解析几何离心率(教师版)

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解析几何小练习（以离心率为主）

1．若直线1x y

a b

+=通过点(cos sin )M αα，

，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．2211

1a b

+≤

D ．

22

11

1a b +≥ 【答案】D

【解析】方法1：由题意知直线

1x y

a b

+=与圆221x y +=有交点，则2

22

211

111a b

a b

++≤1,

≥. 方法2：设向量11(cos ,sin ),(,)a b ααm =n =，由题意知

cos sin 1a b

αα

+= 由⋅≤m n m n 可得22cos sin 1

1a b a b

αα=

++≤1 2．如图，AB 是平面a 的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面a 运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( )

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线 【答案】B 【解析】本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P 到直线AB 的距离为定值，若忽略平面的限制，则P 轨迹类似为一以AB 为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！

还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除C 与D ，又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！

3．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122

22 b a b

r a x =-的两个焦点，A 和B 是以O

为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A ）3

（B ）5

（C ）

2

5

（D ）31+

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【答案】D

【解析】如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122

2

2 b a b

r a x =-的两个焦点，A 和B 是

以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，连接AF 1，∠AF 2F 1=30°，|AF 1|=c ，|AF 2|=3c ，∴ 2(31)a c =-，双曲线的离心率为31+，选D 。

4．已知抛物线2

:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且

2AK AF =，则AFK ∆的面积为()

（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32

【答案】B 【解析】

∵抛物线2

:8C y x =的焦点为()20F ，，准线为2x =- ∴()20K -，

设()00A x y ，，过A 点向准线作垂线AB ，则()02B y -， ∵2AK =

，又()0022AF AB x x ==--=+

∴由2

2

2

BK AK AB =-得()2

2002y x =+，即()2

0082x x =+，解得()24A ±， ∴AFK ∆的面积为

011

44822

KF y ⋅=⨯⨯= 故选B 【点评】此题重点考察抛物线的第二定义，抛物线中与焦点，准线有关三角形问题； 【点评】由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在ABK ∆中集中条件求出0x 是关键；

5．椭圆

1222

2=+b

y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )

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A.

122

2=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y x D.13

22

2=+y x 【答案】A

【解析】由 212F F MN ≤可得c c a 2222⋅≤ 所以2122≥a

c 即21

2≥e 可见e 的最小值为

2

2

. 又11222222=-=-=∴=c a b a

6．直线l 过双曲线22

22b

y a x -=1的右焦点,斜率k=2,若l 与双曲线的两个交点分别在双

曲线左、右两支上,则双曲线的离心率e 的取值围是( ) A.e>

2 B.1

3 C.1

D.e>5 【答案】D 【解析】如图,

a

b >2,即b 2>4a 2,∴

c 2-a 2>4a 2

.∴e>5.

7．：已知双曲线)0,0(12

2

22>>=-b a b

y a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F ，点B （0，b ），

BF BA BF BA -=+，则该双曲线离心率e 的值为（ ） A ．2

13+ B ．215+ C ．2

15- D ．2

【答案】：B

【解析】：

考点：双曲线的简单性质．

BF BA BF BA -=+，判断三角形ABF 的关系，利用三角形的关系，得到a ，b ，c 的关系，结合双曲线a ，b ，c 关系求出双曲线的离心率即可．

解：因为双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F ，点B （0，b ），

BF BA BF BA -=+，所以AB ⊥BF ，三角形ABF 是直角三角形，