第六章不定积分

第七章 定积分 §7.1 定积分的概念和可积条件 1、定积分的概念为了说明定积分概念的由来，我们先看几个例子.实例1 (曲边梯形面积问题).求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥,x 轴以及直线,()x a x b b a ==>所围成的曲边梯形的面积.ab xyo求平面图形的面积问题是人们在长期的生产和生活实践中经常面临的问题,而任何形状的平面图形的面积问题,都可以利用互相垂直的两组平行直线将它分成若干部分,将其转化为求曲边梯形的面积问题.用矩形面积近似取代曲边梯形的面积.1) 分割:在区间[,]a b 中任意插入1n -个分点,0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,用直线i x x =将曲边梯形分成n 个小曲边梯形;2) 近似:在第i 个窄曲边梯形上任取1[,]i i i x x ξ-∈,作以1[,]i i x x -为底,以为高的小矩形()i f ξ,并以此小矩形面积近似代替相应的窄曲边梯形的面积i S ∆,得1()(,1,2,,)i i ii i i S f x x x x i n ξ-∆≈∆∆=-=L ;3) 求和:11()nniiii i S S f xξ===∆≈∆∑∑4) 取极限:令1max{},i i nx λ≤≤=∆则曲边梯形的面积011lim ()nnii i i i S Sf x λξ→===∆=∆∑∑.1.1 定义()y f x =?A =设函数()f x 在区间[,]a b 上有界.在区间[,]a b 内插入1n -个点,0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,1i i i x x x -∆=-(1,2,,)i n =L ,1max{},i i n x λ≤≤=∆在小区间1[,]i i x x -中任取一点i ξ(1,2,,)i n =L ,作和1()niii f xξ=∆∑;如果极限01lim()niii f xλξ→=∆∑存在,且极限值与区间[,]a b 的分法和i ξ的取法无关,则称此极限为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分,记为1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→==∆∑⎰此时称()f x 在区间[,]a b 上可积. 通常称为Rieman 可积，简称R 可积.a 与b 分别称为积分的下限与上限,()f x 为被积函数,()f x dx 为被积表达式,x 为积分变量.若极限01lim()niii f xλξ→=∆∑不存在, 则称()f x 在区间[,]a b 上不是R 可积.定积分的概念需注意以下几点：(i ) 定积分要求积分区间有界,被积函数有界; (ii ) 定积分是积分和1()niii f x ξ=∆∑的极限,在构造积分和时,分割与点iξ的选取都是任意的,而取极限是指当1max{}0i i nx λ≤≤=∆→时的极限.(iii ) 定积分的值与积分变量的选取无关,只与被积函数及积分区间有关,所以 ()()bbaaf x dx f t dt =⎰⎰.1.2 定积分的几何意义与物理意义设()f x 在[,]a b 上连续, 由定积分的定义知，()baf x dx ⎰在几何上表示界于x 轴、曲线()y f x =、x a =与x b =之间各部分面积的代数和,在x 轴上方取正号,在x 轴下方取负号;当x 为时间变量时, ()f x 是做直线运动的物体的速度函数, 则()baf x dx ⎰表示物体从时刻a 到时刻b 所走过的路程.由定积分定义和极限性质不难得到定积分存在的必要条件：定理1：函数()f x 在区间[,]a b 上可积的必要非充分条件是：()f x 在区间[,]a b 上有界。

例1：用定义讨论Dirichlet 函数 1()0x QD x x Q∈⎧=⎨∉⎩在[0,1]上的可积性。

解：依定积分定义，将区间[0,1]任意分成n 个小区间，其分点分别为0101n x x x =<<<=L ，由于有理数和无理数在实数域上的稠密性，在每个小区间中即有无数多个有理数，又有无数多个无理数，所以（1）当任取1[,]i i i x x ξ-∈为1[,]i i x x -中的有理数时,()1i f ξ=，此时1()1niii f xξ=∆=∑，此时11lim()lim 11nniii i i f xx λλξ→→==∆=∆=∑∑（2）当任取1[,]i i i x x ξ-∈为1[,]i i x x -中的无理数时,()0i f ξ=；此时 011lim()lim 00nniii i i f xx λλξ→→==∆=∆=∑∑故Dirichlet 函数 1()0x QD x x Q∈⎧=⎨∉⎩在[0,1]上不可积。

从而进一步知道有界函数不一定可积。

那么函数()f x 在区间[,]a b 上可积的充要条件是什么呢?2 函数()f x 在区间[,]a b 上可积的充要条件(即可积准则) 2.1 小和与大和设函数()f x 在区间[,]a b 有界，分法01:n T a x x x b =<<<=L ，记1sup{()[,]}i i i M f x x x x -=∈，1inf{()[,]},1,2,,i i i m f x x x x i n -=∈=L ，1i i i x x x -∆=-，1[,]i i i x x ξ-∀∈，有()i i i m f M ξ≤≤，且111()n n niiiiiii i i m x f x M x ξ===∆≤∆≤∆∑∑∑其中11(),()n niiiii i S T M x s T m x ===∆=∆∑∑分别称为函数()f x 对应于分法T 的大和与小和（也称达布大和与达布小和，统称达布和。

）称(1,2,,)i i i M m i n ω=-=L 为()f x 在1[,]i i x x -上的振幅.下面来讨论大和与小和的性质.定理2 分点增加大和不增，小和不减. 即对[,]a b 一个分法T ,增加某些新分点构成[,]a b 一个新分法T ',有()(),()()s T s T S T S T ''≤≤证明 可先考虑增加一个点的情况，其余的新分点可逐次增加一个分点而得到.设分法T 为01:n T a x x x b =<<<=L ，设新增一个分点x '位于分法T 的第i 个小区间1[,]i i x x -之内，x '1[,]i i x x -∈，用T '表示此分法. 对分法T 和T ', 其大和与小和中不相同的地方仅仅出现在第i 个区间, 即1[,]i i x x -.对大和而言, 设1sup{()[,]},i i M f x x x x -''=∈sup{()[,]},i i M f x x x x '''=∈有 ,i i i i M M M M '''≤≤, 所以111()()()()()i i i i i i i i i i i M x x M x x M x x M x x M x x ---'''''''-+-≤-+-=- 从而有()()S T S T '≤.对小和而言, 设1inf{()[,]},i i m f x x x x -''=∈inf{()[,]},i i m f x x x x '''=∈有,i i i i m m m m '''≤≤, 所以111()()()()()i i i i i i i i i i i m x x m x x m x x m x x m x x ---'''''''-+-≥-+-=- 从而有()()s T s T '≤.定理3 对[,]a b 中任意两个分法T 和T ',小和总不大于大和. 即()(),()()s T S T s T S T ''≤≤证明 将[,]a b 两个分法T 和T '的分点放在一起，形成[,]a b 的一个新的分法T ''，T ''的分点是相当于在T （T '）的基础上增加了T '（T ）的分点，由定理2可知()()()(),()()()()s T s T S T S T s T s T S T S T ''''''''''≤≤≤≤≤≤所以结论成立.定理4 对[,]a b 所有可能得分法T ，小和的上确界不超过大和的下确界，即{}{}sup ()inf ()TTs T S T ≤证明 由定理3可知，任意分法T 的小和集合有上界，任意分法T 的大和的集合都是上界，由确界原理，有上界必有上确界，设{}0sup ()()Ts T I S T =≤,而0I 是大和集合{}inf ()TS T 的下界，由确界原理，必有下确界，设{}0inf ()TS T I =，则有{}{}00sup ()inf ()TTs T I I S T =≤=.定理5（可积准则）有界函数()f x 在闭区间[,]a b 可积⇔0lim[()()]0S T s T λ→-=证明 先证""⇒.已知函数()f x 在闭区间[,]a b 可积，由定积分的定义1lim ()ni i i f x I λξ→=∆=∑，即0,0εδ∀>∃>当λδ<时有111()22ni i i I f x I εξε=-<∆<+∑，由大和小和的定义11()()22I S T s T I εε-<-<+，即()()S T s T ε-≤，所以0l i m [()()]S T s T λ→-=. 再证""⇐. 假设0lim[()()]0S T s T λ→-=成立,则0,0εδ∀>∃>,当λδ<时,有 ()()S T s T ε-≤ 由定理4可知{}{}00()s u p ()i n f ()()TTs T s TI I S T S T ≤=≤=≤ (1)即00()()I I S T s T ε-≤-<,所以有00I I I ==,由(1)知00()()s T I I S T ≤=≤ (2)又由大和小和的定义有 1()()()ni i i s T fx S T ξ=≤∆≤∑ (3)从而由(2)(3)有1()()()nii i f x I S T s T ξε=∆-≤-<∑故结论成立.定理5´（可积准则）函数()f x 在闭区间[,]a b 可积⇔01lim0ni ii xλω→=∆=∑.其中(1,2,,)i i i M m i n ω=-=L . 证明: 直接利用定理5即得证.根据可积的充要条件,不难证明以下三类函数是可积的. 2.2 三类可积函数定理6 设函数()f x 在区间[,]a b 有界,则满足下列条件之一的函数可积. (1) 区间[,]a b 上的连续函数;(2) 在区间[,]a b 上只有有限多个间断点的有界函数; (3) 区间[,]a b 上的单调函数.证明 (1) ()f x 在区间[,]a b 上连续,从而在[,]a b 上一致连续.于是1212120,0,,[,]:,()()x x a b x x f x f x εδδε∀>∃>∀∈-<-<有对[,]a b 上任意分法01:n T a x x x b =<<<=L ,设1max()i i nx λ≤≤=∆,当λδ<时,由闭区间上连续函数的最值性,函数()f x 在每个闭区间1[,]i i x x -(1,2,,k n =L )都连续,且有最大值i M 和最小值i m .且 1sup{()()},,[,]i i i i i M m f x f x x x x x ωε-''''''=-=-<∈从而11()nni ii i i xx b a ωεε==∆<∆=-∑∑由定理5´知结论成立.(2) 不妨设()f x 在区间[,]a b 只有一个间断点,且设这个间断点为端点b ,0ε∀>，取δ'满足02()M m εδ'<<-，其中[,][,]sup {()},inf {()}x a b x a b M f x m f x ∈∈==，设()f x 在[b ,]b δ'-上的振幅为ω'，()2()2M m M m εεωδ''≤-⋅=-，由于()f x 在[,]a b δ'-上连续，则存在分割011:n T a x x x b δ-''=<<<=-L ，112n i i i x εω-=∆<∑，令01:n T a x x x b =<<<=L ，22i i i i TT x x εεωωωδε'''∆=∆+<+=∑∑。