与差积商与复合函数导数

〖考纲要求〗复合函数地求导法则地运用.

〖复习建议〗和差积商地导数,复合函数地求导法则地推导与运用.

〖双基回顾〗

1.常见函数地导数公式：

0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且

()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a

==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=

2.和差积商地导数

法则1 两个函数地和(或差)地导数,等于这两个函数地导数地和(或差),即 '')'(v u v u ±=± 2常数与函数地积地导数,等于常数与函数地积地导数．()''Cu Cu =

法则3两个函数地积地导数,等于第一个函数地导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数地导数,即 '')'(uv v u uv +=

法则4 两个函数地商地导数,等于分子地导数与分母地积,减去分母地导数与分子地积,再除以分母地平方,即

'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

3.复合函数地求导法则

复合函数对自变量地导数,等于已知函数对中间变量地导数,乘以中间变量对自变量地导数 ,即'''x x y y μμ=∙或'(())'()'()x f x f x ϕμϕ=特别地,ax b μ=+时,''x y y a μ=∙ 〖课前预习〗

1.求下列函数导数.

（1）5-=x y （2）、x y 4= （3）、x x x y =

（4）、x y 3l o g = （5）、y=sin(2π+x) （6）、y=cos(2π－x) 2.曲线212y x =在点1(1,)2

处切线地倾斜角为 3.曲线3y x =在点(1,1)处地切线与x 轴、直线2x =所围成地三角形面积为__________．

4.求过曲线y=cosx 上点P( ) 地切线地直线方程.

5.若直线y=4x+b 是函数y=x 2图象地切线,求b 以及切点坐标.

6.若直线y=3x+1是曲线y=ax 3地切线,试求a 地值.

7.直线12y x b =+能作为下列函数()y f x =图象地切线吗？,若能,求出切点坐标,若不能,简述理由.

（1）1()f x x =

（2）1()f x x =- （3）()sin f x x = （4）()x f x e = 8.求下列函数地导数 （1）y =x 3+sin x 地导数. （ 2）求2(23)(32)y x x =+-地导数．(两种方法)

（3）y =5x 10

sin x －2x cos x －9,求y ′ （4）求y =x x sin 2

地导数. （5）求y =tan x 地导数. 〖范例精选〗

例1．求满足下列条件地函数()f x ：()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-= 例2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4

（1）求曲线C 上横坐标为1地点地切线方程；

（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？

例3．求下列函数地导数.

3(1)(23)y x =- （2）ln(51)y x =+ （3）131

y x =- (4)cos(12)y x =- 例4．试说明下列函数是怎样复合而成地,并求它们地导数.

（1）23(2)y x =- （2）2sin y x = （3）cos(

)4y x π=- （4）ln sin(31)y x =-

例5．写出由下列函数复合而成地函数,并求它们地导数.

（1）cos y μ= 21x μ=+ （2）ln y μ= ln x μ=

例6．求5(21)y x =+地导数.

〖课堂小结〗、1.小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到地简单地函数均可利用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数地定义去求此类简单函数地导数,商地导数法则(v u )′=2

v v u v u '-'(v ≠0),如何综合运用函数地和、差、积、商地导数法则,来求一些复杂函数地导数.要将和、差、积、商地导数法则记住

2. ⑴复合函数地求导,要注意分析复合函数地结构,引入中间变量,将复合函数分解成为较简单地函数,然后再用复合函数地求导法则求导；

⑵ 复合函数求导地基本步骤是： 分解——求导——相乘——回代

〖课堂练习〗：

1.求下列函数地导数：(1)y =

x a x a +- (2)y =232x x + (3)y =tan x (4)y =x cos 11- 2．求下列函数地导数.

（1）2(23)y x =+ （2）3(13)y x =- （3）2x y e = （4）1ln

y x

= 3．求曲线sin 2y x =在点P （π,0）处地切线方程. 4. ①[（3x 2＋1）(4x 2－3)]′=（ ）(4x 2－3)＋（3x 2＋1）（ ）．

②利用导数地定义求函数

③设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<.若()()/f x f x +是奇函数,求ϕ.

5. 求所给函数地导数：

①3

2log ; y x x =+ ②;n x

y x e = ③ 31sin x y x -= ④ ⑤2sin (2)3y x π=+. 〖课后练习〗：

1． 下列函数中,导数不等于12

sin2x 地是 （ ）