九年级期末试卷培优测试卷

九年级期末试卷培优测试卷
一、选择题
1．二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（）
A．（3，0）B．（﹣3，﹣9）C．（3，﹣9）D．（0，﹣6）2．如图，△ABC的顶点在网格的格点上，则tanA的值为（）
A．1
2
B．
10
C．
3
D．
10
3．已知△ABC，以AB为直径作⊙O，∠C＝88°，则点C在（）A．⊙O上B．⊙O外C．⊙O内
4．在△ABC中，若|sinA﹣1
2
|+（
2﹣cosB）2
=0，则∠C的度数是（）
A．45°B．75°C．105°D．120°
5．△ABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点．
A．三条边垂直平分线B．三条中线
C．三条角平分线D．三条高
6．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A．B．C．D．
7．在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是（）
A．1
4
B．
3
4
C．
1
5
D．
3
5
8．已知一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5
9．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩
为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ） A ．平均分不变，方差变大 B ．平均分不变，方差变小 C ．平均分和方差都不变 D ．平均分和方差都改变
10．cos60︒的值等于（ ） A ．
12
B ．
22
C ．
32
D ．
33
11．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（ ） A ．12×108
B ．1.2×108
C ．1.2×109
D ．0.12×109
12．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）
A ．12
a -
B ．1
(1)2
a -
+ C ．1
(1)2
a -
- D ．1
(3)2
a -
+ 二、填空题
13．平面直角坐标系内的三个点A （1，－3）、B （0，－3）、C （2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
14．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____．
15．如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：AB=1：3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为______．
16．已知扇形半径为5cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm ．
17．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为______．
18．如图是二次函数2
y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++>的
解集是_______.
19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D 是以点A 为圆心2为半径的圆上一点，连接BD ，M 为BD 的中点，则线段CM 长度的最小值为__________．
20．如图，已知正方ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为13+，则这个正方形的边长为_____________
21．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半
径是______.
22．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为2125
1233
y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
23．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a ＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为_____．
24．如图，AE 、BE 是△ABC 的两个内角的平分线，过点A 作AD ⊥AE ．交BE 的延长线于点D ．若AD ＝AB ，BE ：ED ＝1：2，则cos ∠ABC ＝_____．
三、解答题
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CE＝16
3
，AB＝6，求⊙O的半径．
26．从﹣1，﹣3，2，4四个数字中任取一个，作为点的横坐标，不放回，再从中取一个数作为点的纵坐标，组成一个点的坐标．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求该点在第二象限的概率．
27．为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y 与x的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
28．已知二次函数y＝x2+bx+c的函数值y与自变量x之间的对应数据如表：
x…﹣101234…y…1052125…
（1）求b 、c 的值；
（2）当x 取何值时，该二次函数有最小值，最小值是多少？ 29．计算
（1）0
20203
18(1)2⎛⎫-+- ⎪⎝⎭
（2）2430x x -+=
30．如图 1，直线 y=2x+2 分别交 x 轴、y 轴于点A 、B ，点C 为x 轴正半轴上的点，点 D 从点C 处出发，沿线段CB 匀速运动至点 B 处停止，过点D 作DE ⊥BC ，交x 轴于点E ，点 C′是点C 关于直线DE 的对称点，连接 EC′，若△ DEC′与△ BOC 的重叠部分面积为S ，点D 的运动时间为t （秒），S 与 t 的函数图象如图 2 所示． （1）V D = ,C 坐标为 ； （2）图2中，m= ，n= ，k= .
（3）求出S 与t 之间的函数关系式（不必写自变量t 的取值范围）.
31．（1）如图①，在△ABC 中，AB ＝m ，AC ＝n （n ＞m ），点P 在边AC 上．当AP ＝ 时，△APB ∽△ABC ；
（2）如图②，已知△DEF （DE ＞DF ），请用直尺和圆规在直线DF 上求作一点Q ，使DE 是线段DF 和DQ 的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）
32．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，点A 在x 轴的正半轴上，B 为⊙O 上一点，过点A 、B 的直线与y 轴交于点C ，且OA 2＝AB •AC ．
（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；
（2）若AB＝3，求直线AB对应的函数表达式．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
将二次函数解析式变形为顶点式，进而可得出二次函数的顶点坐标．
【详解】
解：∵y＝x2﹣6x＝x2﹣6x+9﹣9＝（x﹣3）2﹣9，
∴二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（3，﹣9）．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质. 2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．【详解】
解：如图作CD⊥AB于D,
CD=2,AD=22,
tanA=
21
2
22
CD
AD
==,
故选A.
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可知当∠C=90°时，点C在圆上，由由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质可知点C在圆外.
【详解】
解：∵以AB为直径作⊙O，
当点C在圆上时,则∠C=90°
而由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质
∴点C在圆外．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
由题意得，sinA-1
2
=0，
2
2
-cosB=0，
即sinA=1
2
，2
2
=cosB，
解得，∠A=30°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，故选C．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．
【详解】
解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.
【详解】
已知给出的三角形的各边AB、CB、AC、2
只有选项B的各边为1B．
【点晴】
此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意即从5个球中摸出一个球，概率为3 5 .
【详解】
摸到红球的概率=
33 235
=
+
，
故选：D.
【点睛】
此题考查事件的简单概率的求法，正确理解题意，明确可能发生的总次数及所求事件发生的次数是求概率的关键.
8．B
解析：B
【分析】
根据题意由有唯一的众数4，可知x=4，然后根据中位数的定义求解即可．
【详解】
∵这组数据有唯一的众数4，
∴x=4，
∵将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4，
∴中位数为：3．
故选B．
【点睛】
本题考查了众数、中位数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．众数是一组数据中出现次数最多的那个数.当有奇数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置的数；当有偶数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置两个数的平均数. 9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平均数、方差的定义计算即可.
【详解】
∵小亮的成绩和其它39人的平均数相同，都是90分，
∴40人的平均数是90分，
∵39人的方差为41，小亮的成绩是90分，40人的平均分是90分，
∴40人的方差为[41×39+(90-90)2]÷40<41，
∴方差变小，
∴平均分不变，方差变小
故选B.
【点睛】
本题考查了平均数与方差，熟练掌握定义是解题关键.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值解题即可．
【详解】
解：cos60°=1 2 .
故选A.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值.
解析：B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
120 000 000＝1.2×108，
故选：B．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．
【详解】
设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为
a+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣1
2
（a+3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
二、填空题
13．不能
【解析】
【分析】
根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能
确定一个圆．
【详解】
解：∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，-3）与C、
解析：不能
【解析】
【分析】
根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【详解】
解：∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，-3）与C、B共线，
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【点睛】
本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
14．【解析】
试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4
解析：【解析】
试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]÷5=2．
考点：方差．
15．1：9．
【解析】
试题分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：9.
考点：相似三角形的性质.
解析：1：9．
【解析】
试题分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平
方可得S △ADE ：S △ABC =（AD ：AB ）2=1：9.
考点：相似三角形的性质.
16．【解析】
【分析】
直接利用弧长公式进行计算．
【详解】
解：由题意得：=,
故答案是：
【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 解析：53
π 【解析】
【分析】 直接利用弧长公式180n R l π=
进行计算． 【详解】 解：由题意得：605180l π==53
π, 故答案是：
53π 【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 17．4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD ，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD 中，OD==4．
故答案为4．
解析：4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD ，然后根据勾股定理求得即可．
解：∵OD ⊥BC ，
∴BD=CD=
12BC=3， ∵OB=12
AB=5，
∴在Rt △OBD 中，=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
18．【解析】
【分析】
求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.
【详解】
由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x
解析：15x -<<
【解析】
【分析】
求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.
【详解】
由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x 轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1. ∴x 1=-1,x 2=5. ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<.
故答案为15x -<<
【点睛】
要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.
19．【解析】
【分析】
作AB 的中点E,连接EM,CE,AD 根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM 和CE 长，再根据三角形的三边关系确定CM 长度的范围，从而确定CM 的最小值.
【 解析：32
【解析】
作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.
【详解】
解：如图，取AB的中点E，连接CE,ME,AD,
∵E是AB的中点，M是BD的中点，AD=2，
∴EM为△BAD的中位线，
∴
11
21
22
EM AD ,
在Rt△ACB中，AC=4,BC=3，
由勾股定理得，AB=2222
435
AC BC
+=+=∵CE为Rt△ACB斜边的中线，
∴
115
5
222 CE AB,
在△CEM中，55
11
22
CM ,即
37
22
CM，
∴CM的最大值为3 2 .
故答案为：3 2 .
【点睛】
本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点.
20．【解析】
【分析】
将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，根据旋转的性质可证△AEF和△ABG为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+E 2
【解析】
【分析】
将△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF 的位置，根据旋转的性质可证△AEF 和△ABG 为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ，表示Rt △GMC 的三边，根据勾股定理即可求出正方形的边长.
【详解】
解：如图，将△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF 的位置，连接EF,GC,BG ，过点G 作BC 的垂线交CB 的延长线于点M.设正方形的边长为2m ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=BC=2m,∠ABC=∠ABM=90°，
∵△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF ，
∴,,60,AG AB AF AE BAG EAF BE GF ==∠=∠=︒=,
∴△AEF 和△ABG 为等边三角形，
∴AE=EF,∠ABG=60°，
∴EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ，
∴GC=13
∵∠GBM=90°-∠ABG =30°，
∴在Rt △BGM 中，GM=m ，3m ，
Rt △GMC 中，勾股可得222GC GM CM =+， 即：222(32)(13)m m m ++=+，
解得：22
m =， ∴边长为22m =
2.
【点睛】 本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形，两点之间线段最短，勾股定理.能根据旋转作图，得出EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC 是解决此题的关键.
21．3
【解析】
【分析】
由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA
解析：3
【解析】
【分析】
由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠APO=45°，
∴OA=PA=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
22．10
【解析】
【分析】
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】
解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为10．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自
解析：10
【解析】
【分析】
根据铅球落地时，高度0y ＝，把实际问题可理解为当0y ＝时，求x 的值即可．
【详解】
解：当0y ＝时，212501233
y x x =-++=， 解得，2x =-（舍去），10x =．
故答案为10．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
23．2
【解析】
【分析】
根据根的判别式，令，可得，解方程求出b ＝﹣2a ，再把b 代入原方程，根据韦达定理：即可．
【详解】
当关于x 的一元二次方程ax2+bx+5a ＝0有两个正的相等的实数根时， ，即
解析：
【解析】
【分析】
根据根的判别式，令=0∆，可得2220=0b a -，解方程求出b ＝﹣，再把b 代入原方程，根据韦达定理：12b x x a
+=-
即可． 【详解】
当关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a ＝0有两个正的相等的实数根时， =0∆，即2220=0b a -，
解得b ＝﹣a 或b ＝（舍去），
原方程可化为ax 2﹣+5a ＝0，
则这两个相等实数根的和为
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理，解题的关键是熟练掌握根的判别式和韦达定理。

24．【解析】
【分析】
取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形斜边中点的性质得出AF＝EF，然后证得△BAF≌△DAE，得出AE＝AF，从而证得△AEF是等边三角形，进一步证得∠ABC＝60°，即可
解析：
3
【解析】
【分析】
取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形斜边中点的性质得出AF＝EF，然后证得
△BAF≌△DAE，得出AE＝AF，从而证得△AEF是等边三角形，进一步证得∠ABC＝60°，即可求得结论．
【详解】
取DE的中点F，连接AF，
∴EF＝DF，
∵BE：ED＝1：2，
∴BE＝EF＝DF，
∴BF＝DE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠D，
∵AD⊥AE，EF＝DF，
∴AF＝EF，
在△BAF和△DAE中
AB AD
ABF D
BF DE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△BAF≌△DAE（SAS），
∴AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠D＝30°，
∵∠ABC＝2∠ABD，∠ABD＝∠D，∴∠ABC＝60°，
∴cos∠ABC＝cos60°＝
3
2
，
故答案为：3
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
25．（1）DE与⊙O相切；理由见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由D为AC的中点，得到AD CD
=，进而得到AD=CD，根据平行线的性质得到∠DOA＝∠ODE＝90°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据四边形对角互补得到∠DAB＝∠DCE，由AD CD
=得到∠DAC＝∠DCA ＝45°，求得△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）解：DE与⊙O相切
证：连接OD，在⊙O中
∵D为AC的中点
∴AD CD
=
∴AD＝DC
∵AD＝DC，点O是AC的中点
∴OD⊥AC
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵DE∥AC
∴∠DOA＝∠ODE＝90°
∵∠ODE＝90°
∴OD⊥DE
∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D
∴DE与⊙O相切.
（
2）解：连接BD
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DAB＋∠DCB＝180°
又∵∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上,
∴∠ADC＝∠ABC＝90°
∵AD CD
=,
∴∠ABD＝∠CBD＝45°
∵AD＝DC，∠ADC＝90°
∴∠DAC＝∠DCA＝45°
∵DE∥AC
∴∠DCA＝∠CDE＝45°
在△ABD和△CDE中
∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°
∴△ABD∽△CDE
∴
AB
CD
＝
AD
CE
∴
6
CD
＝16
3
AD
∴AD＝DC＝42, CE＝
16
3
，AB＝6，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝42，∴AC＝22
AD DC
+＝8
∴⊙O的半径为4.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 26．表见解析，13
【解析】 【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【详解】 解：列表如下：
∴该点在第二象限的概率为412＝13
． 【点睛】
本题主要考查了列表法或树状图法求概率，熟练的用列表法或树状图法列出所有的情况数是解题的关键.
27．（1）y=﹣0.5x+110；（2）房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元． 【解析】
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式； （2）根据题意可以得到利润与x 之间的函数解析式，从而可以求得最大利润． 【详解】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，
7075
8070k b k b +=⎧⎨
+=⎩
，解得：0.5110k b =-⎧⎨=⎩， 即y 与x 之间的函数关系式是y=﹣0.5x+110； （2）设合作社每天获得的利润为w 元，
w=x （﹣0.5x+110）﹣20（﹣0.5x+110）=﹣0.5x 2+120x ﹣2200=﹣0.5（x ﹣120）2+5000， ∵60≤x≤150，
∴当x=120时，w 取得最大值，此时w=5000，
答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
28．（1）b=-4,c=5；（2）当x ＝2时，二次函数有最小值为1 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据图象上点的坐标，可得出图象的对称轴及顶点坐标，即可得到答案． 【详解】
（1）把（0，5），（1，2）代入y =x 2+bx +c 得：
5
12c b c =⎧⎨
++=⎩
， 解得：4
5b c =-⎧⎨
=⎩
， ∴4b =-，5c =； （2）由表格中数据可得：
∵1x =、3x =时的函数值相等，都是2，
∴此函数图象的对称轴为直线31
22
x +=
=， ∴当x =2时，二次函数有最小值为1． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
29．（1）2；（2）13x =，21x = 【解析】 【分析】
（1）按照开立方，零指数幂，正整数指数幂的法则计算即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】
（1）解：原式=2112-+= （2）解：(3)(1)0x x --=
30x -=或10x -=
123,1x x ∴==
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，掌握实数混合运算的法则和因式分解法是解题的关键．
30．（1）点D 的运动速度为1单位长度/秒，点C 坐标为（4，0）．（2；4
5；
3）①当点C ′在线段BC 上时， S ＝
14
t 2
；②当点C ′在CB 的延长线上，
S=−13
12
t2＋
85
t−
20
3
；③当点E在x轴负半轴， S＝t2−45t＋20．
【解析】
【分析】
（1）根据直线的解析式先找出点B的坐标，结合图象可知当t＝5时，点C′与点B重合，通过三角形的面积公式可求出CE的长度，结合勾股定理可得出OE的长度，由OC＝OE＋EC可得出OC的长度，即得出C点的坐标，再由勾股定理得出BC的长度，根据CD＝1
2
BC，结合速度＝路程÷时间即可得出结论；
（2）结合D点的运动以及面积S关于时间t的函数图象的拐点，即可得知当“当t＝k 时，点D与点B重合，当t＝m时，点E和点O重合”，结合∠C的正余弦值通过解直角三角形即可得出m、k的值，再由三角形的面积公式即可得出n的值；
（3）随着D点的运动，按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑：①通过解直角三角形以及三角形的面积公式即可得出此种情况下S关于t的函数关系式；②由重合部分的面积＝S△CDE−S△BC′F，通过解直角三角形得出两个三角形的各边长，结合三角形的面积公式即可得出结论；③通过边与边的关系以及解直角三角形找出BD和DF的值，结合三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
（1）令x＝0，则y＝2，即点B坐标为（0，2），
∴OB＝2．
当t＝5时，B和C′点重合，如图1所示，
此时S＝1
2
×
1
2
CE•OB＝
5
4
，
∴CE＝5
2
，
∴BE＝5
2
．
∵OB＝2，
∴OE
2
2
53
2
22⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，
∴OC＝OE＋EC＝3
2
＋
5
2
＝4，BC22
2425
+=CD5
551（单位长度/秒），
∴点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为（4，0）．
故答案为：1单位长度/秒；（4，0）； （2）根据图象可知： 当t ＝k 时，点D 与点B 重合， 此时k ＝
1
BC
＝25； 当t ＝m 时，点E 和点O 重合，如图2所示．
sin ∠C ＝OB BC ＝25＝5
，cos ∠C ＝2525OC BC ==
， OD ＝OC •sin ∠C ＝4×
5＝45，CD ＝OC •cos ∠C ＝4×25＝85． ∴m ＝
1CD ＝85，n ＝12BD •OD ＝12×（25−85）×45＝4
5．
故答案为：
85；4
5；25． （3）随着D 点的运动，按△DEC ′与△BOC 的重叠部分形状分三种情况考虑： ①当点C ′在线段BC 上时，如图3所示．
此时CD ＝t ，CC ′＝2t ，0＜CC ′≤BC ， ∴0＜t 5 ∵tan ∠C ＝
12
OB OC =， ∴DE ＝CD •tan ∠C ＝1
2
t ， 此时S ＝
1
2CD •DE ＝14
t2； ②当点C ′在CB 的延长线上，点E 在线段OC 上时，如图4所示．
此时CD ＝t ，BC ′＝2t−25，DE ＝CD •tan ∠C
＝12t ，CE ＝CD cos C
∠＝5
t ，OE ＝OC−CE ＝4−
5
t ， ∵CC BC CE OC '⎧⎨≤⎩＞，即225
54
t t ⎧⎪⎨≤⎪＞，
解得：5＜t ≤
85
5
． 由（1）可知tan ∠OEF ＝2
32
＝4
3，
∴OF ＝OE •tan ∠OEF ＝
1625
33
-
t ，BF ＝OB−OF ＝251033t -， ∴FM ＝BF •cos ∠C ＝
445
3t -
． 此时S ＝
12CD•DE−12BC ′•FM ＝−2138520
123
t t +-； ③当点E 在x 轴负半轴，点D 在线段BC 上时，如图5所示．
此时CD ＝t ，BD ＝BC−CD ＝5，CE 5
t ，DF ＝
2452BD BD t tan C
==∠， ∵CE OC CD BC ⎧⎨≤⎩＞，即5
425
t t ⎪⎨⎪≤⎩
＞， 85
＜t ≤5
此时S＝1
2
BD•DF＝
1
2
×2×(25−t)2＝t2−45t＋20．
综上，当点C′在线段BC上时，S＝1
4
t2；当点C′在CB的延长线上，S=−
13
12
t2＋
85
t−20
3
；当点E在x轴负半轴， S＝t2−45t＋20．
【点睛】
本题考查了勾股定理、解直角三角形以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出BC、OC的长度；（2）根据图象能够了解当t＝m和t＝k时，点DE的位置；（3）分三种情况求出S关于t的函数关系式．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）需要画出图形，利用数形结合，通过解直角三角形以及三角形的面积公式找出S关于t的函数解析式．
31．（1）
2
m
n
；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;
（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．【详解】
（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则AB AC
AC AP
=,即
m n
n AP
=,∴AP=
2
m
n
.
（2）解：作∠DEQ＝∠F,
如图点Q就是所求作的点
【点睛】
本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
32．（1）见解析；（2）
33
33 y x
=-+
【解析】
【分析】
，
（1）连接OB，根据题意可证明△OAB∽△CAO，继而可推出OB⊥AB，根据切线定理即可求证结论；
（2）根据勾股定理可求得OA ＝2及A 点坐标，根据相似三角形的性质可得
OB AB
CO AO
=，进而可求CO 的长及C 点坐标，利用待定系数法，设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx +b ，再把点A 、C 的坐标代入求得k 、b 的值即可． 【详解】
（1）证明：连接OB ．
∵OA 2＝AB •AC ∴
OA AB
AC OA
=, 又∵∠OAB ＝∠CAO ， ∴△OAB ∽△CAO ， ∴∠ABO ＝∠AOC ， 又∵∠AOC ＝90°， ∴∠ABO ＝90°， ∴AB ⊥OB ；
∴直线AB 是⊙O 的切线；
（2）解：∵∠ABO ＝90°，3AB =OB ＝1， ∴()
2
222312OA AB OB =
+=
+=，
∴点A 坐标为（2，0）， ∵△OAB ∽△CAO ， ∴OB AB
CO AO
=， 即
13
CO =
， ∴23
CO =
， ∴点C 坐标为230,3⎛ ⎝⎭
；
设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx +b ，
则023
k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，
∴33k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴y x =． 即直线AB
对应的函数表达式为y x =． 【点睛】
本题考查相似三角形的判定及性质、圆的切线定理、勾股定理、一次函数解析式等知识，解题的关键是正确理解题意，求出线段的长及各点的坐标．。