专题12 线性规划问题B

专题12 线性规划问题B一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选D.2．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞ )答案 A解析 画出不等式组所表示的平面区域如图．若指数函数y ＝a x 图象上存在区域D 上的点，则y ＝a x的图象过A 点时为一个临界位置．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋3＝0，x ＋y －11＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝9，即A (2,9)，代入y ＝a x 满足a 2≤9即a ∈[－3,3]，又∵a >1时才符合题意，∴a ∈(1,3]．3. 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．[7，＋∞)C ．[5,7)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞) 答案 C解析如图，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域如图所示：当直线y ＝a 介于直线y ＝5(含该直线)与直线y ＝7(不含该直线)之间时，符合题意．所以5≤a ＜7.故选C.4. 在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( ) A ．－5 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )，且a >－1，∵S △ABC ＝2，∴12(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.5．已知某线性规划问题的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，3y ≥x ，x ＋y ≤4，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是( )A ．z ＝2x －yB ．z ＝2x ＋yC ．z ＝－12x －y D ．z ＝－2x ＋y 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图：A.由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，平移直线可得，当直线经过点A (3,1)时，截距最小，此时z 最大；B.由z ＝2x ＋y 得y＝－2x ＋z ，平移直线可得，当直线经过点A (3,1)时，截距最大，此时z 最大；C.由z ＝－12x －y 得y ＝－12x －z ，平移直线可得，当直线经过点B 时，截距最大，此时z 最小；D.由z ＝－2x ＋y 得y ＝2x ＋z ，平移直线可得，当直线经过点A (3，1)时，截距最小，此时z 最小，满足条件．故选D.6.已知P (m ，n )是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2确定的平面区域内的点，则点Q (m＋n ，m －n )所在平面区域的面积是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 [答案] B[解析] 设Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋n ，y ＝m －n ，所以⎩⎨⎧m ＝x ＋y 2，n ＝x －y 2.因为点P 1(m ，n )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2确定的平面区域内，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，n ≥0，m ＋n ≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2≥0，x －y 2≥0，x ＋y 2＋x －y2≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤2，此不等式为Q 点所在平面区域，画出其平面区域可知为直角三角形，面积为4.7．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 C解析 如图，设x ＋y ＝9，显然只有在x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点处满足要求，解得此时x ＝4，y ＝5，即点(4,5)在直线x －my ＋1＝0上，代入得m ＝1.8．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2 D ．22 答案 A解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 所表示的平面区域如图所示，由图可知A (a ，－a )，B (a ，a )，由S △AOB ＝12×2a ×a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，由z ＝2x －y 化简得y ＝2x －z ，即当y ＝2x －z 过A 点时取最大值，且z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.9．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≤0，x －y ＋4≥0，y ≥a ，且2x －y 的最大值为－1，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．－2 D.12 答案 B解析 作出可行域，设z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，－z 表示斜率为2的直线在y 轴上的截距，－z 最小时，z 最大．经过⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，x ＋y ＋2＝0，交点(－(a ＋2)，a )，－2(a ＋2)－a ＝－1，解得a ＝－1.10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞ ) 答案 A解析 画出不等式组所表示的平面区域如图．若指数函数y ＝a x图象上存在区域D 上的点，则y ＝a x的图象过A 点时为一个临界位置．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋3＝0，x ＋y －11＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝9， 即A (2，9)，代入y ＝a x 满足a 2≤9即a ∈[－3,3]， 又∵a >1时才符合题意，∴a ∈(1,3]．11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域．如图，当－a ≥1时，z 的最大值为0；当－1<－a <1时，两直线x －y ＝0，x ＋y ＝2的交点(1,1)即为目标函数取得最大值的最优解，代入可得z max ＝a ＋1＝4，解得a ＝3，不符合条件，舍去；当－a ≤－1时，点(2,0)为目标函数取得最大值的最优解，代入可得2a ＝4，解得a ＝2，符合条件，故选B.12.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49 答案 C解析 平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心C (a ，b )∈Ω且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得点C 在点N (6,1)处时，a 2＋b 2取最大值62＋12＝37，故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．答案 －2 8解析 作出如图中阴影部分所示的可行域，易知A (2，2)，B (4，－2)，C (1,1)，目标函数表示斜率为－13的一组平行直线．由图可知，当直线x ＋3y －z ＝0经过点A 时，z 取得最大值，最大值为2＋3×2＝8；当直线x ＋3y －z ＝0经过点B 时，z 取得最小值，最小值为4＋3×(－2)＝－2.14．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 6解析 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－32x ＋12z ，画出直线y ＝－32x ，将其上下平移，结合z2的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2＝0，y ＝0，解得B (2,0)，此时z max ＝3×2＋0＝6.15.记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4解析 满足约束条件的平面区域如图所示，因为直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，故当y ＝a (x ＋1)过点B (0,4)时，得到a ＝4，当y ＝a (x ＋1)过点A (1,1)时，得到a ＝12.又因为直线y ＝a (x ＋1)与平面区域有公共点，故12≤a ≤4.16．线性目标函数z ＝3x ＋2y ，在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a 下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 作出线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a所表示的可行域(如右图所示)．因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与可行域的边界线不平行，根据图形可得实数a 的取值范围是[2，＋∞)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．解 画出满足条件的可行域如图所示，(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u 最大值＝73，u 最小值＝0.(2)v ＝y x －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v 最大值＝－33－5＝32，v 最小值＝83－5＝－4.18．(本小题满分12分)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，求x ＋2y ＋3x ＋1的最大值．解 作出可行域．令z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，y ＋1x ＋1可以看成点B (－1，－1)与点(x ，y )连线的斜率，当然点(x ，y )在可行域之内，结合图形可知，点B (－1，－1)与可行域内的点A (0,3)连线的斜率最大，即y ＋1x ＋1最大，最大值为y ＋1x ＋1＝3＋10＋1＝4，所以z max ＝9. 19．(本小题满分12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8≥0，x ＋y ≥0，x ≤4表示的平面区域是Q .(1)求Q 的面积S ；(2)若点M (t,1)在平面区域Q 内，求整数t 的取值的集合．解 (1)作出平面区域Q ，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＝4，解得A (4，－4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＝4， 解得B (4,12)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＋y ＝0，解得C (－4,4)．于是可得|AB |＝16，AB 边上的高d ＝8. ∴S ＝12×16×8＝64.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧t －1＋8≥0，t ＋1≥0，t ≤4，t ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－7，t ≥－1，t ≤4，t ∈Z .亦即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤4，t ∈Z ，得t ＝－1,0,1,2,3,4.故整数t 的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．20．(本小题满分12分)若点(1，－2)与点(－2,0)在直线x ＋y ＋a ＝0的两侧，同时点(1，－2)和点(－1，－4)都在不等式bx ＋y ＋2<0所表示的区域内，求a ＋b 与a －b 的取值范围．解 据题意，点(1，－2)与点(－2,0)在直线x ＋y ＋a ＝0的两侧，则有 (1－2＋a )(－2＋0＋a )<0，即(a －1)(a －2)<0. 解得1<a <2，①又点(1，－2)与点(－1，－4)都在不等式bx ＋y ＋2<0所表示的区域内，则有⎩⎪⎨⎪⎧1×b －2＋2<0，－1×b －4＋2<0，解得－2<b <0.② 由①，②得－1<a ＋b <2，又0<－b <2.③ 由①，③得1<a －b <4.21．(本小题满分12分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )C ．17万元D ．18万元答案 D解析 据已知设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，其中z ＝3x ＋4y ，作出不等式组表示的平面区域，如图，易知两直线3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8的交点A (2,3)为目标函数取得最大值的最优解，代入可得z max ＝3×2＋4×3＝18，故选D.22．(本小题满分12分)要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板的块数如下表：每张钢板的面积，第一种1平方单位，第二种2平方单位，今需要A、B、C 三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？解设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为z平方单位，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥12，2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，目标函数z ＝x ＋2y ，作出一组平行线x ＋2y ＝z ，作出不等式组表示的可行域．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝27，x ＋y ＝12.解得x ＝92，y ＝152，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，152不是可行区域内整点，在可行区域内的整点中，点(4,8)和(6,7)使目标函数取最小值20.答：符合题意要求的钢板截法有两种，第一种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张．第二种截法是截第一种钢板6张，第二种钢板7张，两种方法都最少要截两种钢板20平方单位．。