欧拉公式的推导

欧拉公式e ix=cosx+isinx中，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将函数的定义域扩

大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数里占有非常重要的地位！

e ix=cosx+isinx的证明：

因为e x=1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! +……

cos x=1 - x2/2! + x4/4! - x6/6!……

sin x=x - x3/3! + x5/5! - x7/7!……

在e x的展开式中把x换成±ix.

因为(±i)2=-1, (±i)3=∓i, (±i)4=1 ……

e+ix=1 + ix/1! - x2/2! - x3/3! + x4/4!…… =(1 - x2/2! +……)+i(x - x3/3!……)

所以e+ix=cosx+isinx ，

将公式里的x换成-x，得到： e-ix=cosx-isinx，

然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=(e ix-e-ix)/(2i)

cosx=(e ix+e-ix)/2

这两个也叫做欧拉公式。