10.10 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
绝对最大弯矩
600 1800
600
60
P=12kN/m 90 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
60
30
1600
p 1500 KN / m
M活2
200
400
4080 880
880
M活3
10
20
30
80
P=12kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 110
360
0 Mmax 0 0
2 210 60
4 －100 －260
6 120 －30
320
q=12kN/m
M
max
M恒 M
活
600 400
M恒
90 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2200
P=12kN/m M活1 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 110 30
80
1200
p 1500 KN / m
30
20
10
分别表示各种活 载作用下对应点 的正弯矩、负弯 矩之和。 5 ． 将 各 点 的 Mmax 、 Mmin 分别连成曲线， 即得连续梁的M包络 图。
可以看出，它很接近于直线。故实用上只需求出两 端和跨中的最大、最小剪力值而连以直线即可作为 近似的剪力包络图。
FQ1影响线 FQ2影响线 FQ3影响线 FQ4影响线
计算各等分点截面的 最大、最小剪力值。 先绘出各截面的剪力 影响线。 由于对称，可只计算 半跨的截面。
3
弯矩包络图 将梁分成8等分
1
简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图
在设计承受移动荷载的结构时，必须求出每一截面 内力的最大值（最大正值和最大负值）。连接各截 面内力的最大值的曲线为内力包络图。 包络图表示各截面内力的变化极值，在设计中十分 重要。 弯矩包络图中最大的竖距称为绝对最大弯矩。
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩1)简支梁的内力包络图在设计承受移动荷载的结构时,通常需要求出结构中所有截面的最大、最小内力,连接各截面的最大、最小内力的图形称为内力包络图。
内力包络图反映了结构承受移动荷载作用时,所有截面内力的极值,是结构设计的重要依据,在吊车梁、楼盖的连续梁和桥梁的设计中都要用到。
下面以一实例来说明简支梁的弯矩包络图和剪力包络图的绘制方法。
如图17.20(a)所示为一跨度为12m的吊车梁,承受图中所示的吊车荷载作用。
首先将梁沿其轴线分为若干等分,本例分为十等分。
然后利用影响线逐一求出各等分截面上的最大弯矩和最小弯矩。
其中最小弯矩是梁在恒载作用下各个截面的弯矩。
对于吊车梁来讲,恒载所引起的弯矩比活载所引起的弯矩要小得多,设计中通常将它略去。
因此,本例只考虑活载即移动荷载所引起的弯矩,那么各截面的最小弯矩均为零。
最后根据计算结果,将各截面的最大弯矩以相同的比例画出,并用光滑曲线相连,即得到弯矩包络图,如图17.20(b)所示。
图17.20同理,可求出梁上所有截面的最大和最小剪力,画出剪力包络图,如图17.20(c)所示。
由于每个截面都会产生最大剪力和最小剪力,因此剪力包络图有两条曲线。
由上可以看出,内力包络图是针对某种移动荷载而言的,同一结构在不同的移动荷载作用下,其内力包络图也不相同。
2)简支梁的绝对最大弯矩由前面的讲述我们知道,简支梁的弯矩包络图反映了所有截面弯矩的最大值,其中的最大竖标值是所有截面最大弯矩中的最大值,称为绝对最大弯矩,用Mmax表示。
绝对最大弯矩无疑是考虑移动荷载作用时结构分析、设计的重要依据。
可以通过作出弯矩包络图来得到绝对最大弯矩,但这种方法计算量大,而且精度也不高,因此一般不采用此方法来计算绝对最大弯矩。
下面介绍一种较为简便的方法。
由于简支梁在移动荷载作用下,其上任一截面都有最大弯矩,其值可以通过确定该截面弯矩的最不利荷载位置,并计算该荷载位置时的弯矩而得到。
03-讲义：10.9 简支梁的绝对最大弯矩
第九节 简支梁的绝对最大弯矩由上节可知，在移动荷载作用下可以求出简支梁任一指定截面的最大弯矩值，在所有截面的最大弯矩中，必然有一个是最大的，这个最大的弯矩称为梁的绝对最大弯矩。
绝对最大弯矩是弯矩包络图中的最大竖标值，也可以说，它是最大弯矩中的最大者。
要确定绝对最大弯矩，涉及两个问题：一是绝对最大弯矩产生的截面位置如何确定，二是相应于该截面弯矩的最不利荷载位置如何确定。
这里，截面位置和荷载位置都是未知的。
从理论上来说，可以将梁所有截面的最大弯矩都一一求出来，其中最大者即为梁的绝对最大弯矩。
但是，由于梁的截面有无穷多个，无法一一计算出来进行比较，因此这种方法是行不通的。
虽然有的情况下可以选取有限多个截面进行计算比较，但这也只能得到问题的近似解答。
其实，只要知道了绝对最大弯矩产生的截面位置，绝对最大弯矩的数值就容易求出来了。
下面研究简支梁上承受的是移动荷载组的情况。
简支梁上的一组集中荷载移动到某一位置时，其弯矩图的顶点均在集中荷载作用点处。
随着荷载组的移动，这些顶点的位置及弯矩值均发生变化，但无论荷载组移动到任何位置，弯矩图的顶点总是在集中荷载作用点处。
由此可判定，绝对最大弯矩必定发生在某一集中荷载作用点处的截面上。
为解决它到底发生在哪个集中荷载的作用点及该点位置，可先任选一个集中荷载，研究该集中荷载移动到什么位置时其作用点处截面的弯矩达到最大值，然后按同样的方法分别求出发生在其它各集中荷载作用点截面的最大弯矩，再加以比较即可确定出绝对最大弯矩。
如图10-33所示简支梁，移动荷载为一组集中荷载，其合力为R F 。
取某一集中荷载k F 来考虑，记k F 至左支座A 的距离为x ，k F 与R F 距离为a 。
则支座反力A F 可由整体平衡条件∑=0B M 求得： )(a x l lF F R A --=(a)k F 位于R F 的左边 (b)k F 位于R F 的右边图10-33 简支梁的绝对最大弯矩求解记k M 为k F 以左梁段上荷载对k F 作用点的力矩之和，它只与各荷载的相对位置有关。
简支梁的内力包络图及绝对最大弯矩
现以简支梁受一组数值不变的集中荷载作用为例，介绍如何求得梁 内可能发生的绝对最大弯矩。
如图12-17 所示，在这一组集中荷载中，选出一个 PK ，研究它的作 用点移动到什么位置时可能使所在的截面弯矩为最大 。
图 12-17
以 x 表示 PK 到支座 A 的距离，a 表示梁上全部荷载的合力 FR 与
PK 作用线之间的距离，对 B 点取矩。
由 M B 0 ，求得
FA
FR l
l
x
a
用 PK 作用截面以左所有外力对 PK 作用点取矩，得 PK 作用点所在
图 12-16
1.2 简支梁的绝对最大弯矩
在移动荷载作用下，弯矩图中的最大纵坐标值是简支梁各截面的所 有最大弯矩中的最大值，称为绝对最大弯矩。产生绝对最大弯矩的某一 截面一定有某个临界荷载 PK 作用的截面。为此可用逐个荷载试算的办 法，先假定其中的某个荷载为临界荷载，求出其产生最大弯矩时的位置 和最大弯矩值，然后将计算出的最大弯矩加以比较，即可找出梁的绝对 最大弯矩。
M max
FR l
l 2
a 2
2
M
K
式中，当 PK 在 FR 左边时取负号； PK 在 FR 右边时取正号。
（12-10）
按上述方法，依次将每个荷载作为临界荷载计算出最大弯矩并加以比 较，确定梁的最大弯矩。
经验表明，简支梁的最大弯矩，通常发生在梁的跨中附近，因此可确
定一个靠近梁的中点截面处的较大荷载作为临界荷载 PK，并移动系列荷载， 使 PK 与梁上荷载的合力对称于梁的中点，再计算此时 PK 作用点的弯矩， 即得绝对最大弯矩。
结构力学教案 第10章 影响线及其应用
第十章 影响线及其应用10．1 影响线的概念一、移动荷载对结构的作用1、移动荷载对结构的动力作用:启动、刹车、机械振动等.2、由于荷载位置变化，而引起的结构各处的反力、内力、位移等各量值的变化及产生最大量值时的荷载位置。
二、解决移动荷载作用的途径1、利用以前的方法解决移动荷载对结构的作用时，难度较大。
例如吊车在吊车梁上移动时，R B 、M C2、影响线是研究移动荷载作用问题的工具。
根据叠加原理，首先研究一系列荷载中的一个，而且该荷载取为方向不变的单位荷载。
10.2 用静力法绘制静定结构的影响线一、静力法把荷载Ｐ＝１放在结构的任意位置，以x 表示该荷载至所选坐标原点的距离，由静力平衡方程求出所研究的量值与x 之间的关系（影响线方程）。
根据该关系作出影响线。
二、简支梁的影响线1、支座反力的影响线∑M B =0：∑M A =0：2、弯矩影响线1M C影响线弯矩图（1）当P=1作用在AC段时，研究CB：∑M C=0：（2）当P=1作用在CB段时，研究CB：∑M C=0：3、剪力影响线（1）当P=1作用在AC段时，研究CB：（2）当P=1作用在CB段时，研究CB：三、影响线与量布图的关系1、影响线：表示当单位荷载沿结构移动时，结构某指定截面某一量值的变化情况（分析左图）。
2、量布图（内力图或位移图）：表示当荷载位置固定时，某量值在结构所有截面的分布情况（分析右图）。
四、伸臂梁的影响线例10−1 试作图10−4（a）所示外伸梁的反力R A、R B的影响线，C、D截面弯矩和剪力的影响线以及支座B截面的剪力影响线。
10.3 用机动法作影响线一、基本原理机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为作位移图的几何问题。
二、优点 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。
以X 代替A 支座作用，结构仍能维 持平衡。
使其发生虚位移，依虚位移原理： X ·δX +P · δP =0 X=－P δP /δX =－ δP /δX 令 δX =1， 则 X=－δP 结论：为作某量值的影响线，只需将与该量值相应的联系去掉，并以未知量X 代替；Q C 影响线)而后令所得的机构沿X的正方向发生单位位移，则由此所得的虚位移图即为所求量值的影响线。
绝对最大弯矩
当Mx为极大时，根据极值条件
dM x FR (l 2 x a) 0 dx l
l a x 2 2
截面的弯矩达到最大
l /2 l /2 – a /2
FPcr FPk
a C
a 2 a 2
FR
这表明，当FPK与合力FR对称于梁的中点时， FPK之下的截面，即 为
M max
l a 2 2
计算各等分点截面的 最大、最小弯矩值。 先绘出各截面的弯矩 影响线。 由于对称，可只计算 半跨的截面。
弯矩包络图
根据计算结果，将各截面的最大、最小弯矩值分别 用曲线相连，即得到弯短包络图。这里，梁的绝对 最大弯矩即近似地以跨中最大弯矩代替。
M1影响线 M2影响线 M3影响线 M4影响线
连续梁的内力包络图
例
一跨度为18m的单线铁路钢筋混凝土简支梁桥，有 两片梁，恒载为q＝2×54.1kN／m，承受中一活载 ，根据铁路桥涵设计规范。试绘制一片梁的弯矩和 剪力包络图。
16m
剪力包络图 将梁分成8等分
FQ0影响线
剪力包络图
根据计算结果，将 各截面的最大、最 小剪力值分别用曲 线相连，即得到剪 力包络图。
a 30 5 70 9 50 4 2.32m 250
C
（3）移动荷载组使100kN 与FR对称于梁的中点， 此时梁上荷载与求合力 时相符。
a
算得绝对最大弯矩（即 截面D 的弯矩）为
M max 250 20 2.32 2 ( ) 50 4 777 kN m 20 2 2
绘制方法：逐跨布置法
步骤： 1．绘出恒载作 用下的M图；
2．依次考虑每
恒载 : q 800 KN / m 活载 : p 1500 KN / m
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
解决绝对最大弯矩问题要比解决最不利荷载位 置问题复杂。因为它有两个未知位置，即产生绝对 最大弯矩的截面位置，以及相应于此截面的最不利 荷载位置。下面介绍工程上常用的一种计算绝对最 大弯矩的方法。因为简支梁任一截面弯矩影响线为 三角形，所以其顶点就在该截面的竖线上，而最不 利荷载位置总是发生在某一临界荷载Pcr之下。这一 结论同样适合于绝对最大弯矩。
图弯矩
同理，可作吊车梁的 剪力包络图，如图16-13 中的(b)~(h)所示。因各等 分点截面的剪力影响线都 将产生最大剪力和最小剪 力，故剪力包络图有两根 曲线，如图16-13(h)所示。
图16-13
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
1.2
绝对最大弯矩
弯矩包络图中的最大竖标称为绝对 最大弯矩，它是该简支梁各截面的所有 最大弯矩中的最大值，是设计等截面简 支梁时的依据。
图16-14
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
由式(16-9)可知，临界荷载Pcr应 该与荷载的合力R对称地放在简支梁中 点的两边，如图16-14所示，计算时， 须注意R应是梁上的实有荷载的合力。 在安排Pcr与R的位置时，有些荷载可能 在梁上或离开梁上，这时应重新计算 合力R的数值和位置。
工程力学
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
1.1
简支梁的内力包络图
将结构杆件各截面的最大、最小(或最大负值)内力值 按同一比例标在图上，连成曲线，则这种曲线图形就是内 力包络图。内力包络图实际上表达了各截面内力变化的上、 下限，是结构实际设计计算的重要依据。这个图上能清楚 地看出各截面某一内力的最大、最小值的变化规律，还可 以找出该内力的绝对最大值以及它所在的截面位置。 梁的 内力包络图有两种：弯矩包络图和剪力包络图。
梁的内力图剪力图和弯矩图(共16张PPT)
V Rqx qlqx 作3、此依梁方的程剪x作力剪图力和图弯和矩A弯图矩。图
(0<x<l)
2、判断各段V、M图形状：
快速绘制剪力图和弯矩图
突变大小等于集中荷载的大小。
弯矩图出现转折，转折方向与
3、依方程作剪力图和弯矩图
Vmax= 1 ql 2
Mmax 1 ql 2 8
例2 简支梁受集中荷载作用，如图示，
斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜，
V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。
在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0〔 〕向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0〔 〕向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的
弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；
V>0时向右下方斜斜，
v
而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁
q>0〔 〕向上凸。
q>0〔 〕向上凸。
v 1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
集度，q<0〔 〕向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。
作此梁的剪力图和弯矩图。
作此梁的剪力图和弯矩图。
〔4〕逐段绘制出V和M图即梁的V和M图
极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
v
利用上述规律：
1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：
〔1〕将梁正确分段 〔2〕根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状
结构力学 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
内力包络图是结构设计中重要的资料，在吊车梁、楼盖的连续梁和 桥梁的设计中都要用到。例如在钢筋混凝土结构设计时，需要根据内力 包络图来确定纵向和横向受力钢筋的布置。
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
知识链接
2．简支梁的绝对最大弯矩 在移动荷载作用下，每个截面上都有其最大弯矩，简支梁所有截面
的最大弯矩中的最大者称为绝对最大弯矩。简支梁弯矩包络图上的最大 弯矩叫作简支梁的绝对最大弯矩。对于等截面梁来讲，绝对最大弯矩发 生的截面是最危险的截面。
项目四 移动荷载作用下结构的内力计算
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
学习能力目标
1. 能判别绝对最大弯矩发生在哪个截面。 2. 能判别荷载位于什么位置产生绝对最大弯矩。
项目表述
对如图 4 – 40 所示简支梁进行分析，能够绘制简支梁的内力包络图，并确定 简支梁的绝对最大弯矩。通过完成学习项目，可以判别荷载位于什么位置产 生绝对最大弯矩。
设梁所承受的恒载为均布荷载 q，某一内力 S 影响线的正、负面积及总面 积分别为 ω+、ω– 及Σω ，活载为车道荷载，均布荷载为 qK，集中力为 PK， 则在恒载和活载共同作用下该内力的最大、最小值的计算公式为：
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩 能力拓展
如图 4 – 45 所示，一跨径为 19.5 m 的公路钢筋混凝土 T 梁桥，共由五片梁 组成，双车道。 中主梁受均布荷载 q = 16.7 kN/m，冲击系数为1+μ =1.261 ， 其跨中横向分布系数 mc = 0.5， 假设沿桥纵向不变化。承受公路—Ⅱ级活载 作用。分组讨论并绘制中主梁的弯矩和剪力包络图。
知识链接
梁的内力图—剪力图、弯矩图
a
a
a
例2.
p
p
a
a
a
例3.
pa
p
p
pa
a
a
a
1.2 q=0时，剪力 Fs =C>0, M图为向下倾斜的直线。 (见例1，例2) 1.3 q=0时，剪力 Fs =C<0, M图为向上倾斜的直线。 (见例1，例2)
2.集中力作用处
规律：从左往右看，剪力图的突向，弯矩图 的折尖均与集中力的指向一致。剪力的突 变值等于该处集中力大小。（见例1，例2）
p a b c
M
q f d e
二、剪力、弯矩、分布力之间的关系
dFS q dx
dM FS dx
d M q 2 dx
2
三、剪力上正下负，弯矩下正上负
Fs
0
+ -
x
0
+
x
M
1.无荷区段（q=0）
1.1 q=0时，剪力 Fs =0，弯矩M=C（常数） （C>0或C<0或C=0） p p 例1.
一剪力方程弯矩方程的分段规则以及方程的建立在集中力两侧集中力偶两侧分布荷载的起始及结束两侧剪力方程弯矩方程分段写出
第八章 梁的内力
第二节 梁的内力图：剪力图、弯 矩图以及它们的规律
复习： 一、剪力方程、弯矩方程的分段规则以及方程的建立 在集中力两侧、集中力偶两侧、分布荷载的起始及结 束两侧，剪力方程、弯矩方程分段写出。
a
4.2 q=C<0, 剪力图下斜，弯矩图下凸。剪力等于0 处，弯矩有极值.（注意：弯矩极值也可能在边 界处，剪力的极值在边界处）。从左向右，剪力 图的斜向、弯矩图的凸向均与荷载指向一致（注 意：对于三角形荷载以及梯形荷载不一定适用）。 例7
简 支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
注意 : FR为梁上实有荷载的合力。在安排FR与Fcr的位 置时，可能会有来到或离开梁上的荷载，需要
a
b
F左 Fcr F右
a
b
30 30 20 10 10
10
10
Байду номын сангаас
30 30 20 10 10
10
10
验算其他荷载均不满足判别式，故轮2作用力是使 梁跨中截面C产生最大弯矩的临界荷载Fcr。 2)求梁的绝对最大弯矩。
FR =30 kN+30 kN+20 kN+10 kN+10 kN=100 kN FR ·x＝10kN×2 m＋20kN×４m＋
当简支梁受一组移动集中荷载作用时，例如图
9.18(a)、（b)所示
A
B
5.625 6.375 9.6 0 1.2 2.4 3.6 4.86.0 7.28.4 10.8 12
12m
(a)
215
F2=82kN F3=82kN
366
F1=82kN 3.5m 1.5m 3.5m F4=82kN
465
559 574 578
1 2 34 5
(a) A
2m 2m 2m 2m
C
x'=5.2m B
10 (b)
10m
10m
5
图9.20
MC的影响线 （单位：m）
将轮2作用力置于影响线的顶点［图9.20（c）］，
简支梁的内力包络图及绝对最大
在实际计算中，常常可以估计出哪个荷 载或哪几个荷载需要考察。因为简支梁绝对最 大弯矩总是发生在中点附近的截面上，所以使 梁跨中截面产生最大弯矩的临界荷载，通常就 是产生绝对最大弯矩的荷载。因此，计算简支 梁的绝对最大弯矩可按以下述步骤进行：
（1）确定使梁跨中截面上发生最大弯矩的临界 荷载Fcr 。
同理，可求得F3作用在截面C时产生的最大弯矩， 由对称性可知，其值与上相同。
(a)
2) 求吊车梁的绝对最大弯矩。 由于F2和F3都是产生绝对最大弯矩的临界荷载， 并且对称于梁的中点。所以只需考虑F2作为临界荷 载的情况。为此，使F2与梁上荷载的合力FR对称于 梁的中点布置。
(a)
当F2在合力的左边时[图(c)]，梁上有四个荷载，
1.1 简支梁的内力包络图
用上节介绍的在移动荷载作用下，计算静 定梁任一指定截面上最大内力的方法，可以求 出简支梁所有截面上内力的最大值（或最小 值）。如果把求得的各截面上内力的最大（或 最小）值按同一比例标在图上，然后连成曲线， 则这一曲线图形就称为内力包络图。
内力包络图表示静定梁所有截面上内力变 化的极限值，是吊车梁、楼盖的连续梁和桥梁 结构设计的重要依据。
下面先以简支梁在单个移动集中荷载作用 下的弯矩包络图为例，说明内力包络图的绘制 方法。
如图(a)所示的简支梁受单个移动集中荷载作用， 某个截面C上弯矩的影响线如图(b)所示。
(a) (b) MC影响线
由影响线可以判定，当荷载正好作用于C点时，MC
值为最大：M C
ab l
F
。由此可见，荷载由A向B移动时，只
而梁上荷载组的合力FR至Fi的距离为a，如图所示。
由 M,得B 支0 座A处的约束反力为
FA y
简支梁绝对最大弯矩计算及原理
简支梁绝对最大弯矩计算及原理影响线之综合应用 by hnullh一、条件： 1， 简支梁 2， 影响线 3， 移动集中荷载 4， 求绝对最大弯矩a) 未知截面(与求跨中弯矩或某一个固定未知截面弯矩的最大值相区别) b) 未知数值二、引理： 1，合力矩定理 在影响线单段直线范围内，各力效应与其合力效应一样。
F kF Ra xlFk 为临界荷载，FR 为荷载合力x 为位置变量 l 为简支梁长∑⋅=iipi y F S （ 1.1）∑⋅=iipi x F S αtan Rx R x Fii pi⋅=⋅∑ （ 2.1-1） （ 2.1-2）（ 2.1-3）R R tan tan y R x R x F S ii pi ⋅=⋅⋅=⋅=∑αα （ 2.1-4）()n i x y i i 2,1tan ==α2， S 取得极值的必要条件S 取得极值时，某一集中荷载必然会位于影响线的某一顶点上，把该荷载称为临界荷载，FK 用表示。
公式（2.2-2）为S 的导数，先（FK 过顶点之前）≥0后（FK 过顶点之后）≤0，表示S 先增后减，取得极大值。
3，临界荷载与简支梁上所有荷载（包括临界荷载本身）的合力R （FR ）恰好位于梁中点两侧的对称位置设Fpi 为临界荷载，求Fpi 对应的截面的MiFpi 以左所有荷载（Fp1，Fp2 ……Fpi -1）对Fpi 作用点的矩为 M （为常数）Mi 为x 的函数，求得Mi 的最不利位置的一般公式（即引理3）：三、计算轮次取Fpi 为临界荷载，可以求得对应Mimax ，比较之，得出最大Mmax 。
从而先后解决了未知截面和未知数值两个内容。
四、优化绝对最大弯矩通常发生在梁中点附近，故可设想，使梁的中点发生最大弯矩的临界荷载也就是发生绝对最大弯矩的临界荷载()∑∑==⋅-∆+⋅=∆mj jj mj j j j y R y y R S 11∑=⋅=∆∆mj j j R x S 1tan α （ 2.2-1）（ 2.2-2）()M x la x l R M x R M A i ---=-⋅= （2.3-1）()02=--=a x l lRdx dM i （ 2.3-2）2a l x -=（ 2.3-3）。
简支梁的绝对最大弯矩
简支梁的绝对最大弯矩1.简支梁绝对最大弯矩的定义：给定的移动荷载移动荷载作用下，所有截面最大弯矩中的最大者称为简支梁的绝对最大弯矩。
2．求算意义与求算要素：绝对最大弯矩截面为最危险截面，因此，绝对最大弯矩是简支梁设计的依据。
在求算过程中，需解出绝对最大弯矩的值和它的作用位置这两大要素。
3.下面简述其求解过程：上图所示简支梁，作用有数量和间距不变的移动荷载1p pn F F ，…，。
无论荷载在什么样的位置，此梁的弯矩图顶点必然在某一集中荷载下面，即绝对最大弯矩一定发生在某一集中荷载作用点。
取任一荷载pk F 进行分析，分析其作用点的最大弯矩的产生情况，以x 表示其与A 点的距离，a 表示pk F 与梁上荷载的合力R F 的作用点间的距离。
对B 点取矩，可以解出A 点支反力：RA R l x a F F l--= 则pk F 作用点的弯矩为：RA k Rk l x a M F x M F x M l --=-=-其中的k M 是表示pk F 左边的荷载对其作用点的力矩之和，是一常数。
计算k M 对x 的一阶导数，利用极值点的一阶导数为0，可确定x 。
求导推算：0(2)022R dM F l a l x a x dx l =⇔--=⇔=- 由上可看出：当梁中线平分pk F 与R F 间的距离时，pk F 作用点的弯矩取得最大值。
最大值为：2max 1()22R cr l a M F M l=-- 依次将每个力作为临界荷载代入计算极值，其中的最大值即为绝对最大弯矩。
在安排pk F 与R F 的位置时应仔细，如有荷载移入或移出梁，则应重新计算a 。
4.经验简化：经验表明，绝对最大弯矩总是发生在跨中截面附近，使得跨中截面发生弯矩最大值的临界荷载常常也是发生绝对最大弯矩的临界荷载。
因此，可用跨中截面最大弯矩的临界荷载代替绝对最大弯矩的临界荷载。
实际计算步骤：（1） 求出能使跨中截面发生弯矩最大值的全部临界荷载。
第九节简支梁的内力包络图
令a被C点等分，P2距C点为a/2=0.36m。P2作用点弯矩为
M max 1120 12 0.72 2 ( ) 280 4.8 1624.9kN m 12 2 2
设P2位于截面C之右（图d），且P4已移至梁外。
则
R=280×3=840kN
a=(280×4.8-280×1.44)/840=1.12m 令a被C点等分，P2距C点为a/2=0.56m。P2作用点弯 矩为（此时a取负值）为
RA R (l x a) l
PK作用点弯矩为
M RA x M K R (l x a ) x M K l
图10-24
式中， MK为PK以左梁上荷载对PK作用点的力矩之 和，为常数。由M取极值的条件
dM 0 dx
得
x
l a 2 2
即：当PK与R位于梁中点两侧对称位置时，PK所在截面的 弯矩达最大，为
M max
R l a 2 ( ) MK l 2 2
x
l a 2 2
M max
R l a 2 ( ) MK l 2 2
按式即可确定各个荷载作用点截面 的最大弯矩，比较后取最大者即为 绝对最大弯矩。
2.求绝对最大弯矩的步骤 经验表明：使梁跨中截面产生最大弯矩的临界荷载 就是产生绝对最大弯矩的荷载。 (1)求跨中截面的最大弯矩，确定此时作用在梁中 点的荷载PK。 (2)移动荷载组，使PK与梁上荷载合力R的间距被 梁中点平分。PK作用点的弯矩即为绝对最大弯矩。
M max 840 12 1.12 2 ( ) 280 4.8 1668.4kN m 12 2 2
由此可知，P2位于截面C之右0.56m时，其 所在截面的弯矩达最大，为1668.4kN· m。 (3)同理可求得，当P3位于C之左0.56m时，其所在截面 的弯矩达最大，为1668.4kN· m。 因此，梁的绝对最大弯矩为1668.4kN· m，它比Mcmax （ 1646.4kN· m ）仅大约1%（一般不超过5%）。设计 时完全可用MCmax代替之。
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为此，可通过以下试算结合解析的办法来解决。 为此，可通过以下试算结合解析的办法来解决。 3。计算方法 。
x
FPi 距距距距距
a FR C D a/2 a/2 E
l-x-a
合合 FR 距距距距距
FP1 FP2 FPi A
FPn B
F FRA = R (l − x − a) l
FRA
All Rights Reserved
a =1.12m
a=
280 × 4.8 − 280 × 1.44 = 1.12m 840
M
Ⅱ P max
840 12 1.12 = ( + ) − 280 × 4.8 12 2 2 = 1668.4kN ⋅ m > MⅠmax = 1624.9kN ⋅ m P
由此可知， 位于截面C之右 之右0.56m时，其所在截面的最大弯矩为 由此可知，FP2位于截面 之右 时 1668.4kN·m。 。 同理，可求得当 位于截面C之左 之左0.56m时，其所在截面的最大弯矩 同理，可求得当FP3位于截面 之左 时 也为1668.4kN·m 。 由于一般情况下绝对最大弯矩与跨中截面的最大弯矩相差值均在5%以 由于一般情况下绝对最大弯矩与跨中截面的最大弯矩相差值均在 以 因此，设计时常用跨中截面的最大弯矩代替绝对最大弯矩。 内，因此，设计时常用跨中截面的最大弯矩代替绝对最大弯矩。
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所示为一跨度为12m的简支吊车梁，承受图示两台同吨位的吊 的简支吊车梁， 例:图10-32a所示为一跨度为 图 所示为一跨度为 的简支吊车梁 车荷载，吊车轮压为FP1= FP2= FP3= FP4=280kN，取动力系数m=1.1。吊车 车荷载，吊车轮压为 ，取动力系数 。 梁自重q=12kN/m。试作该梁的内力包络图。 梁自重 。试作该梁的内力包络图。
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M
Ⅰ P max
1120 12 0.72 2 = ( − ) − 280 × 4.8 12 2 2 = 1624.9kN ⋅ m
又设F 位于截面C之右且 又设 P2位于截面 之右且 FP4已移至梁外，则 已移至梁外，
A
FR = 280 × 3 = 840kN
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A
0
1
2
3
4
5 C
6
7
8
9
10 B
5×1.2m
798.88 692.08
5×1.2m
240.24
133.44
FQmax
63.6 18.4
478.48
585.28
FQmin
8
工程中常这样简化： 工程中常这样简化：求出两 端和跨中截面的最大、 端和跨中截面的最大、最小 剪力值，连以直线， 剪力值，连以直线，即得到 近似的剪力包络图。 近似的剪力包络图。
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【例10-10】求图（即例 】求图（即例10-7）所示吊车梁的绝对最大弯矩。 ）所示吊车梁的绝对最大弯矩。 解： (1)求跨中临界荷载 求跨中临界荷载
荷载F 移动到中点C时 荷载 P2或FP3移动到中点 时， 跨中截面弯矩达到最大值， 跨中截面弯矩达到最大值，为
FP1 =280kN FP2 =280kN FP3 =280kN K d K 4.8m 1.44m 4.8m FP4 =280kN
(1)弯矩包络图 弯矩包络图 截面的最大弯矩M 截面的最大弯矩 max : Mmax = Mq + mMPmax
77.76
A
0
1
2
3
4
5 C
6
7
8
9
10 B
5×1.2m
181.44 207.36 214.12 216.00 138.24
3）从这些可能的最大值中找出最大者，即为绝对最大弯矩。 ）从这些可能的最大值中找出最大者，即为绝对最大弯矩。
应当注意的是，当将临界荷载 和合力F 应当注意的是，当将临界荷载FPcr和合力 R对称作用 于梁中点的两侧时，如果梁上的荷载有变化， 于梁中点的两侧时，如果梁上的荷载有变化，就应重 新计算合力F 的大小和位置。 新计算合力 R的大小和位置。
10.10 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
10.10.1 内力包络图 在恒载和移动荷载共同作用下,连接各截面某内力最 在恒载和移动荷载共同作用下 连接各截面某内力最 大值和最小值的曲线称为该内力的包络图。 大值和最小值的曲线称为该内力的包络图。包络图 弯矩包络图和 分弯矩包络图和剪力包络图 。包络图由两条曲线构 一条由各截面内力最大值构成， 成：一条由各截面内力最大值构成，另一条由最小 值构成。因此，内力包络图实际上表达了各截面上 值构成。因此， 内力变化的上、下限。 内力变化的上、下限。
( M PC ) = 280(0.6 + 3 + 2.28) max
FP1 =280kN FP2 =280kN FP3 =280kN 1.44m 4.8m 4.8m A C 6m 6m
FP4 =280kN
B
= 1646.4kN ⋅ m
0.6
3
2.28
故可确定F 故可确定 P2和FP3是跨中截 面的临界荷载。 面的临界荷载。
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可知，简支梁的绝对最大弯矩， 可知，简支梁的绝对最大弯矩，必然产生在当移动荷载移动到某 一临界位置时，某一集中荷载（即临界荷载）作用点处的截面。 一临界位置时，某一集中荷载（即临界荷载）作用点处的截面。 解决问题的关键也就集中在： 解决问题的关键也就集中在：绝对最大弯矩究意发生在哪一个集 中荷载的作用点处以及该点的截面位置。 中荷载的作用点处以及该点的截面位置。
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72
26.8
2
18.4
3
63.6
4
133.44
5 6
240.24
9
26.8 692.08
10
72 798.88
0
1
7
8
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c)
剪力包络图(kN) 剪力包络图
10.10.2 简支梁的绝对最大弯矩 1.定义 定义 简支梁弯矩包络图中的最大弯矩， 简支梁弯矩包络图中的最大弯矩，亦即各截面最大弯 矩中的最大者，称为简支梁的绝对最大弯矩 简支梁的绝对最大弯矩。 矩中的最大者，称为简支梁的绝对最大弯矩。 2.问题分析 问题分析 一是绝对最大弯矩发生的截面位置 两个未知变量 :一是绝对最大弯矩发生的截面位置不知 一是绝对最大弯矩发生的截面位置不知 最不利荷载位置也不知道 二是相应于此截面的最不利荷载位置也不知道。 道，二是相应于此截面的最不利荷载位置也不知道。 已知：梁在集中荷载组作用下的弯矩图为多边形，最大 已知：梁在集中荷载组作用下的弯矩图为多边形， 弯矩发生的截面位置， 弯矩发生的截面位置，必然就在某一集中荷载作用的位 置。
l /2
l/2
F RB
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x
FPi 距距距距距
a FR C D a/2 a/2 E
l-x-a
合合 FR 距距距距距
FP1 FP2 FPi A
FPn B
FRA
l /2
l/2
F RB
FR M x = FRA x − M i = (l − x − a ) x − M i l
dM x FR = (l − 2 x − a ) = 0 l dx
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dM x FR = (l − 2 x − a ) = 0 l dx
x=
或
l a − 2 2
（10-16a ） （10-16b） ）
x=l −x−a
式（10-16）表明：当FPi与合力FR恰好位于梁上中间两侧的对称位置时， ）表明： 与合力 恰好位于梁上中间两侧的对称位置时， FPi之下截面的弯矩达到最大值，其值为 之下截面的弯矩达到最大值，
FR = 280 × 4 = 1120kN
1.44 a= = 0.72m 2
A
1.44m FP1 4.8m FR FP2 FP3 4.8m FP4 B 1 2 C3 a/2=0.36m 0.36m a=0.72m 1.44m FP1 FR 4.8m FP2 FP3 4.8m FP4 B 1 a/2=0.56m C 2 3 0.56m 4
FP1 =280kN FP2 =280kN FP3 =280kN K d K 4.8m 1.44m 4.8m FP4 =280kN
585.28
478.48
371.68
同理， 同理，可求出吊车移动 时在各截面所引起的最 大剪力F 大剪力 QPmax和最小剪力 FQPmin，将它们分别乘以 m，再与相应的恒载剪力 ， 相加， 值FQq相加，即可作出剪 力包络图
x
FPi 距距距距距
a FR C D a/2 a/2 E
l-x-a
合合 FR 距距距距距
M max
F l a = R ( − )2 − M i （10-17） ） l 2 2
A
FP1 FP2 FPi
FPn B
若合力F 位于F 的左边， 若合力 R位于 Pi的左边，则 ）、式 式（10-16）、式（10-17）中 ）、 ） a/2前的减号应改为加号。 前的减号应改为加号。 前的减号应改为加号
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计算绝对最大弯矩可按以下步骤进行
1）首先确定能使跨中截面C发生最大弯矩的临界荷载 Pcr（有时不 ）首先确定能使跨中截面 发生最大弯矩的临界荷载 发生最大弯矩的临界荷载F 只一个）。 只一个）。