常微分方程解析式理论
常微分方程的解的解析法
常微分方程的解的解析法一、引言在数学领域中，常微分方程是一个重要的分支。
因为它可以被用来描述一系列的物理过程，如自然增长、衰变、震荡等等。
而为了理解这些现象，需要研究常微分方程的解法。
在这篇文章中，我们将会探讨常微分方程的解的解析法。
二、常微分方程常微分方程是指只含有一个自变量的函数和它的一阶或高阶导数的方程。
例如以下的方程：y' = f(x, y)y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)其中y是自变量x的函数，f, p, q, g都是已知的函数。
在数学上，我们关注的是如何求出y的解析解。
三、解析解解析解指通过代数式或者特殊函数表示的y的解。
求解解析解有许多的方法，下面将介绍二阶线性方程的解法：四、二阶线性方程解析解对于下列形式的二阶线性常微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0其中p(x)和q(x)都是函数。
我们假设存在y1(x)和y2(x)为它的两个线性无关解。
那么我们有以下几个定理：定理1：齐次线性方程的通解是其任意两个解的线性组合。
定理2：如果y1(x)和y2(x)是二阶线性方程的两个解，并且它们不成比例，那么它们的Wronskian不为零，则任何一个二阶线性方程的解都可以表示成它们的线性组合。
现在，我们通过一个例子来理解上述定理：例1：y'' + y = 0此时，p(x) = 0，q(x) = 1。
我们通过试解法得到两个解：y1(x) = sin(x), y2(x) = cos(x)由于Wronskian为：W[y1, y2](x) = | sin(x) cos(x) || cos(x) -sin(x) |因此非零。
我们可以通过上述定理得到该方程通解为：y(x) = c1 sin(x) + c2 cos(x)其中c1, c2为任意常数。
因此，我们求得了上述二阶线性方程的析解解。
五、总结到目前为止，我们已经介绍了如何求解二阶线性常微分方程的解析解。
解析常微分方程的解法和应用
解析常微分方程的解法和应用引言：常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是研究函数和其导数之间关系的方程。
在科学和工程领域中，常微分方程广泛应用于物理、化学、经济学等领域的建模与分析。
本文将深入探讨常微分方程的解法以及它们在实际应用中的重要性。
一、解析解法解析解法是指能够用解析表达式表示的常微分方程解。
下面介绍常见的解析解法：1. 变量可分离的方程变量可分离的方程是指可以将方程分解成两个独立变量的形式，一般表示为dy/dx = f(x)g(y)。
对于这类方程，可以通过对两边同时积分的方式求得解析解。
2. 齐次方程齐次方程是指可以通过变换将方程化为形如dy/dx = f(y/x)的方程。
通过引入新的变量u = y/x，可以将齐次方程转化为变量可分离的方程，从而应用变量可分离的方程的解法来求解。
3. 一阶线性方程一阶线性方程具有形如dy/dx + p(x)y = q(x)的形式，其中p(x)和q(x)为已知函数。
通过引入积分因子，可以将一阶线性方程化为变量可分离的方程，再应用变量可分离的方程的解法求解。
二、数值解法除了解析解法外，常微分方程的求解还可以通过数值方法来实现。
数值解法通过将微分方程转化为对应的差分方程，通过逐步近似的方式求解微分方程的数值解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些数值解法基于离散化的思想，通过将函数值在一系列离散的点上进行逼近，从而得到微分方程的数值解。
三、常微分方程的应用常微分方程在实际应用中具有广泛的重要性，以下列举几个常见的应用领域：1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中的应用非常广泛。
例如，经典力学中的牛顿第二定律可以通过微分方程形式表示，从而可以研究物体的运动轨迹、速度和加速度等特性。
2. 经济学中的应用经济学中很多经济模型可以通过常微分方程描述。
比如经济增长模型、投资模型和消费模型等。
通过求解这些微分方程可以预测和分析经济系统的发展趋势和稳定性。
常微分方程的基本理论与解法
常微分方程的基本理论与解法在数学领域中，常微分方程是一种描述变量间关系的重要工具。
它广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个学科领域，用于描述连续系统的行为。
本文将介绍常微分方程的基本理论和解法。
一、常微分方程的定义和分类常微分方程是一个或多个未知函数及其导数之间的关系式。
通常，常微分方程的解是一个或多个未知函数，使得该方程对给定的自变量集合成立。
常微分方程可分为几个主要类别：1. 一阶常微分方程：这种方程只涉及到一阶导数。
2. 高阶常微分方程：这种方程涉及到高阶导数，如二阶、三阶等。
3. 线性常微分方程：这种方程的形式可表示为函数及其导数的线性组合。
4. 非线性常微分方程：这种方程的形式不满足线性性质。
二、常微分方程的基本理论常微分方程的基本理论包括存在性定理、唯一性定理和稳定性定理。
1. 存在性定理：对于一阶常微分方程初值问题，存在一个解在给定的定义区间上存在，前提是方程在该区间上满足一定的连续性条件。
2. 唯一性定理：对于一阶常微分方程初值问题，如果方程和初值函数在定义区间上满足一定的连续性条件，则存在唯一的解。
3. 稳定性定理：稳定性定理研究的是方程解的渐近行为。
它提供了关于解的长期行为的信息，如解是否趋向于稳定点或周期解。
三、常见的常微分方程解法解常微分方程的方法有多种，下面介绍一些常见的解法。
1. 变量可分离法：当一个一阶常微分方程可以写成f(x)dx = g(y)dy的形式时，可以进行变量分离，将两边分别进行积分，并解出未知函数的表达式。
2. 齐次方程法：当一个一阶常微分方程可以化简为dy/dx = F(y/x)的形式时，引入新的变量u = y/x，将原方程转化为du/dx = F(u)，然后进行变量分离并积分。
3. 齐次线性方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以使用齐次线性方程的解法。
通过引入缩放因子e^(∫P(x)dx)，将原方程转化为d[e^(∫P(x)dx)y]/dx = e^(∫P(x)dx)Q(x)，然后进行变量分离并积分。
常微分方程的数值解与解析解
一、 常微分方程的解析解常微分方程的解析解也就是常微分方程的精确解，也称为常微分方程的符号解；一般可理解为求微分方程的通解或者特解的解析式或表达式；但只有少数的微分方程存在解析解。
在MA TLAB 中，由函数dsolve()求解常微分方程（组）的解析解，其具体格式如下： X=dsolve(‘方程1’，‘方程2’，…‘方程n ’，‘初始条件’，‘自变量’)函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。
例1：求解常微分方程1dy dx x y =+的MA TLAB 程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')，注意，系统缺省的自变量为t ，因此这里要把自变量写明。
结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X 。
例2：求解常微分方程2'''0yy y -=的MA TLAB 程序为：Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0’,’x’) 结果为：Y2 =[ exp((x+C2)/C1)][ C2]我们看到有两个解，其中一个是常数。
例3：求常微分方程组253t tdx x y e dt dy x y e dt ⎧++=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩通解的MA TLAB 程序为：[X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t')例4：求常微分方程组020210cos ,224,0t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt =-=⎧+-==⎪⎪⎨⎪++==⎪⎩通解的MA TLAB 程序为：[X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0')二、 常微分方程的数值解在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。
微分方程中的常微分方程解析
微分方程中的常微分方程解析微分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了自然界和各个学科中许多现象的变化规律。
而常微分方程则是其中常见且重要的一类微分方程，它们具有许多有趣的性质和解析解的求解方法。
本文将介绍常微分方程的概念、解析解的求解方法以及解析解的应用。
一、常微分方程的概念常微分方程是指不含有偏导数的微分方程，一般形式可表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可以通过求解微分方程来确定未知函数y的具体形式。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程中只包含未知函数的一阶导数，而高阶常微分方程中包含未知函数的多阶导数。
二、常微分方程解析解的求解方法求解常微分方程的解析解是指通过确定函数的具体形式来解决方程。
常见的常微分方程求解方法包括分离变量法、齐次化法、线性方程法、变量代换法等。
1. 分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，可以通过将变量分离来求解。
具体步骤如下：(1) 将方程改写为f(y)dy = g(x)dx的形式；(2) 对两边同时积分，得到∫f(y)dy = ∫g(x)dx；(3) 对于右边的积分，可以通过适当的变量代换或积分方法进行求解；(4) 最后，再通过反函数求解y，得到解析解。
2. 齐次化法对于形如dy/dx = f(x, y)的一阶常微分方程，可以通过齐次化来求解。
具体步骤如下：(1) 令y = vx，将方程转化为v + x(dv/dx) = f(x, vx)的形式；(2) 对两边同时求导，得到v' + (dv/dx)x = (df/dx)x^2；(3) 令u = v/x，可以得到u + x(du/dx) = (df/dx)x；(4) 对两边同时积分，再通过适当的变量代换或积分方法进行求解，最后得到解析解。
3. 线性方程法对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以通过线性方程法来求解。
常微分方程解法总结
常微分方程解法总结引言在数学领域中，常微分方程是一类以函数与其导数之间关系为描述对象的方程。
它广泛应用于物理、化学、生物等自然科学的建模和解决问题中。
常微分方程的求解有许多方法，本文将对其中一些常见的解法进行总结和讨论。
一、分离变量法分离变量法是求解常微分方程中常用的一种方法。
它的基本思想是将方程中的变量分离，将含有未知函数的项移到方程的一侧，含有自变量的项移到方程的另一侧，然后对两边同时积分，从而得到最终的解析解。
例如，考虑一阶常微分方程dy/dx = f(x)g(y)，可以将此方程改写为1/g(y)dy = f(x)dx，然后对两边同时积分得到∫1/g(y)dy =∫f(x)dx。
在对两边积分后，通过求解不定积分得到y的解析表达式。
二、常系数线性齐次微分方程常系数线性齐次微分方程是另一类常见的常微分方程。
它具有形如dy/dx + ay = 0的标准形式，其中a为常数。
这类方程的解法基于线性代数中的特征值和特征向量理论。
对于形如dy/dx + ay = 0的一阶常微分方程，可以假设其解具有形式y = e^(rx)，其中r为待定常数。
带入方程，解得a的值为r，于是解的通解即为y = Ce^(rx)，其中C为任意常数。
通过特定的初值条件，可以确定常数C的值，得到方程的特解。
三、变量分离法变量分离法是一种适用于某些特殊形式常微分方程的解法。
其基本思想是将方程中的变量进行适当的变换，从而将方程化为分离变量的形式。
例如，考虑一阶非齐次线性微分方程dy/dx = f(x)/g(y)，其中f(x)和g(y)为已知函数。
通常情况下，变量分离法需要对方程变形，将含有未知函数和自变量的项进行合并处理。
假设存在一个新的变量z(x) = g(y)，则dy/dx = (dy/dz)*(dz/dx) = (1/g'(y))*(dz/dx)。
将dy/dx和f(x)分别代入原方程，进而可以求得dz/dx。
对dz/dx进行积分后，可以得到z(x)的解析表达式。
常微分方程解析解
常微分方程解析解常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
对于一个常微分方程，寻找它的解析解是我们研究和解决问题的关键。
本文将介绍常微分方程解析解的概念、求解方法和应用，以帮助读者更好地理解和应用常微分方程。
一、概念在常微分方程中，解析解指的是通过代数或初等函数表示的解。
与解析解相对的是数值解，数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
解析解具有精确性和完整性，可以给出问题的全面解答和直观理解。
因此，寻找常微分方程的解析解是研究和应用的首要任务。
二、求解方法常微分方程的求解方法主要包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
下面简要介绍这几种方法。
1. 分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，可以将变量分离，即将方程移项，然后两边同时积分，得到解析解y = F(x)。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(y)/g(x)的一阶常微分方程，可以通过引入新的变量转化成齐次方程。
如果f(y)和g(x)满足一定的条件，可以通过变量代换和分离变量法得到解析解。
3. 一阶线性方程法对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶常微分方程，可以通过引入积分因子的方法将其转化成线性方程。
然后可以通过分离变量和积分得到解析解。
三、应用常微分方程的解析解在各个领域有着广泛的应用。
下面以物理和工程领域为例进行介绍。
1. 物理应用物理学中的许多现象和规律都可以通过常微分方程来描述，而解析解则可以给出这些现象和规律的精确解答。
比如经典力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等均可以通过常微分方程的解析解进行研究和应用。
2. 工程应用工程领域中的许多问题也可以建模成常微分方程，通过求解其解析解可以为工程设计和优化提供指导。
比如在电路设计中，通过求解电路中的微分方程可以得到电流和电压的解析解，从而分析电路中的性能和特性。
四、总结常微分方程解析解是研究和应用的重要工具，通过解析解可以给出问题的全面解答和直观理解。
微分方程解析
微分方程解析微分方程在数学和物理学等领域中起着重要的作用。
通过对微分方程进行解析，我们能够深入理解系统的行为和性质。
本文将介绍微分方程的解析方法及其应用。
一、常微分方程的解析常微分方程是描述一个未知函数及其导数之间关系的方程。
常微分方程的解析方法包括定性分析、分离变量法、变量代换法和特殊解法等。
1. 定性分析：通过观察方程的特点，确定解的性质和行为。
例如，可以确定方程是否存在平衡解、稳定解或周期解等。
2. 分离变量法：将方程中的未知函数与导数分离，然后进行积分得到解。
这种方法适用于可以将方程两边分别写成只包含未知函数和导数的形式。
3. 变量代换法：通过引入新的变量，将原方程转化为一个新的方程，使得新方程更容易求解。
常见的变量代换方法包括线性代换、指数代换和三角代换等。
4. 特殊解法：通过观察方程的特殊形式或者利用已知特殊解，求解整个方程。
例如，可以通过插值法、对称性、线性组合等方法得到特殊解。
二、偏微分方程的解析偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程。
解析求解偏微分方程是一项复杂的任务，需要结合具体的问题和方程类型选择合适的方法。
1. 分离变量法：假设解可以分解成多个未知函数的乘积形式，然后将分离出的每个未知函数分别满足独立的常微分方程。
2. 特征线法：根据方程中的特殊性质，通过引入特征线将偏微分方程转化为常微分方程，然后利用常微分方程的解析方法求解。
3. 变量代换法：通过引入新的变量，将原方程转化为一个新的方程，使得新方程更容易求解。
常见的变量代换方法包括直角坐标系转换、极坐标系转换和球坐标系转换等。
4. 本征函数展开法：利用偏微分方程的特殊结构，通过将解表示为一组特殊函数的展开形式，通过求解级数展开系数的方程组得到解。
三、微分方程的应用微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用领域：1. 力学中的运动方程：通过将物体的运动描述为微分方程，可以研究物体的轨迹和运动规律。
常微分方程公式解的定理
常微分方程公式解的定理常微分方程是数学中的一种重要的方程类型，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
解常微分方程是解决实际问题的关键步骤之一。
在求解常微分方程时，我们可以利用常微分方程公式解的定理来得到方程的解析解。
常微分方程公式解的定理是基于解微分方程的理论基础，它将常微分方程的解表示为一个通解的形式。
常微分方程的通解是指包含所有特解的解的集合。
常微分方程公式解的定理给出了一般形式的通解，通过确定特定的常数值来得到特解。
常微分方程公式解的定理可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两种情况来讨论。
对于一阶常微分方程，我们可以利用常微分方程公式解的定理将其解表示为一个一般的形式。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dx = f(x)，其中f(x)为已知函数。
根据常微分方程公式解的定理，我们可以将其解表示为y = F(x) + C，其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为常数。
这个解表示了一阶常微分方程的通解，通过确定常数C的值，我们可以得到特解。
对于高阶常微分方程，常微分方程公式解的定理也同样适用。
高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dx^n = f(x)，其中f(x)为已知函数，n为正整数。
根据常微分方程公式解的定理，我们可以将其解表示为y = F(x) + C1x + C2x^2 + ... + Cnx^n，其中F(x)为f(x)的一个原函数，C1、C2、...、Cn为常数。
这个解表示了高阶常微分方程的通解，通过确定常数C1、C2、...、Cn的值，我们可以得到特解。
常微分方程公式解的定理在解决实际问题中起着重要的作用。
通过将常微分方程表示为通解的形式，我们可以根据实际问题的边界条件确定常数的值，从而得到具体的解。
这种解析解不仅可以帮助我们理解问题的本质，还可以提供更精确的结果。
常微分方程公式解的定理是解常微分方程的基本工具之一。
它将常微分方程的解表示为一个通解的形式，通过确定常数的值来得到特解。
常微分方程的基本概念与解法
常微分方程的基本概念与解法常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述变化规律的方程中出现的微分项。
本文将介绍常微分方程的基本概念和解法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数和自变量之间的关系方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，y为未知函数，x为自变量，y'，y''，...，y^(n)为y的一阶、二阶，...，n阶导数，n为正整数。
常微分方程的阶数指的是方程中最高阶导数的阶数。
例如一阶常微分方程只包含y'，二阶常微分方程包含y'和y''，依此类推。
常微分方程可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。
常系数微分方程中的系数是常数，变系数微分方程中的系数可以是关于自变量x 的函数。
二、常微分方程的解法常微分方程的解法可以分为初值问题和边值问题。
1. 初值问题初值问题是指在方程中给定自变量x的某个初始值和未知函数y在该点的初值。
对于一阶常微分方程，求解初值问题的基本步骤如下：(1) 将一阶常微分方程改写成dy/dx = f(x, y)的形式；(2) 使用分离变量、全微分或变量代换等方法将方程转化为可分离变量的形式；(3) 对变量进行积分，得到通解；(4) 将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。
对于高阶常微分方程，可以通过转化为一阶常微分方程组的形式，然后利用类似的方法求解。
2. 边值问题边值问题是指在方程中给定自变量x在两个不同点上的值，要求找到满足这些条件的未知函数y。
对于二阶线性常微分方程的边值问题，可以使用常数变易法或格林函数法等求解方法。
三、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
以下是常见的几个应用领域：1. 物理学常微分方程在描述物理系统的运动规律中起着重要的作用。
例如，牛顿第二定律可以表示为二阶线性常微分方程。
常微分方程的解法
常微分方程的解法常微分方程（Ordinary Differential Equation）是描述自然现象和工程问题的基础数学模型，被广泛应用到各个领域中。
解常微分方程的方法不仅是数学学科的基本内容，也是物理、工程、经济等工科领域必须熟练掌握的数学工具之一。
本文将简单介绍常微分方程的基本概念和解法。
一、基本概念常微分方程是指仅涉及一个自变量和它的几个导数的方程。
通常形式为：$$F(x,y,y^\prime,y^{\prime\prime},...,y^{(n)})=0$$若仅涉及一阶导数，则称为一阶常微分方程，通常写作$y^\prime=f(x,y)$。
一般地，我们都要求解的是一阶常微分方程，因此本文仅介绍一阶常微分方程的解法。
二、解法1. 可分离变量法若已知的微分方程为$y^\prime=f(x,y)$，并且可以分离变量，即$f(x,y)=g(x)h(y)$，则可通过以下步骤求解：（1）将方程移项得到$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$；（2）分母h(y)移项得到$\frac{1}{h(y)}dy=g(x)dx$；（3）两边同时积分得到$\int\frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx+C$，其中C为常数。
2. 齐次方程法若已知的微分方程为$y^\prime=f(x,y)$，并且满足$f(x,y)=f(\frac{y}{x})$，则称该微分方程为齐次方程。
则可通过以下步骤求解：（1）令$y=ux$，则有$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$；（2）将$y^\prime=f(x,y)$代入$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$中得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(x,ux)$$（3）该方程可变形为$$\frac{du}{f(x,ux)-u}=\frac{1}{x}dx$$（4）对两边积分得到$$\int\frac{du}{f(x,ux)-u}=\ln|x|+C$$，其中C为常数。
数学中的常微分方程理论
数学中的常微分方程理论数学中的常微分方程，是一种描述自然现象的重要工具。
常微分方程是描述一些变量的变化规律，例如天体运动、物理力学中的某些问题、生物学中的种群变化等等。
本文将简单介绍常微分方程的定义、解法和应用。
一、常微分方程的定义常微分方程指导数关系中，与未知函数及其导数相关的方程。
通常表示为：$$F(x, y, y', y'',...,y^{(n)})=0$$其中 $y$ 是未知函数，$x$ 是自变量，$y', y'',...,y^{(n)}$ 是$y$ 的一阶、二阶……$n$ 阶导数。
上式中，$F(x, y, y',y'',...,y^{(n)})=0$ 是对 $y$ 的某种关系式，称为常微分方程或简称微分方程。
如果未知函数$y$ 的导数只出现在一阶导数或者零次，即$$F(x, y, y')=0$$则称为一阶微分方程；如果出现到 $n$ 阶导数，则称为 $n$ 阶微分方程。
二、常微分方程的解法常微分方程解的表示是这个方程的基本问题，解是由若干个常数构成的一组函数，其个数等于微分方程的阶数。
常微分方程的解法分为两种，一种是直接求解，另一种是利用数值计算的方法。
（一）直接求解直接求解的方法包括分离变量法、一阶线性微分方程的特解法、齐次方程的解法、常系数齐次线性微分方程、变系数齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程的特解、常系数非齐次线性微分方程等等，这里不再一一叙述。
（二）利用数值计算法求解如果某些微分方程没有解析解的公式，就需要借助计算机来求解，常见的数值计算方法有以下几种：1. 欧拉公式法：欧拉公式法是一种一阶微分方程的数值解法，将微分方程离散化，通过计算机计算得出区间内每个点的值。
即用前一个点的值插值出后一个点的值。
2. 龙格-库塔法：龙格-库塔法是一种高阶微分方程数值解法，可以将任意高阶微分方程转化为一系列一阶微分方程。
常微分方程的基本概念与解法
常微分方程的基本概念与解法常微分方程是数学中的一门重要分支，用于描述自然界中的各种变化规律。
本文将介绍常微分方程的基本概念和常见的解法。
一、常微分方程的概念常微分方程是关于未知函数的导数和自变量之间的关系式，其中自变量通常表示时间。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两种。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只涉及到一阶导数的方程。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dx = f(x, y)，也可以写成f(x, y)dx - dy = 0。
其中f(x, y)是已知函数，x是自变量，y是未知函数。
2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指未知函数的导数涉及到高阶导数的方程。
高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, d^2 y/dx^2, ..., d^(n-1) y/dx^(n-1))，其中n为正整数，f是已知函数，x是自变量，y是未知函数。
二、常微分方程的解法解常微分方程的方法多种多样，根据方程的类型和特点选择不同的解法。
1. 可分离变量法当方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)的形式时，可以使用可分离变量法解方程。
这种方法的关键是将变量分离，即将含有y的项移到方程的一边，含有x的项移到方程的另一边，然后分别积分得到x和y的表达式。
2. 线性常微分方程的求解线性常微分方程是指方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。
对于线性常微分方程，可以使用积分因子法求解。
首先找到一个函数u(x)，使得dy/dx + P(x)y = Q(x)乘以u(x)后变为全导数，则原方程可以写成d(uy)/dx = Q(x)u(x)的形式。
然后对等式两边进行积分并解得y的表达式。
3. 齐次线性常微分方程的求解齐次线性常微分方程是指方程可以写成dy/dx = f(y/x)的形式。
常微分方程的基本概念和解法
常微分方程的基本概念和解法常微分方程是一种应用广泛的数学工具，常常出现在物理学、化学、生物学等研究领域中，用于描述物体、化学物质、生物体等随时间变化的状态。
本文将介绍常微分方程的基本概念和解法，为读者开启一扇通往数学世界的大门。
1. 基本概念常微分方程是一个包含未知函数的导数、自变量和已知函数的方程，通常写作 y'=f(x,y)，其中 y 表示未知函数，x 表示自变量，f(x,y) 表示已知函数。
例如，y'=2xy 表示 y 的导数等于 2xy。
在这个方程中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x,y)=2xy 是已知函数。
这个方程的意义是，求出一种关于 x 的函数 y(x)，使得 y(x) 满足 y'(x)=f(x,y(x))。
这就是所谓的常微分方程的解，它描述了函数y(x) 随着 x 的变化所呈现的状态。
2. 解的分类常微分方程的解可分为一次、二次和高次解。
一次解是形如y(x)=ax+b 的解，其中 a 和 b 是常量，二次解是形如y(x)=ax^2+bx+c 的解，其中 a、b、c 是常量，高次解则是形如y(x)=a1y1(x)+a2y2(x)+...+anyn(x) 的解，其中 a1、a2、...、an 是常量，y1(x)、y2(x)、...、yn(x) 是线性独立的解。
此外，常微分方程的解还可分为通解和特解。
通解是指包含所有的解的通式，而特解是指满足条件的一个确定解。
3. 解法常微分方程的解法分为初值问题和边界值问题。
初值问题是指已知 y(x0)=y0，问 y(x) 的值如何求解的问题。
在这种情况下，我们可以使用欧拉法、龙格-库塔法等数值解法来求解。
边界值问题是指已知 y(a)=y1，y(b)=y2，问 y(x) 的值如何求解的问题。
在这种情况下，我们可以使用变分法、射线法等方法来求解。
除了这两种基本解法外，还有一些特殊的解法，如分离变量法、恰当性法、常数变法等。
常微分方程的初值问题与解析解
常微分方程的初值问题与解析解常微分方程是数学中的重要分支之一，涉及到自然科学中的众多问题，因此在科研中有着广泛的应用。
而其中的初值问题是解决这些方程的关键所在。
所谓常微分方程，是指只涉及单个变量及其导数的微分方程。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两种类型。
其中初值问题是指在t=0 时刻，给定某一时刻的函数值及导数值，解出该函数在全局上的解析解。
初值问题的解法通常可以分为两种方法：解析解和数值解。
解析解是指通过数学方法求解出的解析式，可以直接得到函数在全局的解析表达式，这种方法求解出的解具有较高的精度和快速性。
而数值解则是通过计算机等工具，通过迭代一定次数获得数值近似解。
数值解的方法可以分为 Euler 方法、Runge-Kutta 方法、Adams 方法等。
解析解的求解方法通常可以分为四类：分离变量法、齐次化法、常数变易法和特殊函数法。
分离变量法是常微分方程求解中最常用的方法之一，在求解 t 偏微分方程时，一般是将其写成一个 t 项的函数+一个不含t 的项，再分离变量，通过积分解出函数表达式。
齐次化法是指当微分方程中含未知函数的导数时，进行变量替换，使其不含未知函数的导数，变成一个齐次方程，从而解出解析式。
常数变易法是指当方程中含有δ (初值条件t=0时的函数值) 时，通过变量替换，将该常数变为未知函数的形式，达到求解解析解的目的。
特殊函数法则是指通过特殊函数如Bessel 函数、拉格朗日函数、伽玛函数等求解，这种方法主要是针对一些特殊的常微分方程，对于一般的常微分方程无法使用。
常微分方程求解中的初始值条件是影响解析解精度的重要因素之一。
正确的初始值条件可以保证解析解的准确性，否则可能会造成解析解数值偏差。
因此，在求解常微分方程时，清晰的问题理解、合适的解法选择以及准确的初始条件选择可以保证解析解的精确性，并且进一步应用到实际问题研究中。
总之，常微分方程的初值问题求解是数学中的重要分支之一，解析解具有精度高、求解速度快等优点，是科学研究中解决问题的有力工具之一。
常微分方程的整体解析解
常微分方程的整体解析解常微分方程是数学中的一种重要领域，指的是描述随时间变化的数量（如速度、质量、温度等）的方程。
常微分方程被广泛应用于物理学、化学、生物学、经济学等不同领域的研究中。
其中，解析解是一种特殊的解法，它可通过数学公式直接求解。
本文将着重介绍常微分方程的整体解析解。
一、概述通常情况下，常微分方程的解法不仅有数值解，还有解析解。
而解析解是一种更为简便的解法，能够直接得到方程的解析式。
由于解析解的求解方式较为困难，仅有部分特殊情况的常微分方程具有完整的解析解。
常微分方程的整体解析解是指，在特定条件下，方程的解析解能够完整地覆盖全部解集的解法。
二、一阶常微分方程的整体解析解对于一阶常微分方程y’=f(x,y)，若其具有恰当的初始条件y(x0)=y0，那么其整体解析解有以下两种情况：1. 斜率场法当解析式 y=f(x,c) 中的参数 c 能够完整地表达出 y(x0)=y0 的信息时，方程便具有整体解析解。
针对一阶常微分方程，可以采用斜率场法来求解。
即，通过画出解的斜率场图，找出在特定初始条件下，解必须经过的解曲线。
这样，就能得到方程中全部解的集合，即部分常微分方程具有整体解析解。
例如，对于方程y’=sin(x)，可以通过斜率场法求解。
解析式y=-cos(x)+c 可以表示方程中的全部解。
通过曲线通过初始条件y(0)=0，我们可以得到解析式 y=-cos(x)。
2. 分离变量法对于更加复杂的一阶常微分方程，可以采用分离变量的方法来求解。
即，将方程中的常数项与变量项分离，形成两个单独的方程。
这样一来，我们就能得到一个单独的方程来求解y 的解析式，从而得到方程的整体解析解。
例如，对于方程y’ = y(1-y)，可以通过分离变量法求解。
先将方程变形为：dy/dx = y(1-y)将变量项和常数项分离，得到：1/(y(1-y)) dy = dx对两边取积分，得到：- ln |y| + ln |1-y| = x + c整理可得方程的解析式为：y/(1-y) = ke^(x)其中 k = e^c。
常微分方程基本理论
常微分方程基本理论常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要分支，研究微分方程的性质和解的存在性、唯一性以及稳定性等基本理论。
本文将从常微分方程的基础概念入手，逐步介绍一些常见的常微分方程及其解法，并探讨一些常微分方程在科学和工程问题中的应用。
一、基本概念在进一步深入研究常微分方程之前，我们首先需要了解一些基本概念。
常微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常用符号表示为：\[F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\]其中，\(y\)是未知函数，\(y'\)表示\(y\)的一阶导数，\(y''\)表示\(y\)的二阶导数，\(y^{(n)}\)表示\(y\)的\(n\)阶导数。
\(F\)是关于\(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\)的函数。
二、一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只涉及到一阶导数的方程。
常见的一阶常微分方程形式如下：\[y'=f(x,y)\]其中，\(f(x,y)\)是关于\(x\)和\(y\)的已知函数。
我们可以通过分离变量、变量代换、常数变易法等方法求解这类方程。
三、二阶常微分方程二阶常微分方程是指未知函数的导数涉及到一阶和二阶导数的方程。
常见的二阶常微分方程形式如下：\[y''=f(x,y,y')\]同样可以通过变量代换、常数变易法等方法求解这类方程。
四、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，生态学中可以通过常微分方程模型研究物种数量的变化规律；经济学中可以利用常微分方程模拟经济增长和波动等现象；物理学中可以运用常微分方程描述运动方程和波动方程等；工程学中常微分方程也用于探讨电路、振动等问题。
五、常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括解析解和数值解两种方法。
常微分方程解析式理论
就称这个多项式是对称多项式，简称对称式．
x 例如： y z 3xyz , x 2xy y 3x 3 y .
3 3 3 2 2
对称式的同型项 一般地：在含有两个以上变数字母的对称式 中，同型项的系数必相等．
4 ．交代多项式 设n元多项式对任意的 i , j , 1≤ i < j≤ n ,都有
例2 把多项式 x3 x 2 2 x 2 表示成(x-1)的 幂的多项式的形式
解法一：据已知可设
x x 2 x 2 x 1 a x 1 b x 1 c
3 2 3 2
将右边展开，运用定理2（对应系数相等）从而 确定所求系数．
解法二：同解法一所设，将变元x代入不 同值求得两边的值，从而确定待定系数． 解法三：同解法一所设，利用高代中的综合除法， 从而确定待定系数．
具体做法如下： ⑴先写出整系数多项式f(x)的首项和常数项的所 有因数然后以首项的因数为分母，常数项的因 数作为分子，作出所有可能的既约分数（包括 整数）． ⑵从上述既约分数中合理地选择试除数． 如果f(x)的各项系数都是正数，或都是负数， 就只选择负的试除数． 如果f(x)的各项奇次项系数都是正数，偶次 项系数（包括常数项）都是负数，或者偶次项系 数都是正数，奇次项系数都是负数，就只选择正 的试除数． ⑶选好试除数后，即用综合除法试除．
例5 分解整系数多项式 f ( x) 3x 2x 9x 6
3 2
的因式． 1 2 分析：可能的试除数是 1, 2, 3, 6, ,
3 3
由于f(x)的奇次项系数都是正数，偶次项系 数都是负数，故只选择正的试除数：1，2，3，6， 1／3，2／3． 代入计算易知只有2／3合条件． 故由综合除法可得：
(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分
第三讲 常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。
级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.222()0x y xy x n y '''++-=其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-⎰1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+=和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。
常微分方程初步解析
常微分方程初步解析一、引言常微分方程是描述自变量仅有一个、导数只涉及到单个未知函数的微分方程，是数学中重要的研究对象。
通过对常微分方程的解析，可以揭示自然界中众多现象的规律，对于物理学、生物学以及工程等领域都具有重要意义。
二、常微分方程的定义常微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
最基本的形式可以表示为：$$F(x, y, \\frac{dy}{dx}, \\frac{d^2y}{dx^2}, ..., \\frac{d^ny}{dx^n})=0$$其中F为关于自变量x、未知函数y及其导数的函数。
三、常微分方程的分类根据微分方程中包含的未知函数和导数的阶数，常微分方程可以分为一阶微分方程、二阶微分方程等多种类型。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是最简单的一类微分方程，在表达式上可以表示为：$$\\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$2. 二阶微分方程二阶微分方程是包含到二阶导数的微分方程，通常可以写为：$$\\frac{d^2y}{dx^2} = f(x, y, \\frac{dy}{dx})$$四、常微分方程的解法求解常微分方程的过程通常可以分为解析解法和数值解法。
1. 解析解法解析解法是通过数学分析得出微分方程的解的方法。
对于一些简单的微分方程，可以通过积分、分离变量等方法求出解析解。
2. 数值解法对于一些复杂的微分方程或无法直接得到解析解的微分方程，常常使用数值方法来近似求解。
数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等，通过计算机进行数值计算得到微分方程的数值解。
五、常微分方程的应用常微分方程具有广泛的应用价值，包括但不限于：•物理学领域：描述物体的运动、电路中电流变化等•生物学领域：描述生物种群的增长、荷尔蒙分泌规律等•工程领域：控制系统的建模、机械振动分析等六、结论通过对常微分方程的初步解析，我们可以了解微分方程的基本概念与分类、解题方法以及应用价值。
不同类型的微分方程需要采用不同的解法，常微分方程在自然科学和工程技术等领域有着广泛的应用前景。
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例5 分解整系数多项式 f ( x) 3x 2x 9x 6
3 2
的因式． 1 2 分析：可能的试除数是 1, 2, 3, 6, ,
3 3
由于f(x)的奇次项系数都是正数，偶次项系 数都是负数，故只选择正的试除数：1，2，3，6， 1／3，2／3． 代入计算易知只有2／3合条件． 故由综合除法可得：
例2 把多项式 x3 x 2 2 x 2 表示成(x-1)的 幂的多项式的形式
解法一：据已知可设
x x 2 x 2 x 1 a x 1 b x 1 c
3 2 3 2
将右边展开，运用定理2（对应系数相等）从而 确定所求系数．
解法二：同解法一所设，将变元x代入不 同值求得两边的值，从而确定待定系数． 解法三：同解法一所设，利用高代中的综合除法， 从而确定待定系数．
定理2 （多项式恒等定理）数域F上的两个一 元多项式恒等的充要条件是它们的次数相同， 且同次项系数对应相等． 定理3 （多项式恒等判定）如果数域F上有个 次数不大于n的多项式f(x)和g(x)，对于x的n+1 个不同的值都有相等的值，则它们恒等．
三、待定系数法
例1 已知三次多项式f(x)在x=-1，0，1，2时的 值分别为1，2，3，2，试写出这个多项式． 解法一：设多项式为
由题意a≠b，解得
f (a) f (b) af (b) bf (a ) m ,n . a b a b
因此所求余式为
f (a) f (b) af (b) bf (a) x . a b a b
四、多项式的因式分解
相关概念： 不可约多项式（既约多项式）、因式分解等． 相关定理： ※任意一个次数大于零的多项式，都可以分解 成给定数域上的不可约多项式的乘积，且唯一． ※在复数域内，任意一个n次多项式都可分解成 n个一次因式的乘积． ※在实数域内，任意一个n次多项式都可分解成 一次与二次不可约因式的乘积． ※有理数域内，任意次多项式都可能是不可约 的．
f ( x1,, xi ,, x j ,, xn ) f ( x1,, x j ,, xi ,, xn )
就称这个多项式是交代多项式，简称交代式． 例如：x y , ( x y)( y z )( z x). 5．轮换式 设n元多项式，如果将变数字母轮换后有 f ( x1 , x2 , xn ) f ( xn , x1 , xn1 ) 则称这个多项式是轮换多项式，简称轮换式． 凡对称式都是轮换式，但轮换式不一定是对 称式． (a b)(b c)(c d ) , x2 y y 2 z z 2 x . 例如：
x 4 x 3 5 x 3 x 2 px q x 2 mx n .
再由待定系数法确定常数即可．
例7 证明 xy + 2 不能分解因式．
例10 分别在有理数集、实数集与复数集内分 解因式： x 4 2 x3 x 2 16.
解： 原式
x x 42
二、解析式的分类 定义2 只含有代数运算的解析式叫做代数 式；含有初等超越运算的解析式叫做 初等超越式，简称超越式．
单项式 整式 有理式 代数式 分式 无理式 多项式
解析式
初等超越式：指数式（ 式等．
ab ，b为无理数），对数式，三角式，反三角
注1、解析式的分类是按运算来分，特别是 针对字母运算而言。
具体做法如下： ⑴先写出整系数多项式f(x)的首项和常数项的所 有因数然后以首项的因数为分母，常数项的因 数作为分子，作出所有可能的既约分数（包括 整数）． ⑵从上述既约分数中合理地选择试除数． 如果f(x)的各项系数都是正数，或都是负数， 就只选择负的试除数． 如果f(x)的各项奇次项系数都是正数，偶次 项系数（包括常数项）都是负数，或者偶次项系 数都是正数，奇次项系数都是负数，就只选择正 的试除数． ⑶选好试除数后，即用综合除法试除．
6 ．对称式、交代式和轮换式的性质
⑴变数字母相同的两个对称式的和、差、积、商 仍是对称式．
⑵变数字母相同的两个轮换式的和、差、积、商 仍是轮换式．
⑶变数字母相同的两个交代式的和、差仍是交代 式，它们的积、商则是对称式．
⑷变数字母相同的一个对称式与一个交代式的积、 商是交代式． ⑸多个变数字母的交代式，必有其中任意两个变 数字母之差的因式．
( x x2 )( x x3 ) ( x xn 1 ) f ( x) y1 ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x1 xn 1 ) ( x x1 )( x x3 ) ( x xn 1 ) y2 ( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x2 xn 1 ) ( x x1 )( x x2 ) ( x xn ) yn 1 ( xn 1 x1 )( xn 1 x2 (y-z)(z-x)， 故，可设
y z z x x y
3 3
3
k ( x y )( y z )( z x).
取x,y,z的特殊值计算即可得k．
§3.3 分式
一、基本概念 1．有理分式 定义2.3.1
f ( x) 两个多项式的比 g ( x )（其中g(x)不是零
就称这个多项式是对称多项式，简称对称式．
x 例如： y z 3xyz , x 2xy y 3x 3 y .
3 3 3 2 2
对称式的同型项 一般地：在含有两个以上变数字母的对称式 中，同型项的系数必相等．
4 ．交代多项式 设n元多项式对任意的 i , j , 1≤ i < j≤ n ,都有
x3 y 3 z 3 3xyz x y z m x 2 y 2 z 2 n xy yz zx
由待定系数法可确定 m , n．
例9 分析： 原式是一个轮换式．当x=y时， 原式=0．
分解因式： y z z x x y .
x 1 例如： 是整式而不是分式。 2
注2、解析式的分类只对形式而言，不涉及本质。
sin 2 x cos 2 x 1 例如： 2 2 2x 1 2x 1
注3、解析式的分类不能越级。 x 1 x 1 sin x 例如： 2x 1 2x 1
三、解析式的恒等
一个解析式的变数字母的所有容许值的集合， 叫做这个解析式的定义域． 定义3 设有两个解析式，若对于它们定义域的 公共部分内的一切值，它们都有相等的值，则 称这两个解析式是恒等的，记做A≡B，也记做 A＝B ． 定义4 把一个给定的解析式换成另一个与它恒 等的解析式，这种变形叫做恒等变形或恒等变 换．
f ( x, y, z) x3 y3 z3 3xyz. 例8 分解因式：
分析： 原式是对称式， 当x=-(y+z)时，
f ( x, y, z ) ( y z )3 y 3 z 3 3 ( y z ) yz 0,
所以原式有因式 (x+y+z) ．因为原式是三次式， 故还有另一个二次对称因式． 故可设
1.用因式定理和综合除法分解因式
因式定理： 整系数多项式 f (x)有因式(x-a)的充要条件是 f(a)=0．
有理根定理：
如果整系数多项式 n n1 f ( x) an x an1x a1x a0
q （p、q是互质的整数），则p一定是 有因式 x p
n次项系数的约数，q是常数项的约数．
特殊多元多项式的因式分解 通常应用对称式、交代式、轮换式的概念和 性质，结合因式定理和待定系数法进行．
一般步骤是： ⑴先观察所给多项式的特征，以其中一个字 母为主，把另一个或另一些变数字母作为试除 数，依据因式定理找出一个因式；再根据有关 性质用轮换的方法得出另外一些因式． ⑵用待定系数法确定分解后的因式乘积的系 数．
3 ．对称多项式
设 f ( x1 , x2 , xi ,, x j , xn ) 是n元 多项式，如果对于任意的 i , j , 1≤ i ≤ j ≤ n 都有
f ( x1, x2 ,, xi ,, x j ,, xn ) f ( x1, x2 ,, x j ,, xi ,, xn )
（C内）
因式分解的几个特点
⑴结果的相对性 ⑵解法的多样性 ⑶高度的技巧性
x 1、在实数域内分解因式： 6 x 11x 6.
3 2
x 2、 在有理数集内分解因式：
5
x 1.
五、多元多项式（几种特殊情况）
1．多元多项式的一般概念
含有两个以上变数字母的多项式，叫做多元 多项式．
多元多项式的标准形式（字典排列法）、项 的次数、多项式的次数等概念 2．齐次多项式 （齐次式） 性质： 两个齐次式的积仍然是齐次式，积得次数 为两个因式次数之和． 例如： ax by cz , ax3 bx3 cz3 dxyz
§3.2 多项式
一、基本概念
多项式的次数、 一元多项式的一般形式、 零次多项式、 零多项式等．
二、多项式的恒等
定理1 设数域F上的多项式 n n1 f ( x) an x an1x a1x a0 如果对于变数 x 在F上的任意取值，多项式的 值都等于零，则该多项式是零多项式．
多项式），叫做有理分式，简称分式． 分式的定义域 2．分式的恒等 如果两个分式对于它们的公共定义域上的任 意取值都有相等的值，那么这两个分式恒等．
定理2.3.1 两个分式f(x) ／g(x)和是s(x) ／t(x)恒等 的充要条件是f(x)t(x) ≡s(x)g(x) ．
f ( x) ax3 bx2 cx d
解法二：设这个多项式为
f ( x) a b( x 1) c( x 1) x d ( x 1) x( x 1)
（拉格朗日插值法）
附：拉格朗日插值公式（详见高等代数） 若一元n次多项式的变元x分别取n+1个不同的值 x1 , x2 , xn 1 所对应的多项式的值分别为 y1 , y2 , yn 1 则多项式可唯一确定为：