弯矩包络图 弯矩包络图 截面的最大弯矩M 截面的最大弯矩 max : Mmax = Mq + mMPmax
77.76
A
0
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5 C
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10 B
5×1.2m
181.44 207.36 214.12 216.00 138.24
【例10-10】求图（即例 】求图（即例10-7）所示吊车梁的绝对最大弯矩。 ）所示吊车梁的绝对最大弯矩。 解： (1)求跨中临界荷载 求跨中临界荷载
荷载F 移动到中点C时 荷载 P2或FP3移动到中点 时， 跨中截面弯矩达到最大值， 跨中截面弯矩达到最大值，为
( M PC ) = 280(0.6 + 3 + 2.28) max
FP1 =280kN FP2 =280kN FP3 =280kN 1.44m 4.8m 4.8m A C 6m 6m
FP4 =280kN
B
= 1646.4kN ⋅ m
0.6
3
2.28
故可确定F 故可确定 P2和FP3是跨中截 面的临界荷载。 面的临界荷载。
FP1 =280kN FP2 =280kN FP3 =280kN K d K 4.8m 1.44m 4.8m FP4 =280kN
585.28
478.48
371.68
同理， 同理，可求出吊车移动 时在各截面所引起的最 大剪力F 大剪力 QPmax和最小剪力 FQPmin，将它们分别乘以 m，再与相应的恒载剪力 ， 相加， 值FQq相加，即可作出剪 力包络图
为此，可通过以下试算结合解析的办法来解决。 为此，可通过以下试算结合解析的办法来解决。 3。计算方法 。
x
FPi 距距距距距
a FR C D a/2 a/2 E
l-x-a
合合 FR 距距距距距
FP1 FP2 FPi A
FPn B
F FRA = R (l − x − a) l
FRA
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在绘制内力包络图时，一般是将梁长分成若干等分， 在绘制内力包络图时，一般是将梁长分成若干等分，对每一分 点所在截面均按10.7节~10.9节所述方法，利用影响线求出其内 节所述方法， 点所在截面均按 节 节所述方法 力的上、下限值，最后再连成曲线。 力的上、下限值，最后再连成曲线。
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M
Ⅰ P max
1120 12 0.72 2 = ( − ) − 280 × 4.8 12 2 2 = 1624.9kN ⋅ m
又设F 位于截面C之右且 又设 P2位于截面 之右且 FP4已移至梁外，则 已移至梁外，
A
FR = 280 × 3 = 840kN
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截面弯矩的最小值是仅由 恒载引起的，即等于M 恒载引起的，即等于 q。
M min
839.18
1439.21
M max
1800.31 2011.03 2049.36 2027.04
b) 弯矩包络图
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(2)剪力包络图 剪力包络图
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A
B
MC影响线
(2)求FP2作用点截面的最大弯矩（令 FPcr = FP 2 时） 求 作用点截面的最大弯矩（
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(2)求FP2作用点截面的最大弯矩 求
先求出合力F 的大小和位置， 位于截面C之左 先求出合力 R的大小和位置，设FP2位于截面 之左
l /2
l/2
F RB
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x
FPi 距距距距距
a FR C D a/2 a/2 E
l-x-a
合合 FR 距距距距距
FP1 FP2 FPi A
FPn B
FRA
l /2
l/2
F RB
FR M x = FRA x − M i = (l − x − a ) x − M i l
dM x FR = (l − 2 x − a ) = 0 l dx
FR = 280 × 4 = 1120kN
1.44 a= = 0.72m 2
A
1.44m FP1 4.8m FR FP2 FP3 4.8m FP4 B 1 2 C3 a/2=0.36m 0.36m a=0.72m 1.44m FP1 FR 4.8m FP2 FP3 4.8m FP4 B 1 a/2=0.56m C 2 3 0.56m 4
x
FPi 距距距距距
a FR C D a/2 a/2 E
l-x-a
合合 FR 距距距距距
M max
F l a = R ( − )2 − M i （10-17） ） l 2 2
A
FP1 FP2 FPi
FPn B
若合力F 位于F 的左边， 若合力 R位于 Pi的左边，则 ）、式 式（10-16）、式（10-17）中 ）、 ） a/2前的减号应改为加号。 前的减号应改为加号。 前的减号应改为加号
10.10 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
10.10.1 内力包络图 在恒载和移动荷载共同作用下,连接各截面某内力最 在恒载和移动荷载共同作用下 连接各截面某内力最 大值和最小值的曲线称为该内力的包络图。 大值和最小值的曲线称为该内力的包络图。包络图 弯矩包络图和 分弯矩包络图和剪力包络图 。包络图由两条曲线构 一条由各截面内力最大值构成， 成：一条由各截面内力最大值构成，另一条由最小 值构成。因此，内力包络图实际上表达了各截面上 值构成。因此， 内力变化的上、下限。 内力变化的上、下限。
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所示为一跨度为12m的简支吊车梁，承受图示两台同吨位的吊 的简支吊车梁， 例:图10-32a所示为一跨度为 图 所示为一跨度为 的简支吊车梁 车荷载，吊车轮压为FP1= FP2= FP3= FP4=280kN，取动力系数m=1.1。吊车 车荷载，吊车轮压为 ，取动力系数 。 梁自重q=12kN/m。试作该梁的内力包络图。 梁自重 。试作该梁的内力包络图。
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72
26.8
2
18.4
3
63.6
4
133.44
5 6
240.24
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26.8 692.08
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72 798.88
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10.10.2 简支梁的绝对最大弯矩 1.定义 定义 简支梁弯矩包络图中的最大弯矩， 简支梁弯矩包络图中的最大弯矩，亦即各截面最大弯 矩中的最大者，称为简支梁的绝对最大弯矩 简支梁的绝对最大弯矩。 矩中的最大者，称为简支梁的绝对最大弯矩。 2.问题分析 问题分析 一是绝对最大弯矩发生的截面位置 两个未知变量 :一是绝对最大弯矩发生的截面位置不知 一是绝对最大弯矩发生的截面位置不知 最不利荷载位置也不知道 二是相应于此截面的最不利荷载位置也不知道。 道，二是相应于此截面的最不利荷载位置也不知道。 已知：梁在集中荷载组作用下的弯矩图为多边形，最大 已知：梁在集中荷载组作用下的弯矩图为多边形， 弯矩发生的截面位置， 弯矩发生的截面位置，必然就在某一集中荷载作用的位 置。
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l /2
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根据以上结论， 根据以上结论，就可以将所需试算的各个荷载之下的最大弯矩按 式（10-17）分别求出，并将它们加以比较，便可求得绝对最大 ）分别求出，并将它们加以比较， 弯矩。不过，当荷载数目较多时，这仍然是比较繁锁的。 弯矩。不过，当荷载数目较多时，这仍然是比较繁锁的。
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可知，简支梁的绝对最大弯矩， 可知，简支梁的绝对最大弯矩，必然产生在当移动荷载移动到某 一临界位置时，某一集中荷载（即临界荷载）作用点处的截面。 一临界位置时，某一集中荷载（即临界荷载）作用点处的截面。 解决问题的关键也就集中在： 解决问题的关键也就集中在：绝对最大弯矩究意发生在哪一个集 中荷载的作用点处以及该点的截面位置。 中荷载的作用点处以及该点的截面位置。
4.实用计算法 实用计算法 因为简支梁在吊车荷载作用下的绝对最大弯矩通常总是发 生在梁的跨中附近。经验表明， 生在梁的跨中附近。经验表明，使梁的中点发生最大弯矩 的临界荷载，也就是发生绝对最大弯矩的临界荷载。据此， 的临界荷载，也就是发生绝对最大弯矩的临界荷载。据此， 计算绝对最大弯矩可按以下步骤进行： 计算绝对最大弯矩可按以下步骤进行：
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dM x FR = (l − 2 x − a ) = 0 l dx
x=
或
l a − 2 2
（10-16a ） （10-16b） ）
x=l −x−a
式（10-16）表明：当FPi与合力FR恰好位于梁上中间两侧的对称位置时， ）表明： 与合力 恰好位于梁上中间两侧的对称位置时， FPi之下截面的弯矩达到最大值，其值为 之下截面的弯矩达到最大值，
aLeabharlann Baidu=1.12m
a=
280 × 4.8 − 280 × 1.44 = 1.12m 840
M
Ⅱ P max
840 12 1.12 = ( + ) − 280 × 4.8 12 2 2 = 1668.4kN ⋅ m > MⅠmax = 1624.9kN ⋅ m P
由此可知， 位于截面C之右 之右0.56m时，其所在截面的最大弯矩为 由此可知，FP2位于截面 之右 时 1668.4kN·m。 。 同理，可求得当 位于截面C之左 之左0.56m时，其所在截面的最大弯矩 同理，可求得当FP3位于截面 之左 时 也为1668.4kN·m 。 由于一般情况下绝对最大弯矩与跨中截面的最大弯矩相差值均在5%以 由于一般情况下绝对最大弯矩与跨中截面的最大弯矩相差值均在 以 因此，设计时常用跨中截面的最大弯矩代替绝对最大弯矩。 内，因此，设计时常用跨中截面的最大弯矩代替绝对最大弯矩。
3）从这些可能的最大值中找出最大者，即为绝对最大弯矩。 ）从这些可能的最大值中找出最大者，即为绝对最大弯矩。
应当注意的是，当将临界荷载 和合力F 应当注意的是，当将临界荷载FPcr和合力 R对称作用 于梁中点的两侧时，如果梁上的荷载有变化， 于梁中点的两侧时，如果梁上的荷载有变化，就应重 新计算合力F 的大小和位置。 新计算合力 R的大小和位置。
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计算绝对最大弯矩可按以下步骤进行
1）首先确定能使跨中截面C发生最大弯矩的临界荷载 Pcr（有时不 ）首先确定能使跨中截面 发生最大弯矩的临界荷载 发生最大弯矩的临界荷载F 只一个）。 只一个）。
2）对每一临界荷载确定梁上合力FR以及相应的 R与FPcr之间的距离 ， ）对每一临界荷载确定梁上合力 以及相应的F 之间的距离a， 然后，用最大弯矩计算式（ 然后，用最大弯矩计算式（10-17）计算可能的绝对最大弯矩。 ）计算可能的绝对最大弯矩。
A
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5×1.2m
798.88 692.08
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240.24
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FQmax
63.6 18.4
478.48
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工程中常这样简化： 工程中常这样简化：求出两 端和跨中截面的最大、 端和跨中截面的最大、最小 剪力值，连以直线， 剪力值，连以直线，即得到 近似的剪力包络图。 近似的剪力包络图。
FP1 =280kN FP2 =280kN FP3 =280kN K d K 4.8m 1.44m 4.8m FP4 =280kN
(1)弯矩包络图 弯矩包络图 截面的最大弯矩M 截面的最大弯矩 max : Mmax = Mq + mMPmax
77.76
A
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