线性代数下13正规变换hermite变换与hermite二次型
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Hermite矩阵可酉对角化为实对角阵.
实数域 R
复数域 C
欧氏空间
酉空间
内积：对称+双线性+正定 正交变换/正交矩阵 转置运算AT 对称变换/对称矩阵
\ 二次型
内积：半对称+1.5线性+正定 酉变换 / 酉矩阵 转置+共轭运算AH Hermite变换 / Hermite矩阵 共轭变换、正规变换 Hermite二次型
⇒ 对称变换σ可(正交)对角化
双线性函数：V×V→F的二元F值函数 + 逐位线性
取定V中一组基{ ,
f
(,
)
f(
n
xii ,
n
,···, n},
yj j ,) n
则
n
xi
yj
f
(i
, j
)
XT
AY ,
i1
f (1,1)
A
(4) ( )* * *
(5) ( )* * *
半线性：
*:L(V)→L(V)
(1) I H I (2) ( AH )H A (3) (kA)H kAH (4) ( A B)H AH BH (5) ( AB)H BH AH
6
二、正规变换与正规矩阵
10
四、Hermite二次型
定义10.15 n个复变量 x1, x2, ··· , xn 的二次齐次函数
nn
f ( x1 , , xn )
aij xi x j , 其中aij a ji
称为 Hermite 二次型.
i1 j1
令 A (aij ), qA : n ,
《线性代数2》
杨晶
2012年 5月21日
第十三讲
正规变换 Hermite变换 Hermite二次型
注意：本周五有习题课：老地方,你懂的！
1
上讲复习 对称变换与对称矩阵
(σ( ), ) = ( , σ( )), (∀ , ∈V)
——作用在第一分量与作用在第二分量上内积不变
——σ是对称变换 ⇐⇒ σ在SOB下的矩阵为实对称阵；
当AAH =AHA=I 时，A为酉阵； 当A=AH, 即AAH =AHA=A2 时，A称为Hermite矩阵
三、Hermite变换与Hermite矩阵
Herimitian transformation ----on a unitary space
symmetric transformation ----on an Euclidean space 定义10.13 设σ是酉空间 V的线性变换，如果满足
f
(n ,1)
j1
i 1 j 1
f (1,n )
f
(n
,n
)
称为f
的度量矩阵
取定基
{V上的双线性函数}
1:1对应
Mn(F)
2
上讲复习
结论：双线性函数 f 在不同基下的度量矩阵相合，即 B=PTAP.
对称双线性函数：f , )=f , ) 反对称双线性函数：f , )= -f , )
一、线性变换的共轭运算
1、线性变换σ的共轭σ*的定义
2、共轭运算*的性质
二、正规变换与正规矩阵
1、定义与SOB下的矩阵
2、正规变换的性质
三、Hermite变换与Hermite矩阵
1、定义与SOB下的矩阵
2、 Hermite变换的性质
四、 Hermite二次型
5
一、线性变换σ的共轭变换
定义10.11 设σ,τ是酉空间 V的线性变换，如果 (σ , ) = ( , τ ), ∀ , ∈ V,
(7) A 的各级(顺序)主子式全大于零.
定理10.18 设 A是n阶Hermite矩阵，以下命题等价： (1) A 半正定； (2) 以 A 为矩阵的 Hermite 二次型的正惯性指数p=r ≤n； (3) 存在可逆复矩阵 P ，使得PHAP = diag(Ir,0) ; (4) 存在复矩阵 C ，使得A = CHC ; (5) A 的特征值全是非负实数； (6) A 的各级主子式全≥0.
周五第6大节 五教5205
五教5305
19:20～20:55 （110人，赵明慧）（110人，孙理）
本章内容是之前所学的综合应用，存在难度系数较
大的题目，对学习理解的要求较高. 希望大家认真
参加本学期最后一次习题课!
14
结论： 双线性函数f 是(反)对称的 ⇐⇒ f 在某基下的度量阵为 (反)对称阵. 二次型与双线性函数：Q( ):= f , )
{V上的对称 双线性函数}
1:1对应
SMn(R)
1:1对应
{V上的 二次型}
结论：欧氏空间中内积←→正定二次型
3
上讲复习
酉空间
内积
( ,
)
C-S不等式
(1) A 正定；
(2) 以 A 为矩阵的 Hermite二次型的正惯性指数p=r=n；
(3) 存在可逆复矩阵 P ，使得PHAP = I ;
(4) 存在可逆复矩阵 C ，使得A = CHC ;
可逆复矩阵
(5) A 的特征值全是正实数；
的UR分解
(6) 存在正线复上三角矩阵 R，使得A = RHR；
(σ , ) = ( , σ ), ∀ , ∈ V, 则称 σ 是 Hermite变换 结论 设σ 在一组SOB下的矩阵分别为A，则
σ为Hermite变换 ⇐⇒ σ = ∗ ⇐⇒ A = AH (称为Hermite矩阵)
9
性质(1) σ为Hermite变换 ⇒ σ为正规变换 性质(2) Hermite变换的特征值均为实数. 性质(3) Hermite变换在某SOB下为实对角阵；
正规矩阵可酉对角化.
7
Example 10.9 Show that the only matrix that is normal as well as nilpotent is zero.
U H AU diag(0,...,0) O A O.
正规变换(正规阵) 是一类特殊的可对角化变换(矩阵). 两类特殊的正规变换(矩阵)
qA
x1
x
H
Ax
xn
Hermite变换特征值均为实数 ⇒
惯性定理, 规范形（证明类似于实二次型）
正负惯性指数 p+q=r ≤ n； 有定Hermite二次型的定义(p.76)
11
定理10.18 设 A是n阶Hermite矩阵，以下命题等价：
长度 夹角
复线性空间+内积
Hermite性,第一分量线性, 正定
标的准复内数积值函(数, ()第:二分in1量xi 半yi 线Y性H X)
正定性⇒
arccos
|
(
,
)
|
,0
(
, ).
/
2
正交 ( , ) = 0, 记作
Schimdt正 交化 (构造)
百度文库
标准正交基
(i , j ) ij
(i, j 1, 2,, n)
UR分解 简化内积 正交补
A UR
(,
)
X
HY
V W W
SOB
酉阵
酉变换
AH A I
(,)
(,
)
4
本讲提要
正规变换 & Hermite变换 & Hermite二次型
12
作业:习题十
16,19,22,
24,25,26,
证明定理10.18
13
下节内容:
第11章：矩阵分析初步
本周五有习题课
形式：现场做题，助教讲解 时间地点：选择其中任意1场 内容：第十章相关，题目见网络学堂 or 现场发放
时间
教室1
教室2
周五第5大节 五教5205
五教5305
17:05～18:40 （110人，赵明慧）（110人，孙理）
定义10.12 酉空间 V的线性 变换 σ，如果满足 ∗= ∗ ,
则称 σ 是正规变换.
结论 设σ 在一组SOB下的矩阵为A，则 σ为正规变换 ⇐⇒ (σ , σ ) = ( ∗ , ∗ ) ⇐⇒ AAH =AHA (称为正规矩阵)
性质(1) σ为正规变换 ⇒ 与 ∗有相同的特征向量 性质(2) 正规变换的属于不同特征值的特 征向量相互正交. 性质(3) 正规变换在某SOB下为对角阵；
则称 σ与τ互为共轭，记τ=σ*，称为σ的共轭变换.
定理10.11设σ,τ是酉空间 V的线性变换，它们在一组SOB下的 矩阵分别为A和B，则 τ=σ* ⇐⇒ B=AH. 故,可利用该SOB与AH,由σ唯一地确定σ*. (即σ*的存在唯一性)
(1) id* id
(2) ( *)*
SOB
(3) (k )* k *
实数域 R
复数域 C
欧氏空间
酉空间
内积：对称+双线性+正定 正交变换/正交矩阵 转置运算AT 对称变换/对称矩阵
\ 二次型
内积：半对称+1.5线性+正定 酉变换 / 酉矩阵 转置+共轭运算AH Hermite变换 / Hermite矩阵 共轭变换、正规变换 Hermite二次型
⇒ 对称变换σ可(正交)对角化
双线性函数：V×V→F的二元F值函数 + 逐位线性
取定V中一组基{ ,
f
(,
)
f(
n
xii ,
n
,···, n},
yj j ,) n
则
n
xi
yj
f
(i
, j
)
XT
AY ,
i1
f (1,1)
A
(4) ( )* * *
(5) ( )* * *
半线性：
*:L(V)→L(V)
(1) I H I (2) ( AH )H A (3) (kA)H kAH (4) ( A B)H AH BH (5) ( AB)H BH AH
6
二、正规变换与正规矩阵
10
四、Hermite二次型
定义10.15 n个复变量 x1, x2, ··· , xn 的二次齐次函数
nn
f ( x1 , , xn )
aij xi x j , 其中aij a ji
称为 Hermite 二次型.
i1 j1
令 A (aij ), qA : n ,
《线性代数2》
杨晶
2012年 5月21日
第十三讲
正规变换 Hermite变换 Hermite二次型
注意：本周五有习题课：老地方,你懂的！
1
上讲复习 对称变换与对称矩阵
(σ( ), ) = ( , σ( )), (∀ , ∈V)
——作用在第一分量与作用在第二分量上内积不变
——σ是对称变换 ⇐⇒ σ在SOB下的矩阵为实对称阵；
当AAH =AHA=I 时，A为酉阵； 当A=AH, 即AAH =AHA=A2 时，A称为Hermite矩阵
三、Hermite变换与Hermite矩阵
Herimitian transformation ----on a unitary space
symmetric transformation ----on an Euclidean space 定义10.13 设σ是酉空间 V的线性变换，如果满足
f
(n ,1)
j1
i 1 j 1
f (1,n )
f
(n
,n
)
称为f
的度量矩阵
取定基
{V上的双线性函数}
1:1对应
Mn(F)
2
上讲复习
结论：双线性函数 f 在不同基下的度量矩阵相合，即 B=PTAP.
对称双线性函数：f , )=f , ) 反对称双线性函数：f , )= -f , )
一、线性变换的共轭运算
1、线性变换σ的共轭σ*的定义
2、共轭运算*的性质
二、正规变换与正规矩阵
1、定义与SOB下的矩阵
2、正规变换的性质
三、Hermite变换与Hermite矩阵
1、定义与SOB下的矩阵
2、 Hermite变换的性质
四、 Hermite二次型
5
一、线性变换σ的共轭变换
定义10.11 设σ,τ是酉空间 V的线性变换，如果 (σ , ) = ( , τ ), ∀ , ∈ V,
(7) A 的各级(顺序)主子式全大于零.
定理10.18 设 A是n阶Hermite矩阵，以下命题等价： (1) A 半正定； (2) 以 A 为矩阵的 Hermite 二次型的正惯性指数p=r ≤n； (3) 存在可逆复矩阵 P ，使得PHAP = diag(Ir,0) ; (4) 存在复矩阵 C ，使得A = CHC ; (5) A 的特征值全是非负实数； (6) A 的各级主子式全≥0.
周五第6大节 五教5205
五教5305
19:20～20:55 （110人，赵明慧）（110人，孙理）
本章内容是之前所学的综合应用，存在难度系数较
大的题目，对学习理解的要求较高. 希望大家认真
参加本学期最后一次习题课!
14
结论： 双线性函数f 是(反)对称的 ⇐⇒ f 在某基下的度量阵为 (反)对称阵. 二次型与双线性函数：Q( ):= f , )
{V上的对称 双线性函数}
1:1对应
SMn(R)
1:1对应
{V上的 二次型}
结论：欧氏空间中内积←→正定二次型
3
上讲复习
酉空间
内积
( ,
)
C-S不等式
(1) A 正定；
(2) 以 A 为矩阵的 Hermite二次型的正惯性指数p=r=n；
(3) 存在可逆复矩阵 P ，使得PHAP = I ;
(4) 存在可逆复矩阵 C ，使得A = CHC ;
可逆复矩阵
(5) A 的特征值全是正实数；
的UR分解
(6) 存在正线复上三角矩阵 R，使得A = RHR；
(σ , ) = ( , σ ), ∀ , ∈ V, 则称 σ 是 Hermite变换 结论 设σ 在一组SOB下的矩阵分别为A，则
σ为Hermite变换 ⇐⇒ σ = ∗ ⇐⇒ A = AH (称为Hermite矩阵)
9
性质(1) σ为Hermite变换 ⇒ σ为正规变换 性质(2) Hermite变换的特征值均为实数. 性质(3) Hermite变换在某SOB下为实对角阵；
正规矩阵可酉对角化.
7
Example 10.9 Show that the only matrix that is normal as well as nilpotent is zero.
U H AU diag(0,...,0) O A O.
正规变换(正规阵) 是一类特殊的可对角化变换(矩阵). 两类特殊的正规变换(矩阵)
qA
x1
x
H
Ax
xn
Hermite变换特征值均为实数 ⇒
惯性定理, 规范形（证明类似于实二次型）
正负惯性指数 p+q=r ≤ n； 有定Hermite二次型的定义(p.76)
11
定理10.18 设 A是n阶Hermite矩阵，以下命题等价：
长度 夹角
复线性空间+内积
Hermite性,第一分量线性, 正定
标的准复内数积值函(数, ()第:二分in1量xi 半yi 线Y性H X)
正定性⇒
arccos
|
(
,
)
|
,0
(
, ).
/
2
正交 ( , ) = 0, 记作
Schimdt正 交化 (构造)
百度文库
标准正交基
(i , j ) ij
(i, j 1, 2,, n)
UR分解 简化内积 正交补
A UR
(,
)
X
HY
V W W
SOB
酉阵
酉变换
AH A I
(,)
(,
)
4
本讲提要
正规变换 & Hermite变换 & Hermite二次型
12
作业:习题十
16,19,22,
24,25,26,
证明定理10.18
13
下节内容:
第11章：矩阵分析初步
本周五有习题课
形式：现场做题，助教讲解 时间地点：选择其中任意1场 内容：第十章相关，题目见网络学堂 or 现场发放
时间
教室1
教室2
周五第5大节 五教5205
五教5305
17:05～18:40 （110人，赵明慧）（110人，孙理）
定义10.12 酉空间 V的线性 变换 σ，如果满足 ∗= ∗ ,
则称 σ 是正规变换.
结论 设σ 在一组SOB下的矩阵为A，则 σ为正规变换 ⇐⇒ (σ , σ ) = ( ∗ , ∗ ) ⇐⇒ AAH =AHA (称为正规矩阵)
性质(1) σ为正规变换 ⇒ 与 ∗有相同的特征向量 性质(2) 正规变换的属于不同特征值的特 征向量相互正交. 性质(3) 正规变换在某SOB下为对角阵；
则称 σ与τ互为共轭，记τ=σ*，称为σ的共轭变换.
定理10.11设σ,τ是酉空间 V的线性变换，它们在一组SOB下的 矩阵分别为A和B，则 τ=σ* ⇐⇒ B=AH. 故,可利用该SOB与AH,由σ唯一地确定σ*. (即σ*的存在唯一性)
(1) id* id
(2) ( *)*
SOB
(3) (k )* k *