与差积商与复合函数导数
导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
二阶复合偏导数求解法则-适用偏微分方程
求两个自变量的二阶偏导数一、基础知识1.函数的和、差、积、商的求导法则定理 如果函数()=u u x 及()=v v x 都在点x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 具有导数，且[()()]()()'''±=±u x v x u x v x[()()]()()()()'''=+u x v x u x v x u x v x2()()()()()[](()0)()()''-'=≠u x u x v x u x v x v x v x v x 2.多元复合函数求导法则(1)一元函数与多元函数符合的情形定理 如果函数()ϕ=u t 及()ψ=v t 都在点t 可导，函数(,)=z f u v 在对应点(,)u v 具有连续偏导数，那么符合函数[(),()]ϕψ=z f t t 在点t 可导，且有∂∂=+∂∂dz z du z dv dt u dt v dt （2）多元函数与多元函数符合的情形定理 如果函数(,)ϕ=u x y 及(,)ψ=v x y 都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数，函数(,)=z f u v 在对应点(,)u v 具有连续偏导数，那么复合函数((,),(,))ϕψ=z f x y x y 在点(,)x y 的两个偏导数都存在，且有 ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y（3）偏导数写法0000====∂==∂x x x x y y x x y y zz z x22∂=∂xx u u x 22∂∂===∂∂∂∂xy yx u u u u x y y x二、两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 用到了求二阶偏导的知识，这里强调如何求二阶偏导，化简的知识都是“形式”，书上有。
导数的四则运算和复合函数求导
复习旧知
新课讲解
例题精讲
课堂小结
复合函数的求导法则： 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等
于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量
的导数.用公式表示为：yx yu ux ，其中 u 为中间 变量.即： y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
试试： (sin 2x) =
；（3） y
x3 1 sin x
复习旧知
新课讲解
例题精讲
问题：求 (sin 2x) =? 解答：由于 (sin x) cos x ，故
(sin 2x) cos 2x 这个解答正确吗?
课堂小结
新知：一般地，对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ， 如果通过变量 u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这 个函数为函数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数，记 作： y f (g(x))
导数四则运算
复习旧知
新课讲解
例题精讲
课堂小结
知识点 1.函数的和.差.积.商的求导 法则：
[ f (x) g(x)]'
[ f (x) g(x)]'
[Cf (x)]'
（C 为常数）
[ f (x) g(x)]'
[来源:][来源:]
f g
(x) (x)
新课讲解
例题精讲
课堂小结
练 1. 求下列函数的导数：
（1） y log 2 x ；
（2） y 2ex ；
（3）y 2x5 3x2 5x 4 ；（4）y 3cos x 4sin x .
复习旧知
新课讲解
例题精讲
课堂小结
练 2. 求下列函数的导数：
2.导数的四则运算与复合函数求导
(2 x 1)e x2 x1 cos e x2 x1
14、令 y eu ,u ex
y eex
y eu ex eex e x eex x
答案
1、y 10(2x 1)4 2、y 2cos 2x
1 (1 x ) (1 x ) 1
2x
2x
(1 x )2
1
x (1 x )2
f (4) 1 18
8
例7 设 f (x) = tan x，求 f (x).
解 f ( x) (tan x) sin x cos x
cos
解
1
3
y x x2 x2
y
3
1
x2
2
例5
设y
x 1 x2 1
,
求
y
.
解 根据除法公式，有
y
x1 x2 1
(x2 1)(x 1) (x2 1)(x 1) ( x2 1)2
(
x2
1) 2x( x ( x2 1)2
3、y 2
4、y 2x cos x2
4 x2
5、y ln33sin x cos x
7、y cot x 9、y 2xex2 11、y 1
x ln x ln ln x
6、y 8、y
sec2 x(x2
xetan x
a
2
)
1 2
10、y x(x2 a2
解 f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) = (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1)
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
求导法则与导数基本公式
1
1
y ln a
y ln a
例11.设
求
解:
x
1 1
x2 1
2
1 2x
x2 1
1 1) , 则
(反双曲正弦)
sh x ex ex 2
的反函数
(arsh x)
1 x2 1
22
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x
arcsin
x
2
在上一节中我们曾经用定义求出指数函数导数，下面 我们利用反函数求它的导数.
2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
1 (loga y)
x ( x3 4cos x sin1)
1 ( x3 4cos x sin1) x (3 x2 4sin x ) 2x
y x1
1 2
(1 4cos1 sin1)
(3 4sin1)
7 7 sin1 2cos1 22
(3)
(其中
)．
证:设 y(x)
f '(x)g(x) f (x)g '(x)
故结论成立.
推论:
(2) ( uvw) uvw uvw uvw
(3)
( loga
x )
ln ln
x a
x
1 ln
a
例1. y x ( x3 4cos x sin1) ,
解: y ( x ) ( x3 4cos x sin1)
二、复合函数的求导法则 定理2(复合函数的导数) 若 f 和 g 可导， 有意义，则复合函数可导，且
导数的运算法则及复合函数的导数公式
x y yu u， x
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（
A. y′=2xcosx-x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx
）
B. y′=2xcosx+x2sinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数 2 1 x 3. 求y= sin x 的导数
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 函数y=ln(3x+2)的导数呢？
拆分下列复合函数
1. 2. 3. 4.
y= sin(-3x+5) y=sin2x 2x y=cos x y=cos
3
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
1.2.2
导数的运算法则及复合函 数的导数公式
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
基本初等函数的导数公式：
原函数 y＝C y＝xn 导函数
y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) x y′＝ex y＝e 1 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝ln x
导数的四则运算与复合函数求导
导数的四则运算与复合函数求导在微积分学中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的四则运算和复合函数求导是微积分中的基本技巧，本文将重点介绍这两个内容。
一、导数的四则运算导数的四则运算包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则。
下面将逐一介绍这些法则的应用。
1. 常数倍法则设函数y=f(x)，其中f(x)可导，k为常数，则有：(d/dx)(k·f(x)) = k·(d/dx)f(x)即常数倍法则指出，常数与函数的导数之间可以交换次序。
2. 和差法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) ± g(x)) = (d/dx)f(x) ± (d/dx)g(x)即和差法则指出，函数的求和或求差的导数等于各函数的导数的和或差。
3. 乘积法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) · g(x)) = f(x)·(d/dx)g(x) + g(x)·(d/dx)f(x)即乘积法则指出，函数的乘积的导数等于其中一个函数乘上另一个函数的导数，再加上另一个函数乘上第一个函数的导数。
4. 商法则对于可导函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，则有：(d/dx)(f(x) / g(x)) = (g(x)·(d/dx)f(x) - f(x)·(d/dx)g(x)) / (g(x))^2即商法则指出，函数的商的导数等于分子的导数与分母的导数的差再除以分母平方。
二、复合函数求导当函数是由一个函数与另一个函数组合而成时，就称之为复合函数。
求解复合函数的导数需要运用链式法则。
1. 链式法则设函数y=g(f(x))，其中f(x)和g(x)都可导，则有：(d/dx)g(f(x)) = (dg/df)·(df/dx)即链式法则指出，复合函数的导数等于外层函数对内层函数求导的结果乘上内层函数对自变量求导的结果。
和、差、积、商的求导法则
注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则
是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 12x
先看一个例子
例8 y (1 x2 )2，求y
y (1 x2 )2 1 2x2 x4 y 4x 4x3 4x(1 x2 ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x2 )1000 求导数，展开就不是办法，再像 y 5 1 x2 求导数，根本无法展开，又该怎么办？
一、和、差、积、商的求导法则
函数求导法则
1 x2 ,
x 1,
例4
已知f (x)
(1
x)(2
x), 1
x
2,
求 f (x), f (0)
(2
x),
2 x ,
2x , x 1,
f (x)
2x 3,
1<x 2,
1, 2 x ,
f (0)=0
二、反函数的求导法则
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数 , f 1( y) 在
x
sec2 x
(csc
x)
1 sin
x
(sin sin 2
x) x
cos x sin 2 x
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
例3
已知 f (x) x sin x ,
1 cos x
求 f (x)
x sin x . 1 cos x
在点
可导
复合函数
在点 x 可导, 且
d y f (u)g(x) dx
证: y f (u) 在点 u 可导, 故 lim y f (u) u0 u
y f (u)u u （当
时
)
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f
(u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
解: y ( x ) ( x3 4 cos x sin1)
x ( x3 4 cos x sin1)
1 ( x3 4 cos x sin1) x ( 3 x2 4sin x ) 2x
y x1
导数与微积分
导数与微积分导函数导函数的概念涉及：的对于区间 , 上任意点处都可导,则在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为的导函数,记作 ;一、基本函数的导函数C'=0C为常数x^n'=nx^n-1 n∈Qsinx'=cosxcosx'=-sinxe^x'=e^xa^x'=a^xlnaloga,x' = 1/xlnalnx'= 1/x二、和差积商函数的导函数fx + gx' = f'x + g'xfx - gx' = f'x - g'xfxgx' = f'xgx + fxg'xfx/gx' = f'xgx - fxg'x / gx^2三、复合函数的导函数设 y=ut ,t=vx,则 y'x = u'tv'x = u'vx v'x例：y = t^2 ,t = sinx ,则y'x = 2t cosx = 2sinxcosx = sin2x一般定义设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δ点仍在该邻域内时,相应地函数取得增量Δ；如果Δ与Δ之比当Δ时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即,也可记作,或;邻域数学分析的定义以a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作Ua设δ是任一正数,则在开区间a-δ,a+δ就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻域,记作Ua,δ,即Ua,δ={x|a-δ<x<a+δ};点a称为这邻域的中心,δ称为这邻域的半径;a的δ邻域去掉中心a后,称为点a的去心δ邻域,有时把开区间a-δ,a称为a的左δ邻域,把开区间a,a+δ称为a的右δ邻域;拓扑学的定义设A是拓扑空间X,τ的一个子集,点x∈A;如果存在集合U,满足①U是开集,即U∈τ,②点x∈U,③U是A的子集,则称点x是A的一个内点,并称A是点x的一个邻域;若A是开闭集,则称为开闭邻域;可导设y=fx是一个单变量函数, 如果y在x=x0处存在导数y'=f'x,则称y在x=x0处可导;如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数若将一点扩展成函数fx在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数fx在开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着fx的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数fx的导函数,记作：y'、或者;原函数已知函数fx是一个定义在某区间的函数,如果存在函数Fx,使得在该区间内的任一点都有dFx=fxdx,则在该区间内就称函数Fx为函数fx的原函数;例：sinx是cosx的原函数;关于原函数的问题函数fx满足什么条件是,才保证其原函数一定存在呢这个问题我们以后来解决;若其存在原函数,那么原函数一共有多少个呢我们可以明显的看出来：若函数Fx为函数fx的原函数,即：F'x=fx,则函数族Fx+CC为任一个常数中的任一个函数一定是fx的原函数,故：若函数fx有原函数,那末其原函数为无穷多个.如果定义在a,b上的函数Fx和fx满足条件：对每一x∈a,b,F′x＝fx则称Fx为fx的一个原函数;例如,x3是3x2的一个原函数,易知,x3＋1和x3＋2也都是3x2的原函数;因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的,例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v＝vt,要求它的运动规律 ,就是求v＝vt的原函数;原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当fx为连续函数时,其原函数一定存在;几何意义和力学意义设fx在a,b上连续,则由曲线y=fx,x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数指代数和——x轴上方取正号,下方取负号是fx的一个原函数.若x为时间变量,fx为直线运动的物体的速度函数,则fx的原函数就是路程函数.导函数的定义表达式为：值得注意的是,导数是一个数,是指函数fx在点x0处导函数的函数值;但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点;几何意义如右图所示,设P0为曲线上的一个定点,P为曲线上的一个动点;当P沿曲线逐渐趋向于点P0时,并且割线PP0的极限位置P0T存在,则称P0T为曲线在P0处的切线;若曲线为一函数y = fx的图像,那么割线PP0的斜率为：当P0处的切线P0T,即PP0的极限位置存在时,此时,,则P0T的斜率tanα为：上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则f'x0 = tanα,故导数的几何意义即曲线y = fx在点P0x0,fx0处切线的斜率;函数可导的条件如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢答案是否定的;函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等;这实际上是按照极限存在的一个充要条件极限存在,它的左右极限存在且相等推导而来：上式中,后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数：极值extremum∶数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值,极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得;extreme value∶在给定的时期内,或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值;如果这个时期是整个有观测资料的时期,这个极值就是绝对极值极限在高等数学中,极限是一个重要的概念;极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下;首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积;为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=62的9次方边形,利用不等式An+1<A<An+2An+1-Ann=1,2,3....得到圆周率=3927/1250约等于数列极限：定义：设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε不论它多么小,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn - a|<ε都成立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a;记为lim Xn = a 或Xn→an→∞数列极限的性质：1.唯一性：若数列的极限存在,则极限值是唯一的；2.有界性：如果一个数列收敛有极限,那么这个数列有界;但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛;3.保号性：如果一个数列{xn}收敛于a,且a>0或a<0,那么存在正整数N,当n>N时,都有xn>0或xn<0;4.改变数列的有限项,不改变数列的极限;几个常用数列的极限：an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0函数极限的专业定义:设函数fx在点x;的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε无论它多么小,总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x;|<δ时,对应的函数值fx都满足不等式：|fx-A|<ε那么常数A就叫做函数fx当x→x;时的极限;函数极限的通俗定义：1、设函数y=fx在a,+∞内有定义,如果当x→+∞时,函数fx无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+∞时函数fx的极限;记作lim fx＝A ,x→+∞;2、设函数y=fx在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时记作x→a,函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数fx的极限;记作lim fx=A ,x→a;函数的左右极限：1：如果当x从点x=x0的左侧即x〈x0无限趋近于x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的左极限,记作x→x0-limfx=a.2:如果当x从点x=x0右侧即x>x0无限趋近于点x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的右极限,记作x→x0+limfx=a.注：若一个函数在x0上的左右极限不同则此函数在x0上不存在极限注：一个函数是否在x0处存在极限,与它在x=x0处是否有定义无关,只要求y=fx在x0近旁有定义即可;函数极限的性质：极限的运算法则或称有关公式：limfx+gx=limfx+limgxlimfx-gx=limfx-limgxlimfxgx=limfxlimgxlimfx/gx=limfx/limgx limgx不等于0limfx^n=limfx^n以上limfx limgx都存在时才成立lim1+1/x^x =ex→∞无穷大与无穷小：一个数列极限无限趋近于0,它就是一个无穷小数列极限;无穷大数列和无穷小数列成倒数;两个重要极限：1、lim sinx／x ＝1 ,x→02、lim 1 + 1／x^x ＝e ,x→∞ e≈...,无理数====================================================================== ==举两个例子说明一下一、……＝1以下一段不作证明,只助理解——原因：小数的加法的第一步就是对齐数位,即要知道具体哪一位加哪一位才可操作,下文中……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准,所以对于无限小数并不能做加法;既然不可做加法,就无乘法可言了;谁都知道1/3＝……,而两边同时乘以3就得到1＝……,可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数;10×……—1×……=9=9×……∴……=1二、“无理数”算是什么数我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯;结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想;类似的根源还在物理中实际上,从科学发展的历程来看,哲学才是真正的发展动力,但物理起到了无比推动作用,比如瞬时速度的问题;我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示,若时间差趋于零,则此比值就是某时刻的瞬时速度,这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值,就是0÷0,这有意义吗这个意义是指“分析”意义,因为几何意义颇为直观,就是该点切线斜率这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释,极限的思想呼之欲出;真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的,他当时是一位中学数学教师,这对我们今天中学教师界而言,不能不说是意味深长的;几个常用数列的极限an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0定积分定积分的几何意义众所周知,微积分的两大部分是微分与积分;微分实际上是求一个已知函数的导数,而积分是已知一个函数的导数,求原函数;所以,微分与积分互为逆运算;积分的分类实际上,积分还可以分为两部分;第一种,不定积分,也就是已知导数求原函数,而若Fx的导数是fx,那么Fx+CC是常数的导数也是fx,也就是说,把fx积分,不一定能得到Fx,因为Fx+C的导数也是fx,C是任意常数,所以fx积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用Fx+C代替,这就称为不定积分;这也就是说它是一组函数,而不是有限个;第二种,定积分定积分就是求函数FX在区间A,B中图线下包围的面积;即 y=0 x=a x=b y=FX所包围的面积;这个图形称为曲边梯形,特例是曲边梯形;定积分的定义：设一元函数y=fx ,在区间a,b内有定义;将区间a,b分成n个小区间 a,x0 x0,x1x1,x2 .....xi,b ;设△xi＝xi－xi-1,取区间△xi中曲线上任意一点记做fξi,做和式：和式若记λ为这些小区间中的最长者;当λ→ 0时,若此和式的极限存在,则称这个和式是函数fx 在区间a,b上的定积分;记做：∫ _a^b fxdxa在∫下方,b在∫上方其中称a为积分下限,b为积分上限, fx 为被积函数,fxdx 为被积式,∫为积分号;之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数, 而不是一个函数;微分一元微分定义：设函数y = fx在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内;如果函数的增量Δy = fx0 + Δx fx0可表示为Δy = AΔx + oΔx其中A是不依赖于Δx 的常数,而oΔx0是比Δx高阶的无穷小,那么称函数fx在点x0是可微的,且AΔx 称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx;通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx;于是函数y = fx的微分又可记作dy = f'xdx;函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数;因此,导数也叫做微商;当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由fX改变为fX+△X,如果存在一个与△X无关的常数A,使fX+△X-fX和A△X之差关于△X→０是高阶无穷小量,则称A△X是fX在X的微分,记为dy,并称fX在X可微;可导不一定可微,可微一定可导,这时A=f′X;再记A△X=dy,则dy=f′XdX;例如：dsinX=cosXdX;几何意义：设Δx是曲线y = fx上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量;当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多高阶无穷小,因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段;多元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义;运算法则：dy=f'xdxdu+v=du+dvdu-v=du-dvduv=duv+dvudu/v=duv-dvu/v^2黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分;用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间a,b上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积;实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b;黎曼积分如果函数fX在闭区间a,b上定义,而P,ζ是这个闭区间的一个带点分割,则和σf；p,ζ:=Σ fζiΔXi叫做函数f在区间a,b上对应于带点分割P,ζ的积分和,其中ΔXi=Xi-Xi-1 存在这样一个实数I,如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0,使对区间a,b的任何带点分割P,ζ,只要分化P的参数λP<δ,就有|I-σf；p,ζ|<ε,则称函数fX在闭区间a,b上黎曼可积,而I就成为函数fX在闭区间a,b上的黎曼积分;我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数;它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢微积分基本定理定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系;把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分;这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'x=fx那么∫ _a^bfx dx = Fa-Fb牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差;正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理;牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本定理,其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法;从几何上看,它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系;下面就是该公式的证明全过程：我们知道,对黎曼Riemann可积函数fx于区间a,b上的定积分表达为：b上限∫a下限fxdx现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：Φx= x上限∫a下限fxdx但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的;虽然这种写法是可以的,但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：Φx= x上限∫a下限ftdt接下来我们就来研究这个函数Φx的性质：1.定义函数Φx= x上限∫a下限ftdt,则Φx连续;当fx连续时,有Φ’x=fx;证明：让函数Φx获得增量Δx,则对应的函数增量ΔΦ=Φx+Δx-Φx=x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt,利用区间可加性,x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt=x+Δx上限∫x下限ftdt若m和M分别是fx在区间a,b上的最小值和最大值,利用定积分第一中值定理,存在m,M中的实数η,使得ΔΦ=x+Δx上限∫x下限ftdt=ηΔx;进一步,当fx连续时存在x与x+Δx之间的常数ξ,使得η=fξ;于是当Δx趋向于0时,ΔΦ趋向于0,即Φx连续;若fx连续,那么当Δx趋向于0时,ξ趋向于x,fξ趋向于fx,故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=fx,从而得出Φ’x=fx;2. 若fx在a,b上连续,且Fx是fx在a,b上的一个原函数,那么b上限∫a 下限fxdx=Fb-Fa;证明：我们已证得Φ’x=fx,故Φx+C=Fx;注意到Φa=0积分区间变为a,a,故面积为0,所以Fa=C,于是有Φx=Fx-Fa,当x=b时,Φb=Fb-Fa,这就得到了牛顿-莱布尼茨公式;。
二节基本的导数公式与运算法则-精选
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
§3.2 求导数的方法——法则与公式
y x y 即得 (x)=x1 x x
五、指数函数y=ax (a>0,且a1)的导数
两边取对数,得: lny=xlna y ln a y=ylna 两端对x求导,得: y 即得 (ax)=axlna 特别, (ex)=ex
sec2 y 0. (tan y )
1 1 1 1 从而 (arc tan x ) 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
1 类似 (arccotx ) 2 1 x
x a 2 x 2 a arcsin x 例18. 求函数 y 2 2 a 的导数 2 ( x a 2 x 2 ) ( a arcsin x ) 解: y 2 2 a 2 2 ( x ) ( a x ) a 2 2 2 a 1 a x x 2 2 2 a2 x2 2 x )2 1 ( a 2 2 2 2 a x x a 2 2 2 2 2 2 a x 2 a x 2 2 a x
u ) uv uv (v( x ) 0) (3) ( 2 v v 1 ) v 特别, ( 2 v v
推论:
(1) [ f i ( x )] f i( x )
i 1 i 1
n
n
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(3) [ f i ( x )] f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dy dy du dx du dx
导数的基本公式与运算法则
ln y
1 [ln|x 1| ln|x 2| ln|x 3| ln|x 4|] ， 2
上式两边对x求导，得
1 1 y y 1 1 ( ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ， ) ， y y 2 2 x x 1 1 x x 2 2 x x 3 3 x x 4 4
解 当x0时, f(x)1,
当x0时, f ( x ) 1 ,
1 x 当x0时,
f (0 )h l i0m (0h ) h ln 1( 0 ) 1,
f (0 ) h l 0 ilm n 1 (0 [ h h ) ]ln 1 0 ( ) 1,
f(0)1.f(x)111,x,
x0 x0.
2. 设 f(x ) (x a )(x ),其中(x) 在 xa处连续,
两边对 x 求导
y ln a a b
y
bxx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
七、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2,
t x 2
消去参数
yt2 (x)2 x 2 24
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
( x ) x 1 (cos x ) sin x
(cot x ) csc 2 x (csc x ) csc x cot x
(e x ) e x
(ln x ) 1 x
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
推论:
n
n
函数求导法则
3. 复合函数的求导法则 均可导, 设 y = f (u), u = g (x), 且 f (u), g (x) 均可导 则 复合函数 y = f (g(x))的导数为 的导数为
dy dy dy du = f ′(u ) g ′( x) 或 = . dx dx du dx
例19 解
求函数
y′ =
2x , 求 y′. 例11 y = cos 2 1+ x 2x dy ,而 = sin u , 解 设 u= 2 1+ x du
du 2(1 + x 2 ) 2 x 2 x 2(1 x 2 ) , = = 2 2 2 2 dx (1 + x ) (1 + x )
dy 2(1 x 2 ) 2(1 x 2 ) 2x = sin u = sin . 2 2 2 2 2 dx (1 + x ) (1 + x ) 1+ x
1 f ′( x) = (x ′( x)
简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（ 简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等 于零）的倒数. 于零）的倒数
以增量 证 任取 x ∈ I x , 给 x 以增量, 由 y = f (x) 的 单调性可知 y = f (x + x) - f (x) ≠ 0, 于是
2 2
例5 y = tanx, 求 y′.
sin x ′ 解 y′ = (tan x)′ = cos x (sin x )′ cos x sin x (cos x)′ = cos 2 x
cos 2 x + sin 2 x 1 = = = sec 2 x. 2 2 cos x cos x
一、函数和、差、积、商的求导法则 函数和、 定理1 定理 设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 都在点 x 处 可导, 它们的和、 商在x 处也可导, 可导 那么 它们的和、差、积、商在 处也可导 u (x) ± v (x) 在点 x 处也具有导数 且 处也具有导数, （1）[u (x) ± v (x)]′ = u (x)′ ± v (x)′； ） ′ ′ ′ （2）[u (x) v (x)]′ = u (x)′ v (x) + u (x) v (x)′ ） ′ ′ ′
导数的运算公式和法则_OK
(1) y sin 2x
解 10 逐层分解） 令y sinu, u 2x, 则
20 链式求导） dy dy du cos u 2 dx du dx
30 回代）
dy 2cos 2x dx
完了吗？
20
(2) y (2x 1)3 解 令y u3, u 2x＋1, 则 dy dy du 3u2 2 6（2x 1)2
层次（包括四则,复合）, 再按照相应法则求解
23
练习
求下列函数的导数
sin 1
1) y e x 2) y arcsin
x 3) y arctan 1 4) y e2x tan 3 x
x
5) y x2 a2 arccos a（其中x 0,a 0） x
答案：
1) y
sin 1
ex
(sin 1 )
例2 求函数y x sin x sin 的导数
2
解
y
x
sin
x
sin
2
1 sin x x cos x 2x
6
例3 求函数y sin 2x的导数 cos 2x ? 解 y' (2sin xcos x)'
2[(sin x)'cos x sin x(cos x)']
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
sin 1
ex
cos 1 ( 1 )
sin 1
ex
cos 1
(
1
)
x
xx
x x2
2) y
1 ( 1 ( x)2
x)
1
sin 1
ex
cos
1
x2
x
1 1
复合函数求导及三角函数公式
复合函数的求导一、基础知识梳理：（一）复习引入：几种常见函数的导数公式2．和（或差）的导数 (u±v)’＝u’±v’．3．积的导数 (uv)’＝u’v ＋uv’． (Cu)’＝Cu’ ． 4．商的导数()（二）讲授新课1．复合函数：对于函数y=f[ϕ (x)],令u= ϕ (x),若y=f(u)是中间变量 u 的函数 u= ϕ (x)是自变量x 的函数 则称y=f[ϕ (x)] 是自变量 x 的复合函数.例如 y ＝(3x －2)2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ．像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．练习1：指出下列函数是怎样复合而成的．.)12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-=-=x xy x y x y x y2. 复合函数的导数 复合函数的求导法则： 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。
一般地，设函数u ＝j(x)在点x 处有导数u'x ＝j'(x)，函数y ＝f(u) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u) ，则复合函数y ＝f(j(x)) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u •u'x 或写作 f 'x (j(x))＝f '(u) j'(x)．例1 求y ＝(3x －2)2的导数． 解：法1 y'＝[(3x －2)2]' ＝(9x 2－12x ＋4)'＝18x －12． 法2 y'x ＝y'u •u'x函数y ＝(3x －2)2又可以看成由y ＝u 2，u ＝3x －2复合而成，其中u 称为中间变量． 由于y'u ＝2u ，u'x ＝3，因而 y'x ＝y'u •u'x ＝2u•3＝2u•3＝2(3x －2)•3＝18x －12． 例2 求y ＝(2x ＋1)5的导数．解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1，则 y'x ＝y'u •u'x ＝(u 5)'u •(2x ＋1) 'x ＝5u4•2＝5(2x ＋1)4•2＝10(2x ＋1)4． 例3. 求函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)的导数练习2. . 若211)(xx f +=，求f ’（1）例4. 求 41(13)y x =-的导数 解： 设y ＝u －4，u ＝1－3x ，则y'x ＝y'u •u'x ＝(u －4)'u •(1－3x)'x ＝－4u －5•(－3)＝12u －5＝12(1－3x)－5＝ .)31(125x - 复合求导法则可以推广到两个以上的中间变量 例5. 求)32(sin 2π+=x y 的导数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
〖考纲要求〗复合函数地求导法则地运用.
〖复习建议〗和差积商地导数,复合函数地求导法则地推导与运用.
〖双基回顾〗
1.常见函数地导数公式：
0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且
()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a
==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=
2.和差积商地导数
法则1 两个函数地和(或差)地导数,等于这两个函数地导数地和(或差),即 '')'(v u v u ±=± 2常数与函数地积地导数,等于常数与函数地积地导数．()''Cu Cu =
法则3两个函数地积地导数,等于第一个函数地导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数地导数,即 '')'(uv v u uv +=
法则4 两个函数地商地导数,等于分子地导数与分母地积,减去分母地导数与分子地积,再除以分母地平方,即
'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
3.复合函数地求导法则
复合函数对自变量地导数,等于已知函数对中间变量地导数,乘以中间变量对自变量地导数 ,即'''x x y y μμ=∙或'(())'()'()x f x f x ϕμϕ=特别地,ax b μ=+时,''x y y a μ=∙ 〖课前预习〗
1.求下列函数导数.
（1）5-=x y （2）、x y 4= （3）、x x x y =
（4）、x y 3l o g = （5）、y=sin(2π+x) （6）、y=cos(2π－x) 2.曲线212y x =在点1(1,)2
处切线地倾斜角为 3.曲线3y x =在点(1,1)处地切线与x 轴、直线2x =所围成地三角形面积为__________．
4.求过曲线y=cosx 上点P( ) 地切线地直线方程.
5.若直线y=4x+b 是函数y=x 2图象地切线,求b 以及切点坐标.
6.若直线y=3x+1是曲线y=ax 3地切线,试求a 地值.
7.直线12y x b =+能作为下列函数()y f x =图象地切线吗？,若能,求出切点坐标,若不能,简述理由.
（1）1()f x x =
（2）1()f x x =- （3）()sin f x x = （4）()x f x e = 8.求下列函数地导数 （1）y =x 3+sin x 地导数. （ 2）求2(23)(32)y x x =+-地导数．(两种方法)
（3）y =5x 10
sin x －2x cos x －9,求y ′ （4）求y =x x sin 2
地导数. （5）求y =tan x 地导数. 〖范例精选〗
例1．求满足下列条件地函数()f x ：()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-= 例2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4
（1）求曲线C 上横坐标为1地点地切线方程；
（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？
例3．求下列函数地导数.
3(1)(23)y x =- （2）ln(51)y x =+ （3）131
y x =- (4)cos(12)y x =- 例4．试说明下列函数是怎样复合而成地,并求它们地导数.
（1）23(2)y x =- （2）2sin y x = （3）cos(
)4y x π=- （4）ln sin(31)y x =-
例5．写出由下列函数复合而成地函数,并求它们地导数.
（1）cos y μ= 21x μ=+ （2）ln y μ= ln x μ=
例6．求5(21)y x =+地导数.
〖课堂小结〗、1.小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到地简单地函数均可利用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数地定义去求此类简单函数地导数,商地导数法则(v u )′=2
v v u v u '-'(v ≠0),如何综合运用函数地和、差、积、商地导数法则,来求一些复杂函数地导数.要将和、差、积、商地导数法则记住
2. ⑴复合函数地求导,要注意分析复合函数地结构,引入中间变量,将复合函数分解成为较简单地函数,然后再用复合函数地求导法则求导；
⑵ 复合函数求导地基本步骤是： 分解——求导——相乘——回代
〖课堂练习〗：
1.求下列函数地导数：(1)y =
x a x a +- (2)y =232x x + (3)y =tan x (4)y =x cos 11- 2．求下列函数地导数.
（1）2(23)y x =+ （2）3(13)y x =- （3）2x y e = （4）1ln
y x
= 3．求曲线sin 2y x =在点P （π,0）处地切线方程. 4. ①[（3x 2＋1）(4x 2－3)]′=（ ）(4x 2－3)＋（3x 2＋1）（ ）．
②利用导数地定义求函数
③设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<.若()()/f x f x +是奇函数,求ϕ.
5. 求所给函数地导数：
①3
2log ; y x x =+ ②;n x
y x e = ③ 31sin x y x -= ④ ⑤2sin (2)3y x π=+. 〖课后练习〗：
1． 下列函数中,导数不等于12
sin2x 地是 （ ）
A ．2－14
cos2x B ．2＋12sin 2x C ．12
sin 2x D ．x －12cos 2x 2．函数y=(2x 2－1)2地导数是 （ ） A ．16x 3－4x 2 B ．4x 3－8x C ．16x 3－8x
D ．16x 3－4x 3． 设y =－tanx,则y ′= （ ）
A ．21cos x
- B ．2sin cos x x C ．211x + D ．－211x + 4.已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值,并且它地图象与直线
33+-=x y 在点（1,0）处相切,求a 、b 、c 地值.
5.(1)求y =
332++x x 在点x =3处地导数. (2) 求y =x
1·cos x 地导数. （3）.求y =x x x cos 423
-地导数. 6.已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 地图象过点P(0,2),且在点M 处(-1,f(-1))处地切线方程为6x-y+7=0,求函数地解析式。