考研数学高数定理证明的知识点

考研数学高数定理证明的知识点考研数学高数定理证明的知识点

这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求

会证。

费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推

举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想

必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”

和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得

函数在该点的导数为0。

前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直

接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔

定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连

续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。

那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响

下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若

最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况

讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条

告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值

和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在

开区间上任取一点都能使结论成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，

若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过

程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。

以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑

在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗

尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子

是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现

场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函

数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值

换成x，再对得到的函数求不定积分。

2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。

几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的.较为

陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公

式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急

功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可

能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。

这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中

未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。

当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写

出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，

因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。

利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有”

的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了

f(x)*g(x)在任意点的导数公式。

类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。

该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把

积分变量x换成中值。如何证明?可能有同学想到用微分中值定理，

理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以按照此思路往下分析，不过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点存在定理)，理由更充分些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值

而且不含导数，而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含

导数。

若我们选择了用连续相关定理去证，那么到底选择哪个定理呢?

这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理

和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证

的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从，已经

不言自明了。

若顺利选中了介值定理，那么往下如何推理呢?我们可以对比一

下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为

某点处的函数值，而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中

值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度，就

能达到我们的要求。当然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相

还是挺有迷惑性的，要透过现象看本质，看清楚定积分的值是一个数，进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值

定理结论中的A。

接下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。该定理条件有二：1.函数在闭区间连续，2.实数A位于函数在闭区间上

的最大值和最小值之间，结论是该实数能被取到(即A为闭区间上某

点的函数值)。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的

条件成立。函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区间长度

这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积

分的值的范围，不难想到比较定理(或估值定理)。