指数函数及其性质20
指数函数知识点总结
指数函数知识点总结指数函数是数学中非常重要的一个概念，广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。
它具有许多独特的特性和性质，对于我们理解和应用数学具有重要的意义。
本文将对指数函数的定义、性质及其应用进行总结。
一、指数函数的定义和性质指数函数定义为以自然数e为底数的幂函数，即f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。
其中，底数a是正数且不等于1的任何实数。
指数函数的图像呈现出递增或递减的特点，取决于底数a的大小。
1. 当底数a大于1时，指数函数呈现递增的特性。
以a=2为例，f(x)=2^x的图像在坐标系中逐渐上升，呈现出指数增长的趋势。
指数函数在此情况下，也被称为增长函数。
2. 当底数a小于1且大于0时，指数函数呈现递减的特性。
以a=0.5为例，f(x)=0.5^x的图像在坐标系中逐渐下降，呈现出指数衰减的趋势。
指数函数在此情况下，也被称为衰减函数。
3. 当底数a等于1时，指数函数的值始终为1，即f(x)=1^x=1。
在此情况下，指数函数的图像为一条水平线，没有任何变化。
指数函数具有很多独特的性质，其中一些重要的性质如下：1. 指数函数的定义域为实数集。
任何实数都可以作为指数函数的自变量。
2. 指数函数的值域为正实数集。
由于底数a为正数，指数函数的幂结果始终大于0。
3. 当指数函数的底数a大于1时，映射为一对一。
即不同的指数x 对应不同的函数值f(x)。
4. 指数函数的图像都通过点(0,1)。
这是因为任何数的零次幂都等于1。
5. 指数函数具有对称轴的性质。
即f(x)=a^x的图像关于y轴对称。
二、指数函数的应用指数函数在自然科学、工程技术和经济学等领域应用广泛，主要体现在以下几个方面：1. 人口增长模型：指数函数可以用来描述人口的增长趋势。
如果一个国家的人口增长率呈现出指数增长，即人口每年以固定比例增加，那么可以使用指数函数来建立人口增长模型，预测未来的人口数量。
2. 金融利率计算：指数函数在金融学中有广泛的应用。
指数函数及其性质,高中数学
指数函数专题指数函数及其性质知 识 梳 理要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：① 如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.② 如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了．（1）当底数大小不确定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数x y a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．辨 析 感 悟 对指数函数的理解(1)函数y ＝3·2x 是指数函数．(×) (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是R 上的减函数．(×)(3)(2013·金华调研改编)已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是(1,5)．(√)【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【解析】由2(33)x y a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；（5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x x y =+；(2)y=4x -2x +1；【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+， ∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x 即x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43).(3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-12x y =(2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠ 【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞ (4) 为使得原函数有意义，需满足10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性.解：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．举一反三：1.求函数2323x x y -+-=的单调区间.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.【变式1】求函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数； 当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．（2014年河南郑州月考）已知函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，则实数a 取值的范围是 ．【思路点拨】由题意可得2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，由此解得a 的范围．【答案】[2，3）【解析】由于函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，可得 2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，解得2≤a ＜3，故答案为[2，3）．例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。
指数函数知识点总结
指数函数知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容之一。
它是以底数为常数、指数为自变量的函数，具有独特的性质和应用。
本文将从定义、性质、图像和应用四个方面对指数函数进行总结。
一、定义指数函数是具有形式f(x) = a^x的函数，其中a为大于0且不等于1的常数。
指数函数是一种通过指数幂运算的方式获得函数值的数学函数。
二、性质1. 底数大于1时，指数函数是增函数；底数在0和1之间时，指数函数是减函数。
这意味着指数函数的图像可以分为两种情况：斜上升和斜下降。
2. 指数函数有定义域为全体实数，值域为正实数。
3. 指数函数的图像经过点(0,1)，即a^0 = 1。
4. 指数函数的平行于x轴的渐近线为y = 0。
这是因为指数函数在负无穷大时趋于0。
5. 指数函数的性质可以推广到负指数，即f(x) = a^(-x)。
相同的性质适用于负指数函数。
三、图像指数函数的图像特点很明显。
当底数a大于1时，指数函数的图像会从左下方无限趋近于x轴。
当底数a在0和1之间时，指数函数的图像会从左上方无限趋近于x轴。
指数函数的图像在逼近x轴时变得非常陡峭。
这是因为随着指数不断增加，函数的增长速度越来越快。
四、应用指数函数在现实世界中有许多应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 金融领域：指数函数在复利计算中发挥着重要作用。
复利是指在计算利息时将利息加入到本金中，进而计算下一阶段的利息。
指数函数可用于计算定期存款或贷款的未来价值或余额。
2. 自然科学：指数函数在自然科学中广泛应用，尤其是在物理学和化学方面。
例如，放射性衰变是一个指数运动，指数函数可用于描述放射性物质的衰变过程。
3. 经济学：指数函数在经济学中用于描述人口增长、市场价格和物品生产等。
经济学家常常使用指数函数来分析和预测经济趋势。
4. 生物学：指数函数在生物学中用于描述生物种群的增长。
当环境资源充足时，生物种群的增长可以被指数函数描述。
总结：指数函数是一种重要的数学函数，在各个领域都有重要的应用。
指数函数知识点归纳
指数函数知识点归纳指数函数是一种常见的数学函数，它以底数为常数且大于零的实数来表示自变量的幂。
指数函数有着重要的数学性质和应用。
在这篇文章中，我们将归纳指数函数的一些重要知识点。
1.定义和表示：指数函数可以写成f(x)=a^x的形式，其中a是底数，x是指数。
2.基本性质：（1）当底数a大于1时，指数函数呈现增长态势，即函数值随着自变量的增加而增加；（2）当底数a等于1时，指数函数保持恒定，即f(x)=1；（3）当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现减少态势，即函数值随着自变量的增加而减少。
3.导数：指数函数的导数与其本身成正比。
具体地，f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)是以自然对数e为底的对数。
4.指数函数的图像和性质：（1）当底数a大于1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐上升；（2）当底数a等于1时，指数函数的图像是一条恒定值的水平直线；（3）当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐下降；（4）指数函数的图像通过点(0,1)，即f(0)=15.指数函数的性质：（1）指数函数具有不断增长或不断减少的性质；（2）指数函数的图像关于y轴对称；（3）当底数a大于1时，函数值在正无穷大和负无穷大之间无限逼近；（4）当底数a介于0和1之间时，函数值在0和正无穷大之间无限逼近。
6.指数函数和对数函数的关系：指数函数和对数函数是互为反函数的。
即，f(x) = a^x 和 g(x) = loga(x)是一对互为反函数的指数函数和对数函数。
函数f(x) = a^x的定义域是实数集R，值域是正实数集R+；函数g(x) = loga(x)的定义域是正实数集R+，值域是实数集R。
7.指数函数的应用：指数函数在各个领域有着广泛的应用，例如经济增长模型、无线电活动强度计算、化学反应速率、放射性衰变等。
指数函数在实际问题中能够提供一种简洁而有效的数学模型。
综上所述，指数函数是一种基于底数为常数的幂函数，具有增长、恒定或减少的性质。
指数函数图像及性质
指数函数图像及性质
指数函数图像的特征就是“J”形的曲线，它可用来表示水平和垂直运动的加速度和内能释放。
指数函数可以表示非常多种物理或生物学现象。
指数函数图像具有以下性质：
1. 指数函数图像以指数增长和指数衰减。
即曲线是从左向右张开的，以及从右向左收缩的。
2. 一般情况下，指数函数图像会通过坐标原点（0,0），如果不是，则说明指数函数图像是一条平行曲线。
3. 在每一个定义域，指数函数图像的斜率最大值为1，但是随着x的增加，它的斜率越来越小，趋近于0。
4. 在不同的定义域，指数函数图像的形状也有所不同，一般数学家会把它们分成“快速增长函数”和“减速函数”，其中前者的最大斜率大于1而后者的最大斜率小于1。
5. 对于指数函数图像，从右向左看斜率是负值，而从左向右看又会变成正值。
6. 有时候，指数函数图像会拐到右上或者右下方，这时候说明指数函数正在发挥它的作用。
7. 指数函数的绝对值有三种情况，即增加，减少和突然增加，这种情况受到外部因素的影响。
8. 指数函数图像在平行于y轴的负半轴上，其值会无限接近0，而在平行于y轴的正半轴上，其值会无限增长。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是数学中常见的一种函数类型，它的图像和性质在数学学习中具有重要的意义。
本文将从图像和性质两个方面，对指数函数进行详细的分析和说明。
一、指数函数的图像指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
在探究指数函数的图像时，我们可以固定底数a的值，观察指数x的变化对应的函数值y的变化。
1. 当底数a>1时，指数函数呈现增长趋势。
例如，当a=2时，指数函数y=2^x的图像是逐渐上升的曲线。
随着指数x的增大，函数值y呈现出迅速增长的特点。
这说明指数函数在底数大于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级增长。
2. 当底数0<a<1时，指数函数呈现衰减趋势。
例如，当a=0.5时，指数函数y=0.5^x的图像是逐渐下降的曲线。
随着指数x的增大，函数值y呈现出逐渐趋近于0的特点。
这说明指数函数在底数小于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级衰减。
3. 当底数a=1时，指数函数呈现恒定趋势。
无论指数x取任何值，函数值y始终等于1。
这说明指数函数在底数为1时，函数值不随指数的变化而变化。
通过观察指数函数的图像，我们可以发现指数函数具有明显的特点：底数大于1时，函数呈现增长趋势；底数小于1时，函数呈现衰减趋势；底数为1时，函数呈现恒定趋势。
二、指数函数的性质除了图像特点外，指数函数还具有一些重要的性质，这些性质在数学学习中有着广泛的应用。
1. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
这意味着指数函数在实数范围内都有定义，并且函数值始终为正数。
2. 指数函数的性质与底数a的大小有关。
当底数a>1时，函数呈现增长趋势；当底数0<a<1时，函数呈现衰减趋势；当底数a=1时，函数值始终为1。
3. 指数函数具有幂运算的性质。
即指数函数的乘法可以转化为指数的加法，指数函数的除法可以转化为指数的减法。
例如，对于指数函数y=a^x和y=b^x，它们的乘积可以表示为y=(ab)^x，它们的商可以表示为y=(a/b)^x。
指数函数的定义与性质
指数函数的定义与性质指数函数是数学中一种重要的函数类型，它的定义和性质对于数学的学习和应用具有重要意义。
本文将介绍指数函数的定义以及其常见的性质。
一、指数函数的定义指数函数是以指数为自变量的函数，通常形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x 为指数。
底数为正数且不等于1时，指数函数存在且连续。
指数函数可以分为两种情况：1. 当底数a大于1时，指数函数呈现增长趋势。
随着指数x的增大，函数值f(x)也相应增大，增长速度逐渐加快。
例如，函数f(x) = 2^x，当x从负无穷逐渐增大时，f(x)的值也逐渐增大。
2. 当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现衰减趋势。
随着指数x的增大，函数值f(x)逐渐减小，衰减速度逐渐减慢。
例如，函数f(x) = (1/2)^x，当x从负无穷逐渐增大时，f(x)的值逐渐减小。
二、指数函数的性质指数函数具有以下几个常见的性质：1. 基本性质：指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0, +∞)。
当底数a大于1时，函数在整个定义域上是递增的；当底数a介于0和1之间时，函数在整个定义域上是递减的。
2. 对称性：指数函数具有对称性。
当底数a大于1时，函数f(x) = a^x关于y轴对称；当底数a介于0和1之间时，函数f(x) = a^x关于x轴对称。
3. 渐近线：指数函数在x轴的左侧有一条水平渐近线y=0。
当底数a大于1时，函数在x趋近于负无穷时，趋近于渐近线y=0；当底数a介于0和1之间时，函数在x趋近于正无穷时，趋近于渐近线y=0。
4. 运算性质：指数函数具有一些重要的运算性质。
当a和b为正数且不等于1时，有以下性质成立：(a^m) * (a^n) = a^(m+n)，即相同底数的指数函数相乘，指数相加；(a^m) / (a^n) = a^(m-n)，即相同底数的指数函数相除，指数相减；(a^m)^n = a^(m*n)，即指数函数的指数幂运算，指数相乘。
以上是指数函数的定义和常见性质的简要介绍。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是一类重要的数学函数，在数学和其他学科的研究中具有广泛的应用。
本文将介绍指数函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用这一函数。
1. 定义指数函数是以指数为自变量，底数大于0且不等于1的函数。
一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数可以是实数，函数值则可以是正数、负数或零。
2. 指数函数的图像由于底数大于0且不等于1，指数函数的图像不会通过原点(0,0)。
当指数x为0时，函数值为1，因此图像会经过点(0,1)。
当指数x为正值时，函数值逐渐增大；当指数x为负值时，函数值逐渐减小。
图像可以根据底数的不同呈现不同的特点。
3. 底数大于1的指数函数当底数a大于1时，指数函数的图像呈现上升趋势，即从左至右逐渐增大。
随着指数x的增大，函数值也会变得越来越大。
当a越接近1时，曲线的增长速度会变得越来越缓慢。
例如，y = 2^x的图像在x轴的右侧逐渐升高，但增长速度逐渐减慢。
4. 底数介于0和1之间的指数函数当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像呈现下降趋势，即从左至右逐渐减小。
随着指数x的增大，函数值会越来越接近于0。
当a越接近0时，曲线的下降速度会越来越慢。
例如，y = (1/2)^x的图像在x轴的右侧逐渐下降，但下降速度逐渐变缓。
5. 指数函数的水平位移指数函数的图像可以通过水平位移产生变化。
将指数函数右移h个单位，可以得到f(x-h)。
这样做会使整个图像向右平移h个单位。
同样，向左移动h个单位可以得到f(x+h)，将整个图像向左平移h个单位。
6. 指数函数的垂直位移指数函数的图像也可以通过垂直位移产生变化。
将指数函数上移k个单位，可以得到f(x)+k。
这样做会使整个图像上移k个单位。
同样，向下移动k个单位可以得到f(x)-k)，整个图像下移k个单位。
7. 指数函数的对称性对于底数a大于1的指数函数，以y轴为对称轴，具有对称性。
即f(x) = a^x的图像关于y轴对称。
指数函数及其性质
指数函数及其性质
指数函数是数学中的一种常见函数形式，可以表示为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不为1，x是任意实数。
指数函数的性质如下：
1. 定义域：指数函数的定义域是全部实数集。
2. 值域：当a>1时，指数函数的值域是(0, +∞)，即正数集；当0<a<1时，指数函数的值域是(0, 1)，即(0,1)开区间。
3. 增减性：当a>1时，指数函数是递增的；当0<a<1时，指数函数是递减的。
4. 对称轴：指数函数没有对称轴。
5. 对称性：指数函数不具有对称性。
6. 极限性质：当x趋于正无穷大时，指数函数的极限是正无穷大；当x趋于负无穷大时，指数函数的极限是0。
7. 交叉性：当a>1时，指数函数与x轴交于点(0,1)；当0<a<1时，指数函数与y轴交于点(0,1)。
8. 垂直渐近线：指数函数没有垂直渐近线。
9. 水平渐近线：指数函数没有水平渐近线。
10. 切线性质：指数函数在任意一点的切线都与该点对应的指数函数图像相切。
总结起来，指数函数具有增减性、无对称性、极限性质和交叉性等基本性质。
指数函数在实际问题中经常用于描述增长或衰减的规律，具有重要的应用价值。
指数与对数函数的运算与性质
指数与对数函数的运算与性质指数与对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍指数与对数函数的运算规则和性质，帮助读者更好地理解和应用这两个函数。
一、指数函数的运算与性质指数函数的定义形式为y=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的运算规则包括以下几个方面：1. 指数相加规则当底数相同时，指数可以进行相加。
例如，对于指数函数y=2^x和y=2^y，可以得到y=2^(x+y)。
这个规则在计算指数函数的和或差时非常有用。
2. 指数相乘规则当底数相同时，指数可以进行相乘。
例如，对于指数函数y=2^x和y=2^y，可以得到y=(2^x)^y，进一步化简为y=2^(xy)。
这个规则在计算指数函数的乘积或幂次时非常有用。
3. 指数的负指数规则对于正实数a和整数m，有a^(-m)=1/(a^m)。
这个规则为计算负指数的指数函数提供了方便。
4. 指数为零规则对于任意正实数a，有a^0=1。
这个规则说明任何数的零次幂都等于1。
除了上述运算规则，指数函数还有以下几个性质：1. 指数函数的图像当底数a大于1时，指数函数呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现衰减趋势。
指数函数的图像通常是一条平滑的曲线。
2. 指数函数的性质指数函数的性质包括：对于任意正实数a，有a^x>0；当x1时，a^x2>a^x1。
二、对数函数的运算与性质对数函数的定义形式为y=loga(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。
对数函数的运算规则包括以下几个方面：1. 对数的乘法规则loga(xy)=loga(x)+loga(y)。
这个规则为计算对数函数的乘积提供了方便。
2. 对数的除法规则loga(x/y)=loga(x)-loga(y)。
这个规则为计算对数函数的商提供了方便。
3. 对数的指数规则loga(x^m)=m*loga(x)。
这个规则为计算对数函数的幂次提供了方便。
除了上述运算规则，对数函数还有以下几个性质：1. 对数函数的图像对数函数的图像通常是一条平滑的曲线，且在x轴的正半轴上逐渐增加。
指数函数图象及性质
mn
⑶比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 ,
2 0.2
1 0.42.5 0
2 0.2
例3在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出
它们与指数函数y= 2x 的图象的关系，
⑴ y 2x1 与 y 2x2
⑵ y 2x1 与 y 2x2
解：⑴列出函数数据表,作出图像
x -3 -2 -1 0 1 2 3
( 1 0,且 1 1)
a
a
探究2:判断下列函数,那些是指数函数？
(1) y=4x
(2) y=x4
(3) y=-4x
(4) y=(-3)x
(5) y=xx
(6) y=3×4x
(7) y=3x+1
点评:函数解析式三大特征为①指数是自变量 x ;②底数是非1正常数;③系数为1.
随堂练习：
函数y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求a的 值.
-0.5 0 0.6 1 1.7 1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 …
0.71 0.5 0.25 0.13 …
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
由3x≥30.5，可得x≥0.5，即x的取值范围为 [0.5，+∞）。
；
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
例2：解下列不等式
(1)(1)x2 8 32x 3
(2) ax22x ( 1 )x2 (a 0且a 1) a
例2:指出下列函数的单调区间，并判断增减性；
理解指数函数的基本概念与性质
理解指数函数的基本概念与性质指数函数是数学中的一种特殊函数，它的定义域是全体实数，值域是大于零的实数。
指数函数以其特殊的增长特性和广泛的应用而备受关注。
本文将从基本概念和性质两方面来深入理解指数函数。
一、基本概念指数函数是以常数e（数学常数，约等于2.71828）为底的幂函数，表达式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
在指数函数中，底数a大于0且不等于1，指数x可以是任意实数。
1.1 指数函数的图像特点指数函数的图像呈现出特殊的增长规律。
当底数a大于1时，指数函数呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现下降趋势。
指数函数的图像经过点(0, 1)，这是由于a^0等于1。
1.2 指数函数的性质指数函数有以下重要性质：a) 当指数为零时，指数函数的值始终为1，即a^0 = 1；b) 当指数为正数时，指数函数呈现递增趋势，即a^n（n为正数）；c) 当指数为负数时，指数函数呈现递减趋势，即a^(-n) = 1 / a^n（n为正数）。
二、指数函数的常见应用指数函数在科学、金融和工程等领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：2.1 大自然的增长规律许多自然现象都可以使用指数函数来描述，如人口增长、细胞分裂等。
指数函数可以帮助我们预测和研究这些现象的增长趋势和规律。
2.2 经济增长与财务规划经济增长也可以通过指数函数来描述，特别是在复利计算中。
指数函数可以帮助我们理解和规划财务增长，包括银行利息计算、投资回报预测等。
2.3 无限接近与趋势逼近指数函数的特殊性质使其在数学中有着广泛的应用，如级数求和、数值逼近等。
指数函数可以帮助我们更好地理解和利用数学中的各种概念和方法。
三、指数函数的注意事项在应用指数函数时，需要注意以下几点：3.1 底数a的取值指数函数中，底数a大于0且不等于1，具体数值的选择取决于具体应用场景。
需要根据问题需求和实际情况来确定合适的底数。
3.2 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域是全体实数，值域是大于零的实数。
指数函数的图象及性质
指数函数一、根式与分数指数幂1. 根式定义根式：一般地，若x n=a（a为非负实数，n为正整数），则x叫做a的n次方根，记作或。
其中，n叫做根指数，a叫做被开方数。
2. 根式性质当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数。
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，互为相反数；负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0。
3. 根式运算化简：通过因式分解、合并同类项等方法将复杂的根式化简为最简形式。
求值：将根号下的数按照因数分解的形式写出，然后求出完全平方数的平方根，最后相乘得到最终结果。
和（差）：将根式化为最简形式后，合并同类项。
积（商）：合并同类项，分解各个项，然后化简得到最终结果。
4. 分数指数幂定义分数指数幂：一个数的指数为分数，如（a>0，m,n∈N∗且n>1），其中a的次幂等于n次根号下a的m次方，即。
二、分数指数幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数相同，指数相加2、同底数幂相除：底数相同，指数相减3、幂的乘方：指数相乘4、任何非零数的0次幂都等于15、负指数幂表示倒数三、实数指数幂的运算及其性质1、实数指数幂的基本概念实数指数幂指的是形如 a n 的数，其中 a 为实数（且 a≠0），n 为实数。
实数指数幂包括正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂以及无理数指数幂。
2、运算性质同底数幂相乘：a m•a n=a m+n同底数幂相除：a m/a n=a m−n（a≠0）幂的乘方：(a m)n=a mn分数指数幂：（a>0，m,n 为正整数，n>1）负整数指数幂：（a≠0）零指数幂：a0=1（a≠0）四、无理数指数幂有理数指数幂逼近无理数指数幂的原理，基于数学中的极限思想和连续性概念。
由于无理数无法直接表示为两个整数的比，我们需要通过一系列越来越接近该无理数的有理数来逼近它，从而计算出对应的指数幂值。
这一过程体现了数学中的逼近和极限思想，是微积分等更高层次数学的基础。
指数函数及其性质知识点总结超详细版(共66页)
指数函数及其性质知识点总结本节知识点（1）指数函数的概念 （2）指数函数的图象和性质 （3）指数函数的定义域和值域 （4）指数函数的单调性及其应用 （5）指数函数的图象变换 知识点一 指数函数的概念一般地,函数xa y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 1.为什么规定“0>a 且1≠a ”?答:若0=a ,则当0>x 时,0=x a ,当x ≤0时,xa 无意义;若0<a ,则对于x 的某些值,xa 无意义,如函数()xy 2-=,当 41,21=x 时,函数无意义;若1=a ,则对任意的∈x R ,都有1=x a ,没有研究的必要.基于上面的原因,在指数函数的定义中,规定0>a 且1≠a .上面的定义,是形式定义. 2.为什么指数函数的定义域是R ?答:对于指数幂来说,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,所以在指数函数的定义里面,自变量的取值范围是全体实数,即函数的定义域为R . 3.指数函数的结构特征指数函数的定义是形式上的定义,其函数解析式的结构具有非常明显的特征,如下: （1）指数中只有一个自变量x ,而不是含自变量的多项式; （2）xa 的系数必须为1,不能是其它的数字,也不能含有自变量; （3）底数a 必须满足0>a 且1≠a 的一个常数.根据上面的三个特征,可以判断一个函数是否为指数函数,也可以在已知指数函数的前提下,求参数的值或参数的取值范围.例1. 已知函数()()x a a x f ⋅-=32是指数函数,求a 的值. 分析:本题考查指数函数的定义,指数函数的定义有三个特征: （1）指数的位置只有一个自变量,但不是含自变量的多项式; （2）底数是一个大于0且不等于1的常数;（3）x a 的系数必须为1.解:∵函数()()x a a x f ⋅-=32是指数函数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠>=-10132a a a ,解之得:2=a . 例2. 已知指数函数()()32--+=a a a y x 的图象过点()4,2,则=a _________.解:由题意可得:()()⎪⎩⎪⎨⎧≠>=--10032a a a a ,解之得:2=a 或3=a .∵函数的图象经过点()4,2 ∴2=a .例3. 若指数函数()x f 的图象经过点()9,2,求()x f 的解析式及()1-f 的值. 解:设函数()x a x f =.∵其图象经过点()9,2,∴2239==a ,∴3=a . ∴()x f 的解析式为()x x f 3=. ∴()31311==--f . 例4. 函数()x a a a y 442+-=是指数函数,则a 的值是【 】 （A ）4 （B ）1或3 （C ）3 （D ）1解:由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧≠>=+-101442a a a a ,解之得:3=a .∴x y 3=.选择【 C 】.例5. 若函数()xa y 12-=（x 是自变量）是指数函数,则a 的取值范围是_________.解:∵函数()xa y 12-=是指数函数∴⎩⎨⎧≠->-112012a a ,解之得:21>a 且1≠a .∴a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>121a a a 且.例6. 若函数()xa a y 32-=是指数函数,求实数a 的取值范围.解:∵函数()xa a y 32-=是指数函数∴⎩⎨⎧≠->-130322a a a a ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧±≠<>213303a a a 或. ∴实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧±≠<>213303a a a a 且或.知识点二 指数函数的图象和性质一般地,指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象和性质如下表所示:指数函数函数值的特点:（1）当10<<a 时,若0<x ,则恒有1>y ;若0>x ,则恒有10<<y ; （2）当1>a 时,若0<x ,则恒有10<<y ;若0>x ,则恒有1>y . 1. 指数函数图象的画法对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）,当0=x 时,1=y ;当1=x 时,a y =;当1-=x时,a y 1=.所以指数函数的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1.在画指数函数图象的草图时,应抓住以上三个关键点作图.（1）由于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象经过点()a ,1,所以指数函数的图象与直线1=x 的交点的纵坐标等于函数的底数.交点的位置越高,底数a 就越大. （2）由于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛-a 1,1,所以指数函数的图象与直线1-=x 的交点的纵坐标等于底数的倒数.交点的位置越高,a1越大,底数就越小. 2. 函数xa y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1（0>a 且1≠a ）的图象的关系在同一平面直角坐标系中,函数xa y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1（0>a 且1≠a ）的图象关于y 轴对称.即两个指数函数底数互为倒数,图象关于y 轴对称. 如下图所示,指数函数x y 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于y 轴对称.（1）指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y -=（0>a 且1≠a ）的图象关于x 轴对称.如上右图所示,指数函数xy 2=与函数xy 2-=的图象关于x 轴对称.（2）指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y --=（0>a 且1≠a ）（即xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1）的图象关于原点对称（成中心对称）.如下图所示,指数函数x y 2=与函数xy --=2（即xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21）的图象关于原点对称.3.与指数函数有关的恒过定点问题由于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象恒过定点()1,0,因此我们讨论与指数函数有关的函数的图象过定点的问题时,只需令指数等于0,解出相应的y x ,,即为定点坐标.例7. 函数()531-=-x a x f （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点_________. 解:令01=-x ,则1=x ,2513-=-⨯=y .∴函数()531-=-x a x f （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点()2,1-.例8. 函数1-=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点P ,则点P 的坐标为【 】 （A ）()1,0 （B ）()1,1 （C ）()1,1- （D ）()0,1 解:令01=-x ,则1=x ,10==a y . ∴定点P 的坐标为()1,1.选择【 B 】.例9. 函数1+=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过的定点坐标为_________. 解:令01=+x ,则1-=x ,10==a y .∴函数1+=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点()1,1-.例10. 函数33+=-x a y （1,0≠>a a 且）的图象过定点_________.解:令03=-x ,则3=x ,43130=+=+=a y .∴函数33+=-x a y （1,0≠>a a 且）的图象过定点()4,3.例11. 如果指数函数()()xa x f 1-=是R 上的减函数,那么a 的取值范围是【 】（A ）2<a （B ）2>a （C ）21<<a （D ）10<<a分析 对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）,当10<<a 时,函数的图象从左到右是下降的,函数为R 上的减函数.解:∵函数()()xa x f 1-=是R 上的减函数∴110<-<a ,解之得:21<<a . ∴a 的取值范围是()2,1.选择【 C 】.例12. 已知集合{}3<=x x A ,{}42>=x x B ,则=B A __________. 分析:指数函数x y 2=为R 上的增函数. 解:42>x ,222>x∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴2>x ,∴{}2>=x x B ∴{}32<<=x x B A .例13. 解不等式22112>⎪⎭⎫ ⎝⎛-x .解:()22121>--x ,2221>-x∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴121>-x ,解之得:0<x . ∴原不等式的解集为()0,∞-. 例14. 不等式422<-xx 的解集为__________.解:2222<-xx∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴22<-x x ,解之得:21<<-x . ∵原不等式的解集为()2,1-.4.指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的底数a 对函数图象的影响 底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”:（1）当1>a 时,指数函数的图象是上升的,函数是R 上的增函数.底数越大,函数图象在y 轴右侧部分越接近于y 轴,即图象越陡,说明函数值增长得越快;（2）当10<<a 时,指数函数的图象是下降的,函数为R 上的减函数.底数越小,函数图象在y 轴左侧部分越接近于y 轴，即函数图象越陡,说明函数值减小得越快.根据上面的介绍,在上图中,各个指数函数的底数之间的大小关系为:01>>>>>>>f e d c b a .前面已经提到,因为指数函数x a y =（0>a ,且1≠a ）的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1,所以直线1=x 与指数函数图象的交点即为点()a ,1,交点的纵坐标等于指数函数的底数,故底数越大,交点的位置越高.于是有下面的结论:结论 底数a 的大小决定了指数函数图象相对位置的高低:不论是1>a 还是10<<a ,在第一象限内底数越大,函数图象越靠上.简记为:在y 轴右侧,底大图高.另外,直线1-=x 与指数函数图象的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1（即()1,1--a ）,交点的纵坐标等于底数的倒数,故底数越小,倒数越大,交点的位置越高.简记为:在y 轴左侧,底大图低.5.指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）与xb y =（0>b 且1≠b ）的图象特点（1）若1>>b a ,则当0<x 时,总有10<<<xxb a ;当0=x 时,总有1==xxb a ;当0>x 时,总有1>>x x b a ;（2）若10<<<a b ,则当0<x 时,总有1>>xxa b ;当0=x 时,总有1==xxb a ;当0>x 时,总有10<<<x x a b .综上所述,当0>x ,0>>b a ,且1≠a ,1≠b 时,总有xx b a >;当0<x ,0>>b a ,且1≠a ,1≠b 时,总有xx b a <.6. 指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象和性质再说明 指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的定义域是R ,值域是()+∞,0.图象:（1）若1>a ,当-∞→x 时,0→y ,即x 的值越小,函数的图象越接近于x 轴,但不相交; （2）若10<<a ,当+∞→x 时,0→y .即x 的值越大,函数的图象越接近于x 轴,但不相交.因此,x 轴（即直线0=y ）是指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象的一条渐近线. 性质:（1）若1>a ,则当0>x 时,总有1>y ,即函数图象y 轴右侧的部分在直线1=y 的上方;当0<x 时,总有10<<y ,即函数图象y 轴左侧的部分在直线1=y 和x 轴之间. （2）若10<<a ,则当0>x 时,总有10<<y ,即函数图象y 轴右侧的部分在直线1=y 和x 轴之间;当0<x 时,总有1>y ,即函数图象y 轴左侧的部分在直线1=y 的上方.例15. 设0>x ,且x x a b <<1,则【 】（A ）10<<<a b （B ）10<<<b a （C ）a b <<1 （D ）b a <<1 解法一:∵0>x ,且x x a b <<1∴指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）和x b y =（0>b 且1≠b ）在y 轴右侧的图象f x () =12(都在直线1=y 的上方,它们的的图象是上升的,∴1>a ,1>b∵在y 轴右侧,指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象在x b y =（0>b 且1≠b ）的图象的上方∴根据第一象限“底大图上”,有b a >. ∴1>>b a .选择【 C 】.解法二:∵x x a b <<1,∴x x a a b b <<00, ∵0>x ,∴1,1>>a b . ∵x x a b <,0>x a ,0>x∴1<⎪⎭⎫⎝⎛=xx x a b a b ,∴10<<a b ,∴b a >.∴1>>b a .例16. 已知实数b a ,满足ba ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121,给出下面的五种关系,则其中可能成立的序号为__________.①b a <<0; ②a b <<0; ③0<<a b ; ④0<<b a ; ⑤0==a b . 分析:采用数形结合的方法解决本题:在同一平面直角坐标系中分别画出指数函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21和xy ⎪⎭⎫⎝⎛=31的草图,在画图时要注意y 轴左侧“底小图高”和y 轴右侧“底大图高”,还有指数函数的图象都经过定点()1,0.解:如下图所示,在同一平面直角坐标系中分别画出函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21和xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的图象.为便于观察并发现问题,设m ba=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121.当0<x 时,有0<<b a ; 当0>x 时,有a b <<0;当0=x 时,有0==b a ,此时1=m . ∴可能成立的序号为②④⑤.例17. 设3132⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,3231⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ,3131⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ,则c b a ,,的大小关系是【 】 （A ）b c a >> （B ）c b a >> （C ）b a c >> （D ）a c b >>分析:（1）对于同底数幂比较大小,则可以利用指数函数的单调性比较.如本题中b 与c 的大小比较;（2）对于非同底数幂比较大小,则要借助于中间量或借助于指数函数的图象比较大小.如本题中a 与c 的大小比较.本题知识储备（1）对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）,当10<<a 时,函数在R 上为减函数,即y 随x 的增大而减小.（2）对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）与xb y =（0>b 且1≠b ）,若b a >,则当0<x 时,xxb a <;当0>x 时,xxb a >.解:∵指数函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31在R 上为减函数∴31323131⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛,即b c >. ∵3132>,∴31313132⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛,即c a >. ∴b c a >>,选择【 A 】.另外,也可以这样比较a 与c 的大小:∵12231323132031313131=>=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ca ,∴c a >. 例18. 设6.06.0=a ,5.16.0=b ,6.05.1=c ,则c b a ,,的大小关系是__________.解:∵指数函数xxy ⎪⎭⎫⎝⎛==536.0在R 上为减函数∴6.05.16.06.0<,即a b <. ∵16.06.006.0=<,15.15.106.0=>∴6.06.05.16.0<,即c a <. ∴c a b <<.另外,根据: 对于指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）与x b y =（0>b 且1≠b ）,若b a >,则当0<x 时,x x b a <;当0>x 时,xx b a >.可直接得到c a <.例19. 设9.014=y ,61.028=y ,5.1321-⎪⎭⎫⎝⎛=y ,则【 】（A ）321y y y >> （B ）312y y y >> （C ）231y y y >> （D ）123y y y >>分析:三个幂是不同底数的幂,但每个幂根据底数与2的关系都可以化为以2为底的幂,最后借助于指数函数的单调性即可得到三者之间的大小关系. 解:∵9.014=y ,61.028=y ,5.1321-⎪⎭⎫ ⎝⎛=y∴()8.19.02122==y ,()83.161.03222==y ,()5.15.11322==--y .∵指数函数x y 2=在R 上为增函数∴83.18.15.1222<<,即61.09.05.18421<<⎪⎭⎫⎝⎛-∴312y y y >>.选择【 B 】.例20. 设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab ,那么【 】（A ）a b a b a a << （B ）b a a a b a << （C ）a a b b a a << （D ）a a b a b a <<解:∵1212121<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<a b ,∴0121212121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛a b . ∵指数函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21为R 上的减函数∴10<<<b a .在同一平面直角坐标系中分别画出函数x a y =与x b y =的图象如下页图所示.x x由图象可得:a a b b a a <<.选择【 C 】.知识点三 指数函数的定义域和值域 1 定义域（1）指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的定义域为R . （2）函数()x f ay =（0>a 且1≠a ）的定义域与函数()x f 的定义域相同.（3）函数()xa f y =的定义域与函数()x f 的定义域不一定相同.例如,函数()x x f =的定义域为[)+∞,0,而函数x a y =的定义域为R .注意:求指数型复合函数的定义域时,先观察函数是()xa f y =型还是()x f ay =型.例21. 函数()3121++-=x x f x 的定义域为【 】（A ）(]0,3- （B ）(]1,3-（C ）()(]0,33,--∞- （D ）()(]1,33,--∞-解:由题意可得:⎩⎨⎧>+≥-03021x x,解之得:x <-3≤0.∴函数()x f 的定义域为(]0,3-.选择【 A 】. 例22. 求下列函数的定义域:（1）xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211; （2）153-=x y .解:由题意可知:x⎪⎭⎫ ⎝⎛-211≥0,∴x⎪⎭⎫ ⎝⎛21≤1021⎪⎭⎫ ⎝⎛=,∴x ≥0.∴该函数的定义域为[)+∞,0;（2）由题意可知:15-x ≥0,解之得:x ≥51.∴该函数的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51.例23. 函数()2311-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x f x的定义域为__________. 解:由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥⎪⎭⎫⎝⎛-020311x x,解之得:x ≥0且2≠x .∴函数()x f 的定义域为[)()+∞,22,0 . 例24. 求函数()423212-⨯-=xxx f 的定义域.解:由题意可得:042322>-⨯-x x∴()()04212>-+x x ,解之得:12-<x （舍去）,42>x . ∵函数x y 2=为R 上的增函数,2242=>x ,∴2>x . ∴函数()x f 的定义域为()+∞,2.2 值域（1）指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的值域为()+∞,0.（2）求形如()x f ay =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数ta y =的单调性,即可求出函数()x f a y =的值域.（3）求形如()xa f y =的函数的值域时,转化为求()+∞∈=,0xat 时,函数()t f y =的值域.例25. 求函数1241--=+x x y 的值域. 解:()122212421-⨯-=--=+x x x x y .设x t 2=,则0>t ,∴()211222--=--=t t t y .∵()+∞∈,0t∴()21min -==f y ,无最大值.∴函数1241--=+x x y 的值域为[)+∞-,2. 例26. 求函数1241-+=+x x y 的值域. 解:()122212421-⨯+=-+=+x x x x y .设x t 2=,则0>t ,∴()211222-+=-+=t t t y .∴函数在()+∞∈,0t 上为增函数 ∴函数1241-+=+x x y 的值域为()+∞-,1. 注意例25和例26的区别.例27. 已知函数()1-=x a x f （x ≥0）的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛21,2,其中0>a ,且1≠a .（1）求a 的值;（2）求函数()x f 的值域.分析:求指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的解析式,只需要其图象上一个点的坐标即可.解:（1）把⎪⎭⎫⎝⎛21,2代入()1-=x a x f 得:21=a ;（2）由（1）知()121-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f ,为R 上的减函数∵x ≥0,∴1-x ≥1-,∴()x f <0≤2211=⎪⎭⎫⎝⎛-.∴函数()x f 的值域为(]2,0.注意:指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象位于x 轴的上方,并且在一个方向上无限接近于x 轴,函数的值域为()+∞,0.本题易错结果为(]2,∞-.总结 求形如()x f ay =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数t a y =的单调性,即可求出函数()x f ay =的值域.例28. 若函数()1-=x a x f （0>a 且1≠a ）的定义域和值域都是[]2,0,求实数a 的值.分析:指数函数的单调性与底数和1的大小关系有关,若关系不明确,必要时要进行分类讨论. 解:由题意可知:当10<<a 时,函数()1-=x a x f 在[]2,0上为减函数∴⎩⎨⎧=-=-012120a a ,显然无解; 当1>a 时,函数()1-=x a x f 在[]2,0上为增函数∴⎩⎨⎧=-=-210120a a ,解之得:3=a （3-=a 舍去）. 综上所述,实数a 的值为3. 例29. 求下列函数的定义域和值域: （1）412-=x y ; （2）32221--⎪⎭⎫⎝⎛=x x y .本题知识点储备 （1）函数()x f ay =（0>a 且1≠a ）的定义域与函数()x f 的定义域相同.（2）求形如()x f ay =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数ta y =的单调性,即可求出函数()x f ay =的值域.解:（1）由题意可得:04≠-x ,解之得:4≠x . ∴函数412-=x y 的定义域为()()+∞∞-,44, .∵041≠-x ,∴122041=≠=-x y ,且0>y . ∴函数412-=x y 的值域为{}10≠>y y y 且;（2）函数32221--⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的定义域为R .∵()413222--=--x x x ≥4-∴32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ≤16214=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,且021322>⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x .∴函数32221--⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的值域为(]16,0.例30. 求下列函数的定义域和值域:（1）xy -⎪⎭⎫⎝⎛=32; （2）222x x y -=.解:（1）函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=32的定义域为R .∵x ≥0,∴x -≤0. ∴1320min=⎪⎭⎫⎝⎛=y ∴函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=32的值域为[)+∞,1;（2）函数222x x y -=的定义域为R . ∵()11222+--=-x x x ≤1∴()2211max ===f y ,且0>y . ∴函数222x x y -=的值域为(]2,0.例31. 如果函数122-+=x x a a y （0>a 且1≠a ）在[]1,1-上有最大值,且最大值为14,试求a 的值.分析:这是求()x a f y =型函数的定义域和值域.求形如()xaf y =的函数的值域时,转化为求()+∞∈=,0xat 时,函数()t f y =的值域.解:()121222-+=-+=x x x x a a a a y .设x a t =,则0>t ,∴()211222-+=-+=t t t y .当1>a 时,∵[]1,1-∈x ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t ,1.∵函数()212-+=t y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t ,1上为增函数∴()14122max =-+==a a a f y ,解之得:3=a （5-=a 不符合题意,舍去）;当10<<a 时,∵[]1,1-∈x ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t 1,∵函数()212-+=t y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t 1,上为增函数∴1412112max =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a f y ,解之得:31=a （51-=a 不符合题意,舍去）.综上所述,3=a 或31=a . 例32. 求函数12141+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy 的值域.解:12121121412+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxxxy 设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,则0>t ,∴4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y . ∴函数43212+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t y 在()+∞∈,0t 上为增函数.取0=t ,得1=y .∴函数12141+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的值域为()+∞,1.例33. 已知[]3,2-∈x ,求函数()12141+-=x x x f 的最值. 解:()1212112141121412+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=xxxxx x x f .设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,∵[]3,2-∈x ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,81t .∴4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,81t∴()134,4321max min ===⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y f y .例34. 若122+x ≤241-⎪⎭⎫ ⎝⎛x ,则函数x y 2=的值域是_________.解:∵122+x ≤241-⎪⎭⎫ ⎝⎛x ,∴122+x≤()x x 242222---=.∵函数x y 2=在R 上为增函数∴12+x ≤x 24-,解之得:3-≤x ≤1,即[]1,3-∈x .∴函数x y 2=在[]1,3-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,81.例35. ()1331+=+x x x f 的值域是【 】（A ）()+∞,3 （B ）()3,0 （C ）()2,0 （D ）()+∞,2解法一:()13331331+⋅=+=+x xx x x f 设x t 3=,则()+∞∈,0t ,()()133131313+-+=+-+=+=t t t t t t f . ∵()+∞∈,0t ,∴0133<+-<-t ,∴31330<+-+<t .∴()30<<t f ,即函数()1331+=+x x x f 的值域为()3,0.选择【 B 】.解法二:()xxx xx x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+⋅=+=+3113311313331331. ∵031>⎪⎭⎫ ⎝⎛x ,∴1311>⎪⎭⎫ ⎝⎛+x,∴331130<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<x,∴()()3,0∈x f .例36. 已知定义在R 上的偶函数()x f 满足:当x ≥0时,()x x a x f 22+=,()251=f . （1）求实数a 的值;（2）用定义法证明()x f 在()+∞,0上是增函数; （3）求函数()x f 在[]2,1-上的值域. 解:（1）∵当x ≥0时,()x x a x f 22+=,()251=f ∴2522=+a ,解之得:1=a ; （2）证明:由（1）可知:()xx x f 212+=. 任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则()()()()()212121212122112122221212221221221x x x x x x x x x x x x x x x f x f ++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x < ∴02,012,022212121>>-<-++x x x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<-. ∴()x f 在()+∞,0上是增函数;（3）∵函数()x f 为偶函数,且在[)+∞,0上为增函数 ∴()x f 在(]0,∞-上为减函数 ∴()()20min ==f x f .∵()252211=+=-f ,()4174142=+=f ,25417> ∴在区间[]2,1-上()()4172max ==f x f .∴函数()x f 在[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2.利用单调性法求最值的结论（1）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递增,在区间[]c b ,上单调递减,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最大值)()(max b f x f =.如下页图所示;（2）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递减,在区间[]c b ,上单调递增,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最小值)()(min b f x f =.如下图所示.f x ()max = f b ()f x ()min = f b ()第（3）问另解:∵函数()x f 为定义在R 上的偶函数 ∴()x f 在区间[]0,1-和[]1,0上的值域相同 ∴()x f 在[]2,1-上的值域即在[]2,0上的值域. ∵()x f 在[)+∞,0上为增函数 ∴()x f 在[]2,0上为增函数∴()()20min ==f x f ,()()4172max ==f x f . ∴函数()x f 在[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2.例37. 设函数()axx f -⎪⎭⎫⎝⎛=1021,a 是不为零的常数.（1）若()213=f ,求使()x f ≥4的x 的取值范围; （2）当[]2,1-∈x 时,()x f 的最大值是16,求a 的值.解:（1）∵()axx f -⎪⎭⎫⎝⎛=1021,()213=f ∴2121310=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a,∴1310=-a ,解之得:3=a . ∴()()103310122---==x xx f .∵()x f ≥4,∴1032-x ≥22,∴103-x ≥2,解之得:x ≥4. ∴使()x f ≥4的x 的取值范围是[)+∞,4;（2）()()10101102221----==⎪⎭⎫⎝⎛=ax axaxx f .当0>a 时,()x f 在[]2,1-上为增函数∴()()4102max 21622====-a f x f ,∴4102=-a ,解之得:7=a ; 当0<a 时,()x f 在[]2,1-上为减函数∴()()410max 21621===-=--a f x f ,∴410=--a ,解之得:14-=a . 综上所述,7=a 或14-=a .例38. 已知函数()ax a x f -=3（0>a 且1≠a ）. （1）当2=a 时,()4<x f ,求x 的取值范围;（2）若()x f 在[]1,0上的最小值大于1,求a 的取值范围. 解:（1）当2=a 时,()x ax a x f 2332--==.∵()4<x f ,∴223242=<-x ,∴223<-x ,解之得:21>x . ∴x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21;（2）∵0>a 且1≠a∴函数ax y -=3在[]1,0上为减函数. 当1>a 时,()x f 在[]1,0上为减函数∴()()03min 11a a f x f a =>==-,∴03>-a ,解之得:3<a . ∴31<<a ;当10<<a 时,()x f 在[]1,0上为增函数 ∴()()103min >==a f x f ,显然不成立. 综上所述,a 的取值范围是()3,1.例39. 已知函数()1+=-a x a x f 的图象（0>a 且1≠a ）过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.（1）求实数a 的值;（2）若函数()121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x g ,求函数()x g 的解析式;（3）在（2）的条件下,若函数()()()12--=x mg x g x F ,求()x F 在[]0,1-∈x 上的最小值()m h .本题知识储备 求形如()xaf y =的函数的值域时,转化为求()+∞∈=,0xat 时,函数()t f y =的值域.解:（1）∵函数()1+=-a x a x f 的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21∴2121=+-a a,解之得:21=a . ∴实数a 的值为21; （2）由（1）知:()12121+⎪⎭⎫⎝⎛=-x x f∵()121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x g∴()xx x g ⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=-+2111212121;（3）∵()()()12--=x mg x g x F∴()xx x x m m x F ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-212212121212. 设xt ⎪⎭⎫⎝⎛=21,∵[]0,1-∈x ,∴[]2,1∈t∴()()2222m m t mt t t F --=-=,[]2,1∈t .①当2>m 时,()t F 在[]2,1∈t 上为减函数∴()()()442222min +-=--==m m m F t F ,∴()44+-=m m h ;②当1≤m ≤2时,()()2min m m F t F -==,∴()2m m h -=; ③当1<m 时,()t F 在[]2,1∈t 上为增函数∴()()()121122+-=--==m m m F t F ,∴()12+-=m m h .综上所述,()⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤->+-=1,1221,2,442m m m m m m m h .例40. 已知函数()x a x f =,()m a x g x +=2,其中1,0,0≠>>a a m 且.当[]1,1-∈x 时,()x f y =的最大值与最小值之和为25. （1）求a 的值;（2）若1>a ,记函数()()()x mf x g x h 2-=,求当[]1,0∈x 时,()x h 的最小值()m H . 分析:（1）指数函数()x a x f =（10≠>a a 且）在其定义域内为单调函数,所以指数函数在给定闭区间上的最值在区间的端点处取得,故本问不用进行分类讨论. 解:（1）∵函数()x a x f =（10≠>a a 且）在[]1,1-上为单调函数 ∴由题意可知:()()2511=-+f f . ∴251=+a a ,解之得:2,2121==a a . ∴a 的值为21或2;（2）∵1>a ,∴2=a ,∴()()m x g x f x x +==22,2. ∵()()()x mf x g x h 2-=∴()()m m m m x h x x x x +⋅-=⋅-+=22222222.设x t 2=,∵[]1,0∈x ,∴∈t []2,1 ∴()()m m m t m mt t t h +--=+-=2222①当2>m 时,()t h 在[]2,1上为减函数 ∴()()432min +-==m h t h ,即()43+-=m m H ;②当1≤m ≤2时,()()m m m h t h +-==2min ,即()m m m H +-=2; ③当1<m 时,()t h 在[]2,1上为增函数 ∴()()11min +-==m h t h ,即()1+-=m m H .综上所述,()⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤+->+-=1,121,2,432m m m m m m m m H .例41. 已知函数()1242--⋅=x x a x f . （1）当1=a 时,解不等式()0>x f ; （2）当21=a ,∈x []2,0时,求()x f 的值域. 解:（1）当1=a 时,()()122212422--=--⋅=x x x x x f . 设x t 2=,则0>t ,()122--=t t t f .∵()0>x f ,∴0122>--t t ,解之得:1>t 或21-<t .∵0>t∴1>t ,∴0212=>x ,∴0>x . ∴不等式()0>x f 的解集为()+∞,0; （2）当21=a 时,()()1221242--=--=x x x x x f . 设xt 2=,∵∈x []2,0,∴∈t []4,1,()4521122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=t t t t f∵()t f 在[]4,1上为增函数∴()()()()114,11max min ==-==f t f f t f .∴函数()t f 的值域为[]11,1-,即函数()x f 在∈x []2,0上的值域为[]11,1-. 例42. 已知函数()x x b a x f +=（其中b a ,为常数,10,10≠>≠>b b a a 且且）的图象经过点()6,1A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,1B .（1）求函数()x f 的解析式;（2）若b a >,函数()211+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx b a x g ,求函数()x g 在[]2,1-上的值域.解:（1）把()6,1A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,1B 分别代入()x x b a x f +=得:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+43116b a b a ,解之得:⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧==24b a . ∴函数()x f 的解析式为()x x x f 42+=; （2）若b a >,则2,4==b a∴()22141211+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx x x b a x g设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,∵∈x []2,1-,∴∈t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,41,()4721222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t t g . ∴()4721min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t g ,()()42max ==g t g .∴()t g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,41上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,47,即函数()x g 在[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,47.说明:方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+43116b a b a 可以这样求解:∵⎪⎩⎪⎨⎧=+=+43116b a b a ,∴⎩⎨⎧==+86ab b a .∴b a ,是方程0862=+-x x 的两个实数根（方程思想）.解之得:4,221==x x ,∴⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧==24b a .例43. 函数221341+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy ,∈x []2,2-的值域是__________.解:设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,∵∈x []2,2-,∴∈t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41,41232322-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y . ∴()64,4123max min ==-=⎪⎭⎫⎝⎛=f y f y∴函数41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y 在∈t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,41.∴函数221341+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y ,∈x []2,2-的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,41. 例44. 已知函数()ax xx f ++-=223（∈a R ）.（1）若()271=f ,求a 的值; （2）若()x f 有最大值9,求a 的值. 解:（1）∵()271=f∴3213273==++-a ,∴31=+a ,解之得:2=a ; （2）设()()11222++--=++-=a x a x x x g∴()()11max +==a g x g∴()()21max 3933max ====+a x g x f ,∴21=+a ,解之得:1=a .例45. 若函数()m x f x -=-3的最大值为2,则实数m 的值为【 】 （A ）1- （B ）2- （C ）3- （D ）4- 解:设()x x g -=3,则()x g <0≤130=,即函数()x g 的最大值为1. ∵函数()m x f x -=-3的最大值为2 ∴()2max =-m x g ,∴21=-m 解之得:1-=m .选择【 A 】.例46. 例45的第三种解法 以下几例为求()x a f y =型函数的值域()1331+=+x x x f 的值域是【 】（A ）()+∞,3 （B ）()3,0 （C ）()2,0 （D ）()+∞,2 解:设x t 3=,则0>t ,()13+==t t t f y . ∴03>-=yyt ,解之得:30<<y .选择【 B 】.例47. 函数x y --=328（x ≥0）的值域为__________.不等分析法和单调性法解:∵x ≥0,∴x -≤0,∴x -3≤3 ∴x -<320≤823=,∴8-≤023<--x .∴0≤8283<--x ,0≤8<y ,即函数x y --=328（x ≥0）的值域为[)8,0.注意: 不要漏掉023>-x这一范围.例48. 函数x y 416-=的值域是__________.解:由题意可知:x 40<≤16,∴16-≤04<-x ,∴0≤16416<-x . ∴0≤4416<-x ,0≤4<y . ∴函数x y 416-=的值域是[)4,0. 例49. 函数()xxx f 242-=的定义域是__________,值域是__________. 解:由题意可知:0242>-xx,∴024>-x ,解之得:2<x . ∴函数()x f 的定义域是()2,∞-.设x t 2=,则40<<t （2<x ）,()tt t t g -+-=-=4414. ∵40<<t ,∴04<-<-t ,∴440<-<t ,∴144>-t（可结合图象）∴0441>-+-t ,()0>t g ,∴()0>x f∴函数()x f 的值域为()+∞,0. 例50. 函数xx y +-=112的值域为__________.解:()xxx xx y ++-+++-+-===12112111222∵012≠+x ,∴1121-≠++-x ,∴21221121=≠-++-x ,即21≠y . ∵0>y ,∴该函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,2121,0 .例51. 函数()xx xx x f --+-=10101010的值域是【 】（A ）(][)+∞-∞-,11, （B ）()()+∞-∞-,11, （C ）[]1,1- （D ）()1,1-解:()11021110211011011010110101101010101022222+-=+-+=+-=+-=+-=--x x x x x xx x x x x xxx f . ∵0102>x ,∴11102>+x ,∴2110202<+<x ,∴0110222<+-<-x∴11102112<+-<-x ,即()11<<-x f .∴函数()xx xx x f --+-=10101010的值域是()1,1-.选择【 D 】. 解法二:()11011010110101101010101022+-=+-=+-=--x x xxx x x x x x x f 设t x =210,则0>t ,11+-=t t y∴011>---=y y t ,∴011<-+y y ,解之得:11<<-y . ∴函数()x f 的值域为()1,1-. 例52. 求下列函数的值域:（1）11+-=x x a a y （0>a ,且1≠a ）;（2）124+-=x x y .解:（1）12112111+-=+-+=+-=xx x x x a a a a a y . ∵0>x a ,∴11>+x a ,∴2120<+<x a ,∴0122<+-<-x a ∴11211<+-<-x a ,即11<<-y . ∴该函数的值域为()1,1-.解法二:设x a t =,则0>t ,11+-=t t y ∴011>---=y y t ,∴011<-+y y ,解之得:11<<-y . ∴该函数的值域为()1,1-. （2）()1221242+-=+-=x x x x y设xt 2=,则0>t ,4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y∵()+∞∈,0t ,∴4321min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y .∴函数124+-=x x y 的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43.例53. 已知函数()b a x f x +=（10≠>a a 且）的定义域和值域都是[]0,1-,则=+b a _________.解:当10<<a 时,函数()x f 在[]0,1-上为减函数∴()()⎩⎨⎧-==-1001f f ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+1101b b a ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-==221b a .∴=+b a 23-; 当1>a 时,函数()x f 在[]0,1-上为增函数∴()()⎩⎨⎧=-=-0011f f ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0111b b a ,显然方程组无解.综上所述,=+b a 23-. 例54. 函数124--=x y 的值域为【 】 （A ）[)+∞,1 （B ）()1,1- （C ）()+∞-,1 （D ）[)1,1-解:由题意可知:x 20<≤4,∴4-≤02<-x ,∴0≤424<-x ∴0≤224<-x ,∴1-≤1124<--x ,即1-≤1<y . ∴函数124--=x y 的值域为[)1,1-,选择【 D 】. 例55. 已知函数()13-=-x x f ,则()x f 的【 】 （A ）定义域是()+∞,0,值域是R （B ）定义域是R ,值域是()+∞,0 （C ）定义域是R ,值域是()+∞-,1 （D ）定义域、值域都是R 解:函数()13-=-x x f 的定义域为R . ∵03>-x ,∴13->-x ,即()1->x f∴函数()13-=-x x f 的值域为()+∞-,1.选择【 C 】. 例56. 下列各函数中,值域为()+∞,0的是【 】 （A ）22x y -= （B ）x y 21-= （C ）12++=x x y （D ）113+=x y解:（A ）函数22x y -=的定义域为R ,值域为()+∞,0,故（A ）正确; （B ）∵x 20<≤1,∴1-≤02<-x ,∴0≤121<-x ,∴0≤121<-x . ∴函数x y 21-=的值域为[)1,0;（C ）∵4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=x x x y ≥43 ∴函数12++=x x y 的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43;（D ）对于函数113+=x y ,因为011≠+x ,所以130=≠y ,且0>y ,故该函数的值域为()()+∞,11,0 .例57. 关于x 的方程0131=--⎪⎭⎫⎝⎛a x有解,则a 的取值范围是__________.解:∵0131=--⎪⎭⎫ ⎝⎛a x,∴131+=⎪⎭⎫ ⎝⎛a x∵x ≥0,∴x⎪⎭⎫ ⎝⎛<310≤1∵方程0131=--⎪⎭⎫⎝⎛a x有解∴10+<a ≤1,解之得:a <-1≤0. ∴a 的取值范围是(]0,1-.例58. 关于x 的方程a a x-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛52353有正实数根,则实数a 的取值范围是_________. 分析:该方程有正实数根指的是0>x .解:∵方程a a x-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛52353有正实数根 ∴0>x ,∴1535300=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<x,∴15230<-+<a a . 解之得:4332<<-a ,即实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-43,32. 例59. 已知方程013329=-+⋅-k x x 有两个实数解,求实数k 的取值范围. 分析:设x t 3=,则0>t ,方程可转化为关于t 的一元二次方程,且方程有两个正实数根.结论 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个正实数根的条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥∆0002121ac x x a b x x 解:设x t 3=,则0>t ,∵013329=-+⋅-k x x ,∴01322=-+-k t t由题意可知:方程01322=-+-k t t 有两个正实数根∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>-=⋅>=+≥---013020134221212k t t t t k ,解之得:k <31≤32.∴实数k 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛32,31.例60. 已知函数122-+=x x a a y （0>a 且1≠a ）,当x ≥0时,求该函数的值域. 解:设x a t =,则0>t ,()211222-+=-+=t t t y .当1>a 时,∵x ≥0,∴t ≥1∵函数()212-+=t y 在[)+∞,1上为增函数∴()21min ==f y ,∴函数的值域为[)+∞,2; 当10<<a 时,∵x ≥0,∴t <0≤1∴()y f <0≤()1f ,∴y <-1≤2,即函数的值域为(]2,1-.综上所述,当1>a 时,函数的值域为[)+∞,2;当10<<a 时,函数的值域为(]2,1-.知识点四 指数函数的单调性及其应用 1 单调性当1>a 时,函数xa y =在R 上为增函数;当10<<a 时,函数xa y =在R 上为减函数.利用这一性质,可以判断复合函数()x f a y =的单调性,判断的依据是:同增异减.如下表:注意 讨论形如()x f ay =的函数的单调性,首先要确定函数()x f 的单调性,然后结合底数a 的范围来确定函数()x f a y =的单调性.确定的依据是:同增异减.2 单调性的应用 （1）应用于比较大小类型一 比较同底数不同指数的幂的大小,利用指数函数的单调性进行比较;类型二 比较不同底数同指数的幂的大小,借助于函数的图象比较大小,或者借助于口诀:在y 轴右侧（即0>x ）底大图高（函数值大）,在y 轴左侧,底小图高;类型三 比较不同底数不同指数的幂的大小,利用中间量（如0和1）并结合函数的单调性比较大小.（2）应用于解简单不等式 不等式可化为()()x g x f a a<的形式,利用指数函数的单调性,将不等式转化为()()x g x f <（当1>a 时）或()()x g x f >（当10<<a 时）,然后进行求解.例61. 求函数x y -=2的单调性.解:设x t -=,则函数t 在(]0,∞-上为增函数,在[)+∞,0上为减函数 ∴函数x y -=2在(]0,∞-上为增函数,在[)+∞,0上为减函数.例62. 求函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=21的单调性.解:设x t -=,则函数t 在(]0,∞-上为增函数,在[)+∞,0上为减函数∴函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=21在(]0,∞-上为减函数,在[)+∞,0上为增函数.例63. 函数xx y 2221+-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间是【 】（A ）[)+∞-,1 （B ）(]1,-∞- （C ）[)+∞,1 （D ）(]1,∞-解:设()11222+--=+-=x x x t ,则函数t 在(]1,∞-上为增函数,在[)+∞,1上为减函数∵指数函数ty ⎪⎭⎫⎝⎛=21在R 上为减函数∴函数xx y 2221+-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间为[)+∞,1.选择【 C 】.例64. 求函数()2222++-=x xx f 的单调区间.解:设()312222+--=++-=x x x t ,则()t y x f 2==.∵函数t 在(]1,∞-上为增函数,在[)+∞,1上为减函数,函数t y 2=在R 上为增函数 ∴函数()x f 的单调递增区间为(]1,∞-,单调递减区间为[)+∞,1. 例65. 求函数32212+-=+x x y 的单调区间. 解:()3222322212+⋅-=+-=+x x x x y设x t 2=,则0>t ,且函数x t 2=在R 上为增函数 ∴()213222+-=+-=t t t y∴函数()212+-=t y 在∈t (]1,0上为减函数,此时(]0,∞-∈x ;在[)+∞∈,1t 上为增函数,此时[)+∞∈,0x .∴函数32212+-=+x x y 的单调递增区间为[)+∞,0,单调递减区间为(]0,∞-.例66. 求函数1121+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调区间.解:设12112111+-=+-+=+-=x x x x x t ,()()+∞--∞-∈,11, x ,则ty ⎪⎭⎫⎝⎛=21,且1≠t .∵函数121+-=x t 在()1,-∞-和()+∞-,1上均为增函数 函数ty ⎪⎭⎫⎝⎛=21在()()+∞∞-∈,11, t 上为减函数∴函数1121+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调递减区间为()1,-∞-和()+∞-,1,无单调递增区间.1例67. 函数()()32212---=x x x f 的单调增区间为__________.解:∵221<<,∴1120<-< ∴函数()()32212---=x x x f 的单调增区间即函数322--=x x t 的单调减区间.∵()413222--=--=x x x t∴函数t 的单调减区间为(]1,∞- ∴函数()()32212---=x x x f 的单调增区间为(]1,∞-.例68. 若函数axxy +-=22在()1,∞-内单调递增,则a 的取值范围是__________.解:设42222a a x ax x t +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=∵函数axxy +-=22在()1,∞-内单调递增∴函数4222a a x t +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=在()1,∞-内单调递增∴2a≥1,解之得:a ≥2,即a 的取值范围是[)+∞,2. 例69. 若函数12-=x y 在(]m ,∞-上单调递减,则m 的取值范围是__________. 解法一:设x t 2=,则0>t ,1-=t y . ∵函数1-=t y 在(]1,0∈t 上为减函数 ∴x 20<≤021=,解之得:x ≤0.∴函数12-=x y 在(]0,∞-∈x 上为减函数. ∵函数12-=x y 在(]m ,∞-上单调递减 ∴m ≤0,即m 的取值范围是(]0,∞-. 解法二:函数12-=x y 的图象大致如图所示. 由图象可知:函数12-=x y 的单调递减区间 为(]0,∞-,所以(]0,∞-∈m .。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质
指数函数是一种特殊函数，其定义域为实数集合R，值域也是实数集合R。
指
数函数的图像是一条弧线，朝右上方抛物线式延伸，底点在坐标原点处。
其图像如下所示：
指数函数具有以下性质：
一、指数函数是定义在实数集合上的单值函数，其图象是一条朝右上方延伸的
弧线，且在坐标原点处有底点，函数值随x增大而增大，函数图像上每一点到底点的距离都不变；
二、指数函数对任何正实数都有定义，指数函数f(x)=a^x（a为正实数）的图
谱具有单调性，当a的值不同时，指数函数的函数图象具有相似的特点；
三、指数函数具有不变性，不论x的取值范围如何，函数的函数图象仍不改变；
四、指数函数的切线斜率随着x的增大而增大；
五、指数函数的斜率在同一条线上增加或减少；
六、不论指数函数是升幂函数还是降幂函数，其图象都是从坐标原点开始，一
条朝右上方延伸的弧线。
以上就是指数函数的图像与性质，根据以上描述，指数函数的函数图像与以及
其性质可以得出：指数函数是从坐标原点开始，一条朝右上方延伸的弧线，有着单调性，不变性，切线斜率随着x的增大而增大等性质。
指数函数的定义和性质
指数函数的定义和性质在数学中，指数函数是一种基本的函数之一。
它的应用非常广泛，包括在金融、科学、工程和计算机科学等领域。
指数函数的定义和性质是数学学科中非常重要的一部分，本文将着重介绍指数函数的定义和性质，以帮助读者更好地理解这一重要概念。
一、指数函数的定义指数函数的定义非常简单，它是以自然常数e为底数的幂函数。
即：f(x) = e^x其中，e是自然常数，它的值约为2.71828。
根据这个定义，我们可以得到一些指数函数的基本性质。
二、指数函数的性质1. 增长速度指数函数是一个无限增长的函数。
随着x的增大，e的x次方也会越来越大。
这意味着，指数函数的增长速度非常快，远远快于其他函数，比如多项式函数和三角函数。
2. 渐近线指数函数的图像会与y = 0轴有一个渐近线。
这条线是指数函数的图像在x轴右侧逼近y = 0而趋近于它时所形成的。
3. 对称轴指数函数的对称轴为y = 0轴。
这是因为当x为正数时，e的x 次方和e的-x次方是关于y = 0轴对称的，即f(x) = f(-x)。
4. 交点指数函数和y = 1直线有一个交点，这个交点的坐标为(0,1)。
这个交点是由于e的0次方为1引起的。
5. 常函数关系指数函数和指数函数之间还存在常函数的关系。
换句话说，如果f(x) = e^x，那么g(x) = ln(x)就是f(x)的反函数。
这意味着，指数函数和对数函数是相互关联的。
6. 求导指数函数的求导结果还是自身。
换句话说，如果f(x) = e^x，那么f'(x) = e^x。
这个性质在微积分中是非常有用的。
三、应用指数函数有很多应用，包括用于描述人口增长率、财务计算、化学反应速率等方面。
这些应用需要对指数函数的性质有深入的理解，并能够使用指数函数进行数学建模。
例如，在人口学中，指数函数可以描述人口的增长率。
假设某个国家的人口现在为P0，每年的增长率为r，那么在t年后，该国的人口大小为：P(t) = P0 * e^(rt)这个方程式体现了指数函数的性质，即随着时间的增加，该国的人口会迅速增加。
指数函数与对数函数的性质
指数函数与对数函数的性质指数函数与对数函数是高中数学中重要的数学函数，它们在数学及其应用中具有重要的性质和特点。
本文将就指数函数与对数函数的性质进行探讨和分析。
1. 指数函数的性质：指数函数的定义域为实数集，具体形式为f(x) = a^x，其中a是常数且大于0且不等于1。
指数函数的主要性质如下：1.1. 增长性：当a>1时，随着自变量x的增大，指数函数将呈现出逐渐增大的趋势。
即f(x)在整个定义域上是递增的。
这是因为指数的幂次增大后，函数值会迅速增大。
1.2. 函数值：指数函数f(x)在x=0时取值为1，当x>0时，函数值大于1；当x<0时，函数值大于0且小于于1。
函数曲线在经过点(0,1)后，将呈现出逐渐增长的趋势。
1.3.性质的逆运算：指数函数与对数函数是互为反函数的，即指数函数f(x) = a^x与对数函数g(x) = loga(x)满足f(g(x)) = g(f(x)) = x。
其中，a为底数。
这一特性可以通过图像上的对称性得到证明。
2. 对数函数的性质：对数函数的定义域为正实数集，具体形式为f(x) = loga(x)，其中a 是常数且大于0且不等于1。
对数函数的主要性质如下：2.1. 增长性：当0<a<1时，对数函数随着自变量x的增大而递减。
当a>1时，对数函数随着自变量x的增大而递增。
这是因为对数函数是底数为a的指数函数的反函数，其性质与指数函数相反。
2.2. 函数值：对数函数f(x)在x=1时取值为0，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。
随着x的增大或减小时，函数值呈现出指数级的变化。
2.3. 对数函数的基本性质：①对数函数f(x) = loga(x)与指数函数f(x) = a^x互为反函数；②特殊对数函数log10(x)可以简写为log(x)，即以10为底的对数函数为常用对数函数；③对数函数满足对数运算的基本性质，如loga(1/x) = -loga(x)，loga(x*y) = loga(x) + loga(y)等。
指数函数的图像及性质
①若a=0，则当x>0时， =0； a x 当X 0时，a 无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使 x a 无意义. 1 x 如 y (2) 在x 时就没有意义 。
2
x
③若a=1，则对于任何x R，
a =1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了便于研究，规定：a>0 ,且a≠1
x
0
0 x
x
y
y
y ax
(a 1)
y ax
(0 a 1)
1
1
0
x
0
x
指数函数
的图像及性质
a >1
图 象
y=1
当 x > 0 时，y > 1. 当 x < 0 时，. 0< y < 1
0<a<1
y
(a >1) (0< a<1) (0,1)
y
y=1 x
(0,1)
0
x
0 当 x < 0 时，y > 1；
指数函数
复习回顾
正整数指数函数
y a (a 0且a 1, x N )
x
底为常数
指数为自变量
形如 y a x a 0 , 且a 1 )的函数叫做指数函数 ( 幂为函数 其中 x为自变量，定义域为R
判断一个函数是否为指数函数的依据是: 是否是形如 y a (a 0, 且a 1) 的函数,
x
解：（3）所求函数定义域为R
可得 2 x 由 2 0
x
1 1
所以，所求函数值域为{y|y>1}
பைடு நூலகம்
小结:
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课题 : 指数函数及其性质
一、教学设计思路：
1、函数及其图像在高中数学中占有重要的位置，如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图像语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望和好奇心。
我们知道：函数的表示法有3种：列表、图像、解析法，以往函数的学习大多只关注图像的作用，这其实只借助了图像的直观性。
只是从一个角度看函数是片面的。
本节课，力图让学生从不同角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法，以便迁移到其他函数的研究中去。
2、本节课我努力做到：①在课堂活动中通过同伴合作，自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式；②在教学过程中努力做到生生对话，师生对话，且在对话之后重视体会、总结、反思、力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握学习研究数学的方法；
③通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
二、教案
三、教学点评：。