八年级三角形解答题单元培优测试卷

八年级三角形解答题单元培优测试卷

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）∠ABC＋∠ADC＝°；

（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；

（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝1

4

∠CDN，∠CBE

＝1

4

∠CBM），试求∠E的度数．

【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450

【解析】

【分析】

（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；

（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=1

2

∠ADC，∠CBF=

1

2

∠CBM，

然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；

（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．

【详解】

（1）解：∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；

故答案为180°；

（2）解：延长DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE=1

2

∠ADC，∠CBF=

1

2

∠CBM，

又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG ⊥BF ，

即DE ⊥BF ；

（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，

∵BE 、DE 分别四等分∠ABC 、∠ADC 的外角，

∴∠CDE+∠CBE=

14

×180°=45°， 延长DC 交BE 于H ， 由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E ，∠BCD=∠BHD+∠CBE ，

∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E ，

∴∠E=90°-45°=45°

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．

2．如图，在△ABC 中，已知AD BC ⊥于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠

（1）试探究EAD ∠与C B ∠∠、的关系；

（2）若F 是AE 上一动点，当F 移动到AE 之间的位置时，FD BD ⊥,如图2所示，此时EFD C B ∠∠∠与、的关系如何？

（3）若F 是AE 上一动点，当F 继续移动到AE 的延长线上时，如图3，FD BC ⊥，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.

【答案】（1）∠EAD=

12（∠C-∠B ），理由见解析； （2）∠EFD=12

（∠C-∠B ），理由见解析；

（3）∠AFD=1

2

（∠C-∠B）成立，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由图不难发现∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC；

（2）作AG BC

⊥于G转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决；

（3）作AH BC

于H转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决．

【详解】

解：（1）∠EAD=1

2

（∠C-∠B）.理由如下：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=1

2

∠BAC

∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）

∴∠EAC=1

2

[180°-（∠B+∠C）]

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，∵∠EAD=∠EAC-∠DAC

∴∠EAD=1

2

[180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）=

1

2

（∠C-∠B）．

（2）∠EFD=1

2

（∠C-∠B）.理由如下：

作AG BC

⊥于G

由（1）可知∠EAG=

12

（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AG BC ⊥

∴FD ∥AG

∴∠EAG=∠EFD ∴∠EFD=12

（∠C-∠B ） （3）∠AFD=12

（∠C-∠B ）．理由如下：

作AH BC ⊥于H

由（1）可知∠EAH=

12

（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AH BC ⊥

∴FD ∥AH

∴∠EAH=∠AFD

∴∠AFD=12

（∠C-∠B ） 【点睛】 本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的定义和三角形内角和定理是解答此题的关键．

3．如图, A 为x 轴负半轴上一点, B 为x 轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).

(1)求△BCD 的面积；

(2)若AC ⊥BC,作∠CBA 的平分线交CO 于P ,交CA 于Q,判断∠CPQ 与∠CQP 的大小关系, 并证明你的结论.