大学物理常用高数基础知识

c
a
c
b
c
（3）满足一定条件下的结合律（略）
4.标量积的坐标（分量）表示式
a b axi ay j azk bxi by j bzk
axbxi i axbyi j axbzi k aybx j i ayby j j
aybz j k azbxk i azbyk j azbzk k
a
a
b
（2）满足分配律：
a
b
c
a
c
b
c
（3）满足如下的结合律：
a
b
a
b
a
b
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4.矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法
a b axi ay j azk bxi by j bzk
0 axbyk axbz j aybx k 0
若P点为原点，则x=y=z=0
4
6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向
r
大小：矢径的大小：r r x 2 y 2 z 2
一般地：a
r a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
方向：方向角、、或方向余弦：
cos arx cos ary cos arz
a
a
a
7.已知矢量的模和方向角（或方向 余弦）求矢量的分量
ax a cos, ay a cos, az a cos
注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦 可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。
5
二、矢量的加减法
1.矢量相加的平行四边形法则（见图7-3）
2.矢量相加的三角形法则（见图7-2）
3.多个矢量相加的多边形法则（见图7-5）
4（ （.矢12））量交 结的换 合加律 律法： ：所aa满b足b的bc运a算a规b律 c
axi
ay
j
azk
axi ay
j
azk
8
四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）
1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：
A
Fs c os
Байду номын сангаас
F
s
cos
F,s
f
s
θ
一般地：a
b
a
b cos
a,
b
a Pr
jab
b Pr
jba
2.两个推论：
注意；“点”不能掉！
长度是矢量的大小
（1）图示：有（方）向线段：AB 箭头方向是矢量的方向
B
A
（1）
（3）
（4）
（5）
（2）符号：粗（黑）体或加箭头：a，b或
a,
b
（3）矢量的平行：a // b（箭头指向可相同或相反）
（4）矢量的相等：a
b ——大小、方向（含指向）都相同
所以，一般情况下，矢量可以任意平行移动，也称自由矢量。
axbx ayby azbz
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五、两矢量的矢量积（矢积、向量积、叉积、叉乘）
1.定义：如力矩：大小：M Fd Frsin
F
力指矩向是按矢r 量，F 方的向顺沿序转，轴用，
r
d
右（手）螺旋法则确定。
抽象出矢量积：M
r
F
大小：M 方向见上
r
F
sin r ,
F
一般地：c
a
b
aybzi azbx j azby i 0
aybz azby
i
azbx
axbz
j
axby aybx
k
或
i j k a b ax ay az
大小：c
a
b sin
a,b
方向：垂直于 指向按
aa和bb所的决顺定序的，平用面右，
注意；“×”不能掉！ （手）螺旋法则确定。
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2（.两1）个a推论a： 0 sin 0 0
（2）若两个非零矢量 a//
b ，则：
a a 0 sin 0或sin 0
反之，若
a
a
0
，则必有：a//
b
3.满足或不满足的运算规律 （1）不满足交换律，而是：b
（5）负矢量：-a（与a大小相同、方向（指向）相反）
2
3.矢量的模： a或a 恒为正
r0
r
4.单位矢量：r0 ，仅用来表示方向。
所以：
r r r0
注单：位空矢间量直分角别坐为标i, 系j, kX 、Y、Z轴的
k i
j
5.矢量的坐标分解式（分量式） r r r r 矢径（向径：从原点出发的矢量）r xi y j zk
一般地： 所以，矢径或其末端的点P都可以
a axi ay j azk 用三个坐标（x，y，z）来表示.
其上中的分，量ax、或a投y、影a。z或而x、axyi、, azy分j, a别zk称则为称矢分量矢在量X（、分Y、向Z量轴）
注意：分量是代数量（可正可负）！
3
r 由r
r xi
r yj
j
az
bz
k
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三1、.定矢义量：与a 数方模量向（的大当小乘λ）>法0：时（a 可 视 为 a
当λ <0时（可视为
））aa方方向向与与aa相相同反
2. 满足的运算规律
（1）与另一个数量相乘的结合律：
a a a
（2）分配律： a a a
a
b
a
b
3.矢量与数量相乘的坐标表示式
a
补高等数学： 矢量（向量）代数
（同济大学《高等数学》第五版 第7章第一、二节） 一、矢量（向量）的概念及其表示
1.标量与矢量（向量）
算术量（质量、时间间隔、动能……） 标量
代数量：有大小和正负（温度、时刻、电流、 功、势能…… ）
矢量：既有大小又有方向（力、速度、加速度、
力矩、动量…… ）
1
2.矢量的表示
r zk
或 P（x，y，z）可知：
若P点（或矢径r）在YOZ平面上，则 x=0； 若P点（或矢径r）在ZOX平面上，则 y=0； 若P点（或矢径 r）在XOY平面上，则 z=0。
若P点（或矢径r）在 x 轴上，则 y=z=0； 若P点（或矢径 r）在 y 轴上，则 x=z=0； 若P点（或矢径 r）在 z 轴上，则 x=y=0。
5因.矢为量：的c 减b法 a
b
a
c
由矢量相加的三角形法则可得：
b c a
即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量
的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。
6
6.矢量加减的坐标表示式
a axi ay j azk
b bxi by j bzk
a
b
ax
bx
i
ay by
（1）aa
a a cos0
a2
i i 1 j j k
（2）若两非零矢量 a
k
b
，则
a
b
0
cos
0
反之，若
a
b
0，则必有
a
b
2
i j 0 j k k i
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3（.标1量）积交满换足律的：a运b算规b律 a
a
b cos
a,
b
（2）分配律：
a
b