第六章不定积分

第七章 定积分 §7.1 定积分的概念和可积条件 1、定积分的概念

为了说明定积分概念的由来，我们先看几个例子.

实例1 (曲边梯形面积问题).求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥,x 轴以及直线

,()x a x b b a ==>所围成的曲边梯形的面积.

a

b x

y

o

求平面图形的面积问题是人们在长期的生产和生活实践中经常面临的问题,而任何形状的平面图形的面积问题,都可以利用互相垂直的两组平行直线将它分成若干部分,将其转化为求曲边梯形的面积问题.

用矩形面积近似取代曲边梯形的面积.

1) 分割:在区间[,]a b 中任意插入1n -个分点,0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,用

直线i x x =将曲边梯形分成n 个小曲边梯形;

2) 近似:在第i 个窄曲边梯形上任取1[,]i i i x x ξ-∈,作以1[,]i i x x -为底,以为高的小矩形

()i f ξ,并以此小矩形面积近似代替相应的窄曲边梯形的面积i S ∆,得1()(,1,2,,)i i i

i i i S f x x x x i n ξ-∆≈∆∆=-=L ;

3) 求和:1

1

()n

n

i

i

i

i i S S f x

ξ===

∆≈∆∑∑

4) 取极限:令1max{},i i n

x λ≤≤=∆则曲边梯形的面积0

1

1

lim ()n

n

i

i i i i S S

f x λξ→===

∆=∆∑∑.

1.1 定义

()

y f x =?

A =

设函数()f x 在区间[,]a b 上有界.在区间[,]a b 内插入1n -个点,0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,1i i i x x x -∆=-(1,2,,)i n =L ,1max{},i i n x λ≤≤=∆在小

区间1[,]i i x x -中任取一点i ξ(1,2,,)i n =L ,作和

1

()n

i

i

i f x

ξ=∆∑;如果极限0

1

lim

()n

i

i

i f x

λξ→=∆∑存

在,且极限值与区间[,]a b 的分法和i ξ的取法无关,则称此极限为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分,记为

1

()lim ()n

b

i i a

i f x dx f x λξ→==∆∑⎰

此时称()f x 在区间[,]a b 上可积. 通常称为Rieman 可积，简称R 可积.

a 与

b 分别称为积分的下限与上限,()f x 为被积函数,()f x dx 为被积表达式,x 为积分

变量.

若极限0

1

lim

()n

i

i

i f x

λξ→=∆∑不存在, 则称()f x 在区间[,]a b 上不是R 可积.

定积分的概念需注意以下几点：

(i ) 定积分要求积分区间有界,被积函数有界; (ii ) 定积分是积分和

1

()n

i

i

i f x ξ=∆∑的极限,在构造积分和时,分割与点i

ξ

的选取都是任意的,而

取极限是指当1max{}0i i n

x λ≤≤=∆→时的极限.

(iii ) 定积分的值与积分变量的选取无关,只与被积函数及积分区间有关,所以 ()()b

b

a

a

f x dx f t dt =⎰

⎰.

1.2 定积分的几何意义与物理意义

设()f x 在[,]a b 上连续, 由定积分的定义知，

()b

a

f x dx ⎰

在几何上表示界于x 轴、曲线

()y f x =、x a =与x b =之间各部分面积的代数和,在x 轴上方取正号,在x 轴下方取负号;

当x 为时间变量时, ()f x 是做直线运动的物体的速度函数, 则

()b

a

f x dx ⎰

表示物体从时刻

a 到时刻

b 所走过的路程.

由定积分定义和极限性质不难得到定积分存在的必要条件：

定理1：函数()f x 在区间[,]a b 上可积的必要非充分条件是：()f x 在区间[,]a b 上有界。

例1：用定义讨论Dirichlet 函数 1()0x Q

D x x Q

∈⎧=⎨

∉⎩在[0,1]上的可积性。

解：依定积分定义，将区间[0,1]任意分成n 个小区间，其分点分别为

0101n x x x =<<<=L ，由于有理数和无理数在实数域上的稠密性，在每个小区间中即有

无数多个有理数，又有无数多个无理数，所以

（1）当任取1[,]i i i x x ξ-∈为1[,]i i x x -中的有理数时,()1i f ξ=，此时

1

()1n

i

i

i f x

ξ=∆=∑，此时

1

1

lim

()lim 11n

n

i

i

i i i f x

x λλξ→→==∆=∆=∑∑

（2）当任取1[,]i i i x x ξ-∈为1[,]i i x x -中的无理数时,()0i f ξ=；此时 0

1

1

lim

()lim 00n

n

i

i

i i i f x

x λλξ→→==∆=∆=∑∑

故Dirichlet 函数 1()0x Q

D x x Q

∈⎧=⎨

∉⎩在[0,1]上不可积。

从而进一步知道有界函数不一定可积。那么函数()f x 在区间[,]a b 上可积的充要条件是什么呢?

2 函数()f x 在区间[,]a b 上可积的充要条件(即可积准则) 2.1 小和与大和

设函数()f x 在区间[,]a b 有界，分法01:n T a x x x b =<<<=L ，记

1sup{()[,]}i i i M f x x x x -=∈，1inf{()[,]},1,2,,i i i m f x x x x i n -=∈=L ，

1i i i x x x -∆=-，1[,]i i i x x ξ-∀∈，有()i i i m f M ξ≤≤，且

1

1

1

()n n n

i

i

i

i

i

i

i i i m x f x M x ξ===∆≤∆≤∆∑∑∑

其中1

1

(),()n n

i

i

i

i

i i S T M x s T m x ===

∆=∆∑∑分别称为函数()f x 对应于分法T 的大和与小和

（也