平面向量经典精品结论总结

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高中数学平面向量知识点归纳总结800字(优秀范文8篇)

高中数学平面向量知识点归纳总结800字(优秀范文8篇)关于高中数学平面向量知识点归纳总结，精选5篇优秀范文，字数为800字。

平面向量是数学中的一个重要概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还涉及到物理、工程等多个领域。

本文将对平面向量的应用知识点进行总结。

高中数学平面向量知识点归纳总结(优秀范文)：1平面向量是数学中的一个重要概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还涉及到物理、工程等多个领域。

本文将对平面向量的应用知识点进行总结。

一、向量的表示和运算1. 向量的表示：向量可以用一个有序数组或者一个点对来表示，分别称为坐标表示和几何表示。

2. 向量的加法和减法：向量的加法和减法遵循交换律和结合律，可以将向量看作有向线段进行运算。

3. 向量的数量积：向量的数量积是向量的一种运算，结果是一个实数。

它有几何意义和代数意义，可以用来计算向量的模、夹角和投影等。

4. 向量的数量积的性质：数量积满足分配律、交换律、结合律等性质，还满足向量垂直的判定定理和平行的判定定理。

二、向量的几何应用1. 向量的共线和垂直：利用向量共线的性质可以判断直线是否相交、线段是否相交等几何问题；利用向量垂直的性质可以判断两条直线的关系、判断线段之间的位置关系等。

2. 向量的模和单位向量：向量的模表示向量的长度，可以用来计算两点之间的距离等；单位向量是模等于1的向量，可以用来表示方向。

3. 向量的投影：向量的投影表示一个向量在另一个向量上的投影长度，可以用来计算力的分解、向量的分量等。

三、向量的物理应用1. 力的合成和分解：利用向量的加法和减法可以对力进行合成和分解，分析力的平衡和不平衡等物理问题。

2. 动量和动量守恒：动量是物体的物理量，可以用向量表示；利用动量守恒原理可以解决碰撞问题等物理问题。

3. 矢量速度和导数：速度是矢量量，表示物体在单位时间内位移的方向和大小；利用导数可以求解速度与时间的关系。

四、向量的工程应用1. 机械平衡：利用向量的平衡原理可以分析机械结构的平衡条件，设计合理的支撑结构。

高一数学平面向量归纳总结

高一数学平面向量归纳总结一、向量的概念及基本性质向量是有大小和方向的量，用箭头表示。

向量的大小可以用模表示，方向可以用角度或方位角表示。

向量的相等与相反，向量的加法和数量乘法满足交换律、结合律、分配律。

二、向量的表示方法1. 终点坐标表示法：向量的起点在坐标原点O处，终点在坐标平面上的某个点P(x,y)处，向量记作OP。

2. 坐标表示法：向量的起点在坐标原点O处，终点在坐标平面上的某个点P(x₁,y₁)处，向量记作(x₁,y₁)。

3. 位置矢量表示法：在平面直角坐标系中，向量的起点是原点O，终点为某一点P，则OP向量可以表示为以O为原点，以P为终点的位置矢量。

三、向量的运算1. 向量的加法：向量加法满足三角形法则和平行四边形法则。

2. 向量的数量乘法：向量与实数相乘，改变向量的长度但不改变方向。

3. 向量的减法：向量减法等于加上减向量的负向量，即A-B=A+(-B)。

4. 内积运算：内积(点积)的运算结果是一个实数，满足交换律、分配率，且与夹角θ的余弦有关。

5. 外积运算：外积(叉积)的运算结果是一个向量，其大小等于以两个向量为两条邻边的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形的平面。

四、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示与直角坐标系中的坐标表示是一致的，即用向量的横、纵坐标表示向量的分量。

五、向量共线与共面1. 向量共线：若向量A与向量B的数量积为0，则两个向量共线。

2. 向量共面：若向量A、B、C的数积为0，则A、B、C三个向量共面。

六、向量的数量积应用1. 向量夹角的性质：夹角余弦公式可以用于求解向量夹角。

2. 向量投影的概念：设A为非零向量，B为任意向量，点的B在A 上的投影记为Prj(A,B)。

3. 向量投影的计算：设A为非零向量，B为任意向量，则Prj(A,B) = (A·B)/|A|。

4. 向量垂直与平行的判定：若向量A与向量B的数量积为0，则两个向量垂直；若向量A与向量B共线且方向相同或相反，则两个向量平行。

平面向量经典精品结论总结

平面向量复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

如下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

平面向量知识点归纳总结

平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。

例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。

二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。

三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。

设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。

新的线段即为向量A + B。

2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。

设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。

3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。

即A - B = A + (-B)。

4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。

任何向量与零向量相加等于该向量本身。

四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。

2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。

3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。

4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。

5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。

6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。

五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。

平面向量的一些重要结论

平面向量的一些重要结论向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：（一）向量与三角形四心 ①1()3PG PA PB PC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ÛG 为ABC D 的重心，特别地0PA PB PC P ++=Ûuuu r uuu r uuu r r 为ABC D 的重心；(),[0,)AB AC l l +Î+¥uuu r uuu r 是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心；()1,2AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r 等于已知AD 是ABC D 中BC 边的中线. ②PA PB PB PC PC PA P ×=×=×Ûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 为ABC D 的垂心； ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +uuu r uuu r uuu r uuu r [0,)l Î+¥是ABC △边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心. ③ ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=Ûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r ABC D 的内心；向量()(0)||||AC AB AB AC l l +¹uuu r uuu r uuu r uuu r 所在直线过ABC D 的内心(是BAC Ð的角平分线所在直线). ④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +×=+×=+×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r222OA OB OC OA OB OC Û==Û==Ûuuuu r uuuu r uuuur uuu r uuu r uuu r O 为ABC D 的外心.（二）向量与平行四边形向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD 中，设,AB a AC b ==uuu r r uuu r r ，则有以下的结论： ①,AB AC a b AD +=+=uuu r uuu r r r uuu r 通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若C AB D =uuu r uuu r ,可判断四边形为平行四边形；②,,a b AD a b CB +=-=r r uuu r r r uuu r 若0a b a b a b +=-Û×=r r r r r r 对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；()()0a b a b a b +×-=Û=u u r r r r r r 对角线垂直.则平行四边形为菱形； ③222222a b a b a b ++-=+r r r r r r 说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；④||||||||||||a b a b a b -£±£+r r r r r r ，特别地，当 a b r r 、同向或有0r Û||||||a b a b +=+r r r r ³||||||||a b a b -=-r r r r ；当 a b r r 、反向或有0r Û||||||a b a b -=+r r r r ³||||||||a b a b -=+r r r r ；当 a b r r 、不共线Û||||||||||||a b a b a b -<±<+r r r r r r (这些和实数比较类似).（三）解析几何与向量综合时可能出现的结论（1）给出直线的方向向量()k u ,1=r 或()n m u ,=r ；（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;（3）给出0r =+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()BQ BP AQ AP +=+l ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;（5）给出以下情形之一： ①AC AB //； ②存在实数,AB AC l l =rr 使； ③若存在实数,,1,OC OA OB a b a b a b +==+uuu r uuu r uuu r 且使,等于已知C B A ,,三点共线.（6）给出ll ++=1OB OA OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，l 为定比，即PB AP l = （7）给出0=×MB MA ,等于已知MB MA ^,即AMB Ð是直角,给出0<=×m MB MA ,等于已知AMB Ð是钝角, 给出0>=×m MB MA ,等于已知AMB Ð是锐角,（8）给出MP MB MA =öæ+l ,等于已知MP 是AMB Ð的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-×+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;（10）在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，等于已知ABCD 是矩形;（11）在ABC D 中，给出222OC OB OA ==，等于已知O 是ABC D 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在ABC D 中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC D 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC D 中，给出OA OC OC OB OB OA ×=×=×，等于已知O 是ABC D 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC D 中，给出+=OA OP (||||AB AC AB AC l +uuu r uuu r uuu r uuu r )(+ÎR l ，等于已知AP 通过ABC D 的内心；（15）在ABC D 中，给出,0=×+×+×OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC D 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16在ABC D 中，给出()12AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ,等于已知AD 是ABC D 中BC 边的中线;。

高考数学平面向量的基本定理总结

高考数学平面向量的基本定理总结一、平面向量的定义在平面上，任意给定的两个点A和B，我们可以由点A指向点B画出一条有向线段，这条有向线段就是一个平面向量，记作AB。

二、平面向量的表示平面向量既可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。

对于平面上的向量AB，用坐标表示为：AB = (x2-x1, y2-y1)其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是向量起点A和终点B的坐标。

这种表示方法非常直观，也很容易理解。

三、平面向量的基本运算在平面向量的基本定理中，我们需要掌握平面向量的基本运算，主要包括向量的加法、减法和数量乘法。

1. 向量的加法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A和向量B的和向量C的坐标为：C = A + B = (x1+x2, y1+y2)2. 向量的减法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A减去向量B的差向量D的坐标为：D = A - B = (x1-x2, y1-y2)3. 数量乘法设k为实数，向量A的坐标为(x1, y1)，则向量A的数量乘积ka的坐标为：ka = (kx1, ky1)四、平面向量的基本定理平面向量的基本定理是指任何一个平面向量都可以表示成两个非零向量的和。

具体而言，对于平面上的向量A，可以找到两个非零向量B和C，使得：A =B + C其中，向量B和向量C的坐标满足条件：B = (x1, y1)，C = (x2, y2)B和C分别称为向量A的两个互补向量。

根据平面向量的基本定理，我们可以将任意一个向量拆分成两个向量的和，从而简化向量的运算和应用。

五、基本定理的应用平面向量的基本定理在高考数学中有着广泛的应用。

主要包括以下几个方面：1. 向量的坐标运算：利用基本定理，我们可以通过向量的坐标进行加法、减法、数量乘法和求模等运算，从而简化向量的运算。

2. 向量的平衡力：基于平面向量的基本定理，我们可以将受力问题转化为向量的平衡问题，通过求解向量的平衡条件，得到力的大小和方向。

平面向量中的定理

平面向量中重要定理总结（非常经典）1、共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .2、三点共线的证明方法若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．3、平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4、奔驰定理：已知O 是ABC ∆内一点，则0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC推论：已知O 是ABC ∆内一点，若=⋅+⋅+⋅z y x ，则z y x S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆5、极化恒等式定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 即：)|||(|2|AD ||AB |2222BO AO +=+ 设.,b AD a AB == 则,,b a DB b a AC -=+= 极化恒等式：[]22)()(41b a b a b a --+=⋅，即：=⋅6、三点共线定理：已知OB y OA x OC +=，且1=+y x ，则C B A ,,三点共线 OABC向量等和线：平面内一组基底，及任意向量，21λλ+=，若点P 在直线AB 上或在与AB 平行的直线上，则k =+21λλ(||OC k =反之也成立,我们把直线AB 以及与AB 平行的直线称为基底系数等和线7、三角形各“心”的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点，重心将中线长度分成2∶1；垂心：三角形的三条高线的交点，垂线与对应边垂直；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)，内心到三角形三边的距离相等；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．三角形各“心”的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)．(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0.注意：向量λ((AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．。

平面向量知识点归纳总结

平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

下面是平面向量的一些重要知识点的归纳总结：1.平面向量的表示：●使用箭头或小写字母加上一个横线来表示，如a→或AB。

●平面向量通常用两个有序实数（分量）表示，如a = (a₁, a₂)。

2.向量的模/长度：●向量的模/长度表示为|a|，计算公式为|a| = √(a₁²+ a₂²)。

3.向量的方向角：●向量与正x 轴之间的夹角称为方向角。

●方向角可以使用三角函数来表示，如tanθ= a₂/a₁。

4.向量的运算：●向量的加法：a + b = (a₁+ b₁, a₂+ b₂)。

●向量的减法：a - b = (a₁- b₁, a₂- b₂)。

●数乘：k * a = (k * a₁, k * a₂)，其中k 为实数。

5.向量的数量积（点积）：●向量a 和向量b 的数量积（点积）表示为a ·b。

●计算公式为a ·b = a₁* b₁+ a₂* b₂。

●点积满足交换律：a ·b = b ·a。

●点积的几何意义：a ·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。

6.向量的矢量积（叉积）：●向量a 和向量b 的矢量积（叉积）表示为a ×b。

●计算公式为a ×b = (0, 0, a₁* b₂- a₂* b₁)，即得到一个垂直于平面的向量。

●矢量积满足反交换律：a ×b = - (b ×a)。

●矢量积的几何意义：|a ×b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。

7.平行向量和共线向量：●平行向量指方向相同或相反的向量。

●共线向量指在同一直线上的向量。

●如果两个向量平行，则它们的叉积为零。

8.向量的投影：●向量a 在向量b 上的投影表示为projₐb。

●计算公式为projₐb = (|a| * |b| * cosθ) * u，其中θ为a 和b 之间的夹角，u 为b 的单位向量。

二级结论专题6 平面向量

二级结论专题6平面向量二级结论1：极化恒等式【结论阐述】（1）极化恒等式：()()2214⎡⎤⋅=+--⎣⎦a b a b a b ；（2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形ABCD 中，()2214AB AD AC BD ⋅=- ，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14；（3）极化恒等式三角形模型：在ABC 中，M 为边BC 中点，则；2214AB AC AM BC ⋅=- .说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值（定值）､最值､范围等问题.【典例指引1】（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）1．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅uur uur的值是_______.【典例指引2】2．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【针对训练】（2022·山东日照市·高三二模）】3．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8,5,3,2AB AD CP PD AP BP ===⋅= ，则AB AD⋅ 的值是（）A ．44B ．22C ．24D ．72（2022·河北武强中学高三月考）4．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB AD ⋅=－7，则BC DC ⋅的值是________．（2022·全国福建省漳州市高三期末）5．在ABC ∆中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-== 为BC 的三等分点，则·AE AF =A ．89B ．109C ．259D ．269（2022·海南海口·二模）6．在正三角形ABC 中，点,E F 是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，若三角形ABC 的面积为2，则2+PC PB BC ⋅的最小值是___________（2022•南通期末）7．在面积为2的ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+uu u r uu r uu u r 的最小值是______.（天津高考）8．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为_________．二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件【结论阐述】设O 为ABC ∆所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（1）O 为ABC ∆的外心()()()02sin aOA OB OC OA OB AB OB OC BC OA OC AC A⇔===⇔+⋅=+⋅=+⋅= .（如图1）（2）如图2，O 为ABC ∆的重心⇔OA OB OC ++=0.（3）如图2，O 为ABC ∆的垂心⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅.（4）如图3，O 为ABC ∆的内心sin sin sin aOA bOB cOC A OA B OB C OC ⇔++=⇔⋅+⋅+⋅=00 .说明：三角形“四心”——重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究.【典例指引1】9．在ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（）A ．满足||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B ．满足0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C ．满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的垂心D ．满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC ⋅= ，则ABC 为等边三角形【典例指引2】10．已知,,,O A B C 是平面上的4个定点，,,A B C 不共线，若点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心【针对训练】11．在△ABC 中，=3AB ，=4AC ，=5BC ，O 为△ABC 的内心，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．23B ．34C ．56D ．3512．已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭()R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心13．设G 为ABC 的重心，若=2AB，BC =，=4AC ，则AG BC ⋅=___________14．设O 为ABC 的外心，若=4AB，BC =，则BO AC ⋅=___________.15．设I 为ABC 的内心，若=2AB，BC =，=4AC ，则AI BC ⋅=___________二级结论3：奔驰定理【结论阐述】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别记作A S ，B S ，C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=.②O 是ABC ∆的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔0aOA bOB cOC ++=.③O 是ABC ∆的外心::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20A B C S S S A B C A OA B OB C OC ⇔=⇔⋅+⋅+⋅=.④O 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan A B C S S S A B C =⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题.【典例指引1】（2022·四川西昌·高二期末）16．在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【典例指引2】17．设G 是△ABC 重心，且(56sin )(40sin )(35sin )0A GA B GB C GC ++=，则B ∠=_________．【针对训练】一､单选题18．若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足()OP OC CB CA λ=++（R λ∈），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心19．若O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，若点P 满足2OB OC OP += +λAP(λ∈(0，+∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心20．已知O 是平面内一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()()0,,λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞⎪⎝⎭AB ACOP OA AB AC 则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心21．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭=+，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．重心B ．内心二､多选题（2022·重庆实验外国语学校高一期中）22．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，内心为Q ，则下列结论正确的是（）A ．212AO AB AB⋅= B ．GA GB GA GC GB GC⋅=⋅=⋅ C ．0HA HB HC ++= D ．若A P Q 、、三点共线，则存在实数λ使||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2022·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）23．点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（）A ．若0OA OB OC ++=，则点O 是ABC 的重心．B ．若0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC 的内心．C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 是ABC 的外心．D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC 的垂心．三､填空题24．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的________(填序号）．①内心②垂心③重心④外心参考答案：1．78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==- （）（），因此22513,82FD BC == ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．2．B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯-=-，故选：B ．3．B【分析】以{},AB AD 为基底分别表示出,AP BP ，再利用平面向量数量积的运算律即可解出．【详解】因为3CP PD =，所以14AP AD DP AD AB =+=+ ，1344BP AP AB AD AB AB AD AB =-=+-=- ，而2AP BP ⋅=，所以，13244AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：2213582216AB AD -⋅-⨯= ，即22AB AD ⋅= ．故选：B ．4．9【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用AB AD ⋅=()()AO OB AO OD +⋅+ ,求出||||4OB OD == ，再利用()()BC DC BO OC DO OC ⋅=+⋅+，运算可求出结果.【详解】在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3,5,0OA OC OB OD ==∴+=若7AB AD ⋅=- ，则()()AO OB AO OD +⋅+ 2AO AO OD AO OB OB OD =+⋅+⋅+⋅ 22()AO OA OD OB OB =+⋅+- 223OB =- 7=-，216OB ∴= ，||||4OB OD ∴== ，()()BC DC BO OC DO OC ∴⋅=+⋅+ 2BO DO BO OC OD OC OC =⋅+⋅+⋅+= 222()4BO OC BO OD OC -+⋅++=- 2059++=.故答案为：9【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算，考查了转化思想和运算能力，属于中档题.5．B【详解】试题分析：因为AB AC AB AC +=- ，所以AB AC ⊥ ，以点A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立直角坐标系，设()()2,00,1AB AC ==，，又E F ，为BC 的三等分点所以，4122,,3333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以412210,,33339AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若AB AC AB AC +=- ，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，即有0AB AC ⋅=，,E F 为BC 边的三等分点，则()()1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21123333AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22225210(14)099999AC AB AB AC =++⋅=++= ,故选B ．6【分析】取BC 中点D ，由题意，计算得2BC =ABC ，数形结合可知，PD 的最小值为PBC △的高4BC ，利用向量的基底表示与线性运算将问题转化为2222113+=+·+=+224PC PB BC PD BC PD BC BC PD BC ⋅-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代值计算.【详解】取BC 中点D ，由正ABC 的面积为2，221πsin 2233ABC S BC BC ∴=⋅⋅=⇒=，ABC 的高为πsin3h BC =⋅=，数形结合得，PD 的最小值为PBC △的高，即12PD h ≥=，所以22316PD BC ≥ ，所以2211+=+·+22PC PB BC PD PD BC BC ⋅-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222221333815854416431632PD BC BC PD BC BC -+=+≥+⨯⨯ .故答案为：27．【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得2sin PB PC BPC⋅=∠，由平面向量数量积的运算可得2cos sin BP PC P CB B PC∠=∠⋅uu u r uu r ，由余弦定理结合基本不等式可得244cos sin BP B C BP C C -∠∠≥，进而可得242cos sin PC P BPC BP B CBC ⋅-∠∠+≥uu u r uu r uu u r ，令()42cos (),0,sin x f x x x π-=∈，利用导数求得()f x 的最小值后即可得解.【详解】因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半，所以2ABC PBC S S = ，又2ABC S = ，所以11sin 2PBC S PB PC BPC ==⋅⋅∠ ，因此2sin PB PC BPC⋅=∠，所以2cos cos sin BPCPB PC BP PC B PC P C B ∠⋅⋅∠∠⋅==uu u r uu r ；又由余弦定理可得：2222cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC44cos s 22cos in PB PC PB PC BP BPCBPCC ≥⋅-⋅-∠=∠∠，当且仅当PB PC =时，取等号；所以22cos 44cos 42cos sin sin sin BPC BPC BP PC PB BC CBPC BPC BPC∠-∠-∠++∠∠≥=∠⋅uu u r uu r uu u r ，令=∠x BPC ，42cos ()sin xf x x-=，()0,x π∈；又2222sin (42cos )cos 24cos ()sin sin x x x xf x x x---'==，由()0f x '>得1cos 2x <，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2x >，所以03x π<<；所以()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；所以min()23f x fπ⎛⎫==⎪⎝⎭因此2PC PB BC⋅+uu u r uu r uu u r的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式、余弦定理、导数的应用及向量数量积的最值问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.8．16132【分析】可得120BAD∠= ，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x，则点()1,0N x+（其中05x≤≤），得出DM DN⋅关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN⋅的最小值.【详解】AD BCλ=，//AD BC∴，180120BAD B∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC ABλλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=-⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()66,0BC C=∴，,∵3,60AB ABC=∠=︒，∴A的坐标为3,22A⎛⎝⎭,∵又∵16AD BC=,则5,22D⎛⎝⎭，设(),0M x，则()1,0N x+（其中05x≤≤），5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅ 取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.9．ABCD【分析】根据三角形外心、重心和垂心的定义逐一用向量判断ABC ，用向量的数量积和运算律判断D 即可.【详解】解：对于A ，因为||||||OA OB OC ==，所以点O 到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由0NA NB NC ++=得：2ND NA =- ，所以||:||2:1AN ND = ，所以N 是ABC 的重心，故B正确；对于C ，由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得：()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅= ，所以AC PB ⊥；同理可得：AB PC ⊥，所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；对于D ，由()0||||AB AC BC AB AC +⋅=得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB AC =；由12||||AB AC AB AC ⋅=得：1cos 2A =，所以3A π=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ．10．A【分析】设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，进而结合题意得2AP AD λ= ，再根据向量共线判断即可.【详解】解：根据题意，设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，因为点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中Rλ∈所以，()2OP OA AP AB AC AD λλ-==+= ，即2AP AD λ=，所以，点P 的轨迹为ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过ABC 的重心.故选：A11．C【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.【详解】由AO AB BC λμ=+得()()AO OB OA OC OB λμ=-+- ，则()()1++=0OA OB OC -λλ-μμ，因为O 为△ABC 的内心，所以++=0BC OA AC OB AB OC，从而()()1::5:4:3λλμμ--=，解得712λ=，14μ=，所以56λμ+=.故选：C.12．C【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P 轨迹.【详解】因为AB AB为AB 方向上的单位向量，AC AC为AC方向上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，由AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭，可得AB AC OP OA AB ACλ⎛⎫⎪-=+⎪⎝⎭，即AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 的轨迹为BAC ∠的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：C.13．4【分析】由G 为ABC 的重心，易得()1=,3AG AB AC + 又=BC AC AB -，结合数量积运算律即可得到结果.【详解】由已知可得ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，因为G 为ABC 的重心，所以()22+1===+,3323AB AC AG AF AB AC ⋅=BC AC AB -，∴()()()()22111=+==164=4333AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅⋅--- ，故答案为：414．2-【分析】根据条件和几何意义，将BO AC转化为相应的向量投影即可求解.【详解】如图，设D ､E 分别为,AB BC 的中点，则,OD AB OE BC ⊥⊥，所以()BO AC BO BC BA BO BC BO BA =-=- cos cos BO BC OBC BO BA OBA=∠-∠2211=··==222BE BC BA BD BC BA --- ,故答案为：-2.15．6-【分析】利用向量的数量积运算求解或根据投影的几何意义求解.【详解】解法1：不难发现，ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID IE IF r ===，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD BF r ==，从而2AD r =-，CF r =，易证=AE AD ，=CE CF ，所以2AE r =-，CE r =，故224AE CE r AC +=+==，从而1r ，23AD r =-=()AI BC AI AC AB AI AC AI AB ⋅=⋅-=⋅-⋅ cos cos AI AC IAC AI AB IAB=⋅⋅∠-⋅⋅∠()26AE AC AD AB AD AC AB AD =⋅-⋅=-==-故答案为:6-解法2：按解法1求得ABC 的内切圆半径1r ，由图可知AI 在BC1，所以)16AI BC ⋅=⨯-故答案为:6-16．B【分析】利用三角形面积公式，推出点O 到三边距离相等。

平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量()⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩①向量②零向量③单位向量一、向量的基本概念内容④相等向量⑤相反向量⑥平行向量①几何表示法二、向量的表示表示方法②符号表示法③坐标表示法①共线定理②共线定理应用向量③不共线定理应用④实数与向量的积⑤平面向量的数量积三、平面向量的基本定理⑥向量的运算⑦向量的运算律⑧向量平行共线的充要条件⑨向量垂直的充要条件⑩平移公式四、平面向量的基⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩①在几何中的应用②在解析中的应用本应用③在解斜三角形的应用④在物理中的应用学习方法：①理论意义、实际意义；②基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧；③五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习；④基本考点：a 、向量的运算及其几何意义； b 、向量的线性运算； c 、共线问题；e 、基本定理应用及其向量分解； d 、坐标表示及其运算；f 、平行问题的坐标表示；g 、数量积的运算；h 、夹角问题；i 、模长及垂直条件；j 、在平面几何中应用；k 、在解析几何中的应用；l 、在解三角形中的应用；m 、在物理中的应用；一、向量有关概念：①向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，向量可以平移； ②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；作用:１、解决矛盾；２、零向量和任何非零向量平行；３、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量；③单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；单位化④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；大小和方向有关，与位置无关； ⑤相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－； ⑥平行向量（共线向量）：１、方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量；２、记作：a ∥b 零向量和任何非零向量平行；３、两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；４、平行向量无传递性！（因为有0)；５、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； ⑦相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； a 、向量的运算及其几何意义：例１、下列命题：①若a b =，则a b =；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； ③若AB DC =，则ABCD 是平行四边形；④若ABCD 是平行四边形，则AB DC =；⑤若,a b b c ==，则a c =；⑥若//,//a b b c ，则//a c ；其中正确的是_______例２、下列命题正确是：①若0a =，则0a -=；②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a b +与,a b 之一的方向相同； ③若0a =，则0a =；④若a b =，则a b =或a b =-； ⑤若a b ，则a b =； ⑥若a b c ，则a c ；⑦a b a b +=+⇔a 与b 方向相同；⑧向量b 与向量a 共线的充要条件是有且仅有只有一个实数λ，使得b a λ=；⑨0AB BA +=；⑥若a b λλ=，则a b =；b 、向量的线性运算：“三角形法则”和“平行四边形法则” 例３、已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___例４、已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____ 例５、边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=？c 、共线问题：例６、已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果()3,2,a c b d e t a b ===+，那么t 为何值时， C D E 、、三点在一条直线上？例７、如图1，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则113x y+=。

平面向量的一些重要结论

【高考一轮复习,二级结论高效解题】专题6 平面向量

专题6 平面向量二级结论1：极化恒等式【结论阐述】（1）极化恒等式：()()2214⎡⎤⋅=+--⎣⎦a b a b a b ；（2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形ABCD 中，()2214AB AD AC BD ⋅=-，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14；（3）极化恒等式三角形模型：在ABC 中，M 为边BC 中点，则；2214AB AC AM BC ⋅=-. 说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值（定值）､最值､范围等问题. 【典例指引1】（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）1．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是_______.【典例指引2】2．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【针对训练】（2022·山东日照市·高三二模）】3．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8,5,3,2AB AD CP PD AP BP ===⋅=，则AB AD ⋅的值是（）A ．44B ．22C ．24D ．72（2022·河北武强中学高三月考）4．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB AD ⋅=－7，则BC DC ⋅的值是________．（2022·全国福建省漳州市高三期末）5．在ABC ∆中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC 的三等分点，则·AE AF = A ．89B ．109C ．259D ．269（2022·海南海口·二模）6．在正三角形ABC 中，点,E F 是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，若三角形ABC 的面积为2，则2+PC PB BC ⋅的最小值是___________ （2022•南通期末）7．在面积为2的ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+的最小值是______.（天津高考）8．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件【结论阐述】设O 为ABC ∆所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（1）O 为ABC ∆的外心()()()02sin aOA OB OC OA OB AB OB OC BC OA OC AC A⇔===⇔+⋅=+⋅=+⋅=. （如图1）（2）如图2，O 为ABC ∆的重心⇔OA OB OC ++=0.（3）如图2，O 为ABC ∆的垂心⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅. （4）如图3，O 为ABC ∆的内心sin sin sin aOA bOB cOC A OA B OB C OC ⇔++=⇔⋅+⋅+⋅=00.说明：三角形“四心”——重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究. 【典例指引1】9．在ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（） A ．满足||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心 B ．满足0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心 C ．满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的垂心 D ．满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形【典例指引2】10．已知,,,O A B C 是平面上的4个定点，,,A B C 不共线，若点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心【针对训练】11．在△ABC 中，=3AB ，=4AC ，=5BC ，O 为△ABC 的内心，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（） A ．23B ．34C ．56D ．3512．已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭()R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心13．设G 为ABC 的重心，若=2AB ，BC ==4AC ，则AG BC ⋅=___________ 14．设O 为ABC 的外心，若=4AB ，BC =BO AC ⋅=___________. 15．设I 为ABC 的内心，若=2AB ，BC ==4AC ，则AI BC ⋅=___________二级结论3：奔驰定理【结论阐述】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别记作A S ，B S ，C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式：△O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=. △O 是ABC ∆的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔0aOA bOB cOC ++=. △O 是ABC ∆的外心::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20A B C SS SA B C A OA B OB C OC ⇔=⇔⋅+⋅+⋅=.△O 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan A B C S S S A B C =⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题. 【典例指引1】（2022·四川西昌·高二期末）16．在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O 为ABC 的（） A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【典例指引2】17．设G 是△ABC 重心，且(56sin )(40sin )(35sin )0A GA B GB C GC ++=，则B ∠=_________．【针对训练】一､单选题18．若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足()OP OC CB CA λ=++（R λ∈），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心19．若O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，若点P 满足2OB OCOP +=+λAP (λ△(0，+∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心20．已知O 是平面内一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()()0,,λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭AB AC OP OA AB AC 则点P 的轨迹一定通过ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心21．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭=+，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心二､多选题（2022·重庆实验外国语学校高一期中）22．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，内心为Q ，则下列结论正确的是（）A ．212AO AB AB ⋅=B ．GA GB GA GC GB GC ⋅=⋅=⋅C ．0HA HB HC ++=D ．若A P Q 、、三点共线，则存在实数λ使||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2022·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）23．点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（） A ．若0OA OB OC ++=，则点O 是ABC 的重心．B ．若0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC 的内心． C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 是ABC 的外心． D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC 的垂心．三､填空题24．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的________(填序号）．△内心 △垂心 △ 重心 △外心参考答案：1．78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解． 2．B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯-=-，故选：B ．3．B【分析】以{},AB AD 为基底分别表示出,AP BP ，再利用平面向量数量积的运算律即可解出．【详解】因为3CP PD =，所以14AP AD DP AD AB =+=+，1344BP AP AB AD AB AB AD AB =-=+-=-，而2AP BP ⋅=，所以， 13244AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：2213582216AB AD -⋅-⨯=，即22AB AD ⋅=．故选：B ． 4．9【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用AB AD ⋅=()()AO OB AO OD +⋅+,求出||||4OB OD ==，再利用()()BC DC BO OC DO OC ⋅=+⋅+，运算可求出结果. 【详解】在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3,5,0OA OC OB OD ==∴+=若7AB AD ⋅=-，则()()AO OB AO OD +⋅+2AO AO OD AO OB OB OD =+⋅+⋅+⋅22()AO OA OD OB OB =+⋅+-223OB =-7=-，216OB ∴=，||||4OB OD ∴==，()()BC DC BO OC DO OC ∴⋅=+⋅+2BO DO BO OC OD OC OC =⋅+⋅+⋅+=222()4BO OC BO OD OC -+⋅++=-2059++=.故答案为：9【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算，考查了转化思想和运算能力，属于中档题. 5．B【详解】试题分析：因为AB AC AB AC +=-，所以AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，,AB AC分别为,x y 轴建立直角坐标系，设()()2,00,1AB AC ==，，又E F ，为BC 的三等分点所以，4122,,,3333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以412210,,33339AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若AB AC AB AC +=-，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，即有0AB AC ⋅=，,E F 为BC 边的三等分点，则()()1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21123333AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22225210(14)099999AC AB AB AC =++⋅=++=,故选B ．6【分析】取BC 中点D ，由题意，计算得2BC =ABC BC ，数形结合可知，PD 的最小值为PBC △BC ，利用向量的基底表示与线性运算将问题转化为2222113+=+?+=+224PC PB BC PD BC PD BC BC PD BC ⋅-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代值计算.【详解】取BC 中点D ，由正ABC 的面积为2，221πsin 223ABCSBC BC ∴=⋅⋅=⇒=ABC 的高为πsin3h BC =⋅=，数形结合得，PD 的最小值为PBC △的高，即12PD h ≥=，所以22316PD BC ≥，所以2211+=+?+22PC PB BC PD BC PD BC BC ⋅-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222221333154416416PD BC BC PD BC BC -+=+≥+7．【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得2sin PB PC BPC⋅=∠，由平面向量数量积的运算可得2cos sin BP PC P CB B PC∠=∠⋅，由余弦定理结合基本不等式可得244cos sin BP B CBP C C-∠∠≥，进而可得242cos sin PC P BPC BP B C BC ⋅-∠∠+≥，令()42cos (),0,sin x f x x x π-=∈，利用导数求得()f x 的最小值后即可得解. 【详解】因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半，所以2ABCPBCS S=，又2ABCS=，所以11sin 2PBCS PB PC BPC ==⋅⋅∠，因此2sin PB PC BPC⋅=∠，所以2cos cos sin BPCPB PC BP PC B PC P C B ∠⋅⋅∠∠⋅==；又由余弦定理可得：2222cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC 44cos s 22cos in PB PC PB PC BP BPCBPCC ≥⋅-⋅-∠=∠∠，当且仅当PB PC =时，取等号；所以22cos 44cos 42cos sin sin sin BPC BPC BP PC PB BC CBPC BPC BPC∠-∠-∠++∠∠≥=∠⋅，令=∠x BPC ，42cos ()sin xf x x-=，()0,x π∈；又2222sin (42cos )cos 24cos ()sin sin x x x xf x x x---'==，由()0f x '>得1cos 2x <，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2x >，所以03x π<<；所以()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；所以min()3f x fπ⎛⎫===⎪⎝⎭因此2PC PB BC⋅+的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式、余弦定理、导数的应用及向量数量积的最值问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.8．16132【分析】可得120BAD∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x，则点()1,0N x+（其中05x≤≤），得出DM DN⋅关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN⋅的最小值.【详解】AD BCλ=，//AD BC∴，180120BAD B∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC ABλλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=-⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()66,0BC C=∴，,△3,60AB ABC=∠=︒，△A的坐标为32A⎛⎝⎭,△又△16AD BC=,则52D⎛⎝⎭，设(),0M x，则()1,0N x+（其中05x≤≤），5,2DM x ⎛=- ⎝⎭，3,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 9．ABCD【分析】根据三角形外心、重心和垂心的定义逐一用向量判断ABC ，用向量的数量积和运算律判断D 即可.【详解】解：对于A ，因为||||||OA OB OC ==，所以点O 到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由0NA NB NC ++=得：2ND NA =-，所以||:||2:1AN ND =，所以N 是ABC 的重心，故B 正确；对于C ，由PA PB PB PC ⋅=⋅得：()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥；同理可得：AB PC ⊥，所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；对于D ，由()0||||AB ACBC AB AC +⋅=得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB AC =；由12||||AB AC AB AC ⋅=得：1cos 2A =，所以3A π=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ． 10．A【分析】设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，进而结合题意得2AP AD λ=，再根据向量共线判断即可.【详解】解：根据题意，设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，因为点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中R λ∈ 所以，()2OP OA AP AB AC AD λλ-==+=，即2AP AD λ=，所以，点P 的轨迹为ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过ABC 的重心. 故选：A11．C【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.【详解】由AO AB BC λμ=+得()()AO OB OA OC OB λμ=-+-，则()()1++=0OA OB OC -λλ-μμ，因为O 为△ABC 的内心，所以++=0BC OA AC OB AB OC ，从而()()1::5:4:3λλμμ--=，解得712λ=，14μ=，所以56λμ+=.故选：C. 12．C【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P 轨迹. 【详解】因为AB AB为AB 方向上的单位向量，AC AC为AC 方向上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，由AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，可得AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪-=+ ⎪⎝⎭，即AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 的轨迹为BAC ∠的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过ABC 的内心. 故选：C. 13．4【分析】由G 为ABC 的重心，易得()1=,3AG AB AC +又=BC AC AB -，结合数量积运算律即可得到结果.【详解】由已知可得ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，因为G 为ABC 的重心，所以()22+1===+,3323AB AC AG AF AB AC ⋅ =BC AC AB-，△()()()()22111=+==164=4333AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅⋅---，故答案为：4 14．2-【分析】根据条件和几何意义，将BO AC 转化为相应的向量投影即可求解. 【详解】如图，设D ､E 分别为,AB BC 的中点，则,OD AB OE BC ⊥⊥，所以()BO AC BO BC BA BO BC BO BA =-=- cos cos BO BC OBC BO BA OBA =∠-∠ 2211=?·==222BE BC BA BD BC BA --- , 故答案为：-2 . 15．6-【分析】利用向量的数量积运算求解或根据投影的几何意义求解.【详解】解法1：不难发现，ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID IE IF r ===，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD BF r ==，从而2AD r =-，CF r =，易证=AE AD ，=CE CF ，所以2AE r =-，CE r =，故224AE CE r AC +=+==，从而1r =，23AD r =-=()AI BC AI AC AB AI AC AI AB ⋅=⋅-=⋅-⋅cos cos AI AC IAC AI AB IAB =⋅⋅∠-⋅⋅∠ ()26AE AC AD AB AD AC AB AD =⋅-⋅=-==-故答案为:6-解法2：按解法1求得ABC 的内切圆半径1r ，由图可知AI 在BC 1，所以()316AI BC ⋅=⨯-故答案为:6- 16．B【分析】利用三角形面积公式，推出点O 到三边距离相等。

高中数学平面向量知识点总结概括3篇

高中数学平面向量知识点总结概括3篇高中数学平面向量知识点总结概括1一、定比分点定比分点公式（向量P1P=λ向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。

则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则有OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分点向量公式）x=（x1+λx2）/（1+λ），y=（y1+λy2）/（1+λ）。

（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式。

二、三点共线定理若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。

三、三角形重心判断式在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心。

四、向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是xy—xy=0。

零向量0平行于任何向量。

五、向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是ab=0。

a⊥b的充要条件是xx+yy=0。

零向量0垂直于任何向量。

设a=（x，y），b=（x，y）。

六、向量的运算1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=（x+x，y+y）。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。

0的反向量为0AB—AC=CB。

即“共同起点，指向被减”a=（x，y）b=（x，y）则a—b=（x—x，y—y）。

4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a ∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳平面向量是二维空间内的向量，由两个有大小和方向的向量组成，可以用于描述平面内的位移、速度、加速度等物理量。

平面向量的知识点总结如下：一、平面向量的定义1. 平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示，记作→AB。

2. 平面向量的大小称为模，记作|→AB|或AB，表示向量的长度。

3. 平面向量的方向可以用与x轴的夹角来表示，记作θ。

二、平面向量的表示方法1. 基底表示法：使用坐标系中的两个非零向量作为基底，根据向量分解的原理将向量表示为基底的线性组合。

2. 基底表示法的基底选择：通常选择单位向量i和j作为基底，i表示x轴的正方向，j表示y轴的正方向。

三、平面向量的运算1. 加法：向量相加的结果是一个新的向量，新向量的大小等于两个向量大小的和，方向等于两个向量的夹角的平分线方向。

2. 减法：向量相减的结果是一个新的向量，新向量的大小等于两个向量大小的差，方向等于两个向量的夹角的平分线反方向。

3. 数乘：向量乘以一个标量得到的是一个新的向量，新向量的大小等于标量与原向量大小的乘积，方向与原向量相同（正向量）或相反（负向量）。

4. 内积：向量的内积是两个向量的大小之积与它们夹角的余弦值之积，可以用于求夹角、判断垂直和平行等。

5. 外积：向量的外积又称为叉乘，结果是一个新的向量，大小等于两个向量的大小之积与它们夹角的正弦值之积，方向垂直于这两个向量构成的平面。

6. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是一个新的向量，大小等于原向量与投影方向的夹角的余弦值与原向量大小之积，方向与投影方向相同。

四、平面向量的性质1. 平面向量相等的充要条件是它们大小相等且方向相同。

2. 平面向量相反的充要条件是它们大小相等且方向相反。

3. 平面向量与其负向量的和等于零向量。

4. 平面向量的模可以为零，只有零向量的模为零，其它向量的模都大于零。

5. 平面向量与标量相乘，改变的是向量的大小，不改变其方向。

例说平面向量中的四个常用结论

知识篇•知识结构与拓展高一数学2018年&月十摩隸訊刚"#面同薑中的四*+用结.■侯怡含从近几年高考题中的平面向量问题可以看出，在选择题和填空题中主要考查向量的基本知识，在解答题中主要考查有关向量的计算问题。

下面举例说明平面向量中的四个常用的结论，供大家学习与参考。

结论1:设向量不共线，点P在直线A B上，则石芦=A石且A1，A，"/R!!!设D，E，F为A A B C的边B C，C A，A B的中点，则# !A_Z#c!"C+2#解：因为'，E，F分别为A A B C的边B C，C A，A B 的中点，所以i#+j#'2("#+C#)选A!友情提醒：结论1的特殊情况为：P为线段A B的中点!2如图1，在A A B C中，+B A C' 60°，+B A C的平分线交B C于点'，若A B' 4，="#'1"C+A "#AA/$)，则 A'的长为（）！A2$B.3 $C 4 /$ D_5 3解：因为B，'，C三点共线，所以%,A'1，解得A'$!过点'分别作A C，A B的平行线交A B，A C于点M，N，G"#'%"C，A#'%A#!因为A B'4,所以 |A#|'3。

因为+B A C'60°所以四边形A N'M是菱形，可得|A#| '3,即得|A C|'12。

因为A#'1"C+3A#，所以A#2'A a C+2x1x3x|A# |x|A# |x16 4。

，9 万#2 2,13cos 60 ,：'X 12 ,2X —；- X —；—X16 -6U X A X^+^X 16,可得 |A#| ' 3 //，即1A'的长为3 ///。

_平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量学习方法：①理论意义、实际意义；②基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧；③五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习；④基本考点：a 、向量的运算及其几何意义； b 、向量的线性运算； c 、共线问题；e 、基本定理应用及其向量分解； d 、坐标表示及其运算；f 、平行问题的坐标表示；g 、数量积的运算；h 、夹角问题；i 、模长及垂直条件；j 、在平面几何中应用；k 、在解析几何中的应用；l 、在解三角形中的应用；m 、在物理中的应用；一、向量有关概念：①向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，向量可以平移； ②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；作用:１、解决矛盾；２、零向量和任何非零向量平行；３、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量； ③单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；单位化④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；大小和方向有关，与位置无关； ⑤相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－； ⑥平行向量（共线向量）：１、方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量；２、记作：∥零向量和任何非零向量平行；３、两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；４、平行向量无传递性！（因为有0)；５、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； ⑦相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； a 、向量的运算及其几何意义：例１、下列命题：①若a b =，则a b =；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； ③若AB DC =，则ABCD 是平行四边形；④若ABCD 是平行四边形，则AB DC =；⑤若,a b b c ==，则a c =；⑥若//,//a b b c ，则//a c ；其中正确的是_______例２、下列命题正确是：①若0a =，则0a -=；②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a b +与,a b 之一的方向相同； ③若0a =，则0a =；④若a b =，则a b =或a b =-； ⑤若a b ，则a b =； ⑥若a b c ，则a c ；⑦a b a b +=+⇔a 与b 方向相同；⑧向量b 与向量a 共线的充要条件是有且仅有只有一个实数λ，使得b a λ=；⑨0AB BA +=；⑥若a b λλ=，则a b =；b 、向量的线性运算：“三角形法则”和“平行四边形法则” 例３、已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___例４、已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____ 例５、边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=？c 、共线问题：例６、已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果()3,2,a c b d e t a b ===+，那么t 为何值时， C D E、、三点在一条直线上？例７、如图1，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则113x y+=。

平面向量的重要结论

平面向量的重要结论1.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa+λb . 2.a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b|cos θ。

3.平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.4. 两向量的夹角公式：cos ||||a ba b θ⋅==⋅ (a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).5. 平面两点间的距离公式：,A B d=||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).6. 向量的平行与垂直：设a=11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 ，则：a ||b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.（交叉相乘差为零） a ⊥b (a ≠0 )⇔ a ·b=012120x x y y ⇔+=.（对应相乘和为零）7. 线段的定比分公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP的分点,λ是实数，且12PP PP λ= ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 8.三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.9.三角形五“心”向量形式的充要条件：设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.。